具有竞争交互主体的契约理论

由于P是光滑函数和Lipschitz连续函数组成的条件期望，我们直接使用Malliavin演算的链规则Qt=EeP进行计算ηDtXT+Γ′（XT）·1NDtXT-ZTtkx（s，Xs）·1NDTXSD×经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺+ EeP公司σzttbx（s，Xs）DtXsdWs-σzttbx（s，Xs）~b（s，Xs）DtXs×经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺,任何t的位置∈ [0，T]和Lebesgue几乎每x∈ RN，Γ′（x）表示第i分量为（Γi）′（x）的RN的向量，Γkx（t，x）表示第i分量为Γkix（t，x）的RN的向量。我们推断（Zt）=BkηEeP公司ηDtXT+Γ′（XT）·1NDtXT-ZTtkx（s，Xs）·1NDTXSD×经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺+EeP公司σzttbx（s，Xs）DtXsdWs-σzttbx（s，Xs）~b（s，Xs）DtXs×经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺×EeP公司经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺-1.N、 最后，如果▄k和▄b不依赖于x，我们可以进一步简化上述表达式，使用以下事实，即在ep，XTis下，有条件地依赖于Ft，一个具有平均Xt+RTt▄b（s）ds和方差协方差矩阵σ（T）的N维高斯随机变量- t） INYt=Xt·1N-ZTtk（s）·1Nds-N2η对数2πσ（T- t）+η对数ZRNeη1N·（x+Γ（x+Xt））-kx公司-RTt▄b（s）dsk2σ（T-t） dx公司.类似地，我们有qt=ησ1NZRN1+Γ′（x+Xt）·1Neη1N·x+Xt+Γ（x+Xt）-RTtk（s）ds-kx公司-RTt▄b（s）dsk2σ（T-t） 哦！dx，所以a（Zt）=BσkZRN1+Γ′（x+Xt）·1Neη1N·x+Xt+Γ（x+Xt）-RTtk（s）ds-kx公司-RTt▄b（s）dsk2σ（T-t） 哦！dxZRNeη1N·x+Xt+Γ（x+Xt）-RTtk（s）ds-kx公司-RTt▄b（s）dsk2σ（T-t） 哦！dx。我们在下面的定理中总结了以上所有内容。定理3.2。假设2.2、2.3、3.2和3.3成立。

那么，如果合同ξ（a）*) （其中ρi的选择使（3.4）保持不变）属于CF B，本合同对委托人来说是最佳的，其中最佳效力为由以下过程给出at： =BkηEeP公司ηDtXT+Γ′（XT）·1NDtXT-ZTtkx（s，Xs）·1NDTXSD×经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺+EeP公司σzttbx（s，Xs）DtXsdWs-σzttbx（s，Xs）~b（s，Xs）DtXs×经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺×EeP公司经验值η1N·XT+Γ（XT）-ZTtk（s，Xs）ds英尺-1.N、 当k和b不依赖于x toa时，这是很简单的t=BσkZRN1+Γ′（x+Xt）·1Neη1N·x+Xt+Γ（x+Xt）-RTtk（s）ds-kx公司-RTt▄b（s）dsk2σ（T-t） 哦！dxZRNeη1N·x+Xt+Γ（x+Xt）-RTtk（s）ds-kx公司-RTt▄b（s）dsk2σ（T-t） 哦！dx。值得注意的是，我们的框架允许考虑相当一般的Γ函数，例如允许考虑对其（平滑近似imate）在代理群体中的排名感兴趣的代理。然而，为了获得解的更明确表示，我们现在关注代理之间的一种特殊形式的比较准则，依赖于线性函数。3.3平均相对基准和线性比较图Γ在本节中，我们不再关注线性二次设置，而是通过施加假设3.4将讨论专门化到另一个可解框架。我们有Γi（x）=xi- \'\'x-i、 bi（t，a，x）=bi（t，a），ki（t，a，x）=ki（t，a），1≤ 我≤ N、 （a、x）∈ RN×RN。在这种情况下，我们有Γ（XT）·1N=γ-γ-· XT，其中γ∈ rN是第i个坐标为γi的向量，其中γ-对于任何人来说≤ 我≤ N、 （γ-)i： =γ-i、 3.3.1主要问题的显式解表示p：=γ-- 1N- γ。然后，主要问题可以重写为RA+NRPRAeRPRARA+NRPRTk∑tpkdtNYi=1ρiRiARPRPRARiA（RA+NRP）×supa∈AEPa“-ERPRARA+NRPp·ZT∑tdWateRPRARA+NRPRT（p·b（s，as）+1N·k（s，as））ds#。让a（t） 是映射a 7的任何（确定性）极小值-→ p·b（t，a）+1N·k（t，a）。

由于Wais是Pa下的布朗运动，很明显，上面出现的随机指数是一致可积鞅。因此，我们推导出F B≤RA+NRPRAeRPRARA+NRPRTk∑tpkdtNYi=1ρiRiARPRPRARiA（RA+NRP）×经验值RPRARA+NRPZT（p·b（s，as） +1N·k（s，as） ）ds.但通过选择动作a可以很容易地达到这个上限和合同ξ（a）) 如（3.2）所示。此外，由于是确定性的，它显然属于A，我们还有ξ（a）) ∈ CF B，因为它在具有任意阶指数矩的X中是线性的。最后，让我们计算代理i从该合同中获得的效用。回顾（2.5），wegetUi（（a):,i、 （a）):,-i、 （ξ）（a）))i） =RPρIrianj=1ρjRjARp！RPRARjA（RA+NRP）eRPRARA+NRPN·RTk（s，as） ds×EPa- 经验值RPRARA+NRPp·XT= -RPρIrianj=1ρjRjARp！RPRARjA（RA+NRP）eRPRARA+NRPN·RTk（s，as） ds+RPRARA+NRPRTp·b（s，as） ds×eRPRARA+NRPRTk∑tpkdt。因此，我们需要确定拉格朗日乘数（ρi）1≤我≤Nso我们有1≤J≤N、 j6=iρRPRARjA（RA+NRP）jρRPRARiA（RA+NRP）-1i=-RiARPAUi，1≤ 我≤ N、 （3.5）如果A>0由A定义：=e-RPRARA+NRPN·RTk（s，as） ds公司-RPRARA+NRPRTp·b（s，as） ds公司-RPRARA+NRPRTk∑tpkdt。然后，如果我们定义向量（B，R，log（ρ））∈ RN×RN×RNwithBi：=RA+NRPRPRAlog-里亚尔帕伊,Ri：=RiA，log（ρ）i：=log（ρi），然后通过取（3.5）两侧的对数，我们得到（3.5）实际上等价于求解线性系统NR编号-RA+NRPRPRAINlog（ρ）=B。然后可以直接检查NR编号-RA+NRPRPRAIN-1=-RPRARA+NRPRPNR+ 在里面.因此，我们最终得出ρi=-RPARiAUiNYj=1“-RPARjAUj#RPRjA，1≤ 我≤ N、 我们刚刚证明了下面的定理3。3.假设2.1、2.2、2.3和3.4成立。当一个最优契约ξF B时∈ CF Bin问题（3.1），带有预订实用程序（Ui）1≤我≤N∈ (-∞, 0）N，对于i=1。

，N，如果B：=RPRARiA（RA+NRP）（1N+γ- γ-) · XT公司- γi退出-十、-信息技术+ZTki（s，（a):,is）ds+RPARIA（RA+NRP）ZTb（s，as） ·（γ-- γ- 1N）ds-里亚洛格(-Ui）+2RiARPRARA+NRPZT公司∑s（γ-- γ- 1N）ds。（3.6）对于任何t∈ [0，T]，最佳动作aT∈ MN（R）是映射a 7的任何极小值-→（γ-- γ- 1N）·b（t，a）+1N·k（t，a）。此外，主函数的值函数为thenUP，F B=-NYi=1“-用户界面-RPRiA#eRPRA2（RA+NRP）RTk∑s（γ--γ-1N）kds+RPRT（k·1N-b·（1N+γ-γ-)（s，a）s） ）ds。3.3.2二维线性二次基准案例我们在这里专门讨论一种可以明确计算所有内容的设置，特别是代理的最佳操作。为了简单起见，我们选择N=2，A=A=R，以及b（t，A）：=a1,1- a1,2a2,2- a2,1！，对于任何a：=a1,1a1,2a2,1a2,2！∈ M（R），对于某些常数（k1,1，k1,2，k2,1，k2,2）∈ （R）+)k（t，a）：=k1,1a1,1+k2,1a2,1k2,2a2,2+k1,2a1,2!, 对于任何a：=a1,1a1,2a2,1a2,2！∈ M（右）。在此设置中，向量p仅由p=γ给出- γ- 1γ- γ- 1.代理的最佳效果在我们的上下文中，我们需要将isf（a）最小化的严格凸映射：=k1,1a1,1+k2,1a2,1+k2,2a2,2+k1,2a1,2- （1+γ- γ） （a1,1- a2,2）- （1+γ- γ） （a1,2- a2,1）。我们有Fa1,1=k1,1a1,1- 1.- γ+γ，Fa2,1=k2,1a2,1+1+γ- γ，Fa2,2=k2,2a2,2+1+γ- γ，Fa1,2=k1,2a1,2- 1.- γ+γ，使两种药剂的最佳作用区域:=1+γ-γk1,11+γ-γk1,2-1+γ-γk2,1-1+γ-γk2,2！。因此，例如，如果代理1比代理2更有竞争力，因此γ>1+γ，那么代理1将致力于他的项目，并将努力降低代理2项目的价值，而代理2将努力降低自己项目的价值，并增加代理1项目的价值。校长的最佳招聘方案我们现在问自己，校长应该招聘哪种类型的代理人。

更准确地说，考虑到许多代理之间的选择，主体的最佳参数（γ，γ）是什么？从我们的一般结果来看，主体的问题是使其值函数最大化，这相当于最小化mapg（γ，γ）：=（1+γ- γ） α+（1+γ）- γ） α，其中α：=RPRARA+2RPσ-k1,1+k2,2, α： =RPRARA+2RPσ-k1,2+k2,1.那么，很明显如果α+α≤ 0，委托人希望雇佣|γ的代理人- γ|-→+∞, 如果α+α>0，委托人希望雇佣γ- γ=α- αα+α。请注意，这种情况对于委托人来说是最佳的，但对于雇佣的代理来说也是最佳的，因为在任何情况下，他们都会收到预订实用程序。更重要的是，让我们强调，在我们的模型中，委托人应该雇佣具有不同竞争意愿的代理人。公司通过雇佣具有不同竞争优势的代理人获得经济收益。3.3.3经济解释我们获得的最优合同的一般形式为（ξ)i（a）) = Ci+RPRARiA（RA+NRP）（1N+γ- γ-) · XT公司- γi退出-十、-信息技术,对于某些常量Ci，允许满足参与约束。因此，委托人将对每个代理人处以-γi（XiT-十、-它），以抑制绅士的竞争欲望。更准确地说，表现好于平均水平的经纪人将受到处罚，而表现差的经纪人将获得免费，具体数额使他们与其他经纪人的表现不同。竞争性代理的报酬较低，但每个其他代理都有参与竞争性代理项目的动机。此外，每个代理人从每个项目中获得正的部分报酬，该百分比取决于代理人的风险厌恶程度，以及通用vectorRPRARA+NRP（1N+γ-γ-).因此，对于任何1≤ 我≤ N、 第i个项目终值的分数，与1+γi成比例-γ-我

因此，这意味着，与其他代理相比，如果一个代理具有特别的竞争力，那么所有代理都将获得其项目的很大一部分，这将激励他们不要违背这个特定代理的利益。相反，如果代理iis不是很有竞争力，那么其他代理可能会受到处罚（如果1+γi-（γ-)i<0），从而激励他们尽可能降低其项目的价值。请注意，竞争代理的目标函数是，每当他的项目成功时（与其他项目相比），他在时间0时需要的工资就更少，因为游戏的效用值相似。因此，我们观察到，委托人应将具有竞争力的代理人分配给成功概率最高的项目，即波动性最小的项目和可能从其他代理人的帮助中受益的项目。同样，值得注意的是，雇佣具有不同竞争偏好的代理人符合企业（即委托人）的利益。4次优问题在本节中，我们考虑存在道德风险时的所谓次优问题。在这种情况下，委托人无法观察代理人选择的行动，只能控制他所提供的服务。与Holmstr"omand Milgrom【44】的单主体案例相比，这里的主要困难在于，给定合同ξ，我们必须能够找到主体之间相互作用的平衡结果。由于代理同时进行博弈，我们正在寻找纳什均衡。4.1代理的纳什均衡4。1.1定义和假设利益均衡的概念是纳什均衡。这需要首先进行定义。对于任何i=1。

，N，对于任何动作a-ivalued单位：MN，N-1由所有代理人共同决定，我们确定了setAi（a-i） :=（as）0≤s≤T、 RN值，因此ia公司-我∈ A..定义4.1。给定一个契约ξ，N个代理的纳什均衡是一个动作a（ξ）∈ a对于任何i=1，N、 我们有SUPA∈Ai（（a):-i（ξ））Ui（a，（a):,-i（ξ），ξi）=Ui（（a):,i（ξ），（a):,-i（ξ），ξi）。由于纳什均衡的唯一性更像是一个例外而非规则，我们还需要假设代理社区已经同意了一个在不同均衡之间进行选择的共同规则。更准确地说，我们得到了RN上的一个总阶，我们用. 例如，我们可以考虑确定的订单，对于任何（x，y）∈ RN×RNx y、 ifNXi=1Ui（xi）≤NXi=1Ui（yi），对于某些给定的实用功能（Ui）1≤我≤N、 这意味着代理社区更倾向于Nas h平衡，这将使代理的总效用最大化。此外，我们假设如果代理社区是不同的（对于订单) 在各种平衡之间，我总是选择对委托人最有利的平衡。4.1.2最佳反应函数找到试剂潜在纳什均衡的第一步是能够描述试剂的所谓反应函数。因此，我们从解决后一个问题开始，对于i=1，N、 对于给定的合同ξ和其他代理人a的可接受行为-我∈ 锰，氮-目前，我们对合同的可受理条件仍相当含糊，因为这些条件稍后会自然出现。

因此，以下论点可以看作是这方面的启发。让我们首先定义代理i byUi的价值函数（a-i、 ξi）：=supa∈Ai（a-i） 美国环保局ia公司-我- 经验值-RiA公司ξi+Γi（XT）-ZTki（s、as、Xs）ds.然后给出了这个随机控制问题的动态版本，对于任何t∈ [0，T]byUit（a-i、 ξ）：=ess supa∈Ai（a-i） 美国环保局ia公司-ih公司-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTtki（s、as、Xs）ds）Fti。然后确定任何a∈ Ai（a-i） Uit（a，a-i、 ξi）：=EPaia公司-ih公司-E-RiA（ξi+Γi（XT）-RTtki（s、as、Xs）ds）Fti。然后，eRiARtk（s，as，Xs）dsUit（a，a-i、 ξ）应为an（F，Paia公司-i） -鞅。因此，根据鞅表示性质，应该存在一个RN值和F-可预测的过程，以达到完美的严格性，表示性质必须应用于测度P，因为没有理由通常P仍然满足它。这意味着必须使用Bayes公式来表示（a，a-i、 ξ）作为P下的条件期望，然后应用表示性质。

我们感谢萨伊达马丹向我们指出了这一问题。eZi，a，a-i、 ξi在应用其公式（a，a）后-i、 ξi）=- E-RiA（ξi+Γi（XT）+ZTtRiAUis（a，a-i、 ξi）ki（s，as，Xs）ds-中兴通讯-拉斯基（u、au、Xu）dueZi，a、a-i、 ξis∑sdWaia公司-是，0≤ T≤ T、 根据Wa的定义ia公司-i、 我们推断，对于任何t∈ [0，T]，Uit（a，a-i、 ξi）=- E-RiA（ξi+Γi（XT）+ZTtRiAUis（a，a-i、 ξi）Zi，a，a-i、 ξis∑sdWs-ZTtRiAUis（a，a-i、 ξi）b（s，as）ia公司-is，Xs）·Zi，a，a-i、 ξ为- ki（s、as、Xs）ds，a.s.，其中我们引入了符号Zi，a，a-i、 ξit：=-E-RiARtki（s、as、Xs）dsRiAUit（a、a-i、 ξi）eZi，a，a-i、 ξit，dt×dP- a、 e.那么，如果我们设置i，a，a-i、 ξit：=-日志-Uit（a，a-i、 ξi）RiA，t∈ [0，T]，a.s.，我们通过It^o的公式进行推断（记住Ui（a，a-i、 ξi）定义为正）对于任何∈ [0，T]，a.s.，Yi，a，a-i、 ξit=ξi+Γi（XT）-ZTtZi，a，a-i、 ξis∑sdWs+ZTt-RiA公司∑sZi，a，a-i、 ξ为+ b（s，as）ia公司-is，Xs）·Zi，a，a-i、 ξ为- ki（s、as、Xs）ds。上述方程可以被识别为一个线性二次型反向SDE，终端条件为ξi+Γi（XT），生成器为fi，a-i： [0，T]×Ohm ×RN×RN-→ R、 定义任何（t，ω，z，a）∈[0，T]×Ohm ×RN×RNby▄fi，a-i（t，ω，z，a）：=-RiAk∑tzk+b（t，aia公司-it（ω），Xt（ω））·z- ki（t，a，Xt（ω））。然后确定，对于任何（t，ω，z）∈ [0，T]×Ohm ×RN，映射fi，a-i： [0，T]×Ohm ×RN-→ R、 byfi，a-i（t，ω，z）：=-里亚克∑tzk+supa∈Ai（a-（一）b（t，aia公司-it（ω），Xt（ω））·z- ki（t，a，Xt（ω））.然后假设具有终端条件ξi+Γi（XT）和发电机fi的BSDE，a-iadmits最大溶液（Yi，a-i、 ξi，Zi，a-i、 ξi），也就是说对于任何t∈ [0，T]Yi，a-i、 ξit=ξi+Γi（XT）+ZTtfi，a-我s、 Zi，a-i、 ξ为ds公司-ZTtZi，a-i、 ξis∑sdWs，a.s。，（4.1）对于满足（4.1）的任何（~Y，~Z），我们有Yi，a-i、 ξi·≥Y·，a.s.此外，假设比较定理适用于（4.1）的最大解。

然后，由于金融机构的定义是最高的-I总是通过假设2.2和2.3得出，我们立即得出，我们实际上有I，a-i、 ξit=ess s upa∈Ai（a-i） 易，a，a-i、 ξit，t∈ [0，T]，a.s.，这意味着-i、 ξi）=- 经验值-里亚伊，a-i、 ξit, T∈ [0，T]，a.s.，且给定合同ξi和行动a，代理人i的最佳行动-其他特工的信息由anya提供*,i、 a-i、 ξit∈ argmaxa∈Ai（a-i） fi，a-我t、 Zi，a-i、 ξit，a, dt×dP- a、 当然，为了使我们之前的论证真正有意义，BSDE必须承认最大解并满足比较定理。为了讨论这些问题，让我们首先列出以下lemmaLemma 4.1。假设2.2和2.3成立。那么，对于一些常数C>0 | fi，a-i（t，z）|≤ C1个+A.-我+ kzk公司,和任何最大化器a在金融机构的定义中-isatis fieska公司（t，z）k≤ C1+kzkl-1..证据首先，注意对于任何（t，z）∈ [0，T]×RNfi，a-i（t，z）：=-里亚克∑tzk+supa∈Ai（a-（一）NXj=1bj（t，（aia公司-it）：，j，Xt）zj- ki（t，a，Xt）.那么，我们有SUPA∈Ai（a-（一）NXj=1bj（t，（aia公司-it）：，j，Xt）zj- ki（t，a，Xt）≤ 苏帕∈注册护士NXj=1bj（t，（aia公司-it）：，j，Xt）zj- ki（t，a，Xt）=NXj=1bjt、 （a）（t、z、Xt）ia公司-it）：，j，Xtzj公司- ki（t，a（t，z，Xt），Xt），其中a（t、z、Xt）验证一阶条件北京aj（t，（a（t、z、Xt）ia公司-it）：，j，Xt）zj=ki公司aj（t，a（t，z，Xt），Xt），j=1，N、 自bjand公司ki（t，a（t，z，Xt），Xt）/ka（t，z，Xt）kl-1根据假设2进行界定。2和2.3，我们立即推断，对于某些常数C>0ka（t，z，Xt）k≤ C1+kzkl-1..最后，自l ≥ 2，我们有l/(l - （1）≤ 2，由此得出所需的结果。因此，通过引理4.1，BSDE（4.1）的生成元在z上具有二次增长。因此，解的存在性由[51，6，1]的结果保证，例如，只要ξi∈ Mφ（R）。