具有竞争交互主体的契约理论

其次，我们建立了代理人制度对经济选择的影响模型。然后，我们为此类系统中的代理正确定义了一组可接受的策略，并最终指出了每个代理的目标函数以及委托人的目标函数。2.1企业动态我们考虑一个模型，其中委托人希望雇佣≥ 1个代理，负责不同的项目。每一位代理人，如果被雇佣，都将负责一个有风险的项目。为了准确地定义每个代理选择的行动的结果，让我们从定义一些符号开始。我们确定了一个确定性时间范围T>0。我们在给定的概率空间上工作(Ohm, F、 P）携带N维布朗运动W。W的每个组成部分都将推动与公司一个项目相关的噪音。我们用F表示：=（Ft）0≤T≤t完成W的自然过滤。A s是委托人/代理人文献中的惯例，我们将在所谓的问题弱公式下工作。为了严格定义这一点，让我们从定义公司的所谓输出过程X开始，该过程为RN值，Xt：=Zt∑sdWs，0≤ T≤ T、 a.s.，（2.1）其中，对于任何T∈ [0，T]，∑T∈ 锰（R）。向量X的每个分量对应于公司的一个项目，矩阵∑表征了它们的相关性。我们对∑的假设如下假设2.1。映射∑：[0，T]-→ MN（R）是（Borel）可测的，有界且d使得对于任何t∈ [0，T]∑是可逆的。2.2代理系统提供的服务的影响我们将考虑每个代理将被分配一个项目，但可能会影响其自己的项目以及其他代理的项目。因此，所有代理的控制将通过矩阵a给出∈ MN（R），对于任何1≤ i、 j≤ N、 ai，JR代表代理机构对代理机构i管理的项目所采取的行动。

换句话说，每个代理都可以选择努力管理自己的项目，但他也可以决定影响（积极或消极）其他代理的项目。我们还为任何1≤ 我≤ N映射bi:[0，T]×RN×RN-→ R、 假设满足以下假设2.2。对于每个i=1，N、 和每隔（t，x）∈ [0，T]×RN，映射a 7-→bi（t，a，x）是C，对于每个a∈ RN，地图x 7-→ bi（t，a，x）是单式lipschitz连续的。我们还假设对于某些常数C>0，bi（t，a，x）≤ C（1+kak+kxk），abi（t、a、x）≤ C、 对于任何（t、a、x）∈ [0，T]×RN×RN。（2.2）对于任何（t，a，x）∈ [0，T]×MN（R）×RN，我们也用b（T，a，x）表示其坐标为bi（T，a：，i，x）的向量。注意，根据第2.2节，对于任何MN（R）值和F-逐步可测量的过程a，以下SDEZt=Ztb（s，as，Zs）ds+Zt∑sdWs，t∈ [0，T]，P- a、 s.，（2.3）承认一个表示为Xa的唯一强解。对于任何MN（R）值F-逐步可测过程ZTb（s、as、Xs）·∑-1sdWs有阶矩（1+）对于某些>0，（2.4），然后我们可以定义一个新的概率度量Paon(Ohm, F） ，相当于P，其中dpadp：=EZTb（s、as、Xs）·∑-1sdWs.根据Girsanov定理，我们知道∈ A、 以下RN值processWat：=Wt-Zt∑-1sb（s、as、Xs）ds，0≤ T≤ T、 a.s.，是Pa下的布朗运动，所以我们可以重写（2.1），对于任何a∈ A、 asXt=Ztb（s，as，Xs）ds+Zt∑sdWas，0≤ T≤ T、 此外，很明显，Pacoincides与概率度量a：=Po（Xa（Xa·））-1根据（2.3）的强解得出。2.3我们为任何≤ 我≤ N、 代理人i的成本函数，我们表示为ki:[0，T]×RN×RN-→ R+。我们注意任何（t，a，x）∈ [0，T]×MN（R）×RN，乘以k（T，a，x）∈ rn第i个坐标为ki（t，a：，i，x）的向量。

我们对向量代价函数k的长期假设如下。假设2.3。对于任何（t，x）∈ [0，T]×RN，地图a 7-→ k（t，a，x）是C，它的每一个坐标都是递增的和严格凸的。此外，对于一些常数，我们有>0和l ≥ 2利姆卡克→+∞kk（t，a，x）kkak=+∞, kk（t，a，x）k≤ C1+千卡l+ kxk公司,Kak（t，a，x）k≤ C1+千卡l-1..我们现在可以为代理系统定义一套可接受的策略A。在我们的研究框架中，每个代理i都被限制在给定子集AiofRN中选择一个控件。然后将容许控制集A定义为F适应过程集A，其值为MN（R），因此对于任何1≤ 我≤ N，（ai，：）取Ai中的值，（2.4）保持，RTB（s，as，Xs）ds以及RTK（s，as，Xs）ds的值以Mφ（RN）为单位。回想一下，Mφ（RN）是与RN相关的摩尔变换空间，请参见（1.1）。2.4每个代理的目标函数既然已经建立了代理的可容许策略集，那么让我们来看看它们目标函数的设计。我们假设代理从两个来源获得效用。首先，从他们从合同中获得的工资中，减去他们工作带来的成本。其次，与其他代理相比，代理从其项目的成功中获得效用。在我们的模型中，代理组之间交互的主要动机来自此功能，这使得它们可以相互比较。更准确地说，我们假设代理的效用是指数的，并且对于任何1≤ 我≤ N、 给定N个合同ξ：=（ξ。

，ξN）以及行动选择a∈ A由所有代理制作，代理i的效用为ui（A：，i，A：，-i、 ξi）：=EPaUAi公司ξi+Γi（XT）-ZTki（s，a：，is，Xs）ds, （2.5）带UAI（x）：=- 经验值-里亚克斯, 十、∈ R、 Γi:RN-→ R、 其中RAi>0表示代理i的风险规避，mapΓi对应于代理i将其绩效与其他代理的绩效进行比较。这个映射很一般，一个典型的例子是i（x）：=γixi- \'\'x-我, 十、∈ RN，（2.6），其中γ是一个给定的非负常数，即代理i的竞争指数。该设置对应于每个代理将其性能与其他代理的平均性能进行比较的情况。γiis越高，代理i的竞争力就越强。通常，我们假设比较图满足假设2.4。对于任何1≤ 我≤ N、 地图Γi=RN-→ R是（Borel）可测量且满足的，对于某些C>0 | i（x）|≤ C（1+kxk），x∈ 注册护士。2.5委托人的合同设置既然已经很好地理解了代理人的动机，我们可以转向委托人的设计。在我们的环境中，委托人在时间0同时向每个代理人提供合同，并且他可以承诺任何此类合同。对于任何1≤ 我≤ N、 然后，代理i的合同将被表示为实值随机变量ξi，目前，我们只假设该变量是FT可测量的，表示代理i在合同结束时T将收到的金额。请注意，没有跨期付款。给定终端支付ξ的向量，交互中的代理系统将选择一些响应动作a∈ A、 因此，每个代理将在时间0时从游戏中获得效用值ui（A，ξi）。

为了确保每个代理人都同意参与博弈，委托人将限制其合同的效力，使每个代理人至少收到其保留效用表示dui，即ui（a，ξi）≥ Ui，1≤ 我≤ N、 （2.7）此外，对于给定的合同（ξi）1≤我≤Nand a给定的操作选择a∈ A由代理人制定，委托人从项目的终值中得出效用，如下（A，ξ）：=EPa[- 经验值(-RP（XT- ξ） ·1N）]，（2.8），其中RP>0是委托人的风险规避。当然，为了使所有这些都有意义，我们仍然需要对a和ξ施加条件，以便（2.5）和（2.8）得到很好的定义。我们将在稍后确定可接受的合同集时处理这个问题。综上所述，委托人将选择N个合同（ξi）1≤我≤N、 导致代理系统的响应，从而使每个代理都希望签订合同，即（2.7）已满足要求，并且根据增强标准（2.8），这应该是最优的。根据校长可获得的信息量，我们现在将我们的研究分为所谓的“第一最佳”和“第二最佳”设置。3第一个最佳问题在本节中，我们将注意力集中在所谓的“第一个最佳框架”上，其中不存在道德风险，委托人实际上可以直接选择两个合同（ξi）1≤我≤以及特工的行动。据我们所知，我们框架中的这个问题在文献中从未得到解决。我们首先将委托人的问题改写为更易于处理的随机控制形式。然后，我们在第3.2节中提供了完全通用的最优契约的表示。

最后，我们在第3.3节中更密切地关注更易处理的设置，以及f形式（2.6）的线性比较图。3.1主要问题的随机控制重新表述在这种情况下，可接受的合同集CF B将定义为：nξ，FT可通过ξ测量∈ Mφ（RN）o。然后通过构造可以清楚地看出，对于任何（a，ξ）∈ A×CF B，数量Ui（A：，i，A：，-i、 ξi）和UP（a，ξ）定义良好。给定一些保留实用程序级别（Ui）1≤我≤N（都是负数）由代理选择，委托人的问题是thenUP，F B：=supa∈Asupξ∈CF B（UP（a，ξ）+NXi=1ρiUi（a：，i，a：，-i、 ξi）），（3.1），其中ρi>0是与参与约束相关的拉格朗日乘数。让我们从ξ的最大化开始。

为此，对于任何∈ A、 让我们考虑以下映射：Mφ（RN）-→ 定义为Ξa（ξ）：=EPa“-E-RP（XT-ξ） ·1N-NXi=1ρie-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，a：，is，Xs）ds）#。因为任何1的ρi>0≤ 我≤ N、 很容易看出，对于任何h∈ Mφ（RN），比亚迪Ξa（ξ）[h]=EPah-RPh·1Ne-RP（XT-ξ） ·1N+NXi=1ρiRiAhie-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，a：，is，Xs）ds）#。对于任何a∈ A、 让我们介绍ξ（a） 按（ξ）（a） ）i：=RiAlogρiRiARP- Γi（XT）+ZTki（s，a：，is，Xs）ds+RPRiA（XT·1N- ξ（a） ·1N），连同ξ（a） ·1N：=RARA+NRPRPNRAXT公司- Γ（XT）+ZTk（s、as、Xs）ds· 1N+RARA+NRPNXi=1对话框ρiRiARP, （3.2）其中Γ（XT）∈ Rn是第i个坐标为Γi（XT）的向量，其中ra：=NPNi=1RiA。那么，对于任何h∈ Mφ（RN），我们有DΞa（ξ）（a） ）[h]=0，因此ξ（a） 达到Ξa的最小值，因此是最佳的。将这些表达式插回到主问题中，我们得到主问题以随机控制形式重写为asRA+NRPRANYi=1ρiRiARPRPRARiA（RA+NRP）苏帕∈AEPa“-eRPRARA+NRP（RTk（s、as、Xs）ds-XT公司-Γ（XT））·1N#。我们将首先考虑一般交互函数Γ的情况，然后处理Γ是线性的基准情况，对于这种情况，解决方案更容易找到。3.2一般比较图Γ3.2.1主要问题的BSDE解在上述形式下，主要问题现在是一个经典的随机控制问题（在弱公式下），具有受控状态过程X，其漂移仅受控制。用A表示：=QNi=1Ai。

然后，我们得到了一个经典结果（例如，见[25，26]，或下面第4.1.2节中的类似比较），F B=-RA+NRPRANYi=1ρiRiARPRPRARiA（RA+NRP）经验值-RPRARA+NRPY,其中（Y，Z）表示以下BSDEYt=（XT+Γ（XT））·1N+ZTtF（s，Xs，Zs）ds的最大解-ZTtZs∑sdWs，t∈ [0，T]，P- a、 s.，（3.3），其中发电机F由F（t，x，z）给出：=supa∈A{b（t，A，x）·z- k（t，a，x）·1N}-RPRA2（RA+NRP）k∑tzk。我们仍然需要证明为什么BSDE（3.3）确实允许最大解。首先，通过假设2.1和2.4，我们知道终端条件具有线性增长w.r.t.XT，因此在P下允许任何阶的指数矩（记住，在P下，XTisGaussian）。此外，通过下面的引理4.1，我们得到苏帕∈A{b（t，A，x）·z- k（t，a，x）·1N}≤ C1+kzkll-1..因此，自l ≥ 2，F在z上最多有二次增长。由于F（t，x，0）=0，解的存在性由[6]给出。然而，最大解存在的有效（但不是必要）条件是，F由一个在z上线性增长的映射（见[1]）从上方界定，或者F在z上是凹的或凸的（见[7]）。这样一个条件需要以下附加假设另一个条件是f实际上是z中的二次方，也就是说f（t，x，z）=f（t，x）+kγ（t）zk，对于某些映射f:[0，t]×RN-→ R和γ：[0，T]-→ MN（R），在这种情况下，可以使用一个指数变换很容易地显示BSDE实际上有一个唯一的解决方案。如果实例b在a中选择线性，k在a中选择适当的二次型，则会出现这种情况（见下一节）。假设3.1。地图z 7-→ F（t，x，z）对于任何（t，x）都是凸的或凹的∈ [0，T]×RN，或者存在一些C>0，使得对于任何（T，x，z）∈ [0，T]×RN×RNF（T，x，z）≤ C（1+kxk+kzk）。备注3.1。

只要集合A是紧的，那么假设3.1就会自动满足。表示，对于任何（t，z，x）∈ [0，T]×RN×RN，由▄a（t、x、z）∈ MNAP a 7的最大化器之一-→ b（t，a，x）·z- 1N·k（t、a、x）。请注意，由于假设2.2和2.3，k在单位时间内具有超线性增长，而b具有线性增长（见（2.2）），因此这种最大化器是明确定义的，因此这里考虑的映射是强制性的。通过一个经典的可测选择论证，我们推导出相应的可预测过程at： =▄a（t、Xt、Zt），定义的dt×dP-a、 e.是委托人选择的代理人的最佳福利，以及相应的合同ξ（a）) 是最优的，前提是它们都是可容许的。为了不使我们的陈述进一步复杂化，我们避免给出适用于这种情况的一般条件。使用这个契约和这个动作，我们仍然需要选择拉格朗日乘数ρisuchthatUi（（a):,i、 （a）):,-i、 （ξ）（a）))i） =用户界面。（3.4）因此，我们获得了以下验证类型结果表3。1.保持第2.1、2.2、2.3、2.4和3.1节中的数值，并保持第2.1、2.2、2.4和3.1节中的数值∈ A和ξ（a）) ∈ 参见合同ξ（a）) 选择使（3.4）保持对委托人来说是最佳的，建议的工作级别为.我们选择专门研究一个具有更简单动力学的线性二次框架，而不是进一步阐述在合同和福利的可接受性期间的技术条件，对于该框架，BSDE（3.3）可以显式求解。3.2.2线性二次设置中的分辨率我们现在考虑简化的线性二次设置，即输出过程的漂移和成本函数相对于控制a分别是线性和二次的。也就是说，我们在附加假设下工作：假设3.2。对于任何1=1。

，N，我们有Ai=RN，映射bian和ki有f ormbi（t，a，x）=B1N·a+~bi（t，x），ki（t，a，x）=Kkak+~ki（t，x），（t、a、x）∈ [0，T]×RN×RN，对于某些B∈ R、 K级∈ （0+∞), 和一些映射▄bi:[0，T]×RN-→ R和dki：[0，T]×RN-→ R+。此外，我们假设波动率矩阵∑tdo不依赖于时间，是恒等矩阵x的倍数，即∑t=σIN，对于某些σ∈ （0+∞).备注3.2。特别注意假设3.1是假设3的直接结果。2.S如果满足假设2.2、2.3和3.2，则假设3.1中要求的驱动因子F的线性上界同样自动有效。通常，我们用▄b（t，x）（resp.▄k（t，x））表示Rn的向量，其第i个分量为▄bi（t，x）（resp.▄ki（t，x））。在假设3.2下，直接计算表明f（t，x，z）=N | B | k- | σ| RPRARA+NRP！NXi=1zi公司+b（t，x）z-k（t，x），对应于最佳输出a（z）∈ MN（R）使a（z） ：=Bkz1N、 z∈ 注册护士。回想一下，（Y，Z）是BSDE（3.3）的最大解，定义η：=N | B | k |σ|-RPRARA+NRP！，Pt：=exp（ηYt），Qt：=σηPtZt，t∈ [0，T]。It^o公式和（3.3）的简单应用给出了spt=eη（XT+Γ（XT））·1N+ZTtb（s，Xs）σ·Qs- ηPsk（s，Xs）·1N！ds公司-ZTtQs·dWs，即（P，Q）解一个简单的线性BSDE。特别是，定义一个新的概率度量EepyDepdp：=EZTb（s，Xs）σ·dWs！，我们重写PT=EeP经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺,所以thatYt=ηlogEeP公司经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺.为了获得最佳的服务, 我们需要加强假设2.4。假设3.3。Borel可测映射Γ是Lipschitz连续的。然后，众所周知的结果是（参见[26]中的f或实例命题5.3），DtPt给出了QT的一个版本，其中D是Malliavin微分算子。