具有平均反射的BSDE

为了很好地定义解，我们将要求运算符L的Lipschitz性质，我们在以下附加假设中给出：（HL）运算符Ltis Lipschitz c对于L-范数是连续的，在时间上是一致的：通常存在常数c≥ 0，以便| Lt（X）- Lt（Y）|≤ C E[| X- Y |]，0≤ T≤ T、X、Y∈ L（英尺）。我们现在可以在论文的结果中陈述ma，提供BSDE的良好姿势和平均反射。定理9。除了运行假设（Hξ）-（Hf）-（Hl), 此外，我们假设（HL）是满足的。然后，存在唯一的确定性FL解决方案（Y、Z、K）∈ S×H×Ad至BSDE（5），平均反射（6）。证据让我们用σ来考虑时间间隔[0，T]中的σ和τ≤ τ。给定Yτ∈ L（Fτ），{Ut}σ≤T≤τ∈ 砂{Vt}σ≤T≤τ∈ H、 命题8确保过程{（Yt，Zt，Rt）}σ的一个定理的存在≤T≤平均反射t=Yτ+Zτtf（s，Us，Vs）ds的BSDEτ解-ZτtZs·dBs+Rt，σ≤ T≤ τ、 E类[l（t，Yt）]≥ 0，σ≤ T≤ τ、 ZτσE[l（t，Yt）]dRt=0，其中我们方便地表示R.=Kτ- K在该设置中，R为非增量，Rτ=0，f Rσ≤ T≤ τ、 Rt=支持≤s≤τLs（Xs），其中Xt=EYτ+Zτtf（s，Us，Vs）ds英尺.

（19） 设（Y′，Z′，R′）是与（U′，V′）和相同Yτ相关的解。用通常的符号，我们有δYt=EZτt[f（s，Us，Vs）- f（s，U′s，V′s）]ds英尺+ δRt，σ≤ T≤ τ、 从中我们可以立即推断，因为f被假定为L ips chitz，所以supσ≤T≤τ|δYt|≤ C（λ）E“Zτσ（|δUs |+|δVs |）ds#+ supσ≤T≤τ|δRt |。此外，由于（HL）成立，我们从r e表示式（19）和δYτ=0以及f的Lipschitzproperty推断，对于σ≤ T≤ τ、 |δRt |≤支持≤s≤τLs（Xs）- 支持≤s≤τLs（X′s）≤ 支持≤s≤τLs（Xs）- Ls（X′s）|≤ 支持≤s≤τE[|δXs |]≤ C（λ）EZτσ（|δUs |+|δVs |）ds.结合前面的估计和Cauchy-Schwartz不等式，我们推导出supσ≤T≤τ|δYt|≤ C（λ）E“Zτσ（|δUs |+|δVs |）ds#,写入zτσδZs·dBs=δYτ- δYσ+δRτ- δRσ+Zτσ[f（s，Us，Vs）- f（s、U’s、V’s）]dswe最终拥有supσ≤T≤τ|δYt |+Zτσ|δZs | ds≤ C（λ）E“Zτσ（|δUs |+|δVs |）ds#,≤ C（λ）（τ）- σ） 最大值（1，τ- σ） E类supσ≤T≤τ|δUt |+Zτσ|δVs | ds. （20） 当然，这个不等式表明，当误差足够小时，具有平均误差（6）的BSDE（5）有唯一的解。为了涵盖一般情况，让我们选择n≥ 使C（λ）min（T，T）/n<1。对于i=0，n、 让我们设置Ti：=输入/输出。从间隔开始[Tn-1，Tn]和YTn=ξ，let，对于i=n，1，（Yi，Zi，Ri）BSDE的唯一解决方案，平均反射it=Yi+1Ti+ZTitfs、 Yis，Zisds公司-Ztizis·dBs+Rit，Elt、 Yit公司≥ 0 Ti-1.≤ T≤ Ti、ZTiTi-1E级lt、 Yit公司dRit=0，Ric连续且在[Ti]上不增加-1，Ti]，RiTi=0。让我们通过设置Y=Y（T）+nXi=1Yit]Ti来定义[0，T]上的（Y，Z，R）-1，Ti]（t），Zt=nXi=1Zit]Ti-1，Ti[（t），Rt=Rnton[Tn-1，Tn]和，对于i=n- 1.1，Rt=Rit+RTion[Ti-1，Ti]。由于RiTi=0，R是连续的且不增加。最后，让我们定义Kt=R- Rt获取K=0的非递减连续函数。

因为RT=0，KT=Rand RT=KT- 千吨级。很明显，可以检查（Y，Z，K）是否是具有平均反射（6）的BSDE（5）的解决方案。唯一性源于每个小区间上的唯一性。值得注意的是，先前的假设（HL）在l 是x中的abi-Lipschitz函数。更准确地说，我们考虑以下替代假设l:（Hbl) 损失函数l : Ohm ×【0，T】×R-→ R是关于FT×B（[0，T]）×B（R）的可测映射，存在0<cl≤ CLS，P-a.s.，1。Y∈ R、 t 7-→ l（t，y）是连续的，2。T∈ [0，T]，y 7-→ l（t，y）严格递增，3。T∈ [0，T]，Y∈ R|l（t，y）|≤ Cl（1+| y |）。4。T∈ [0，T]，cl|十、- y |≤ |l（t，x）- l（t，y）|≤ Cl|十、- y |，x，y∈ R，（21）引理10。假设（Hbl). 然后两个假设（Hl) 和（HL）保持。证据首先观察（Hbl) 直接意味着（Hl) 保持。立即修复t∈ [0，T]，设X和Y为L（FT）中的两个随机变量。自从l 是非递减的，则（21）的下界给出lt、 Lt（X）+ClClE[| X- Y |]+Y≥ ClClClE[| X- Y |]+l（t，Lt（X）+Y），使用上界我们得到l（t，Lt（X）+Y）≥ l（t，Lt（X）+X）- Cl | X- Y |，从中可以看出lt、 Lt（X）+ClClE[| X- Y |]+Y≥ l （t，Lt（X）+X）- Cl | X- Y |+ClE[| X- Y |]自E起[l（t，X+Lt（X））]≥ 0，我们通过取前面不等式e的期望值得到lt、 Lt（X）+ClClE[| X- Y |]+Y≥ 0、通过对Lt（Y）的定义，这直接意味着Lt（Y）≤ Lt（X）+ClClE[| X- Y |]。根据X和Y的对称性，我们得出结论| Lt（X）- Lt（Y）|≤ClClE[| X- Y |]。作为副产品，我们有以下结果。推论11。Let（Hξ），（Hf）和（Hbl) 持有然后，存在一个唯一的确定性fl-at解（Y，Z，K）∈ S×H×Ad对BSDE（5）的平均反射（6）。

确定性fl-at解决方案的最小值。让我们回顾一下，对于经典反射BSDE，Skorokhod条件确保了反射BSDE的所有超解类中增强解的最小性。通过极小化，我们将解决方案的Y-c组成部分定义为极小化。斯科罗霍德条件表明，只有当条件具有约束力时，即仅当确实需要时，补偿器K才会推送解决方案。本着这一精神，我们在本文中选择寻求平均反射满足相应反射条件（7）的BSDE解决方案。现在，已经确定了BSDE（5）的唯一确定性FL解决方案（6）的存在性，因此很自然地会想，该FL条件（7）是否也意味着所有确定性解决方案的最小值。由于约束是按预期而不是按点给出的，因此不明显的是，只有时间t处的条件才能确定在时间t处应用于解的最小向上踢。在驱动函数f结构的附加假设下，我们能够验证这种最小属性确实是可满足的。定理12。假设驱动函数f的形式为：（t，y，z）7→ aty+h（t，z），（22），其中a是确定性和有界可测函数。如果l 严格来说，在所有确定性解中，确定性解（Y、Z、K）是最小的。证据设（Y，Z，K）为确定性解，（Y′，Z′，K′）为任意确定性解。我们想证明Y≤ Y′。我们将重点放在驾驶员不依赖Yan的特定情况下，然后处理f由（22）给出的一般情况。第1步。

f（t，z）形式的驱动器。由于驱动器功能f不依赖于y，因此过程（y-（千吨-K） ，Z）和（Y′）-（K′T-K′），Z′）都是同一经典BSDE的解，我们推导出- （千吨- Kt）=Y′t- （K′T- K′t），0≤ T≤ T（23）特此证明≤ Y′归结为显示KT- K≤ K′T- K′。我们朝着一个矛盾的方向努力，假设t<t的存在使得kt- Kt>K′T- K′t.让t第一次这样，KT- K≥ K′T- K′。。显然这是一个比t小的确定时间，通过K和K′的连续性，我们得到了KT- Kt=K′T- K′tandKT- Kt>K′T- K′t，t≤ t<t.（24）我们从（23）推导出Y>Y′，在[t，t]上，以及l 暗示[l（t，Yt）]>E[l（t，Y′t）]≥ 0，t≤ T≤ t、 由于Y是一个fl-at解决方案，我们有[l（Ys）]dKs=0，我们推断dKt=0，对于t∈ [t，t）。因此，K′t- K′t<KT- Kt=Kt- Kt=K′T- K′t这是一个矛盾，因为K′必须是非退化的。第2步。表单驱动程序（22）。让我们表示At：=0的Rtasds≤ T≤ T通过以下转换▄Yt=eAtYt，▄Zt=eAtZt，▄Kt=eAtKt，我们很容易验证（▄Y，▄Z，▄K）是BSDE的一个确定解，其平均反射与参数▄ξ=eATξ，▄f（t，Z）=eAtf（t，e）相关-Atz）和▄l（t，y）=l（t，e-Aty）。根据前面的步骤，Y在确定性解类中是最小的，并且Y通过一个简单的参数继承了这个属性。备注7。作为一个副产品，该证明提供了一个替代论点，以推导出BSDE的确定解的唯一性，以及形式（22）的平均反射和驱动力。事实上，这是命题8中关于恒定驱动力情况的proo f的一般化。我们现在展示一个示例，表明如果我们允许K是随机的，则不存在具有平均反射的BSDE的最小反射解。

这一论点加强了我们的选择，即在本文中只关注所谓的确定性解决方案。对于这种情况，让我们考虑平均反射Yt=ξ的BSDE-ZTtγds-ZTtZs·dBs+KT- Kt，0≤ T≤ T、 E[年]≥ u、 0个≤ T≤ T、 中兴通讯（E【Yt】- u） dKt=0，γ>0，终端条件ξ使得u<E[ξ]<u+γT。如第3节所述，BSDE的确定性流量解由Yt=E（ξ| Ft）给出- γ（T- t） +（E[ξ]- γ（T- t）- u）-,和Kt=γ（t∧ T*), 我们选择t的地方*验证[ξ]- γ（T- T*) = u、 从上一个解开始，对于α∈ R、 we se tMαt：=经验值αBt- αt/2和Kαt：=ZtMαsdKs，0≤ T≤ T给定Kα，设（Yα，Zα）为经典BSDEYαt=ξ的解-ZTtγds-ZTtZαsdBs+KαT- Kαt，0≤ T≤ T、 那么（Yα，Zα，Kα）仍然是反映B SDE的反解，见第3节备注6。让我们假设存在一个最小解（\'Y，\'Z，\'K），并考虑一个矛盾。我们有≤ Yαt=Et（ξ）- γ（T- t） +EtZTtMαSDK！=Et（ξ）- γ（T- t） +Mαt（KT- Kt），对于t>0。作为副产品，将α发送到+∞, 我们推断≤ Et（ξ）- γ（T- t） 对于t>0，尤其是t>0，E“”年初至今≤ E[ξ]- γ（T- t） 。自E[ξ]- γT<u，对于足够小的T>0，E“”年初至今< u、 约束条件不满足，我们得到了一个矛盾。6、推广应用。将Y解释为投资组合的价值，约束条件（6）在任何日期都会影响Yt的分布，从时间0开始。到目前为止，我们考虑的约束形式是损失函数的期望。从财务角度来看，投资者可能需要控制任何可接受投资组合的风险。为了衡量投资组合的潜在风险，数学金融文献中的自然工具是所谓的风险衡量，参见例[1]。

在本节中，我们强调了我们的研究框架如何允许包含此类运行静态风险度量约束。然后，我们给出了在给定运行风险度量约束下对索赔进行超级套期保值问题的一个应用。6.1。具有风险度量反映的BSDE。对于固定t，静态风险度量是映射ρ（t，.）：L（英尺）-→ R满足ρ（t，0）=0且o单调性：X≤ Y型==> ρ（t，X）≥ ρ（t，Y），对于X，Y∈ L（英尺）；o平移不变性：ρ（t，X+m）=ρ（t，X）- m、 对于X∈ L（Ft）和m∈ R因此，对于给定的t∈ [0，T]，ρ（T，X）是一个实数，用于测量与财富随机变量X相关的风险。风险度量可以类似地以所谓的接受集为特征，其定义为ρ={X∈ L（Ft）：ρ（t，X）≤ 0}。同样，给定一个集，可以通过设置ρ（t，X）=inf{m来确定静态风险度量∈ R：m+X∈ 在}，因此验收设置为，风险度量ρ（t，.）共享一对一通信。用于收集静态风险度量（ρ（t，.））t、 财富过程Y在满足ρ（t，Yt）后，将被视为在我们的框架内可接受≤ qt，0≤ T≤ T，（25），其中q是给定的时间索引确定性基准。例如，ρ的风险度量工具不能简单地依赖于时间，而可以通过收紧或放松约束，将其与随时间变化的确定性基准q进行比较。现在，我们期待BSDE的解决方案受到附加约束（25）。本着与上述相同的精神，此类BSDE的流量解决方案将需要满足YZT【qt- ρ（t，Yt）]dKt=0。（26）下一个定理表明，我们能够在形式（25）的风险度量约束下考虑BSDE，其方式类似于前几节中开发的方式。定理13。

设ρ（t，）：[0，T]×L-→ R是单调和平移不变风险度量的集合，它们在空间中与t ime和Lipschitz连续，即|ρ（t，X）- ρ（t，Y）|≤ CE[| X- Y |]，0≤ T≤ T、X、Y∈ L（英尺）。如果我们还得到一个连续的确定性基准q和ξ满足ρ（T，ξ）≤ qT，然后是“具有风险度量反映的BSDE”Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZs·dBs+KT- Kt，0≤ T≤ Tρ（T，Yt）≤ qt，0≤ T≤ T、 ZT[夸脱- ρ（t，Yt）]dKt=0。允许使用唯一的确定性流量解决方案。此外，如果f满足（22），则确定性解在所有确定性解中是最小的。证据推理简单地遵循命题8、定理9和定理12的论点。主要区别在于，map LTI被风险度量ρ（t，.）- qt，对于任何t∈ [0，T]。此外，平移不变性可以方便地取代l 在校样中。本文中考虑的典型示例是ρ（t，X）=sup{EQ形式的一致风险度量[-十] ：Q∈ Qt}，其中Qt是一组绝对连续的概率w.r.t.P。一旦概率变化密度集有界，ρ（t，）就是Lipschitz。这是经典预期空降风险度量的特殊情况，定义为ρESα（t，X）：=αtZαtV aRs（X）ds，其中αt∈ （0，1）表示给定的精度水平，V是s级的风险值。实际上，预期的短缺（或AVaR）也会这样改写ρESα（t，X）=sup均衡器[-十] ：dQdP≤αt.6.2。应用于风险约束下的超级套期保值。我们现在研究数学金融中的一个应用，并考虑一个股票市场，该市场具有确定利率r的ABND和动态St=St（utdt+σtdBt），0≤ T≤ T，其中漂移u和波动率σ是平方可积的可预测过程。

我们假设σtσ′t- εI 对于ε>0的部分，为确保市场的完整性，为0。对于给定的初始资本x，我们考虑由消费投资策略（π，K）驱动的投资组合Xx，π，K，以及由dxx，π，Kt=Xx，π，Kt给出的动力学rtdt+（ut- rt1）′πtdStSt- dKt，=rtXx，π，Ktdt+（ut- rt1）′πtdt+π′tσtdBt- dKt，0≤ T≤ T使用此类投资组合，金融工程师愿意对冲可能非马尔可夫索赔ξ∈ L（英尺）。出于监管目的，其金融机构的风险管理部门对其可接受的投资策略类别进行了限制。Na mely，投资组合财富过程Xx，π，k被认为是可容许的，当且仅当它满足以下约束：ρesα（t，Xx，π，Kt）≤ qt，0≤ T≤ T，其中（α，q）是确定性分位数和水平基准的时间索引集合。例如，这些基准可以这样选择，即当我们接近成熟度T时，约束变得更紧或更弱。在这种情况下，谨慎的投资者正在寻找超级对冲价格y=inf{x∈ R（π，K）∈ A，s.t.Xx，π，KT≥ ξ和ρESα（t，Xt）≤ qt， T∈ [0，T]}，以及相关的消费投资策略。应用本文的结果，我们推断，如果投资者局限于确定性消费策略，则可以很好地将其定义为以下BSDE的唯一确定性风险解决方案的起点，风险度量为：ξ+ZTtrtXx，π，Ktdt+（ut- rt1）′σ-1tZtds公司-ZTtZs·dBs+KT- Kt，0≤ T≤ T、 ρESα（T，Yt）≤ qt，0≤ T≤ T、 ZT[夸脱- ρESα（t，Yt）]dKt=0。实际上，驱动函数满足（22），因此在所有确定性解中，flat解是最小的。参考文献。[1] Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999），《风险的一致性度量》，数学。《金融》，9（3），203-228。[2] Bouchard，B.，Elie，R.，和Réveillac，A。

（2015），具有弱终端条件的BSDE，Ann。概率。，43（2），57 2-604。[3] Buckdahn R.和Hu，Y.（1998），《美国或有权益的跳跃股票价格定价和cons培训的投资组合》，数学。操作。第23（1）号决议，177-203页。[4] Buckdahn R.和Hu，Y.（199 8），《不完全市场中大型投资者的对冲未定权益》，Adv.in Appl。概率。3 0（1），239-255。[5] Buckdahn，R.，Li，J.，和Peng，S.（2009），平均场反向随机微分方程和相关偏微分方程，随机过程。应用程序。，119（10），3133-3154。[6] Chassagneux，J.F.、Elie，R.和Kharroubi，I.（2011），关于多维反射BSDE解的存在性和唯一性的说明，电子。Comm.Probab。，16、120-128。[7] Chaudru de Raynal，P.-E.和Garcia Trillos，C.A.（2015），一种基于容积的算法，用于求解解耦的McKean-Vlasov前向后随机微分方程，随机过程。应用程序。，125（6），2 206-2255。[8] Cvitani'c，J.，和Karatzas，I.（1996），《带反射和Dynkin对策的倒向随机微分方程》，Ann。概率。，2024年至2056年，第24（4）条。[9] Cvitani'c，J.、Karatzas，I.和Soner，H.M.（1998），《收益过程的反向随机微分方程》，Ann。概率。，26（4），1522-1551年。[10] El Karoui，N.、Kapoudjian，C.、Pardoux，E.、Peng，S.和Quenez，M.C.（1997），《反向SDE的反射解》，以及PDE的相关障碍问题，Ann。概率。，25（2），702-737。[11] El Karoui，N.、Peng，S.和Quenez，M.C.（1997），《金融、数学中的反向随机微分方程》。《金融》，7（1），1-71。[12] Hamadene，S.，和Jeanblanc，M.（2007），关于启动和停止问题：可逆投资中的应用，数学。操作。第32（1）号决议，182-192页。[13] Hamadene，S.，和Zhang，J.（2010），《倒向倒向系统的切换问题和相关系统》，随机过程。