价格优化的一些数学方面

C可以表示为在时间0时加载预计的高级卷。在实践中，支付公司费用所需的金额由保险公司确定。如前所述，C可以表示为时间0时预期保费量的百分比。因此，我们考虑了三种不同的荷载：9%、10%和11%，从而在时间0时分别为预期保费量增加了85000、95000和105000。此外，我们考虑δ的两个范围，δ∈ (-10%，-20%）和δ∈ (-20%，-30%）。对预期保费量的约束条件@R C=85′000 C=95′000 C=105′δ（%）（-10,20）-20,30（-20,30）-10,20（-20,30）预期保单数@R（%）-2.19-2.06-2.50-2.36-2.82-2.67预期保费量@R（%）8.90 8.90 9 9 5 9.95 11.00 11.00平均最优δ（%）13.92 15.82 15.12 17.23 16.60 18.64表5.6。场景测试-保留表5。6表明，当C增加时，R的预期投保人数减少，而平均最优δ增加。5.2。优化问题Mb）。我们考虑（4.5）中定义的优化问题，其中更新概率ψiis定义为Mb）。如第4节所述。1.2，描述保单持有人在保费变动时的行为。例如，让我们考虑一个投保人，他在没有保费变化的情况下续保的可能性πiis 0.95。在本节中，我们只考虑保险人希望最大化R的预期保费量的情况。

假设保留水平的限制为85%。14第5.1.1节中所述的益州白、恩克列德·哈索尔瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和迈萨·塔姆拉萨斯，保险公司更有可能增加保费金额较小的投保人的保费，并减少保费金额较大的投保人的保费。在续保时，保险人设定了他希望保留在投资组合中的预期投保人数量的约束。他的决定是基于他预期的最高保费金额@R。通常，当保留水平较低时，预期保费金额@R比保留水平较高时更大。因此，我们考虑两种情况：情况1保留级别为75%，情况2保留级别为85%。下表总结了解决（4.5）不同约束条件时的最佳结果。保留水平的限制75%-85%δ（%）（-10,20）-20,30（-10,20）-20,30）预期溢价量@R（%）17.84 26.45 4.50 6.48预期保单数量@R（%）-0.93-1.41-0.02-0.02平均最优增量（%）20.00 30.00 10.70 16.09增加数量1\'000 703 736减少数量-297 264表5.7。场景测试。情景1表5.7显示，所有投保人的保费都会增加，整个投资组合的平均最优δ对应于δ两个边界的保费最大变化。场景2如表5所示。7，预计投保人数量@R与保费变动前大致相同。然而，由于两个界限的平均最优δ较低，因此预期保费量的增长低于inScenario 1。备注5.2。

应注意的是，对于δ相对较小的情况（参考备注4.1），以Mb为单位的更新概率可近似为以Ma为单位的更新概率。因此，让我们考虑δ∈ (-5%，5%）和保留水平l = 85%@R。下表描述了使用logit模型Mb）和Ma中定义的多项式模型时的最佳结果。模型Logit多项式差异预期保费量增长率为1.53%0.47%1.04%R预期保单数量增长率为-0.02%0.02%0%平均最优增量2.97%1.30%增加数796 619减少数204 381表5.8。Ma）和Mb之间的比较）。表5.8显示，对于δ的小范围，从MB）获得的实际结果与从Ma）获得的近似结果之间的差异相对较小，对于预期保费量@R，差异约为1%，对于预期投保人数量@R，差异为0%。因此，当δ的范围趋向于0.5.3时，近似值趋向于实际值。玩具模型。在本节中，我们考虑两个玩具模型。第一个模型包括在所有投保人之间设置相同的保费金额。而在第二个模型中，我们假设15保单持有人在时间0时具有相同的续保概率，无论其保费金额如何。对于这两种模型，我们计算了与以下场景相关的最佳结果：–场景1最大化R的预期保费量，–场景2最大化预期保费量并最小化相应的variance@R，–情景3最大化保留水平@R.–玩具模型1所有保单持有人的保费保持不变。

我们认为，对于所有i，Pi=P=200≤ N优化问题场景1场景io 2场景3约束85%85%C=20000预期保费量@R（%）7.95 1.96 11.76预期保单数量@R（%）-0.02 0-1.34平均最优增量（%）7.02 1.79 12.55表5.9。玩具模型1–玩具模型2所有投保人的概率π均为0。优化问题情景1情景io 2情景3约束85%85%C=2000预期保费金额@R（%）17.33 17.33 7.78预期保单数量@R（%）-2.22-0.73-0.03平均最优增量（%）20.00 6.57 0.24表5.10。玩具模型2。当根据每个投保人在时间0的pr e miumamounts或续保概率将por TFolio拆分为子投资组合时，这些结果很有意义。5.4。优化问题Mc）和模拟研究。在本节中，我们考虑每个被保险人i的续保概率ψi固定的情况，如表3.1所示。为了解决优化问题（4.1），我们使用附录C中描述的MDNLP方法。下表总结了10000名投保人的投资组合在续保时保留水平的不同约束下的最佳结果。保留水平约束（%）85 87.5 90 92.5 95 9 7.5预期保费增长率（%）5.92 5.92 5.34 4.19 2.22-1.24预期保单数量增长率（%）-7.89-7.89-5.26-2.63 0.00 2.63平均最优增量（%）15.00 10.00 4.82-0.51-6.37表5.11。场景测试离散优化表5。11表明，当保留级别增加时，预期的保单数量会增加，而预期的保费量会减少。事实上，平均最佳δ从85%的保留水平的15%逐渐降低到97.5%的保留水平的-6%。

此外，可以看出，对于95%的保留水平，优化对预期警察数量的影响微乎其微16宜州白、恩克勒杰德·哈索尔瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和MAISSA TAMRAZand premium volume@R，因为平均最优δ近似为零。因此，在这种情况下不需要优化。除了MDNLP方法外，我们还实施了一种模拟技术，该技术包括模拟每个投保人的最低保费变化δ，如以下伪算法所述：–步骤1：基于δ的所选先验分布，为每个投保人提供充足的保费变化，–步骤2：重复步骤1，直到满足对保留水平的约束，–步骤3：重复步骤2 m次，–步骤4：在m个模拟中，取模拟的δ，给出最大预期收益。接下来，我们给出了相同投资组合通过1000个模拟得到的优化结果。我们应该考虑δ的先验分布的三种不同假设，即：–情况1：基于均匀分布的模拟在这种模拟方法中，我们假设δ的先验分布是均匀分布的。Ashighlighted在表9中。1-9.2，选择均匀分布的参数和保费变化的可能值，以满足保留水平的约束。我们在表5.12中给出了模拟结果。保留水平限制（%）85 87.5 90 92.5 95 97.5预期保费增长率（%）5.13 5.11 4.02 1.87-0.55-4.10预期保单数量增长率（%）-10.32-6.64-5.24-2.61 0.04 2.73平均最优增量（%）17.30 12.62 9.95 4.87-0.36-6.52表5.12。

场景测试-模拟方法：均匀分布案例2：基于实际经验的模拟在这种情况下，我们假设δ的先验分布基于每个保单持有人的历史保费变化r。保留水平约束（%）85 8 7.5 90 92.5 95 97.5预期保费增长@r（%）5.50 5.08 4.10 1.98-0.87-3.75预期保单数量增长@r（%）-9.19-7.70-5.26-2.63 0.47 2.77平均最优增量（%）16.2 13.9 10.0 4.92-1.17-6.25表5.13。情景测试-模拟方法：实践经验-案例3：基于MDNLP结果的模拟我们使用从MDNLP算法获得的最佳δ分布作为先验分布。表5：。下文4总结了最佳结果。保留水平约束（%）85 87.5 90 92.5 95 97.5预期保费量增长率（%）5.92 5.92 3.90 1.61-0.91-4.05预期保单数量增长率（%）-7.89-7.89-5.26-2.63 0.00 2.63平均最优增量（%）15.00 10.00 4.82-0.51-6.35关税和保费优化17表5.14。场景测试-模拟方法。可以看出，模拟结果与表5.11.6中所示的MDNLPalgorithm近似相同。附录A：约束二次规划我们将介绍本文中使用的二次规划方法的下一步步骤。步骤1：（4.2）可重新表示为如下最小δf（δ）=δQδ+cδ、 g（δ）=Aδ≤ b、 （6.1）式中δ=（δ，…，δN）c是一个向量，描述了由c=(-πP（1+a），-πNPN（1+aN））.这里Q是一个对角正定义矩阵，描述由Q确定的f的二次项的系数=-2πPa0 0。00-2πPa0。00。-2πiPiai。00 0 0。

-2πNPNaN.由于（6.1）只有一个约束，因此A是与g的线性系数相关的向量，由A=-（πa，πa，…，πNaN）,最后，b=Nl -PNi=1πi。应注意，在（6.1）的解中未考虑目标函数f的常数项。步骤2：设L（δ，λ）=f（δ）+λg（δ）是（6.1）的拉格朗日函数，其中λ是拉格朗日乘子。鉴于Q是一个正定义的matr ix，如果满足给定向量（δ*, λ*)L（δ*, λ*) = 0，λ*g（δ*) = 0，g（δ*) ≤ 0，λ*≥ 0.（6.2）18易州白、恩克列德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和马萨·塔姆拉兹备注6.1。在问题T1a的设置中，保险人的目标是最大化保费金额并最小化相应的方差，优化问题可以表示为以下内容：maxδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+aiδi），minδNXi=1Piπi（1+（1+ai）δi+aiδi）（1- πi（1+aiδi）），受试者toNNXi=1πi（1+aiδi）>l.（6.3）7。附录B：（4.4）步骤1的解：L et L（δ，λ）=f（δ）+λg（δ）是（4.4）的拉格朗日函数，其中λ∈ R是拉格朗日乘子，（δ，λ）是解的初始估计。应该注意的是，SQP不是一种可行的点法。

这意味着无论是初始点还是后续迭代都不应该满足优化问题的约束。步骤2：为了找到下一个迭代点（δ，λ），SQP确定一个步骤向量s=（sδ，sλ）在（δ，λ）评估的QP子问题的（sδ，sλ）解，并定义在（7.1）分钟以下Hs+f（δ）s、 受制于g（δ）s+g（δ）≤ 0，其中H是L的Hessian matr ix的近似值，f和g分别是目标和约束函数的g半径。Hess ian matr ix H在每次迭代时都会通过BFGS quazi-Newton公式进行更新。SQP方法保持了Hessian矩阵近似的稀疏性及其正有限性，这是唯一解的必要条件。步骤3：为了确保SQP方法收敛到全局解，后者使用价值函数φ，其减少意味着朝着解的方向前进。因此，步长由α表示∈ （0，1），以保证每次迭代后φ的减少，从而φ（δk+αsk）≤ φ（δk），其中φ（x）=f（x）+rg（x）和r>|λ|。步骤4：新点迭代由（δ，λ）=（δ+αsδ，λ+αsλ）给出。如果（δ，λ）满足KKT条件（6.2），则SQP在t点收敛。如果不是，则设置k=k+1并返回步骤2。备注7.1。需要注意的是，（6.2）中定义的KKT条件被称为一阶最优条件，参见例如[20]。因此，如果，对于给定向量（δ*, λ*), 满足KKT条件，则（δ*, λ*)是局部最小值（4.4）。电价和保费优化198。

附录C：MDNLP优化问题（4.7）步骤1：假设ψiis是离散的，并且取决于δi的值，我们假设ψican可以写成δias的函数，紧跟在ψi（δi）=-0.9775δi- 0.4287δi+0.9534δi∈ 然后将D（4.7）视为一个连续优化问题，并使用前面描述的其中一种方法找到最优解。我们用δ表示*连续最优解。步骤2：设δ为δ的向上舍入向量*对于集合D的邻近离散值，δ被视为初始点迭代。如果δ不是（4.7）的可行点，则（4.7）由δ处的混合离散线性优化问题近似，并由minδ给出f（δ）（δ- δ） ，受g（δ）+g（δ）（δ- δ） 6 0和δ∈ DN。（8.1）步骤3：（8.1）通过使用线性规划方法和分枝定界法进行求解，详情请参见【24】。我们用δk表示新的点迭代。如果δkis可行且δk- δk-1 | |<如果>0小，则停止迭代。否则k=k+1并返回步骤2。备注8.1。如果对于某一点迭代δ，满足（4.7）的约束，且δ∈ DNthenδ是优化问题的可行解。通常，由于存在多个局部极小值，很难找到MDN LP优化问题的全局极小值。因此，δ*如果δ*可行且f（δ*) ≤ f（δ）表示所有可行的δ9。附录D：模拟的事先分发9。1、基于均匀分布的模拟（模拟案例1）。下表描述了δ的范围及其基于不同保留水平的各自分布。保留水平（%）85 87.5 90δ（%）{15，20}{10，15}{0，5，10，15}先验分布U（0.85，0.99）U（0.90，0.99）U（0.04，0.68）的范围表9.1。

δ和先验分布的可能范围均布。保留水平（%）92.5 95 97.5δ范围（%）{-5、0、5、10、15}{-5、0、5、10、15}{-20、，-10、，-5，0，5，10，15}先验分布U（0.05，0.40）U（0.04，0.21）U（0.002，0.47）表9.2。δ和先验分布的可能范围均布。参考文献【1】P.Embrechts、C.K l¨uppelberg和T.Mikosch，《保险和金融极端事件建模》。柏林：Springer Verlag，1997年。[2] T.Rol ski、H.Schmidli、V.Schmidt和J.Teugels，《保险和金融的随机过程》。《概率与统计中的威利系列》，约翰·威利父子有限公司，奇切斯特，1999年。[3] S.Asmussen，《破产概率》，统计科学高级系列第2卷&应用概率。World Scientifi fi Publishing Co.，Inc.，River Edge，NJ，2000.20易州白，恩克列杰德·哈索瓦，吉尔达斯·拉托沃米里亚，和MAISSA TAMRAZ V.I.Rotar，精算模型。CRC出版社，佛罗里达州博卡拉顿，第二版，2015年。保险数学。[5] “价格优化白皮书”，保险精算师协会费率制定价格优化工作组保险精算师和统计（C）工作组，2015年。[6] A.J.Schwartz和J.G.Harrington，“价格优化：争议、未来以及它对cp cus的意义”，CPCUSociety INSIGHTS，2015年。[7] A.V.A simit、A.M.Badescu和T.Verdonck，“基于分位数的风险度量下的最佳风险转移”，保险数学。经济体。，2013年第53卷第1期第252-265页。[8] A.V.Asimit、A.M.Badescu和K.C.Cheung，“存在交易对手违约风险时的最佳再保险”，InsuranceMath。经济体。，2013年第53卷第3期，第690-697页。[9] A.V.Asimit、Y.Chi和J.Hu，“偿付能力II制度下的最佳非寿险再保险”，保险数学。经济体。，第65卷，第227-2372015页。[10] 每年。