激励金融网络的弹性

这可以通过以下recursivedynamics实现∈ N我们引入δ来表示在终端时间t=t时发生的分类动态中的迭代步骤数。Eit（δ）=最大值0，Eit（δ- （1）-Xj：σj（δ-1） =F和“Aijt>0”Aijt（7） σi（δ）=如果Eit（δ）=0和σi（δ），则F（失败）- 1） =如果Eit（δ）>0I（非活动）如果σi（δ），则为HH（健康）- 1） =F或σi（δ- 1） =如果σi（δ）=F或θit（δ），则i和θit（δ）=1- 1） =1，（8）设置所有气缸组i的初始条件σi（0）=H和θit（0）=0∈ N和Ejt（0）=外部违约银行集合中任何j部分的0。由于任何银行的外部违约都会触发终端时间T，因此我们可以在上述递归中写入T=T。该递归动态将在有限步数‘△后停止，任何银行i将处于状态θiT=θiT（‘△）=1（破产）或θiT=θiT（‘△）=0（未破产）。这可以看作是Battiston等人（2012）引入的DebtRank机制的简化版本，并在Thurner和Poledna（2013）中使用。它确实更接近于Fur fine（2003）中研究的标准默认级联算法。为简单起见，上述级联机制假设对违约贷款没有恢复，并且只有当银行处于“破产”状态（即θit（δ）=1）时，银行才会违约。因此，只要银行拥有正权益EiT（δ），它就可以全额偿还贷款。这是艾森伯格和诺伊（2001）的精神。然而，这些假设并不影响我们结果的性质。这种递归避免了金融网络中的混响，因为银行只能传递一次破产冲击，即当银行处于σi（δ）=F（失败）状态时。然后变为“非活动”（即σi（δ+1）=i），不再传输默认值。我们现在可以确定i银行破产对系统的影响。定义3。

时间t时银行i的系统性影响被定义为i（(R)at，~ Et）=Xj6=i{θjt（(R)δ）=1 |θit（1）=1}Ejt。（9） 可以使用这种破产级联机制的其他变体，它不会影响我们结果的性质。另一种违约机制是Battiston等人（2012年）的违约机制，在该机制中，如果银行自己的一个索赔人拖欠贷款，银行将向其索赔人偿还减少的金额。因此，SIi（\'At，~ Et）代表i破产后银行间系统的总损失值（由破产银行损失的总股本衡量）。该数量显然取决于银行间网络的拓扑结构，如净风险矩阵dependenceon\'At所示。这自然也取决于所有银行的股票向量~ Et=[Et，Et，…，Ent]>。因此，我们将系统性风险的度量定义如下。定义4（预期系统性损失）。ESL（\'At，~ Et）=nXj=1'ρj·SIj（\'At，~ Et）（10），其中'ρjis是j银行在下一个时期内第一个外部破产的概率。方程式（10）是时间t前一个时期的预期系统性损失，其推导见Poledna et al.（2015）。这是一种方便的系统性风险定义，因为它允许将与外部业务风险相关的外部效应（即ρj）与与传染外部性相关的网络效应（即SIj（(R)At，~ Et））分开。使用S=1的引理2，我们可以表示‘ρjas1.- E-γaggγiγ聚集。因此，在时间t从i扩展到j的贷款（即在网络中添加定向边缘ij）将对系统风险产生以下影响：ESL（ij）=ESL（(R)At-1+ij-ji，~ Et）- ESL（(R)At-1，~东部-1） （11）其中，i是一个零矩阵，位置（i，j）为1，位置为\'At-1是净风险矩阵x时间t- 1在移除将于时间t到期的贷款后。该数量可以是正的，也可以是负的：某些交易可能会增加系统风险（例如。

通过增加网络风险敞口的周期），而其他人可以减少风险敞口（例如通过双边净额结算打破网络风险敞口的周期）。更一般而言，匹配的ut会产生如下预期系统性损失的变化ESL（ut）=ESL（°At，~ Et）- ESL（(R)At-1，~东部-1） （12）其中“At=”At-1+Pi:i∈Lt，i6=ut（i）{i，ut（i）}-Pj:j∈Bt，j6=ut（j）{j，ut（j）}。换言之，“Atis”是由匹配的ut.3.2银行对总失败概率的信念形成的净风险矩阵。S期贷款在时间t的内生违约概率qjt，Sof借款人j是由于破产级联而违约的可能性。要想降低利率并不简单，因此忽略了非破产银行可能损失的股本。然而，这种简单的系统影响度量选择并不影响我们结果的性质。Poledna和Thurner（2016）对系统性风险的定义。它是基于基于机构初始违约的所有可能组合的组合参数推导出来的。这种可能性。事实上，这取决于未来几年网络拓扑的演变。期望银行能够预见到这一点是不合理的。评估这种默认概率的一种更现实的方法是假设网络拓扑在接下来的S周期内保持优越性。因此，我们可以将qjt，S=Xk6=j{θjt（(R)δ）=1 |θkt（1）=1，在-1，~东部-1} (R)ρkS。（13） 在等式（13）中，我们可以看到指示符函数{θjt（(R)δ）=1 |θkt（1）=1，At-1，~东部-1} 对于因k的外部失效导致j银行级联失效的事件，以前期净风险敞口矩阵为条件-1，关于股票向量~Et-因此，借款人j在时间t对S期贷款的（总）失败概率可以方便地表示为ρjt，S=(R)ρjS+（1- ρjS）qjt，S。

（14） 这是指借款银行要么因外部原因违约，要么因偿付能力级联而违约的概率。该表达式方便地将外部效应（与银行投资的风险外部资产相关的内在业务风险）与银行间贷款网络相关的传染效应分开。在一个没有系统性风险的理想体系中，贷款人只需关注借款人外部破产的风险，即“ρjS”。3.3均衡匹配的效率我们现在将说明双边合约机制如何无法将其产生的系统风险外部性内部化。实际上，在双边合同中，贷款人只考虑借款人的违约风险，而借款人只关心其支付的利率。任何一方都没有动机将交易产生的系统性风险外部性内部化。让我们考虑图3中的示例。在这里，我们假设所有银行都以相同的概率ρS发生外部失败。假设所有银行的Eit=5000万美元，每个对冲是6000万美元的贷款，那么任何银行的外部失败都会触发所有银行的失败。因此，总失败概率遵循ρt，S>ρt，S>ρt，S。我们假设r<r<rso借款人更喜欢贷款银行3而不是贷款银行2而不是贷款银行1。（a）和（b）中的网络是仅有的两种可能的平衡。请注意，由于借贷银行1提供的贷款利率最高，因此借贷银行1保持不匹配，而借贷银行6保持不匹配，因为所有借贷银行提供的贷款利率都超过其保留利率（即“r<r3,6<r2,6<r1,6”）。在图3（a）中，我们看到，贷款银行3和贷款银行5之间的交易产生了大量的系统性风险。事实上，系统性风险通过贷款传播。

要看到这一点，请注意，3号银行具有很高的系统影响：如果3号银行违约，就会引发7、8和9号银行的破产。然后，3号银行向5号银行发放的贷款使5号银行继承了这一高度的系统性影响。事实上，5号银行的倒闭现在引发了3号银行以及7号、8号和9号银行的破产。银行3也是图3（b）中其他均衡配置中均衡匹配的一部分，具有类似的结果。另一方面，图3（c）中的网络配置产生的系统风险大大降低。事实上，在这种均衡匹配中，贷款银行1和2的系统性较低。图3：一个玩具示例：均衡多重性。假设所有银行都以相同的概率ρS外部破产。假设所有银行的Eit=5000万美元，每个边缘都是6000万美元的贷款，那么任何银行的外部破产都会触发其路径上所有银行的破产。因此，总失败概率遵循ρt，S>ρt，S>ρt，S。我们假设借款人更喜欢贷款银行3而不是贷款银行2而不是贷款银行1。我们还认为r3,4<r2,4<r1,4<rand r3,5<r2,5<r1,5<rso，借款银行4和5愿意从任何贷款银行借款，而“r<r3,6<r2,6<r1,6”，因此银行6的违约风险使得借款过于膨胀。（a）和（b）部分显示了两种可能的平衡。两种平衡都有较高的ESL。（a）中的ESL为“ρ·16·50百万美元”，而（b）中的ESL为“ρ·13·50百万美元”。第（c）部分显示了低ELS匹配，实现了相同的交易量，但这种匹配无法保持平衡。其ESL仅为1千万美元。温度影响（在本例中，SI=0和SI=0）。然而，双边签约机制不允许这种匹配在平衡中出现。事实上，第三银行提供的贷款是所有贷款银行中最低的，其风险溢价不足以阻止第四银行和第五银行向其借款。

风险溢价实际上只考虑了借款银行的违约概率，而没有考虑与系统影响较大的银行进行交易所产生的系统性风险。因此，贷款银行3必然是任何均衡匹配的一部分。双边合约机制下可能出现的多重均衡（参见命题1）对系统性风险有不同的影响。给定一定的交易量，理想的匹配u是将系统性风险降至最低的ESL（(R)At，~ Et）。为了帮助美国定性可能出现的不同平衡，以下定义将非常有用。定义5（系统性风险效率均衡）。假设位于-1是净风险矩阵x时间t- 1、给定时间t的流动性市场（Bt、Lt、P），让'a*平衡匹配u形成的净暴露矩阵*t、 对于任何交易量v，平衡u*,efftis系统风险系数（如果u）*,效果∈ argmin{ut∈EQt:V ol（ut）=ν}ESL（(R)At，~ Et）（15），其中EQt表示所有ut（i）=j，对于i∈ Ltandj公司∈ Bt.因此，如果均衡匹配能够在一定的交易量下将系统风险降至最低，那么均衡匹配就是系统风险。请注意，系统性风险系数匹配可能并不总是可能平衡方程组的一部分。在这种情况下，平衡可能是无效的。图3中就是这种情况。图3（a）-（b）中的两个可能平衡是无效的。事实上，图3（c）中的匹配对于交易量ν=2而言是系统性风险系数，但它不能保持平衡。然而，在EQt=EQt的情况下，平衡时可能会出现非系统风险匹配。在下一节中，我们将介绍一种税收机制，允许审慎的监管机构选择一种独特的系统性风险效率均衡。3.4系统风险税（SRT）3.4.1任何（离散）决策时间t的定义和理论结果∈ {0，1，2，…}，调节器（例如。

中央银行）拥有有关银行间系统当前信贷拓扑结构的信息（即了解）希望通过影响潜在贷款人和借款人之间的匹配来控制银行间网络的形成，以达到预期的系统风险水平。因此，问题是她如何激励银行，使其形成理想的均衡匹配*T她可以通过交易税来实现这一点，这将有助于重新安排借款人对贷款人的偏好。设T={τij}，其中i∈ Ltand j公司∈ 因此，Bt.T是交易特殊税的| Lt |×| Bt |矩阵。我们假设τij≥ 0.τij是j银行向i银行借款时，对其支付的利率进行的加价。然后，借款银行j支付rTij=ri+hij+τij，而不仅仅是rij=ri+hij。在T下，借款人的预期付款（参见等式（2））变为∏jβ，T（i）=1-（1+rj）S（1+ri+hij+τij）S.（16）贷款人的预期收益（参见公式（1））保持不变，因为监管机构征收的税收τij不变。因此，可以有效地重新排序每个借贷者对一组债券的偏好。这使得监管者可以创建不同的偏好，即每个借款人都不能有不同的偏好列表Pjβ。请注意，由于系统的所有信息都是众所周知的，借款人的违约概率ρjt，以及贷款人的基准贷款利率ri，对于所有i，j∈ 监管机构也知道。后者可以计算风险溢价hij。我们还假设，对于所有j∈ N，是监管机构已知的。因此，监管机构了解银行的支付情况。我们将表明，通过正确选择T，监管机构可以重新排序借款人j的偏好列表Pjβ，以便任何期望的匹配^uT∈ EQtis维持唯一平衡。

由于该税允许她确定系统性风险效率平衡，我们将该税称为系统性风险税（SRT）。定理1（系统风险税下的均衡唯一性）。设（Lt，Bt，P）为时间t和时间i的任何流动性市场∈ Ltand j公司∈ Bt.对于所有ut（i）=j的任何可能匹配ut，存在一个SRT t，使得u*,Tt=u这是唯一的稳定匹配。可维持为唯一平衡的可能稳定匹配集是在没有SRT的情况下可能出现的可能稳定匹配集的超集，即EQt EQt。定理1指出，选择适当的SRT可以选择双边合约机制下可能出现的任何多重平衡。它还可以选择某些没有税收就无法维持平衡的匹配。此外，在SRT下，这种平衡是唯一的。直觉是，借款者的偏好可以任意调整，这足以产生任何期望的稳定匹配，而不考虑贷款人的偏好。在税收选择的这一独特均衡下，没有任何银行联盟可以同意重组其匹配的合作伙伴，以使他们都从中受益。事实上，根据该税，每个借款人都选择与其首选对手进行交易。即使我们假设借款银行之间的沟通有限，这种独特的均衡也可以可信地从一个系统中产生，在这个系统中，借款银行向监管机构（如中央银行）征求贷款银行的报价。这些报价是他们可以向每个贷款人借款的利率。根据SRTT，他们将选择从利率最低的银行借款，这与独特的均衡结果相对应。

还要注意的是，可以在税收下唯一保持的平衡集比原始平衡集大。注意，在特殊情况下，当Tij=κ时，对于所有i，j，则T减少为类托宾税。另一方面，托宾税不允许监管者诱导均衡唯一性，也不允许增加可在均衡中维持的候选匹配集。还需注意的是，由于贷款人与贷款对象无关，或者如果贷款人有任何贷款，监管机构的行为（即税收τij）不会影响贷款人的均衡行为。税收只影响借款人的均衡行为。只会减少可能的高交易量均衡。这将在下一个命题中正式化。提案2（托宾税）。让（Bt、Lt、P）成为时间t和leti的流动性市场∈ Ltand j公司∈ Bt.设κ为类托宾税，即rκij=ri+hij+κ。然后，在双边收缩机制下：（i）任何匹配的utsuch，对于任何ut，rκij<rj（i）=j，对于任何m∈ l因此ut（m）=m是稳定的，即u*,κt=ut。我们用等式κt表示此类平衡的集合；（ii）时间t的交易量限定如下：maxu*,κt∈EQκtV ol（u*,κt）≤ 最大u*T∈当量ol（u*t） 。托宾税不允许监管机构对借款人的优惠名单进行重新排序。事实上，所有借款人的偏好都是同质的，但有些交易变得过于昂贵，因此在均衡中无法持续，因此交易量可能会减少。因此，托宾税不能让监管者确定一个独特的系统风险效率均衡。然而，适当选择SRT T可以实现这一点。下一个结果具有重要意义。它指出，监管机构始终可以选择特定的交易税，以便在不牺牲交易量的情况下降低系统风险。

这一结果背后的直觉是，交易特定税具有排序每个借款人对贷款人偏好的效果，这有助于实现贷款人和借款人之间的有效匹配。这可能导致系统风险较低和/或交易量较高的匹配。另一方面，托宾税不分青红皂白地对每笔交易平均征税。这会减少借款人愿意与之交易的贷款人的数量，而不会重新安排这些借款人的偏好。因此，它只是通过减少可能的匹配集来减少事务量。提案3（系统风险税下的系统风险）。设（Bt、Lt、P）为t时的流动性市场。给定净风险敞口矩阵-1时间t- 1，让“A”*,Tt，’A*,κtand'A*t通过平衡匹配u，在时间t形成的净敞口矩阵具有SRT t、类托宾税κ和无税*,Tt，u*,κ和u*t、 分别为。然后，（i）对于任何u*T∈ EQt，使V ol（u*t） =ν，存在t使得ESL（(R)A*,Tt，~ Et）≤ESL（(R)A*t、 ~Et）和V ol（u*,Tt）≥ V ol（u*t） ；特别是，不存在这样的情况：*,TTI的系统风险系数。（ii）对于任何u*,κt∈ EQκt，使得V ol（u*,κt）=ν，存在t使得ESL（(R)A*,Tt，~ Et）≤ESL（(R)A*,kt，~ Et）和V ol（u*,Tt）≥ V ol（u*,kt）。因此，对于双边合约机制下流动性市场的任何结果，我们可以设计一个SRT，以实现更低的系统风险和潜在更高的交易量。直觉是，anSRT能够唯一维持的一组可能的高交易量均衡匹配比托宾税或根本不征税的均衡集更大。命题3意味着SRT可以确定任何给定交易量的系统性风险效率均衡。