具有平均反射的BSDE

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英文标题：
《BSDEs with mean reflection》
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作者：
Philippe Briand (LAMA), Romuald Elie (LAMA), Ying Hu (IRMAR)
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we study a new type of BSDE, where the distribution of the Y-component of the solution is required to satisfy an additional constraint, written in terms of the expectation of a loss function. This constraint is imposed at any deterministic time t and is typically weaker than the classical pointwise one associated to reflected BSDEs. Focusing on solutions (Y, Z, K) with deterministic K, we obtain the well-posedness of such equation, in the presence of a natural Skorokhod type condition. Such condition indeed ensures the minimality of the enhanced solution, under an additional structural condition on the driver. Our results extend to the more general framework where the constraint is written in terms of a static risk measure on Y. In particular, we provide an application to the super hedging of claims under running risk management constraint.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了一种新型的BSDE，其中要求解的Y分量的分布满足一个附加约束，该约束是根据损失函数的期望编写的。该约束在任何确定性时间t施加，并且通常比与反射BSDE相关的经典逐点约束弱。重点讨论了具有确定性K的解（Y，Z，K），在自然Skorokhod型条件下，我们得到了这类方程的适定性。在驾驶员的附加结构条件下，这种条件确实确保了增强型解决方案的最小化。我们的结果扩展到更一般的框架，其中约束是根据Y上的静态风险度量编写的。特别是，我们提供了一个应用程序，用于运行风险管理约束下的索赔超级套期保值。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：BSDE SDE Applications Differential distribution

具有平均反射的BSDE Philippe Briand*Romuald Elie+Ying Hu2018年10月20日摘要在本文中，我们研究了一种新型的BSDE，其中要求解的Y分量的d分布满足一个额外的约束，即损失函数的期望。该约束在任何确定性时间t施加，通常比与反射BSDE相关的经典逐点约束更弱。重点讨论了具有确定性K的解（Y，Z，K），我们得到了这类方程在自然Korokhod型条件下的适定性。在驾驶员的附加结构条件下，这种条件确实确保了增强型解决方案的最小化。我们的结果扩展到更一般的框架，其中约束是根据Y上的静态风险度量来编写的。特别地，我们提供了一个在运行风险管理约束下的索赔超级套期保值的应用。1、介绍。Pardoux和Peng【15】引入了反向随机微分方程（BSDE），并与随机控制问题有着密切的联系。求解BSDE通常包括以下动力学的自适应耦合过程（Y，Z）的附加条件：Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZs·dBs，0≤ T≤ T在他们的开创性论文中，Pardoux和Peng给出了该方程在给定平方可积终端条件ξ和Lipschitz-rando m驱动因子f下唯一解（Y，Z）的存在性。从那时起，在多个方向上导出了许多扩展。例如，驾驶员的规律性可能会减弱。

潜在的动态可能相当复杂，例如通过添加跳跃。这些扩展特别允许为一大类随机控制问题提供解决方案的表示，并处理数学金融中的几个有意义的应用。更有趣的是，对感兴趣的随机控制问题附加条件的考虑自然会导致对约束BSDE的考虑。在这种情况下，应变BSDE的解包含额外的自适应递增过程ss K，使得（Y，Z，K）满足度Y=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds-ZTtZs·dBs+KT- Kt，0≤ T≤ T、 （1）以及对解决方案的选定约束。由于附加约束，流程K解释为价值流程Y上的额外成本。在这样一个框架下，这个等式允许*法国拉卡布尔杰大学科学校区萨伏伊大学数学与材料实验室CNR 5127，邮编73376（philippe。briand@univ-萨沃伊。fr）+LAMA U MR CNRS 8050，巴黎科技大学和普罗杰特数学风险研究所，法国马恩河畔尚普（romuald）ENPC-INRIA-UMLV。elie@univ-mlv。fr）。研究部分由ANR拨款利基里斯克（LIQUIRISK）和金融与可持续发展委员会（Finance and Sustainable Development）主席支持IRMAR UMR CNRS 6625，法国雷恩塞德斯35042号Beaulieu校区雷恩大学1号（ying。hu@univrennes1.fr)，部分由Lebesgue数学中心（“avenir投资”项目-ANR-11-LABX0020-01和ANR-15-CE05-0024-02支持。解决方案的数量，因为Y和K的作用联系太紧密。潜在的随机控制问题通常表明，人们应该寻找此类方程的最小解（根据Y）。El Karoui et al。

[10] 引入了反射BSDE的概念，其中约束为formYt≥ Lt，0≤ T≤ T、 障碍过程L是解Y的一个下界，如果选择立即停止，则解释为奖励支付。值得注意的是，最小解（Y，Z，K）完全由以下所谓的Skorokhod条件zt（Yt）表征- Lt）+dKt=0。这个条件直观地表明，只要约束绑定，就只允许进程K推送值进程Y。在最近的文献中，受约束的BSDE类已显著扩大。零和Dynkin博弈问题的解决导致Cvitanic和Karatzas【8】研究了双重反射BSDE，其中过程Y位于两个过程之间。考虑到允许的投资组合被限制为属于c凸集c的超级套期保值问题（例如，对于无卖空约束，c=R+），Buckdahn和Hu[3，4]以及Cvitanic等人[9]研究了BSDE（1）的适定性以及约束：Zt∈ C、 对于t∈ [0，T]。通常，Peng和Xu【16】共同考虑了形式为Д（t，Yt，Zt）的逐点约束≥ 0，其中Д在y中不递减。对最优切换问题的研究[12、13、14、6]导致了对具有斜反射的BSDE多维系统的考虑。与前面提到的对解的逐点约束不同，Bouchard等人[2]引入了具有弱终端条件的BSDE的概念。在他们的框架中，终端条件被Random变量YTand的分布约束所替代，通常会重写[l（年初至今）- ξ） ]≥ 0、术语l（XT）- ξ） 根据Yt和目标ξ之间的距离确定损失的质量。

这种类型的BSDE尤其与分位数对冲或相关的受控损失控制问题有关。本文的目的是通过研究BSDE（1）和运行约束，以确定这种类型约束的动态版本的影响，以期[l（t，Yt）]≥ 0, 0≤ T≤ T、 （2）其中(l（t，））0≤T≤这是一组非递减的可能随机函数。值得注意的是，之前的运行约束仅适用于确定性时间t∈ [0，T]。本着上述针对反射BSDE的Skorokhod条件的精神，我们寻求所谓的FL解决方案，即满足额外条件ZTE[l（t，Yt）]dKt=0。（3） 当K是随机的时，我们发现系统（1）-（2）的最小连续（Y）解的构造一般是不可能的。因此，我们重点研究具有确定性K分量的解（Y，Z，K）的导数。无论何时l 是确定性线性的，我们为系统（1）-（2）-（3）提供了唯一解的显式构造。对于一般损失函数，我们还能够在满足的温和假设下，例如在任何时候，对系统（1）-（2）-（3）的稳定性进行排序l 是bi Lipschitz。此外，我们将条件（3）限制为在z上具有任何依赖性但在y上具有确定性线性依赖性的驱动因素，以验证在所有考虑的具有平均反射（2）的B SDE（1）的解中，条件（3）确保了增强解在y上的最小性。就应用而言，值得注意的是，约束（2）可以很容易地用ρ（t，Yt）形式的更一般版本来代替≤ qt，0≤ T≤ T，（4）式中（ρ（T，.））这是静态风险度量的时间索引集合，以及与基准级别相关的（qt）皮重。

这个框架实际上是本文的主要动机，但为了清晰和简单，我们选择在约束条件（2）中提出我们的主要论点。在本文的最后一节中，我们特别详细介绍了债权超级复制的应用，限制了投资组合满足形式（4）的风险管理约束。本文的组织结构如下：第2节提出了感兴趣的问题，澄清了假设，并讨论了pap e r的主要结果。在第3节中，我们构建了系统（1）-（2）-（3）的唯一解决方案，无论何时l 是线性和确定性的。第4节讨论了一般情况，其中我们证明了系统（1）-（2）-（3）的适定性。增强解决方案的最小值在第5节中讨论，而数学金融应用在第6节中给出。标记。在本文中，我们给出了一个有限的视界T和一个完整的概率空间(Ohm, F、 P）赋予d维标准布朗运动B=（Bt）0≥T≤T、 我们将使用B{Ft}0的通常增强过滤比n≤T≤T、 任意元素x∈ rD将被识别为具有i-thcomponent xind Euclidian或m | x |的列向量。Ct表示从[0，T]到R的连续函数集C（[0，T]，R）。对于给定的一组参数α，C（α）w将表示一个常数，仅取决于这些参数，并且可能会随着行的变化而变化。最后，我们经典地表示为：oL（Ft）实值Ft可测平方可积随机变量集，对于任何t∈ [0，T]。o实值F-适应连续过程集Y o on[0，T]这样的k s：=Esup0≤R≤T |年|< ∞;o h可预测Rd值过程集e s Z s.t.k ZkH：=EhRT | Zr | dri<∞;o Ais非减量过程s K=（Kt）0的Sconsisting的闭子集≤T≤Twith K=0；oAd A.2中确定性元素的子集。

问题设置。2.1。BSDE和平均反射的表示。本文的主要目的是构造以下BSDEYt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds的解（Y，Z，K）-ZTtZs·dBs+KT- Kt，0≤ T≤ T、 （5）E[l（t，Yt）]≥ 0，0≤ T≤ T、 （6）其中，第二个方程是一个运行约束，期望对方程的组成部分Y进行约束。与经典的反射BSDE不同，其中（6）通常是点方向约束，此处考虑的约束涉及Y分量的分布。我们将这种新型约束方程固定为具有平均反射的BSDE。非递减函数l 解释为损失函数，利息的典型示例如下ol（t，x）=x- u是一个确定性的连续基准，要求过程Y符合预期；ol（t，x）=1x≥ut公司- vt（或任何Smoothed等效值），因此现在需要进程Y在任何时间t以大于vt的概率击败确定性连续基准u；ol（t，x）=U（x，ξt）- U是一个凹效用函数，（ξt）是一个运行的随机基准，并且（ut）给定确定性置信水平。无论何时l 是一个严格递增函数，相应的经典反射BSDE由动力学（5）和更强的逐点约束表征l（t，Yt）≥ 0，0≤ T≤ T、 在这种情况下，BSDE解决方案的Y分量反映在基本过程上([l（t，）]-1（0））。请注意，我们的利益相关者训练的BSDE通过仅限制Y的分布来削弱对Y施加的条件。备注1。注意，条件（6）只写在确定日期[0，T]上，所有可能的停止时间都不小于T。在我们的框架中，考虑对所有停工时间的限制将大大加强利益的限制。

相反，这两种类型的点态条件在构造上与类反射BSDE等效。2.2。关于系数的假设。具有平均反射的BSDE的参数为终端条件ξ、驱动器f以及损失函数l. 这些参数应满足以下标准运行假设：（Hf）驱动器f：Ohm ×【0，T】×R×Rd-→ R是关于P×B（R）×B的可测映射研发部B（R），P是Ohm ×[0，T]，存在λ≥ 所有t均为0，P-a.s∈ [0，T]，y、 p，z，q | f（t，y，z）- f（t，p，q）|≤ λ（| y- p |+| z- q |），andE“ZT | f（t，0，0）| dt#<+∞.（Hξ）终端条件ξ是平方可积FT可测随机变量，使得[l（T，ξ）]≥ 0.（H）l) 损失函数l : Ohm ×【0，T】×R-→ R是关于FT×B（[0，T]）×B（R）的可测映射，存在C≥ 0，P-a.s.，1。（t，y）7-→ l（t，y）是连续的，2。T∈ [0，T]，y 7-→ l（t，y）严格递增，3。T∈ [0，T]，E[l（t，∞)] > 0,4。T∈ [0，T]，Y∈ R|l（t，y）|≤ C（1+| y |）。备注2。我们选择在驱动端和终端条件下，在开创性的Lipschitz和平方可积性假设下工作。我们在此仅限于这个简单的框架，以减少技术细节的数量，并强调附加约束（6）所带来的新颖性。备注3。观察条件（Hξ）表明约束在成熟时自动满足。这种情况意味着终端Payoffξ2.3无需进行先验整容程序。解决方案的定义、主要结果和讨论。现在，我们来定义BSDE（5）的一个解决方案，其中包含感兴趣的平均反射（6）。定义。

具有平均反射（6）的BSDE（5）的平方可积解是过程（Y，Z，K）的一个特例∈ S×H×A满足（5）和约束（6）。据说，一个解决方案是，如果K仅在预期的情况下增加，即当我们有中兴通讯时[l（t，Yt）]dKt=0。（7） 所谓确定性解，我们指的是过程K是确定性的解。，i、 英国∈ AD.如下文备注6所述，我们观察到，如果K是随机的，则会导致多个fl-at解的存在。我们甚至验证了它可能会导致BSDE（5）和mea n Reflection（6）的最小解不存在，请参见第5节末尾提供的示例。这就是为什么我们选择在这里仅考虑所谓的确定性解决方案，即具有确定性补偿器K的解决方案（Y、Z、K）。在第r节中，我们将重点放在确定性解决方案上，验证了柔性条件（7）可以直接暗示解决方案的最小性，而不是所有确定性解决方案。这是y中具有确定性线性依赖的驾驶员的特殊情况，请参见条件（22）。本文的主要结果是具有平均反射（6）的BSDE（5）的确定解的存在性和唯一性。这是在线性损失函数的特殊情况下首次实现的l,参见第3节中的命题4和定理m 5。当驱动程序不依赖于Y和Z时，证明线遵循一种建设性的方法，并结合一个收缩性质来处理anyLipschitz驱动程序函数。第3.4节还提供了通过处罚的替代方法。

当驱动因素不是线性时，系统（5）-（6）-（7）的适定性也会在损失函数的附加假设下建立，如下所示（HL），见第4节的命题8和定理9。以类似的方式，我们在下文第6节中解释了预期（6）中的约束如何被ρ（·，Y·）形式的约束替代≤ q·，其中（ρ（t，·））是在时间0计算的静态风险度量的集合，q是时间索引基准的集合。尤其是，当任何可接受的投资组合要求在任何日期满足以风险度量为基础的持续风险管理约束时，求解该方程允许代表索赔ξ的超级对冲价格。备注4。由于约束（6）涉及到BSDE解决方案的分布，因此很容易理解此类BSDE与相应的约束McKeanVlasov BSDE之间的可能联系。这一主题在平均场游戏文献的第r节中似乎很有希望，有待进一步研究。2.4。先验估计。让我们通过对感兴趣的BSDE（5）-（6）的任何解决方案提供有用的先验估计来结束本节。引理1。设（Y，Z，K）是具有平均反射（6）的BSDE（5）的平方可积解。ThenY满足以下要求sup0≤T≤T | Yt|≤ C（λ，T）E“| Y |+KT+ZT | f（s，0，0）| ds+ZT | Zs | ds#。证明。通过构造，我们得到，Yt=Y-Ztf（s、Ys、Zs）ds+ZtZs·dBs- Kt，0≤ T≤ T因为K是非递减的，假设（Hf）导致| Yt |≤ |Y |+KT+ZT | f（s，0，0）| ds+λZT | Zs | ds+sup0≤T≤TZtZs·dBs+ λZt | Ys | ds，用于t∈ [0，T]。由于Y有连续的路径，Gronwall引理给出了ssup0≤T≤T | Yt |≤ eλT | Y |+KT+ZT | f（s，0，0）| ds+λZT | Zs | ds+sup0≤T≤TZtZs·dBs!,结果来自于B urkholder-Davis-Gundy不等式。备注5。