激励金融网络的弹性

Ri是银行i对其户主客户的存款支付的利率。为了简化分析，我们假设银行间形成的贷款具有相同的S期到期日。这并不影响我们结果的性质，附录第5.5节对如何放松这一假设进行了讨论。假设1。银行SI和j之间在时间t进行的银行间贷款的到期时间Stijo等于S∈N+，即stij=S周期。因此，向借款银行j贷款的借款银行i的预期付款∏iλ（j）=（1+ri）S（1- ρjt，S）（1+ri+hij）S- 1（1）式中ρjt，S=P{t∈ 【t，t+S】：Ejt<0}是指借款银行j将拖欠该S期贷款的概率，并向j银行收取风险溢价以补偿该信贷风险。公式（1）是到期时从j银行收到的预期付款（假设在违约情况下无法收回）减去立即借出的金额。到期时收到的预期付款按利率ri贴现，ri是banki向其家庭客户借款的利率（即支付的存款利率）。设定风险溢价是为了使贷款人区分风险贷款和阿里斯克自由贷款。因此，两笔贷款的预期收益相同。使用公式（1），推导公平风险溢价的公式很简单，这在下面的引理中得到了形式化。引理1（风险溢价）。贷款银行设定的公平风险溢价i∈ LTA借款银行j∈ bt违约概率ρjt，Sis hij=1+ri（1-ρjt，S）1/S- 1.- 国际扶轮社。用hijin公式（1）代替，很容易看出贷款银行i从向任何银行j的贷款中获得相同的预期收益。我们在整个过程中假设违约概率大小。ρjt的表达式将在后面的第3.2节中给出。ρjt是常识，因此任何贷款银行都可以计算风险溢价hij。

我们将在后面的第3.2节中看到如何计算ρjt，Scan。从银行i借款的借款银行j的预期付款∏jβ（i）=1-（1+rj）S（1+ri+hij）S.（2）这是指其在S期内立即收到的金额减去到期时必须支付的贴现付款。这一未来付款再次被其可以从自己的家庭客户那里借款的利率（存款支付的利率）贴现。请注意，借款银行在计算其预期付款时，不会考虑自身的违约风险。然而，这样做不会影响我们的结果，这一点稍后就会清楚。借款银行j通过尝试从提供最低贷款利率的银行借款来最大化其预期收益rij=ri+hij。2.2.3偏好列表刚才描述的双边合约机制会产生偏好。事实上，银行对他们想和哪家其他银行进行交易有偏好：若j银行需要流动性（即j∈ 英国电信），它更愿意从提供最低贷款利率的银行借款。所有银行都有一个保留利率RJ，因此他们不愿意向利率过高的银行借款。因此，使用匹配市场文献中的标准工具，借款银行j的偏好可以用潜在贷款人集合Lt上的有序列表Pjβ来表示。因此，借款人j的偏好的形式为Pjβ=a、b、j、c。。。表明其第一个选择是向贷款人a借款，第二个选择是向贷款人b借款，第三个选择是不向任何人借款（即hencea对自己的偏好j），第四个选择是向贷款人c借款等。我们假设可以严格订购ri。然后，贷款人将严格按照其提供的利率进行排序：raj<rbj<rj<rcj<。。。

.另一方面，如果银行∈ LTI在流动性供应方面，风险溢价与其他银行∈ Btit借钱给。我们可以用piλ=d来表示其偏好列表~ E~ F~ ... .在本文的其余部分中，我们编写了Pjβ（a） Pjβ（b）表示j更喜欢从a而不是从b借来。同样，我们将写出Piλ（d）~ Piλ（e）表示i在向d或e贷款之间是不一样的。在第5.2节中，我们将研究风险管理策略，通过该策略，贷款人比借款人拥有严格有序的偏好列表。因此，可以得到Piλ（d） Piλ（e）。2.2.4双边匹配用P表示偏好列表集：P={Paβ，Pbβ，Pcβ，…，Pdλ，Peλ，Pfλ，…}。（3） 例如，参见Gale和Shapley（1962）或Roth和Sotomayor（1992）。例如，当Ri从连续分布中提取时，会出现这种情况。然后，可以（几乎肯定地）对ri进行严格排序，这会导致对潜在贷款人集合Lt的严格偏好。图1：由示例1中贷款人集合Lt和借款人集合Bt之间的匹配ut诱导的二部图Mt。时间t的银行间流动性市场由三重（Bt、Lt、P）表示。时间t时银行间市场的均衡结果是一个二部图，表示潜在贷款人和借款人之间的一组匹配。一般来说，并非每家银行都可以匹配——一些银行可能无法进行交易，因为所有的流动性都可能在其他银行之间交换。一些银行也可能不进行交易，因为交易条件过于苛刻，他们不愿意进行交易（即“rj<rij”）。定义1（匹配）。时间t处的匹配ut是从集合N到自身的一对一对应关系，因此对于任何b∈ Bt，如果ut（b）6=b，则ut（b）∈ anyl的Ltand∈ Lt，如果ut（l）6=l，则ut（l）∈ Bt.示例1。

例如，设N={1，2，…，9}，Lt={1，2，3，4}，Bt={5，6，7，8，9}。然后我们可以写出ut=4 1 2 3（5）6 7 8 9 5，这样ut（4）=6和ut（6）=4，因此银行4向银行6贷款，ut（1）=7和ut（7）=1，因此银行1向银行7贷款，依此类推。请注意，ut（5）=5，因此没有人借给银行5，银行5仍然是单独的（或不匹配的）。匹配在潜在借贷者和借贷者集合上产生一个有向二部图Mt={Bt，Lt，Et}，其中Et={ij：u（i）6=i和i∈ Lt，u（j）6=j和j∈ Bt}是连接贷款人和借款人的一组有向边。每个边的重量是交换的液体量，即|it |=1。注意，Mt中没有自环。因此，示例1中的自匹配ut（5）=5从Mt中排除。这在图1中示出。为了使匹配能够可靠地从银行的个人决策中产生，它必须在战略上保持稳定，即任何银行都不能通过不同的行为获得收益（即增加支付）。这意味着，市场上对立的两家银行（即借贷双方）都不应该通过放弃匹配的交易对手而相互交易来获得更好的效果。同样，如果匹配的交易对手不同，则任何借款人都不应因同意交换其指定的贷款人而受益。最后，任何一家单一银行都不应因单方面拒绝与其对手进行交易而受益。这就引出了对稳定匹配的定义，这是我们均衡概念的基础。定义2（稳定匹配）。相配的*如果：（I）（成对偏差）对于所有I，l∈ Lt和k，j∈ bt使u*t（i）=j和u*t（k）=l，它不能同时是Piλ（k） Piλ（j）和Pkβ（i） Pkβ（l）；（二） （联合偏差）Let~b∈ b是一组借款人，使其指定的贷款人与b中的任何借款人（即j、k中的任何借款人）不同∈~b、 Pu*t（j）λ（j）~ Pu*t（k）λ（j）。

因此，对于所有j，不能有另一个匹配的ut∈~b、 Pjβ（ut（j）） Pjβ（u*t（j））；（三） （单边偏差）对于任何j∈ bt使u*t（j）6=j，它不可能是Pjβ（j）Pjβ（u*t（j）），对于任何j∈ Bt，它不可能是Pjβ（k） Pjβ（u*t（j））对于某些k∈ Ltsuchthatu*t（k）=k。条件（I）规定，在稳定匹配中，市场相对方的任何两家银行（即贷款人和借款人）都不能从放弃当前交易伙伴和同意共同交易中受益。条件（II）规定，如果借款银行的贷款人不同，则任何借款银行都不能同意交换对方。最后，条件（III）简单地指出，在稳定匹配中，任何一家借款银行都无法从单方面打破其当前交易关系、不与任何人交易或与不同的不匹配贷款人交易中获益。这种稳定匹配的概念类似于Gale和Shapley（1962）提出的概念，它已广泛应用于双边匹配市场，例如学生与学校的匹配（Abdulkadiroglu和S¨onmez（2003））、医学院毕业生与医院的匹配（Roth（1984）、Roth和Peranson（1999）），以及肾捐赠者与受者的匹配（Roth et al.（2003））。然而，标准匹配问题通常意味着市场每一方的代理对另一方都有严格的偏好。虽然条件（I）抓住了这一点，但条件（II）允许我们处理第2.2.2节介绍的承包机制中出现的投标人差异。为了处理这种情况，我们允许借款方的代理人交换交易对手，如果他们从中受益的话。给定稳定匹配u*t时间t，定义交换的流动性（或交易量）asV ol（u*t） =十一∈LtSBt{u*t（i）6=i}。

（4） 由于条件II的存在，一些人实际上会称之为联合稳定匹配。然而，为了简洁起见，我们在整篇文章中将其称为稳定。我们的均衡概念也类似于网络编队游戏文献中引入的概念，例如Jackson和Watts（2002），Jackson和Wolinsky（1996）。关键区别在于，我们通过一系列平衡匹配动态形成网络，而不是静态形成网络。因此，我们的均衡概念更好地适应了动态形成的金融网络的形成，通过在贷款人和借款人之间形成均衡匹配。关于解释偏序差异的一般化，见欧文（1994）。命题1（双边契约下的均衡多重性）。Let（Bt、Lt、P）是时间t和Let i的流动性市场∈ Ltand j公司∈ Bt.在双边收缩机制下，任何匹配的ut sch，对于任何ut（i）=j，rij<Rkj对于任何k∈ l使得ut（k）=k是稳定的，即u*t=ut。我们用eqt表示此类平衡集。此外，时间t的交易量限定如下：V ol（u*t）≤ 最小值（| Bt |，| Lt |）。上述主张表明，任何匹配，如收取的贷款利率严格低于银行的保留利率，且严格低于任何不匹配贷款人提供的贷款利率，都可以保持平衡。事实上，放款人不知道向哪家银行放贷，他们会同意与任何借款银行进行交易。借款银行对向哪家银行借款有严格的偏好：他们倾向于提供较低利率并与之交易（如果有）的银行。如果利率高于其保留利率，则借款银行不会与该贷款人进行交易。

交换的总交易量（发放的贷款总数）以最小的贷款人和借款人的心意为界限。正如我们将在第3节中看到的，这种均衡的多样性导致了许多可能的网络配置，具有不同程度的系统性风险。我们首先研究了平衡匹配u*影响银行的资产负债表。2.3均衡匹配对资产负债表和银行间网络的影响2。3.1家庭相关资产和负债当i银行收到家庭客户的现金存款时（即流动性冲击它=1），它试图将其贷给银行间市场上的另一家银行。存款到期日为Speriods。如果没有其他银行需要借款，则银行i在整个存款期间（即S期）将其投资于外部无风险资产（如债券）。在t<t时以及剩余到期时间的所有家庭存款总额由Li，HHt决定≥ 0、当家庭希望从i银行借款时，i银行需要通过在银行间市场借款获得该现金。如果它成功地在银行间市场上找到这些资金，它就会将贷款发放给家庭。家庭贷款的到期日为S期。如果i银行无法在银行间市场上找到这笔钱，它只会拒绝将贷款扩大到家庭。在t<t且剩余到期时间内发放给家庭的所有贷款总额为Ai，HHt≥ 0.2.3.2银行间资产和负债t时银行i的银行间资产是向其他银行发放的贷款，因此Ai，IBt=Pj6=iAij，IBt，其中Aij，IBt≥ 0是目前在任何时候借给j银行的总金额。Aij，ibtca可以表示为：stij>0aij，IBt，其中Aij，IBtis是在时间上从i扩展到j的贷款。此假设不会改变我们结果的性质，但很方便。

它使股本EIT独立于银行间活动，从而避免了因无意义的原因EIT可能变为负值的病理情况（Eisenberg和Noe（2001）等模型中的一个担忧）。t、 因此，Aij，IBtdenotes是指i向j发放的贷款总额，还有一些剩余的到期时间。同样，t时的银行间负债是从其他银行的借款，即Li，IBt=Pj6=iLij，IBt，其中Lij，IB≥ 0是当前在t时从jat银行借入的总金额。这包括j在t时向i发放的所有贷款≤ t和剩余的到期时间。注意，根据对称性，Lij，IBt=Aji，IBt（即i对jis的负债是j的资产）。请注意，在上述所有情况下，我们忽略了利率支付对资产负债表的影响，因为这会模糊分析，不会改变我们结果的性质。请注意，在任何时候，t、Ai、IBt+Xit=Li、HHTI，家庭存款都是在存款期间贷给另一家银行或投资于外部无风险资产Xit。同样，Ai，HHt=Li，IBtsince贷款给家庭的总是在银行间市场上借款。由于任何银行i的权益（资产减去负债）为Eit=Ai、IBt+Ai、HHt+Xt+Yit- Li，IBt- Li，HHt- Z、 因此，它有一个特别简单的形式。简单地说，Eit=Yit- Z、 如假设1所述，每笔贷款的到期时间均为S期。因此，时间t的银行间系统是在任何时间t形成的贷款的累积≤ t和任何剩余到期时间。这可以用networkGt表示=燃气轮机-1 \\{ij:t+S=t}[Mt（5），其中G=Mand Mt是由稳定匹配u诱导的有向二部图*tat time t.A贷款是i和j之间的双边协议，在到期之前一直有效。因此，有向边ij在其成熟度t=t+S之前保持不变，此时它将从图中移除。

从图论的角度来看，GT是一个有向多重图，即任何节点i和j之间都可以存在多条边的网络。这些边代表了之前期间已经发放的、尚未到期的不同贷款。如前所述，每个有向边的权重为1，因为这是每笔贷款的名义金额。这如图2所示。我们在时间t的银行间净风险敞口矩阵中标注了“A”。该矩阵中的第ij项“Aijt”表示银行i对银行j的净风险敞口，即“Aijt=Aij，IBt- Aji，IBt。由于每个风险敞口（贷款）的值为1，’aijt只是从i到jmin的有向边数，而j到i的有向边数。在下面的等式（6）中，我们显示了与图2中银行间网络相对应的净风险敞口矩阵。“”在=0-2.-1 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0-1 0 0 0-1 0 0 01 0 0 0 0-1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0-1 0 00 0-1 0 0 0 0-1 0 1 10 1 0 0 0 0 1 0 0 0-10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 1 0 0 0（6） 图2:t时的银行间网络示例。在此示例中，t时只有银行3和4是贷款人，t时只有银行6和7是借款人。虚线边表示t时形成的新贷款（即Mtin公式（5））。实心边表示在以前的时间t<t形成的，尚未达到成熟期（即t+D>t）的泡沫。具有实心边的网络可以写为Gt-1 \\{ij:t+D=t}在公式（5）中。2.3.3外部违约概率在上一节中，我们看到j银行的股权有一种特别简单的形式，即Ejt=Yjt- Z、 因此，如果由于对风险资产价格Yit的负面冲击，银行的权益变为负值（即如果Eit<0），则银行可能会外部破产。

因此，银行的外部违约概率有一个简单的形式，用下面的引理表示。引理2（外生违约概率）。j银行在接下来的S周期内发生外源性违约的概率为'ρjS=1.- E-γagg·Sγiγagg，其中γagg=Pj∈Nγjis是所有危害率的总和。在上述引理中，’ρjs实际上是指j银行因其风险资产受到外部冲击而率先破产的可能性。在我们正在研究的简单经济中，第一次违约会触发最终时间T，因此任何其他破产的银行都会因为破产级联而破产，我们将在下一节中研究。3系统性风险、信息和激励在本节中，我们研究了银行间市场形成所产生的外部性，并引入了一种机制，允许监管机构确定独特的系统性风险效率均衡。请注意，忽略时间下标，即我们写的是“ρjs”，而不是“ρjt”，因为这种外生违约概率随时间是恒定的。这源于具有简单形式Ejt=Yjt的权益- Z、 3.1量化系统性风险双边交易可能会以系统性风险的形式产生负外部性。事实上，当一家贷款银行i与一家贷款银行j签订贷款协议时，它不仅会使自己面临j银行的违约风险，还会使自己的债权人面临违约风险。事实上，如果j银行违约，i银行的资产损失也可能导致其破产（如果Aijt>Eit）。这将导致i银行拖欠其他银行（其债权人）的贷款，这也可能导致它们破产。然后，这一系列破产事件可以在整个网络中进一步传播。使用净敞口矩阵，我们可以计算任何初始的外源破产银行对系统的影响。