具有竞争交互主体的契约理论

无论是否存在最大解，先验上都需要更多的假设。至于比较结果，则不太清楚，但由于我们将仅试探性地使用本节的结果，我们不想在这里解决这个问题（尽管如此，相关结果请参见[7、15、83]）。4.1.3纳什均衡和多维二次b设计上一节的启发式推理自然会让我们认为，N个代理之间的纳什均衡b与以下多维BSDEYξt=ξ+Γ（XT）+ZTtf（s，Zξs，Xs）ds-ZTt（Zξs）∑sdWs，a.s.，（4.2），其中映射f：[0，T]×MN（R）-→ 定义RNis，对于=1，N、 byfi（t，z，x）：=fi，（a):,-i（s，z，x）（s，z：，i），对于每个（s，z）∈ [0，T]×MN（R），矩阵a（s、z、x）∈ 定义MN（R），对于=1，N、 对于每个（s、z、x）∈[0，T]×MN（R）×RN，通过（a):,i（s、z、x）∈ argmaxa∈Ai（（a):,-（一）NXj=1bj（t，（ai（a）t） ：，-i（s，z，x））：，j，x）zi，j- ki（t，a，x）, （4.3）如果存在多个最大化器，则隐含假设已选择给定的最大化器。细心的读者应该已经意识到，定义地图的方程式（4.3）a实际上是循环的，因为出现在方程式的两侧。一般来说，根本不清楚然后定义好。因此，我们需要对地图b和kas进行隐含假设，并遵循假设4.1。

对于每个（s、z、x）∈ [0，T]×MN（R）×RN，至少有一个矩阵（s，z，x）以MN（R）表示，对于任何1≤ 我≤ N，（a）):,i（s、z、x）∈ argmaxa∈Ai（（a):,-（一）NXj=1bj（t，（ai（a）t） ：，-i（s，z，x））：，j，x）zi，j- ki（t，a，x）.我们用A表示（s，z，x）满足上述方程的所有矩阵的集合。满足假设4.1的一个典型示例是，映射b与输出矩阵A之间存在线性依赖关系，因为在这种情况下，（4.3）中的最大化不再依赖于（s、z、x）。例如，可以考虑案例bi（t，a，x）：=~ bi（t，x）+ai-NXj=1，j6=iaj，这只不过是第3.3.2节基准案例的更复杂版本。现在让我们给出（4.2）的解的确切含义。让我们首先从定义以下空间开始。固定一些概率测度Q等价于P和有限维赋范向量空间E，用给定的范数k·kEBMO（Q，RN）表示连续平方可积F-鞅M（Q下）的空间，RN值，使得kMkBMO（Q）<+∞, 式中，kmkbmo（Q）：=ess s upτ∈TTEQ【Tr【hMiT】- Tr[hMiτ]| Fτ]∞< +∞,任何t的位置∈ [0，T]，ttt是一组F停止时间，取其值在[T，T]中，其中任何p∈ [1+∞], k·kp表示空间Lp上的通常范数(Ohm, F、 Q）R值随机变量。HBMO（Q，MN（R））将表示MN（R）值、F-可预测过程Z的空间，使得kzkhbmo（Q）<+∞, 其中kzkhbmo（Q）：=ZTZsdWsBMO（Q）。H（Q，E）将表示E值、F可预测过程的空间Z s.t.kZkH（Q，E）<+∞,其中kzkh（Q，E）：=等式ZTkZskEds< +∞.通常，我们用Hlo c（Q，E）表示这个空间的局部化版本。

（4.2）的解是一对（Yξ，Zξ），使得Y是满足（4.2）和Zξ的连续F-半鞅∈Hlo c（P，MN（R））。在说明这一部分的主要结果之前，我们需要引入所谓的反向霍尔德不等式。定义4。2（反向H"older不等式）。修正一些概率测度Q等价于一些p>1。如果对于某些常数C>0ess supτ，则正或负的F-渐进可测过程P有助于满足yrp（Q）∈TTEQ公司PTPτPFτ≤ C、 下面的定理给出了代理之间纳什均衡的存在性和（4.2）解的存在性之间的联系。定理4。1.假设2.1、2.2、2.3和4.1成立。（i）纳什均衡与（ξ）∈ 对于任何i=1，N，存在一些p>1这样的美国环保局（ξ） h类-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，（as（ξ））：，i，Xs）ds）Fti公司T∈[0，T]满意度Rp（Pa（ξ） ），（ii）溶液（Y，Z）至（4.2），使得除了Z∈ HBMO（P，MN（R）），对于任何i=1，…，对应关系如下所示，N、 ds×dP- a、 e.，（as（ξ））：，i∈ argmaxa∈Ai（（a):,-（一）NXj=1bj（s，（ai（a）s） ：，-i（s，Zs，Xs））：，j，Xs）Zi，js- ki（s、a、Xs）.证据第1步。我们首先说明（i）导致（ii）。对于任何1≤ 我≤ N、 对于任何τ∈ T0，T，让我们定义以下随机变量族sui（τ，ξ）：=ess supa∈Ai（（a（ξ） ）：，-i） 美国环保局i（a）（ξ） ）：，-ih公司-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTτki（s，as，Xs）ds）Fτi。这是一个经典的结果，该族满足以下动态规划原则（例如，参见[27]中的定理2.4及其第2.4.2节中的讨论）Ui（τ，ξ）=ess supa∈Ai（（a（ξ） ）：，-i） 美国环保局i（a）（ξ） ）：，-iheRiARθτki（s，as，Xs）Ui（θ，ξ）Fτi，对于任何θ∈ T0，tuch thatτ≤ θ、 a.s.对于任何a∈ Ai（（a（ξ） ）：，-i） ，族（eRiARτki（s，as，Xs）Ui（τ，ξ））τ∈T0，这就是所谓的Pai（a）（ξ） ）：，-i-超级马丁格尔系统。

因此，根据【16】的结果，它可以通过一个唯一的（直到不可区分的）F-可选过程进行聚合，该过程实际上与（eRiARtki（s，as，Xs）Uit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ））t∈[0，T]在上一节中定义。此外，该聚合器仍然是Pai（a）（ξ） ）：，-i-supermartingale，然后允许cádlágmodition（记住，过滤认为满足通常条件）。让我们现在检查一下（ξ） ）：，is，Xs）Uit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ））t∈[0，T]是一致可积Pa（ξ） 鞅。通过定义纳什均衡，（a（ξ） ）：，iis对于代理i的问题是最佳的，即isUi（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）=EPa（ξ） h类-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，（as（ξ））：，i，Xs）ds）i。接下来，根据上面证明的超鞅性质（适用于代理i的任何操作选择），以及代理i的值函数的定义，我们必须有ui（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）≥ 美国环保局（ξ） heRiARtki（s，（as（ξ））：，i，Xs）Uit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）i≥ 美国环保局（ξ） h类-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，（as（ξ））：，i，Xs）ds）i=Ui（（a（ξ） ）：，-i、 ξ），对于任何t∈ [0，T]。因此，所有这些术语都必须相等，这尤其意味着thateRiARtki（s，（as（ξ））：，i，Xs）Uit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）=EPa（ξ） h类- E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，（as（ξ））：，i，Xs）ds）Fti，对于任何t∈ [0，T]。这提供了所需的结果，因为右侧显然是aPa（ξ） -鞅，作为可积随机变量的条件期望，由于假设2.2和2.3以及容许控制的定义，该鞅实际上服从Lp(Ohm, F、 宾夕法尼亚州（ξ） ），对于任何p≥ 1（力矩一致有界于t∈ [0，T]通过Doob不等式）。

由于它也是负的，根据可预测鞅表示性质，存在一个F-可预测过程Zi，a（ξ） ，ξ∈ H（Pa（ξ） ，RN）这样，对于任何∈ [0，T]eRiARtki（s，（as（ξ））：，i，Xs）Uit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）=Ui（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）EZ·Zi，a（ξ） ，ξs∑sdWa（ξ） st、 a.s。然后，由于被称为sumption Erirtki（s）s（ξ））：，i，Xs）Uit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）满足（Rp（P）），我们可以使用[50]中的定理3.3和3.4来推断Zi，a（ξ） ，ξ属于HBMO（Pa（ξ） ，R）和HBMO（P，R）。此外，It^o公式的简单应用会导致t oUit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）=-E-RiA（ξi+Γi（XT））+ZTtRiAUis（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）Zi，a（ξ） ，ξs∑sdWs-ZTtRiAUis（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）b（s，a）s（ξ），Xs）·Zi，a（ξ） ，ξs- ki（s，（as（ξ））：，i，Xs）ds。因此，我们推断∈ Ai（（a（ξ） ）：，-i） ，我们有（RiA）-1里亚尔茨基（s，as）dsUit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）=Ui（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）RiA-ZteRiARski（r、ar、Xr）drUis（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）Zi，a（ξ） ，ξs∑sdWai（a）（ξ） ）：，-is+ZteRiARski（r、ar、Xr）drUis（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）（b（s，as（ξ），Xs）·Zi，a（ξ） ，ξs- ki（s，（as（ξ））：，i，Xs））ds-ZteRiARski（r、ar、Xr）drUis（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）（b（s，asi（a）s（ξ））：，-i、 Xs）·Zi，a（ξ） ，ξs- ki（s，as，Xs））ds。现在请记住，此过程必须是Pai（a）（ξ） ）：，-i-超级马丁格尔。因此，这意味着对于任何一个∈ Ai（（a（ξ） ）：，-i） ，a.s.，b（s，as（ξ），Xs）·Zi，a（ξ） ，ξs-ki（s，（as（ξ））：，i，Xs）≥ b（s，as）i（a）s（ξ））：，-i、 Xs）·Zi，a（ξ） ，ξs-ki（s、as、Xs）。换句话说（as（ξ））：，i∈ argmaxa∈Ai（（a):,-i） nb（s，a）i（a）s（ξ））：，-i、 Xs）·Zi，a（ξ） ，ξ- ki（s，a，Xs）o.define thenYit（a（ξ） ，ξ）：=-日志-Uit（（a（ξ） ）：，-i、 ξ）RiA，t∈ [0，T]，a.s∈ [0，T]，a.s.，Yit（a（ξ） ，ξ）=ξi+Γi（XT）-ZTtZi，a（ξ） ，ξs∑sdWs+ZTt-RiA公司∑sZi，a（ξ） ，ξs+ b（s，a）s（ξ），Xs）·Zi，a（ξ） ，ξs- ki（s，（as） ：，i，Xs）ds。因为所有这些对于任何i=1都是成立的。

，N，我们推断，如果我们定义Yt（a（ξ） ，ξ）作为RN中的向量，其第i个坐标为Yit（a（ξ） ，ξ），如果我们定义Za（ξ） ，ξ为N×Nmatrix，其第i列为Zi，a（ξ） ，ξ，然后是对（Yt（a（ξ） ，ξ），Za（ξ） ，ξ）是BSDE（4.2）的解，因此（ξ） ，ξ∈ HBMO（P，MN（R））。第2步。相反，让我们得到（4.2）s.t.Z的解（Y，Z）∈ HBMO（P，MN（R））。经典的可测量选择参数允许我们定义一个MN（R）值的F-可预测过程A对于任何i=1，N（a）s） ：，i∈ argmaxa∈Ai（（a):,-（一）b（s，a）i（a）s） ：，-i（Zs，Xs），Xs）·Z：，is- ki（s、a、Xs）.确定任何i=1，NUit：=- 经验值-里亚伊特, a、 s。然后，我们可以在步骤1的所有计算中倒退，以获得它，这要归功于Z的偏移量∈ HBMO（P，MN（R）），（eRiARtki（s，as，Xs）Uit）t∈[0，T]是Pai（a）):,-i-supermartingale for任何a∈ Ai（（a):,-i） ，以及s） ：，i，Xs）Uit）t∈[0，T]是Pa-鞅。这特别使用了BMO鞅的Doléans Dade指数是一个统一可积鞅的事实。根据鞅最优性原理，这意味着Ui=Ui（（a):,-i、 ξ），以及（a):,iis最适合代理i的问题。因为这适用于任何i=1，N、 这意味着是纳什均衡。最后，我们必须检查我们已经确定，对于任何i=1，N、 存在一些p>1，因此美国环保局H-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，（as） ：，i，Xs）ds）Fti公司T∈[0，T]满意度Rp（Pa).但是-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，（as） ：，i，Xs）ds）=埃里尔茨基（s，（as） ：，i，Xs）dsUiT，因此对于任何∈ [0，T]Xit：=EPaH-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTki（s，（as） ：，i，Xs）ds）Fti=埃列尔茨基（s，（as） ：，i，Xs）dsUit=UiEZ·Zis·S∑sdWast、 因此，由于Z∈ HBMO（P，MN（R）），我们从[50]中的定理3.4推导出期望的结果。

4.1.4关于纳什均衡和可容许契约的存在性上一节的主要结果给出了满足一些可积条件的代理的纳什均衡的完整表征，作为多维二次BSDE（4.2）的解。然而，这并没有解决这些平衡存在的问题，而这正是问题的核心所在。事实上，与一维情形（即N=1）不同，这种BSDE的适定性结果在文献中非常罕见。Tevzadze【83】是第一个在有界且充分小的终端条件下获得适定性结果的人。Frei、dos Reis[35]和Frei[34]证明，即使在看似良性的情况下，全球解决方案的存在也可能失败。后来，Cheredito和Nam【9】、Kardaras等人【49】、Kramkov和Pulido【54、55】、Hu和Tang【45】、Jameshan等人【47】或最近的Luo和Tangpi【57】都获得了一些积极的结果，但仅在特定情况下，这些结果并不适用于我们的环境。最近，XingandZitkovi'c[86]在一个马尔可夫框架中得到了一个普遍存在唯一性结果。因此，由于委托人想要提供揭示代理人行为的合同，他永远不会提供代理人之间不存在纳什均衡的合同。对于隐式，让我们介绍一下，对于任何ξ∈ CF B，与ξ相关的纳什均衡集NA（ξ），满足定理4.1中的条件（i）（根据上述讨论，可以是空集）。

此外，我们还定义了（ξ）：={a∈ NA（ξ），a b、 对于任何b∈ NA（ξ）}。此外，我们提醒读者，根据关于该主题的经典文献，我们假设，由于代理人在NAI（ξ）中的纳什均衡之间是不同的，委托人可以让他们选择最适合他的。这促使对第二个最佳问题的可接受合同进行以下定义Csb：=ξ∈ CF B，NAI（ξ）为非空.根据定理4.1，我们知道对于任何ξ∈ CSB，存在一对（Yξ，Zξ）∈RN×HBMO（P，MN（R））s等于ξ=Yξ- Γ（XT）-ZTf（s，Zξs，Xs）ds+ZT（Zξs）∑sdWs，a.s。（4.4）式中，最优反馈控制a由？？？给出？？？，我们记得，向量函数由fi定义：（t，z，x）7→ -RiA公司∑tz：，i- ki（t，（a：，i）（t，z，x），x）+NXj=1bj（t，（a：，j）（t，z，x），x）zj，i.4.2解决主要问题4。2.1任何（Y，Z）的一般情况∈ RN×HBMO（P，MN（R）），定义ξY，Z：=Y- Γ（XT）-ZTf（s、Zs、Xs）ds+ZT（Zs）∑sdWs。根据（4.4），我们知道可接受合同集CSBis实际上包含在该集中ξY，Z，（Y，Z）∈ RN×HBMO（P，MN（R））.与Holmstr"om-Milgrom类型的问题一样，我们知道合同中常量向量的值将得到精确调整，以便每个代理都能准确地收到其保留实用程序。但这正好对应于选择yi=Li：=- ln公司(-Ui）/RiA，1≤ 我≤ N、 因此，我们可以考虑以下问题，即先验的主值函数的上界up，SB：=supZ∈HBMO（P，MN（R））supa∈NAI（ξL，Z）EPah-E-RP（XT-ξL，Z）·1Ni。（4.5）然后，在此形式下，我们可以将ξL，Z：=ξL，Z+Γ（XT）解释为以下马尔可夫控制差异的终值t=L-Ztf（s、Zs、Xs）ds+Zt（Zs）∑sdWs，t∈ [0，T]，其中控制过程实际上是Z。此外，为了简化符号，我们假设f定义中的最大化子实际上是唯一的。

因此，我们回到了经典随机控制的领域，并且，至少在形式上，我们可以用以下HJB方程（vt+G（·，vx，vy，vxx，vy，vxy））（t，x，y）=0，（t，x，y）的适当意义上的唯一解的值v（0，0，L）来识别sb∈ [0，T）×R2N，v（T，x，y）=- 经验值(-RP（x+Γ（x）- y） ·1N），（x，y）∈ R2N，（4.6），其中g（t，x，p，q，γ，η，ν）：=supz∈锰（R）b（t，a（t，z，x），x）·p- f（t，z，x）·q+Trh∑t∑tγi+Trhz∑t∑tzηi+Trh∑t∑tzνi.下面的结果来自一个经典的验证参数，例如参见[33]，因此我们将不提供其证明。提案4.1。假设PDE（4.6）允许一个唯一的经典（即C1,2,2）解，并且G的定义中的上确界在至少一个z（t，x，p，q，γ，η，ν）。假设zT∈ HBMO（P，MN（R），其中Zt： =z（t，Xt、 vx（t，Xt、 Y型t） ，vy（t，Xt、 Y型t） ，vxx（t，Xt、 Y型t） ，vy y（t，Xt、 Y型t） ，vxy（t，Xt、 Y型t） ），其中X和Y耦合SDEsX的唯一解（假设存在）t=Ztb（s，a（s，zs、 X个s） ，Xs） ds+Zt∑sdWs，Yt=Y-Ztf（s，zs、 X个s） ds+Zt（zs）∑sdWs。进一步假设对于任何Y∈ RN，合同ξY，z∈ CSB。然后，主函数的值函数由v（0，0，L）给出。当然，唯一性需要在实践中验证。与通常的验证类型结果一样，上述主张有点令人失望。这就是为什么我们在下一节中考虑一个更具体的问题，对于这个问题，委托人的问题实际上可以直接解决，而不必参考HJBequation（4.6）。这种特殊情况包括考虑线性比较函数Γ，如第3.3.4.2.2节所述。线性比较映射的简单设置我们现在关注的是γ是线性的，每个代理将其项目的终值与所有项目的平均值进行比较的特殊情况。

也就是说，我们再次支持假设3.4成立的第3.3节。主要问题可以写成asUP，SB=supξ∈CSBsupa公司∈NAI（ξ）EPa“-E-RP（XT-ξ） ·1N-NXi=1ρie-RiA公司ξi+γi退出-十、-信息技术-RTki（s，a：，is）ds#,（4.7）其中拉格朗日乘数（ρi）1≤我≤Nare再次在这里确保代理商的参与限制。在（4.7）中插入（4.4），我们推导出，SB=supξ∈CSBsupa公司∈NAI（ξ）EPah- EZ·NZξs+1N+γ- （γ-)∑sdWas特比ξ·1N×e-RpRTβ（s，Zξs）ds-NXi=1ρie-RiA（Yξ）iE- 里亚兹·（（Zξs）∑sdWas）iTi，其中mapβ：[0，T]×MN（R）-→ R由β（t，z）定义：=N+γ-γ-· b（t，a（z））- k（t，a（z））·1N-NXi=1RiA∑tz：，i-卢比∑tZN+1N+γ-γ-.现在，通过假设2.2、2.3和引理4.1可以清楚地看出，映射β在zand中是连续的-∞ 正如kzk所说∞, 所以它至少允许一个确定性最大化子，我们用z表示t、 然后，回顾Zξ属于HBMO（P，MN（R）），因此对于任何a∈ A根据[50]中的定理3.3，我们推导出≤ supYξ∈注册护士(-eRPYξ·1N-RTβ（s，zs） ds公司-NXi=1ρie-RiA（Yξ）i）。右侧是RN上Yξ的凹函数，其上确界为Y, 带（Y)i： =RiAlogρiRiARP-RPRARiA公司RA+NRPNXj=1RjAlogρjRjARP+拉里亚RA+NRPZTβ（s，zs） ds，i=1，N、 我们直接推断出来，SB≤ -RA+NRPRAeRARA+NRPPNi=1对话框ρiRiARP-RTβ（s，zs） ds公司. （4.8）为了达到这一上限，我们希望考虑合同ξ由ξ定义:= Y- 诊断（γ）（XT- 十、-T）-ZTf（s，zs） ds+ZTzs∑sdWs。但在这种形式下，很明显，相应的BSDE（4.2）至少作为一种解决方案（Y, Z), 何处t： =Y-Ztf（s，zs） ds+Zt（zs）∑sdWs，t∈ [0，T]，此外，自z是确定性的，它在HBMO（P，MN（R））中明显存在。