价格优化的一些数学方面

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英文标题：
《Some Mathematical Aspects of Price Optimisation》
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作者：
Y. Bai, E. Hashorva, G. Ratovomirija, M. Tamraz
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Calculation of an optimal tariff is a principal challenge for pricing actuaries. In this contribution we are concerned with the renewal insurance business discussing various mathematical aspects of calculation of an optimal renewal tariff. Our motivation comes from two important actuarial tasks, namely a) construction of an optimal renewal tariff subject to business and technical constraints, and b) determination of an optimal allocation of certain premium loadings. We consider both continuous and discrete optimisation and then present several algorithmic sub-optimal solutions. Additionally, we explore some simulation techniques. Several illustrative examples show both the complexity and the importance of the optimisation approach.
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中文摘要：
最优电价的计算是定价精算师面临的主要挑战。在本文中，我们关注续保业务，讨论了最佳续保费率计算的各个数学方面。我们的动机来自两项重要的精算任务，即a）根据业务和技术约束构建最优续期电价，以及b）确定某些保费负荷的最优分配。我们考虑了连续优化和离散优化，然后给出了几种算法次优解。此外，我们还探讨了一些模拟技术。几个示例说明了优化方法的复杂性和重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
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2022-5-25 07:29:04 上传

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关键词：Optimisation Mathematical Illustrative Quantitative Applications

价格优化的一些数学方面Yizhou BAI、ENKELEJD HASHORVA、GILDAS RATOVOMIRIJA和MAISSA TAMRAZAbstract：计算最优塔利夫是定价精算师面临的主要挑战。在本文中，我们关注的是续保保险电子商务，讨论了最佳续保费率计算的各个数学方面。我们的动机来自两项重要的精算任务，即a）根据业务和技术约束构建最优续期资金，以及b）确定某些溢价的最优分配。我们考虑了连续优化和离散优化，然后给出了几种算法次优解。此外，我们还探讨了一些模拟技术。几个示例说明了优化方法的复杂性和重要性。关键词：市场关税；最佳焦油量；最优价格；价格弹性；非人寿保险；非凸优化；四元编程；序列二次规划；混合离散非线性规划；约束条件；续约业务1。导言通常，保险合同是根据塔里费定价的，这里被称为市场塔里费。用数学术语来说，这样的塔里夫是一个函数，比如f:Rd→ 其中m，m是最小值和最大值。例如，Witzerland主要保险市场参与者的汽车第三方责任（MTPL）市场关税超过15。通常，函数f既不是线性函数，也不是简单函数的乘积。在非人寿保险中，许多保险公司对新业务和续保业务使用不同的f。这种做法背后有统计和营销方面的原因。在本文中，我们主要关注非寿险续保业务。然而，一些发现对保险和其他非保险产品的一般定价很重要。

我们将讨论两个重要的实际问题，并向定价精算师介绍相关的各种数学方面。实际精算任务T1：假设N名投保人的投资组合在给定的市场tari fff下定价，确定最佳的市场tari fff*这将在下一次投资组合更新中应用。通常，精算教科书涉及纯保费的计算，这是通过对历史por tfolio数据应用不同的统计和精算方法确定的，见e。g、 ，[1、2、3、4]。确定给定保险合同的纯保费的tari ff在此称为纯风险tari ff。用数学术语来说，这是一个函数，比如g:Rd→ [m，m]带d≥ 1、在精算实践中，纯保费被加载，例如大额索赔、准备金、直接费用和其他成本（间接费用、利润等）。日期：2016年5月20日。2 YIZHOU BAI、ENKELEJD HASHORVA、GILDAS RATOVOMIRIJA和MAISSA Tamrazium Mathematical解释了负荷保费的各种方法；在实践中，通常采用线性加载。我们将根据与保险范围相关的成本计算保险范围的保费的功能称为精算tari fff；写入gA:Rd→ [m，m]用于该功能。实际精算任务T2：给定一个纯风险塔利夫，构建一个包含各种溢价负荷的最优精算塔利夫。由于根据定义，没有唯一的最优精算tari fff，因此导致该tari fff的计算可根据定价和实施的资源进行。为此，让我们简要地提到一个激发T2的例子：为简单起见，假设portfolioin问题由两组投保人A和B组成。A组中有nApolicyholders，B组中已经有NB投保人。

所有合同将于明年1月1日续签。定价精算师计算精算tari fff，结果表明，对于A组，每个保单持有人每年支付的保费为2000瑞士法郎，而对于B组，每年支付的保费为500瑞士法郎。对于该投资组合，下一个保险期（本例中为一年）的间接费用（未直接分配给保单）计算（估计）为X瑞士法郎。X金额可以以不同的方式分配给N=nA+nB的投保人，例如，每个投保人必须支付X/（nA+nB）的这些费用。另一种替代方法是将其计算为纯pre-miums的x百分比。定价精算师面临的主要挑战是，投保人已经在投资组合中，并且知道他们当前的保费。在续约时（以下简称为@R），鉴于风险不变，如果新的优惠与当前的优惠不同，保单持有人可以取消合同。取消该政策的另一个原因可能是保险市场的竞争。因此，T1和T2B的解决方案需要考虑在更新点取消策略的可能性。T1和T2通常都很难解决。续约定价中的一个重要问题如下：实际精算任务T3：修改任何i≤ N第i个投保人的保费Pi@R乘以百分之六十，例如δi和δi∈ i={0%，5%}因此，premiumsP的新集合*i=Pi+τi，1≤ 我≤ τi=Piδi的N是最优的。此外，确定新市场tari fff*这就产生了P*事实上，T3中描述的精算任务在精算实践中非常常见，如果投资组合的实际表现不符合预期，并且在下一次续签时将应用保费增加。任务T1-T3的解决方案有几个难点。

在实践中，汽车或家庭保险等关键保险的市场风险非常复杂。实践中使用的典型f如下（为简单起见，只考虑两个参数）f（x，y）=minM、 最大值（eax+bx，M+mx+my）.（1.1）即使我们知道P*解T3，当f的结构*) 如（1.1）所示，则存在最优f*这正好是P*一般来说，我不能保证。请注意，由于技术原因，精算师可以更改确定f的系数，例如a、b等，但由于实施成本巨大，在准备新的净资产时，通常会固定资产负债表的结构，即（1.1）中f的形式。本文的主要目的是讨论各种数学问题，这些问题导致精算任务T1-T3的最优解。此外，我们还分析了阿里夫和特优优化3续费业务的优化问题的最终实现。与新业务相关的优化问题涉及面更广，因此将在未来的贡献中进行处理。为此，我们观察到，在过去10年中，欧洲的许多保险公司已经使用了价格优化技术（主要是通过咨询公司）。到目前为止，文献中还没有对此类应用中解决的优化问题进行精确的数学描述。最近的贡献主要集中在价格优化问题上，主要是从道德和监管的角度来看，见[5，6]。

值得注意的是，保险和再保险业务中的最优问题与本文中处理的问题没有直接关系，已经在不同的背景下进行了讨论，请参见[7、8、9、10、11、12、13]和其中的参考文献。本文其余部分的简要组织：第2节从保险人的角度描述了不同的优化设置。在第3节中，我们提供了问题T1的部分解决方案。第4节描述了用于解决优化问题的不同算法，以及第5.2节中介绍的电机业务线的一些保险应用程序。目标函数和业务约束2。1、理论设置。为简单起见，在不丧失一般性的情况下，我们假设更新时间固定为所有i=1，N已在投资组合中投保的投保人，第i位投保人支付当前保险期的保险费。每个投保人可以在不同的保险期内投保。在不丧失一般性的情况下，我们假设在续签时，每个保险合同都有续签一年的选择权，续签保费为Pi+τi。假设第i份合同的终止概率是Pi的函数。在续约时，通过改变保费，取消概率将取决于保费前的变化，例如τi和初始保费Pi。因此，我们将假定该概率由πi（Pi+τi）=ψi（Pi，δi）给出，其中τi=Piδi，（2.1），其中ψiis是一个严格正的单调函数，最终取决于i。

这是logistic回归中常见的一种假设，其中ψiis是logit函数（也称为expit）的逆函数，或ψiis是单变量分布函数。为了考虑差价和保费优化任务中的取消概率，精算师需要知道/确定任何δi的πi（Pi+τi）∈ i、 在哪里iis premiumwith 0的可能更改范围∈ i、 πi的估计很困难，例如可以使用logistic回归进行处理，见第4节。详情请参见下文1.2。在实践中，根据市场地位和公司战略，可以使用不同的目标函数来确定最佳精算tari ff或市场tari ff。我们在下面讨论了两个重要的目标函数：O1）最大化未来预期保费量@R：在我们的模型中，所讨论投资组合的当前保费量为V=PNi=1Pi，而在完全续期的情况下，保费量为isPNi=1P*i=PNi=1（Pi+τi）。由于并非所有保单都可以续保，让我们用N@Rthe将续订的保单数量。由于我们可以将每个合同视为独立风险，thenN@R=NXi=1Ii，4易州白，恩克勒杰德·哈索尔瓦，吉尔达斯·拉托沃米里亚，和马萨·塔姆拉兹，在p{Ii=1}=πi（Pi+τi）的独立B ernoulli随机变量中，1≤ 我≤ N、 显然，要更新的投资组合的预期百分比由θ（τ，…，τN）=E给出{N@R}N=NXi=1E{Ii}N=NNXi=1πi（Pi+τi）。（2.2）R时的溢价量（随机）将表示为V@R.它是简单给出的byV@R：=NXi=1Ii（Pi+τi）。因此，目标函数由（设置在τ=（τ，…，τN）以下）qvo l（τ）：=E给出{V@R}=NXi=1（Pi+τi）E{Ii}=NXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）。（2.3）注意，P。

，Pn已知，因此将仅针对τi进行优化。O1’）最小化V@R：如果V@Ris大，w孔更新过程可能会被破坏。因此，沿O1的方差最小化V@Ris重要的在这个模型中，我们有qvar（τ）：=V ar(V@R)=NXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）[1- πi（Pi+τi）]。（2.4）O2）最大化R时的预期保费差异：每个投保人的保费差异R为τi，因此在续保时，我们有pni=1Iiτi。该随机变量的经验为简单qdif（τ）=E（NXi=1Iiτi）=NXi=1τiπi（Pi+τi）。（2.5）制定其他目标函数并不困难，例如与经典破产概率、巴黎破产或保险公司的未来偿付能力和市场地位相关的目标函数。此外，可以在多个保险期间制定目标函数。由于保险业务的性质，有几个约束条件需要考虑，例如参见【14】和其中的参考文献。通常，最重要的业务约束与公司的战略和具体的保险市场有关。我们制定了以下几个重要约束条件：C1）预期保留水平@R应从下到下：虽然续期时的利润和溢价量很重要，但所有保险公司都有兴趣将大多数保单持有人保留在其投资组合中。因此，预期保留金水平通常有一个下限l ∈ 续订时为[0.7，1]。比如说l = 90%意味着不续签合同的客户的预期百分比不应超过10%。

在数学术语中，这被公式化为θrlevel（τ）=E{N*}N≥ l.（2.6）C2）一个简单的约束条件是要求续期保费P*i与“旧”i没有太大区别，即τiPi∈ [a，b]，τi∈ 【A，B】，1≤ 我≤ N（2.7），例如a=-5%，b=10%，A=-50，B=300。关税和保险费优化5其他一些约束条件，包括与声誉风险相关的约束条件、捆绑代理准备金水平的降低以及忠诚客户的流失，都可以类似地制定，因此将不予详细处理。2.2。实际设置。在保险实践中，还需要考虑优化本身的成本（精算和其他资源）。此外，由于续期时的保费总额很大，如果非最佳续期tari fff对当前tar fff有显著改善，则值得关注。因此，对于实际实施，我们需要重新定义目标函数。对于给定的正常数c，sayc=1′000，我们将（2.3）重新定义为qcvo l（τ，…，τN）：=cjE{V@R}/ck=cjNXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）/ck，（2.8），其中十、 表示小于x的最大整数。同样，我们重新定义（2.9）ascjV ar(V@R)/ck=cjNXi=1（Pi+τi）πi（Pi+τi）[1- πi（Pi+τi）]/ck。（2.9）最后，（2.5）可以写成qcdif（τ，…，τN）=cjNXi=1τiπi（Pi+τi）/ck。（2.10）出于实施目的和业务限制，可以假设τi是特定的给定数字。因此，对（2.7）的修正如下δi：=τiPi∈ 【a、b】∩ （c）-1Z），τi∈ 【A、B】∩ （cZ），1≤ 我≤ N、 （2.11）其中c>0，例如c=100。对目标函数和约束条件的此类修改表明，对于实际实施而言，所关注的优化问题没有唯一的最优解决方案。备注2.1。i） 在本文中，我们并不直接涉及分销渠道。

例如，如果有两项政策说第i项和第k项通过不同的分配渠道更新，那么可能会对每项政策适用不同的约束。此外，取消概率可能会有所不同，即使是在两个投保人具有相同风险的情况下。因此，为了允许不同的分销渠道，我们只需要调整约束条件并假设适当的取消模式。ii）从实用的角度来看，ψi是通过使用逻辑回归等方法估计的。随机情况下，客户在续约时获得的保费高于/低于其Pi，即τi是根据某些规定的分布函数随机选择的。将逻辑回归应用于所获得的数据（续约/不续约）可以解释在由捆绑代理主导的保险市场中，取消（或续约）的风险因素以及其他预测因素（社会地位等）的概率。这种方法很难应用。iii）不同的投保人可以在不同时期续保。这种情况包含在我们的上述假设中。iv）大多数tari ff，例如MTPL，由数百个系数组成（通常超过400个）。由于产品结构相似，advanced tari ff含有许多单个细胞，平均20万个。然而，这些塔里夫尔大多是空的。例如，生活在一个非常小的村庄里的一位90岁的女士为一辆法拉利投保了第三方物流风险，这是非常罕见的。考虑到这一点，通常情况下，实际优化问题中的相关数字N不超过50000。我们的算法和仿真方法对suchN非常有效。6宜州白、恩克列德·哈索瓦、吉尔达斯·拉托沃米里亚和马萨·塔姆拉兹3。