具有平均反射的BSDE

我们从这个引理推断，当生成元具有线性增长时，只要Z和K是平方可积的，过程Y就属于s。线性平均反射的特殊情况。在本节中，我们考虑平均反射为线性的更简单的特殊情况。即l : （t，y）7→ Y- UT使条件（6）替换为[Yt]≥ ut，0≤ T≤ T、 （8）其中u是从[0，T]到R的确定性连续映射。因此，我们在解的Y分量的期望值上引入了一个运行确定性下界u。此外，我们还记得，假设Hξ确保该约束在到期时得到满足，因此我们有[ξ]≥ uT。（9） 在这个线性框架中，当驱动因素不依赖于Y-norZ时，我们能够在命题4中构造一个具有线性平均反射（8）的B SDE的显式确定性fl-at解（Y，Z，K）。在对该确定性流量解决方案进行修改的基础上，我们展示了同一BSDE的有限数量的非确定性流量解决方案。这一特点是我们的主要动机，目的是只关注非确定性的fl-at解决方案，以确保具有平均反射的BSDE的适配性。事实上，命题3表明，唯一性在（5）-（8）的决定性解决方案类别中存在。此后，我们首先对解决方案进行优先级估计，然后分别解决唯一性和存在性问题。为了处理一般驾驶员，增强型演示依赖于牵引论证，但第3.4.3.1节还提供了通过启用的替代方法。先验估计。考虑线性损失函数的主要数学优势l 它允许使用与经典反射BSDE相关的一些计算技巧，尤其是当补偿器Kis更具有确定性时。

正如下面的证明所详述的那样，这使我们能够推导出具有线性平均反射的BSDE解决方案的以下a-prioriestimate。引理2。设（Y，Z，K）为BSDE（5）的确定性平方可积解，具有线性映射（8）。ThenE“sup0≤T≤T | Yt |+ZT | Zs | ds#+KT≤ C（λ，T）E“|ξ|+ZT | f（s，0，0）| ds#+kuk∞!.证据让我们回顾一下，f的Lipschitz性质意味着2y·f（t，y，z）≤ |f（t，0，0）|+| z|+1+2λ+2λ|y |，（y，z）∈ R×Rd.设置β：=1+2λ+2λ，其公式与之前的不等式一起提供了eβt | Yt |+ZTteβs | Zs | ds≤ eβT |ξ|+ZTeβs | f（s，0，0）| ds+2ZTEβsYsdKs- 2ZTteβsYsZs·dBs，适用于所有t∈ [0，T]。因为K是确定性的l 是线性的，我们计算2e“ZTteβsYsdKs#=2ZTteβsE[Ys]dKs=2ZTteβs（E[Ys]- 美国）dKs+2ZTteβsusdKs。此外，该解决方案是灵活的，因此条件（7）直接意味着2E“ZTteβsYsdKs#=2ZTteβsusdKs≤ 2eβTkuk∞千吨级。我们推断是0≤T≤TE公司eβt | Yt|+ E“中兴通讯βs | Zs | ds#≤ 3E“eβT |ξ|+中兴通讯βs | f（s，0，0）| ds#+2eβTkuk∞KT！，从中，我们得到，对于任何ε>0，sup0≤T≤TE公司|年初至今|+ E“ZT | Zs | ds#≤ C（λ，T，ε）E“|ξ|+ZT | f（s，0，0）| ds#+kuk∞!+ εKT。（10） 另一方面，由于K是确定性的，我们有KT=E[KT]=Y- E[ξ]- E“ZTf（s，Ys，Zs）ds#，由此导出不等式kt≤ C（λ，T）E“ZT | f（s，0，0）| ds#+sup0≤T≤TE公司|年初至今|+ E“ZT | Zs | ds#！。（11）将此估计值与（10）和足够小的ε相结合，我们得到sup0≤T≤TE公司|年初至今|+ E“ZT | Zs | ds#+| KT|≤ C（λ，T）E“|ξ|+ZT | f（s，0，0）| ds#+kuk∞!结果来自引理1.3.2。确定性FL at解决方案的唯一性。具有线性平均反射的BSDE的反射确定性解的唯一性主要来自与经典反射BSDE类似的论证。这将在下一个建议中详细介绍。提案3。具有线性平均偏差（8）的BSDE（5）最多有一个平方可积确定性偏差解。证据

让我们考虑两个这样的解（Y，Z，K）和（Y，Z，K），并表示δY：=Y- Y、 δZ：=Z- ZandδK：=K- K、 设置a：=2λ+2λ，如引理2中所述，它的公式给出了easilyeat |δYt |+ZTteas |δZs | ds≤ -2ZTteasδYsδZs·dBs+2ZTteasδYsdδKs，用于t∈ [0，T]。让我们观察一下，由于这两种解决方案都是灵活的、确定性的l 是线性的，我们精确地得到了“ZTteasδYtdδKs#=ZTteasE【Ys】- 我们-EYs公司- 我们dKs公司-ZTteas公司E【Ys】- 我们-EYs公司- 我们dKs=-ZTteas公司EYs公司- 我们dKs公司-ZTteas公司EYs公司- 我们dKs公司≤ 0，对于任何t∈ [0，T]。因此，通过在前面的不等式中取经验，得出结果。如下文备注6所述，考虑确定性K过程是获得感兴趣的BSDE的aunique解的关键。现在我们转向存在性属性。3.3。是否存在确定的流量解决方案。我们首先关注驱动因素f不依赖于Y或Z的特殊情况。在这个简单的情况下，我们能够明确构造具有线性平均反射的BSDE的唯一解。提案4。设C是s空间L中的s平方可积渐进可测随机过程或更一般的随机过程Ohm; L（0，T）. 具有线性平均反射Yt=ξ+ZTtCsds的BSDE-ZTtZs·dBs+KT- Kt，E[年]≥ ut，0≤ T≤ T、 （12）具有唯一的平方可积确定性FL at解决方案。证据设xt=E“ξ+ZTtCsds#。通过Skorokhod引理，存在唯一的一对确定性函数（y，K）：[0，T]→ R使得K是非递减的，K=0，我们有y=xt+KT- Kt，yt≥ ut，ZT（yt- ut）dKt=0。（13） 通过构造，观察K是连续的，Kt=sup0≤s≤T（xs- 美国）-- 支持≤s≤T（xs- 美国）-.现在，给定K，我们知道BSDEYt=ξ+ZTtCsds-ZTtZs·dBs+KT- Kt，0≤ T≤ T、 具有唯一的平方可积解（Y，Z）。再者，我们通过构造yt=E[yt]。从（13）可以看出，（Y，Z，K）是BSDE（12）的确定解。

唯一性来自命题3。备注6。让我们观察一下，具有平均反射（12）的BSDE具有有限多个随机K的flat解。让我们从命题4的证明中构造的（Y，Z，K）到（12）的确定性flat解开始。对于任何实α，让我们设置Mα：=（eαBt-αt/2）tand definekαt：=ZtMαSDK，0≤ T≤ T给定Kα，设（Yα，Zα）为BSDEYαt=ξ+ZTtCsds的解-ZTtZαs·dBs+KαT- Kαt，0≤ T≤ T、 对于所有0≤ T≤ T，由于E[MαT]=1且Kis是确定性的，我们有E[KαT]=kt，因此E[YαT]=E年初至今≥ ut。此外，由于E年初至今- ut=0 dK-a.e.，我们共同计算（e[Yαt]- ut）dKαt=ZTE年初至今- ut公司MαtdKt=0。因此，对于任何实α，（Yα，Zα，Kα）也是（12）的一个近似解。我们现在可以考虑一般驱动因素的情况，我们将通过对一个精心选择的收缩性质的经典使用，推导出感兴趣的BSDE的适定性。定理5。具有线性平均偏差（8）的BSDE（5）具有唯一的确定性平方积分偏差解决方案。证据对于给定流程U∈ 砂V∈ H、 设（Y，Z，K）为BSDEYt=ξ+ZTtf（s，Us，Vs）ds的确定性平方可积解-ZTtZs·dBs+KT- Kt，E[年]≥ ut，0≤ T≤ T，如提案4所述。让我们显示映射Φ：（U，V）7-→ （Y，Z），fr om S×Hintoitself，有一个唯一的固定点。为了这个目的，让我们分别表示（Y，Z，K）和（Y，Z，K）上述BSDE的两个确定性平方可积函数解（U，V）和（U，V）。

设置δY：=Y- Y、 δZ：=Z- Z、 δK：=K- K、 δU：=U- U、 δV：=V- 五、 对于a=4λ+1，其公式导致|δY |+ZTeas|δYs |+|δZs|ds公司≤ZTeas公司|δUs |+|δVs|ds公司- 2ZTeasδYsδZs·dBs+2ZTeasδYsdδKs。正如在命题4的证明中所观察到的，我们认为“ZTeasδYsdδKs#=-ZTeas公司EYs公司- 我们dKs公司-ZTeas公司EYs公司- 我们dKs公司≤ 0.它直接跟在E“ZTeas”后面|δYs |+|δZs|ds公司#≤E“ZTeas|δUs |+|δVs|ds#。因为我们有δYt=E“ZTtf（s、Us、Vs）- f（s、Us、Vs）ds公司英尺#+（KT- Kt）- （千吨- Kt），套件- 套件=支持≤s≤TE“ξ+ZTsfr、 Uir，Virdr公司#- 我们-,我们马上就可以sup0≤T≤T |δYt|≤ C E“ZT|δUs |+|δVs|ds#。作为副产品，Φ从S×hin到自身是连续的。此外，从（Y，Z）=（0，0）开始，设置n≥ 1，（Yn，Zn）=ΦYn公司-1，锌-1., 我们很容易从之前的估计中得出≤T≤TYn+1t- Ynt公司+ZT公司锌+1吨- Zntdt公司#≤ C 2-n、 最后，序列{（Yn，Zn）}n≥0在S×Hto中收敛到Φ3.4的唯一固定点。通过处罚的替代方法。为了处理经典反射的BSDE，一个非常有用的特征是将解表征为相应的惩罚经典BSDE的极限。这一想法仅仅依赖于对经典BSDE驱动因素添加astrong惩罚，只有当约束不满足时，该驱动才会激活。随着惩罚强度的增加，惩罚解的Y分量也会增加，并在反射BSDE的最小解极限处收敛。在我们的框架中，约束只集成了Y的分布，而没有集成过程Y的pointwis值。出于这个原因，任何比较论证都不能确保一系列受到惩罚的BSDE会增加，而经典的证明线会下降。

尽管如此，只要基准函数u为常数，我们就能够确定具有线性平均响应的BSDE的唯一确定性解，作为相应的McKean-Vlasov型惩罚BSDE的极限。这就是下一个建议的目的。提案6。假设基准（ut）是常数，也表示为u。对于任何正整数n，让我们考虑McKean-Vlasov typeYnt=ξ+ZTtf（s，Yns，Zns）ds+ZTtn（u）的BSDE的（Yn，Zn）解- E[Yns]+ds-ZTtZns·dBs。0≤ T≤ T，表示Kn：=R.n（u- E[Yns]+ds。当n趋于完整时，（Yn、Zn、Kn）收敛到BSDE（5）的唯一确定性解，并具有线性平均值（8）。证据首先观察溶液（Yn，Zn）的定义良好且唯一，根据【5】的结果，例如【7】中讨论的轻微修改。第1步。对序列（Yn，Zn，Kn）n进行统一的先验估计。由于Knis确定性，我们有2e“ZTteasYnsdKns#=2zttase[Yns]dKns=2ZTteas（E[Yns]- u） dKns+2ZTteasudKns=-2nZTteas（u- E[Yns]+ds+2ZTteasudKns≤ 2uZTteasdKns，对于任何常数a和t∈ [0，T]。因此，在引理2的证明中，我们对解（Yn，Zn）supn得到以下估计≥1E“sup0≤T≤T | Ynt |+ZT | Zns | ds |+| KnT |！≤ C（λ，T）E“|ξ|+ZT | f（s，0，0）| ds#+u！。步骤2.序列（Yn，Zn，Kn）n的收敛。由于约束满足，还可以观察到（（u- E[Yn]+）重写|（u- E[Yn]+|+2nZT |（u- E[Yns]+| ds=-2ZTE[f（s，Yns，Zns）]（u- E[Yns]+ds≤ nZT |（u- 根据之前的估计，E[Yns]+| ds+C（λ，T）n。因此，我们推断出NZT |（u- E[Yns]+| ds≤ C（λ，T）。（14） 现在我们研究序列（Yn，Zn）的收缩性质，并表示δX：=Xn+1- xnX=Y、Z或K。

设置a：=+2λ+2λ，基于其公式的标准计算提供了吃|δYt |+ZTteas|δYs |+|δZs|ds公司≤ 2ZTteasδYsdδKs- 2ZTteasδYsδZs·dBs，0≤ T≤ T、 从中我们推断出≤T≤TE“|δYt |+ZT|δYs |+|δZs|ds公司#≤ 2 sup0≤T≤TE“ZTteasδYsdδKs#.（15）对于任何s∈ [0，T]，表示vns：=（u- yns）+其中ynss代表E[yns]，我们有dKns=nvnsds和E“ZTteasδYsdδKs#=ZTteasyn+1s- yns公司（n+1）vn+1s- nvnsds，0≤ T≤ T、 此外，我们计算yn+1- yn公司（n+1）vn+1- nvn公司=（u）- yn）-U- yn+1）（n+1）vn+1- nvn公司≤ -n | vn |+（2n+1）vnvn+1- （n+1）| vn+1 |。但是，我们有-nx+（2n+1）xy- （n+1）y=-N十、-1+2nY+y4n，x，y∈ 因此，结合前面的估计和（14），我们推导出“ZTeasδYsdδKs#≤4nZT | vn+1s | ds≤C（λ，T）n。将此估计值插入（15）中，得出SUP0≤T≤TE公司|δYt|+ E“ZT|δYs |+|δZs|ds公司#≤C（λ，T）n.设置tKn=KnT- Kntand提醒Knis确定性，注意tKn+1- tKn=E[δYt]- E“ZTt（f（s，Yn+1s，Zn+1s）- f（s，Yns，Zns））ds#，由此推导出sup0≤T≤T型|tKn+1- tKn |≤C（λ，T）n.因为我们有δYt=EZTtFs、 Yn+1s，Zn+1s- f（s、Yns、Zns）ds公司英尺！+tKn+1- tKn，结合上述情况和伯克霍尔德·戴维斯·冈迪的不确定性，我们得出结论，（Yn，Zn，Kn）强烈收敛到一个极限（Y，Z，K），即“sup0≤T≤T | Ynt- Yt |+ZT | Zn- Zs | ds#+sup0≤T≤T | Knt- 千吨级|-→N→∞0、步骤3。极限（Y，Z，K）的性质。将（Yn，Zn，Kn）n的动力学传递到极限，注意（Y，Z，K）满足（5）。也可以观察到，通过构造，K是确定性的，K=0时不递减。此外，估算值（14）直接表明Zt |（u- E【Yt】+| dt=limn→∞ZT |（u- E【Ynt】+| dt=0，因此E【Yt】≥ u、 对于任何t∈ [0，T]。

最后，根据下面的引理7，由于（E[Yn]，Kn）在C（[0，T]）中收敛到（E[Y]，K），我们得到了limn→∞中兴通讯- u） +dKnt=ZT（E【Yt】- u） +dKt，另一方面，ZT（E[Ynt]- u） +dKnt=nZT（E[Ynt]- u） +（u- E[Ynt]+dt=0。因此，（Y，Z，K）是具有线性平均反射（8）的BSDE（5）的唯一确定解。我们现在通过证明一个相当基本的引理来完成论证，我们刚才在前面的证明中使用了这个引理。引理7。让（un）n≥1和（Kn）n≥（CT，|·）的两个收敛序列|∞). 我们假设，foreach n≥ 1，Knis nondecreating，我们用u和K表示（un）和（Kn）n的相应极限→∞Ztutdknt=ZTutdKt。证据对于任何分段常数函数h，我们有ztundskns-ZTusdKs=ZT[uns- 美国]dKns+ZT[美国]- hs]dKns+ZThsdKns-ZThsdKs+ZT[hs- 我们]dKs，从中我们推断ZTunsdKns-ZTusdKs公司≤ |联合国- u型|∞|千牛|∞+ |U- h类|∞（| Kn|∞+ |K级|∞)+ZThsdKns公司-ZThsdKs公司.因为h是分段常数，我们有limn→∞ZThsdKns=ZThsdKs和lim supZTunsdKns-ZTusdKs公司≤ 2 | u- h类|∞|K级|∞,由此得到了[0，T]上的分段常数函数在（CT，|·）中稠密的结果|∞).4、具有一般平均反射的BSDE。现在我们转到一般情况，其中x 7-→ l（t，ω，x）是非必要线性的。我们记得我们在假设（Hξ）-（Hf）-（H）下工作l) 见第2节。本着与前一篇文章中所述方法相同的精神，我们首先明确构建一个解决方案，只要驱动程序不依赖于Y或Z，然后通过Picard收缩公式处理一般情况。在非线性情况下，显式解的构造不太自然，并且在很大程度上依赖于以下运算符的使用：Lt:L（FT）→ [0，∞)X 7→ inf{x≥ 0:E[l（t，x+x）]≥ 0}，定义为任何t∈ [0，T]。

自从l 在单位和E处呈线性增长[l（t，∞)] > 0，LTI定义良好。也就是说，Lt（X）表示最小的确定性强度，其中必须向上推随机变量X，以满足时间t的相关结构。在之前的线性情况下l : （t，x）7→ 十、- 我们只需要显式地得到Lt:X 7→ （E[X]- ut）-.我们首先关注恒定驱动因素的情况，然后才能处理一般情况。对于最后一个框架，需要运算符L的Lipschitz属性。4.1。恒定驱动器箱。在本节中，我们将演示在恒定驱动程序情况下感兴趣的BSDE的适定性。如上所述，为了构建此类BSDE的解决方案，操作符L扮演着重要角色。提案8。设C是s空间L中的s平方可积渐进可测随机过程或更一般的随机过程Ohm; L（0，T）.然后，平均反射y=ξ+ZTtCsds的BSDE-ZTtZs·dBs+KT- Kt，E[l（t，Yt）]≥ 0，0≤ T≤ T、 （16）具有唯一的平方可积确定性FL at解决方案。证据我们分别推导了其存在性和唯一性性质。第1步。存在为了求解（16），让我们定义ψt：=Lt（Xt），其中Xt=Etξ+ZTtCsds！，0≤ T≤ T自从l 在空间中是连续的，请注意[l （t，Xt+ψt）]≥ 0，0≤ T≤ T（17） 现在让我们证明ψ是连续的。观察地图x 7-→ E类[l（t，x+x）]是连续且严格增加的。如果E[l（t，Xt）]≤ 0，自l 是连续的，具有线性增长，对于anyx<Lt（Xt）<y，一个haslims→tE公司[l（s，x+Xs）]=E[l（t，x+Xt）]<0=E[l（t，Lt（Xt）+Xt）]<E[l（t，y+Xt）]=lims→tE公司[l（s，y+Xs）]。那么，如果| s- t |是小e nough，e[l（s，x+Xs）]<0，E[l（s，y+Xs）]>0和x≤ Ls（Xs）≤ y、 如果E[l（t，Xt）]>0，Lt（Xt）=0，和lims→tE公司[l（s，Xs）]=E[l（t，Xt）]>0。

如果| s- t |足够小，E[l（s，Xs）]>0且Ls（Xs）=0。我们现在可以定义连续过程K byKt：=sup0≤s≤Tψs- 支持≤s≤Tψs，所以KT- Kt=支持≤s≤Tψs，0≤ T≤ T观察K是确定性的，K=0时不递减。给定这个过程K，让（Y，Z）是经典BSDE的唯一解，动力学为（16）。然后，从x 7开始-→ l（t，x）是不变的，我们从（17）中推断出[l（t，Yt）]=E[l （t，Xt+KT- Kt）]=Elt、 Xt+支持≤s≤Tψs≥ E类[l （t，Xt+ψt）]≥ 因此，（Y，Z，K）是具有弱反射的BSDE的确定解（16）。现在让我们验证一下它是否也是FLAT。通过定义K，观察支持≤s≤Tψs=ψtdKt-a.e.和ψT=0=0 dKt-a.e.因此，通过（18），我们计算[l（t，Yt）]dKt=中兴通讯[l（t，Xt+ψt）]dKt=中兴通讯[l（t，Xt+ψt）]1ψt>0dKt。此外，自l 在spa c e中是连续的，我们有e[l（t，Xt+ψt）]=当ψt>0时，则中兴通讯[l（t，Xt+ψt）]1ψt>0dKt=0，且（Y，Z，K）是一种浮液。第2步。独特性。设（Y，Z，K）和（Y，Z，K）是BSDE的两个确定性解，具有平均反射（16）。我们朝着一个相反的方向努力，假设存在这样的t- Kt>Kt- 千吨级。在Tsch该KT之后的第一次t设置tas- Kt=Kt- Kt，我们观察到Kt- Kt>Kt- Kt，t≤ t<t.自l 严格来说，这意味着[l（t，Xt+KT- Kt）]>E[l（t，Xt+KT）- Kt）]≥ 0，t≤ t<t.但（Y，Z，K）是一个fl-s解，此处为[l（t，Xt+KT- Kt）]dKt=0，因此我们必须在区间[t，t]上有dK=0。我们推断出- Kt=Kt- Kt>Kt- 千吨级≥ 千吨级- Kt，这与t的定义相矛盾。因此K=K，经典BSDE解的唯一性直接意味着（Y，Z，K）与（Y，Z，K）重合。4.2。一般情况下的存在性和唯一性。既然已经建立了常数驱动的适定性，那么我们可以将重点放在具有完全通用性的均值波动（6）的BSDE（5）上。