价格优化的一些数学方面

T1-T3的解决方案精算任务T1-T3的主要困难在于ψi的复杂性，因为这些函数是：a）在一般情况下未知，b）难以估计过去的数据是否部分可用，c）即使这些函数已知，约束条件C1-C2和目标函数O1，O1\'，O2也是非凸的。我们接下来讨论T1的部分解：问题T1a：给定P，PN，确定τ*= （τ）*, . . . , τ*N） 这样qvo l（τ*) 是最大值，qvar（τ*) 在约束θrlevel（τ）下最小（3.1）≥ l, δi=τiPi∈ 【a，b】，1≤ 我≤ N、 问题T1b：确定f*来自P*, . . . , P*N、 T1b的解（近似解）很容易推导出来。给定P*, . . . , P*N、 既然市场tari fff的结构是已知的，那么f*可通过运行非线性回归分析（近似）确定。因此，下面我们重点讨论T1a。因此，我们将在这里讨论的主要问题是如何确定最佳保费P*我在续约。在保险实践中，函数ψi，i≤ n可以假定为分段线性且不递减。这种假设确实合理，因为对于非常小的τiorδi，投保人不会意识到保费变化。如果在续约时，竞争也会修改新的业务保费，则后一种假设可能会被违反。为简单起见，我们将在分析中排除这些情况，因此我们假设接受续约的决定不受竞争对手的影响。我们在下面列出了ψi的一些易于处理的选择：Ma）假设对于给定的已知常数πi，ai，biψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi+biδi），1≤ 我≤ N、 实际上，πi，ai，b需要估计。

显然，b′等于0的情况非常简单且易于处理。顺便注意，上述模型的一个扩展是允许根据δi.Mb的符号来区分A和B）一个由通常用于估计取消概率的逻辑回归模型驱动的选择是expit函数，即ψi（Pi，δi）=1+c-1ie-Tiδi，1≤ 我≤ N、 其中，ci、Ti是已知常数（在应用中估计）。我们注意到，模型Ma）可以看作是模型Mb）的近似值。Mc）一个简单的规范是，仅对δi的少数值给出ψ，如下所示。n apolicyholder i的说明性数据如3所示。Tariff&PREMIUM优化指数δi（in%）-20%-15%-10%-5%0%5%10%15%20%Pi（1+δi）80 85 90 95 100 105 110 115 120ψi（Pi，Piδi）0.999 0.995 0.990 0 0.975 0.950 0.925 0.900 0.875 0.825表3.1。续保概率是第i个投保人保费的函数。模型Ma）简单且易于处理，可以将n视为更复杂模型的近似模型。此外，它还导致了对目标函数的一些重要简化。玩具模型1：我们假设P=P=····=PN。这使得目标函数得以简化。玩具模型2：假设任意i的ψi（P，δ）=ψ（P，δ）≤ N，即，我们假设所有保单持有人在取消概率方面具有相同的行为。4、优化算法4。1.O1）最大化未来预期保费量@R。在本节中，我们用t=0表示当前时间，用t=1表示续约时间。我们考虑这样一种情况，即保险公司希望最大限度地提高未来预期保费量，同时将其投资组合中的最低投保人数保持在t=1。因此，我们表示为l 保留级别。

Nl 就是保险人希望在其投资组合中保留的最小投保人数量@R。在这方面，优化问题可以表示为s followsmaxδNXi=1Pi（1+δi）ψi（Pi，δi），主题toNNXi=1ψi（Pi，δi）>l.（4.1）4.1.1。更新概率ψias in Ma）。我们考虑以下情况，即形式ψi的更新概率ψiis：=ψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi+biδi），如Ma中所定义）。o设置bi=0，我们得到ψi：=ψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi），其中条件ψi∈ （0，1）应适用于所有投保人i≤ N事实上，当我∈ （1）-πi，πi- 1） 就我而言≤ N、 由于bi=0，那么（4.1）只是一个受线性约束的质量规划（QP）问题，可以重写为以下内容：maxδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+aiδi），subject toNNXi=1πi（1+aiδi）>l.（4.2）（4.2）当且仅当其目标函数为凹函数时才具有最大值。然而，当Nai<0时，这是令人满意的。因此，我们假设ai∈ （1）-πi，0）对于任何i≤ N、 为了求解（4.2），我们使用附录A中总结的二次规划方法。此后，我们将假设bi6=0，这意味着形式为ψi的ψiis：=ψi（Pi，δi）=πi（1+aiδi+biδi）。8易州白、恩克勒杰德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托弗里亚和迈萨·塔姆拉泽拥有该ψi∈ （0，1）当且仅当A和B满足以下条件时成立人工智能∈最大值（1-πi，-1.- bi），min（1+bi，πi- （1）,bi公司∈ (-1，0）。此外，（4.1）可以重写为asmaxδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+（ai+bi）δi+biδi），主题toNNXi=1πi（1+aiδi+biδi）>l.（4.3）显然，（4.3）是一个受非线性约束的非线性优化问题。文献中讨论的解决这类优化问题的最常用方法是序列二次规划法（SQP），参见【15、16、17】。它是一种迭代方法，生成一系列在每次迭代时要求解的数值程序。

通常，在给定的迭代xk中，（4.3）由受线性约束的QP子问题建模，后者的解用作构建新迭代xk+1的搜索方向。这种情况下的优化问题由minδf（δ）=-NXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+（ai+bi）δi+biδi），受g（δ）=-NXi=1πi（1+aiδi+biδi）+Nl ≤ 0，（4.4），其中f和g是连续的，可二次区分。解决（4.4）所需的主要步骤见附录B。4.1.2。更新概率ψias，单位为Mb）。我们考虑了Mb）的情况，其中更新概率由逻辑回归模型确定，并由ψi：=ψi（Pi，δi）=1+c给出-1ie-Tiδi，1≤ 我≤ N、 Ci是一个常数，取决于保费变动前的续期概率πi，由Ci=πi1给出- πi和Ti<0是一个常数（在应用中估计），用于衡量保单持有人相对于保费变化的弹性。| Ti |越大，投保人对保费变动的弹性就越大。在这方面，优化问题可以表示为如下最大δNXi=1Pi（1+δi）/（1+e-Tiδi/ci），受试者toNNXi=11/（1+e-Tiδi/ci）>l.（4.5）（4.5）是受非线性约束的非线性优化问题。因此，为了找到最佳解决方案δ，我们使用附录B中所述的SQP算法。电价和保费优化9备注4.1。应该注意的是，当δiis的范围接近0时，Mb）可以近似为Ma）。在这种情况下，ψi（Pi，δi）=ci1+ci1+ciTi1+ciδi-Ti（ci- 1） 2（1+ci）δi,式中，πi=ci1+ci，ai=cit1+ci，bi=-Ti（ci- 1） 2（1+ci）。（4.6）4.1.3。更新概率ψias in Mc）。最后，我们考虑了Mc）情况，其中最优解δi的值来自离散集。此外，根据δifor i，为每个投保i计算续保概率ψiat time 1≤ N、 如表3所示。1.

在本节中，我们将处理混合离散非线性规划（MDNLP）优化问题。在这方面，我们考虑离散集D={-20%，-15%，-10%，-5%、0%、5%、10%、15%、20%}，对应于δican取的最佳值。因此，（4.1）可重新表示为以下最小δf（δ）=-NXi=1Pi（1+δi，j）ψi，j（Pi，δi，j），受g（δ）=-NXi=1ψi，j（Pi，δi，j）+Nl 6 0对于j=1，9和δ∈ DN。（4.7）一般来说，由于离散空间是非凸的，这类优化问题很难解决。文献中讨论了（4.7）分辨率的几种方法，见【18】。文献[19]提出了一种新的方法来解决受非线性约束的MDNLP优化问题。它需要通过在每个点迭代δk处评估的一系列混合离散线性问题来近似原始非线性模型。此外，还引入了一种通过使用惩罚函数来解决MDNLP的新方法，有关详细信息，请参阅最近的贡献【20，21】。附录C.4.2中描述了解决此类优化问题的算法。保留水平@R的最大化。我们考虑保险人希望保留投资组合@R中最大数量的投保人的情况。因此，优化问题在于找到最佳保留水平@R，同时在时间1时将投资组合中的预期保费增加一定量，例如C。

因此，可将优化问题计算为suchmaxδNNXi=1ψi（Pi，δi），受E（P*) > E（P）+C，（4.8），其中E（P*) =PNi=1Pi（1+δi）ψi（Pi，δi）是R时的预期溢价量，E（P）=PNi=1Piπi是时间0时的预期溢价量，C是固定金额，可表示为时间0时预期溢价量的百分比；它代表了在续约时增加保费量的一种负荷。在or de r to solve（4.8）中，我们使用附录B.10 YIZHOU BAI、ENKELEJD HASHORVA、GILDAS RATOVOMIRIJA和MAISSA TAMRAZ5中描述的SQP算法。保险应用在本节中，我们考虑一个数据集，该数据集描述了保险组合中汽车业务线的生产情况。我们假设保费呈指数增长。此外，时间0时的更新概率，πifor i=1，N、 由保险公司根据历史数据对每类投保人进行了解和估计。假设保单持有人在续保时的行为未知，则时间1的续保概率ψi取决于πi和δifori=1，N、 如果δiis为正，则ψi增加，而如果δiis为负，则保单持有人更有可能在时间1续保，从而产生更大的ψi。在以下段落中，我们将给出与上一节中描述的现有优化问题相关的一些结果。5.1。优化问题Ma）。5.1.1。最大化R的预期溢价量。我们首先考虑（4.2）中定义的优化问题。在这种情况下，更新概率ψiis定义为Ma），并将bi=0设置为i=1。

N假设i的ai<0≤ N，当δiis为负时，续保概率ψii增加，当δiis为正时，续保概率ψii减少，从而完美地描述了保单持有人的行为，这些保单持有人的保费在R时会相应增加。下表描述了10000名保单持有人的一些数据统计。2005年第1季度第491季度第909季度第0分钟时的溢价1\'605最大值9\'061否。Obs公司。10\'000表示1\'204Std。开发990表5.1。汽车业务的生产统计。我们认为保险公司希望将85%的投保人保留在其投资组合中@R。通过在Matlab中使用函数quadprog求解（4.2），我们获得了每个投保人的最佳δ。接下来，我们考虑两种场景：场景1保险人希望在其投资组合中保留75%的投保人@R，场景2保险人希望在其投资组合中保留85%的投保人@R.Table5。以下2总结了当解决（4.2）和排除这两种情况对预期保费量和预期保单持有人数量的影响时的最佳结果portfolio@R.TARIFF&保费优化11保留水平的限制条件δ（%）（-10,20）（-20,30）（-10,20）（-20,30）的75%-85%范围预期保费量@R（%）15.78 23.03 8.70 12.96预期保单数量@R（%）-3.52-5.25-0.16-0.16平均最优delta（%）19.99 29.90 7.97 11.89增加数量10\'000 6\'196 6\'528减少数量-3\'804 3\'472表5.2。场景测试。场景1两个边界的最佳δ大致对应于区间的最大值（上界）。这主要是因为保险公司只想保留75%的投资组合@R。

因此，他的主要目标是在时间1时最大化预期溢价量。情景2对于85%的留存水平，表5.2显示了预期保费量的增加，这不如情景1中观察到的重要。然而，投资组合中的预期投保人数量@R更高，与t=0时大致相同。此后，我们将考虑85%的保留率。通常，在实践中，汽车保险投资组合的规模超过10000名投保人。然而，当N较大时，使用描述的算法解决δ的优化问题需要大量时间和大量计算，并且可能会给保险公司带来成本。因此，克服这个问题的一个想法是将原始投资组合拆分为子投资组合，并计算子投资组合的最佳δ。在我们的案例中，分割可以考虑的一个标准是保费金额。然而，在实践中，保险公司有一个更详细的数据，因此每个投保人的信息更多，因此对分割感兴趣的因素是投保人的年龄、汽车品牌、汽车价值。表5：。3和表5。下面4条描述了将原始投资组合分别拆分为3和4个子投资组合时的结果。百分比范围内的增长率平均最优δ预期保单数预期保费量<600 8.60%~0.27%~9.17%（600,1200）7.29%~0.03%~8.25%~1′200 8.05%~0.17%~8.99%，分割后8.00%~0.16%~8.84%，分割前7.97%~0.16%~8.70%，差异0%~0.13%，表5.3。

分为3个子投资组合。12宜州白、恩克勒杰德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和马萨·塔姆拉兹在%@RPremium范围内的平均最优δ预期保单数量预期保费量<500 8.99%~0.34%~9.50%（500，800）6.27%~0.15%~7.41%（800，1400）7.66%~0.09%~8.49%~1\'400 8.47%~0.26%~9.31%，拆分后7.99%~0.16%~8.95%，拆分前7.97%~0.16%~8.70%，差异0%~0.23百分比表5.4。分为4个子投资组合。在表5中。3和5.4中，我们认为保险人希望在每个子投资组合中保留85%的投保人，从而保留原始投资组合的85%。然而，在实践中，对保留水平@R的限制对于每个子投资组合都是特定的，这取决于投保人的决策，即他是否希望在其投资组合@R中保留保费金额较大或保费金额较小的保单。在这一规则中，保险公司对每个子投资组合的预期保单数量设置约束，以便整个投资组合的约束大约等于85%。分成3、4个子投资组合的误差相对较小，预计溢价额@R的误差分别为-0.13%和-0.23%。应注意的是，误差幅度随着拆分数量的增加而增加。备注5.1。在以下章节中，我们将保险组合的规模限制为1000名投保人，因为此后用于解决优化问题的算法基于迭代过程，需要大量计算和时间。因此，一个解决大小为n且为n的保险组合的优化问题的想法≥ 1000是将原始投资组合拆分为子投资组合，并计算子投资组合的最佳结果，如前一节所述。5.1.2。最大限度地提高保费金额，最大限度地减少保费金额的差异。

与马科维茨（Markowitz）[22]提出的金融资产配置优化问题类似，最大聚合预期保费和总赚取保费的最小方差之间的每种形式的权衡；另请参见【2 3】，了解不同的最优条件。我们将在下一个表5中显示。5保留水平和保费变动可能范围的不同约束的最佳结果。关税和保费优化13保留水平约束75%85%δ（%）（-10,20）（-20,30）（-10,20）（-20,30）总预期未来保费@R（%）103.57 103.66 99.90 103.90总未来保费@R（%）的方差109.76 113.08 98.41 101.05预期保单数量@R（%）98.95 98.84 99.98 99 99.99平均最优δ（%）6.13 6.82 1.68 1.98平均最优增量（%）18.50 26.92 11.82 20.32平均最佳减少（%）-8.33-16.32-8.92-17.10增加次数53 9 535 511 510减少次数461 465 489 490表5.5。体积和方差目标优化结果。可以看出，最优方差@R随着可能保费变化δ的范围而增大。例如，当保险人希望保留7.5%的投保人时，δ的方差从109.76增加到109.76∈ (-δ为10%，20%）至113.08∈ (-分别为20%、30%。此外，方差@R的增加与预期量@R的增加有关。这意味着投资组合的风险越高，保险公司收取的保费就越多。5.1.3。最大化保留水平@R。我们在此认为，保险人希望最大化其保留水平，同时将预期保费额@R增加一定金额C，以覆盖保险公司的运营成本和其他费用。