激励金融网络的弹性

然后EQκt（(R)v） SEQt（(R)v），注意等式κt（(R)v）可能为空。因此，最大u*,κt∈EQκtV ol（u*,κt）≤ 最大u*T∈当量ol（u*t） 。命题3的证明。第（i）部分：考虑集合{ut∈ EQt：V ol（ut）≥ V ol（u*t） ，其中eqt是定理1（定义6）证明中定义的可行性匹配集。自u起*T∈ EQt，这一组不是空的。现在让我们写下^ut∈ argmin{ut∈EQt：V ol（ut）≥V ol（u*t） }ESL（At（ut））（27），其中At（ut）是在时间t与匹配ut（不一定稳定）形成的净暴露矩阵。至少存在一个这样的极小值ut，因为只能有很多匹配ut∈ EQtand{ut∈ EQt：V ol（ut）≥ V ol（u*t） } EQt。现在根据定理1，存在T，使得u*,Tt=ut。因此，ESL（A*,Tt）≤ ESL（A*t） 和V ol（u*,Tt）≥ V ol（u*t） 。第（ii）部分：让κ>0为托宾税，即对于某些贷款人i，rκij=ri+hij+κ（28）∈ 贷款和一些借款人j∈ Bt.在命题2（ii）的证明中，我们可以定义EQκtas，即类似原子的taxκ和EQκt下的可能匹配集（不一定稳定） eqt因为κ是T的一个特例。Letu*,κt∈ EQκtbe类托宾税κ下的均衡匹配。然后u*,κt∈EQκt EQt。从定理1出发，我们可以设计T，使^u*,Tt=ut，对于任何ut∈ EQt，然后是一个类似于（i）部分的论点，我们可以找到一个T，这样ESL（a*,Tt）≤ ESL（A*,κt）和V ol（u*,Tt）≥ V ol（u*,κt）。命题4的证明。我们将首先构建一个平衡匹配u*然后展示它的独特性。各借款人j∈ Bthas优惠严格降低贷款人的利率ri，对于i∈ Lt.各贷款人i∈ l借款人违约概率ρjt，S，对于j，偏好严格降低∈ Bt.让我∈ Lt表示提供最低利率ri的贷款人。让所有借款人（ri<rj）向该优先贷款人申请贷款。

然后我会选择借贷者∈ Bt违约概率最低ρjt，S。这种jt与iis的匹配是稳定的：定义2的充分条件（I），因为双方都与其首选对手匹配，不想偏离。它也满足条件（III），因为我们假设。条件II不适用于此处，因为贷款人的偏好是严格的。现在，让我们来处理布茨和莱蒂中尉剩下的无与伦比的成员∈ Lt表示提供第二低利率ri的贷款人。让所有不匹配的借款人（ri<rj）向第二优先贷款人申请贷款。然后我会选择借款人j作为回应∈ b第二低违约概率ρjt，S。对于前一种情况，jt与iis的匹配是稳定的，因为它完全符合定义2的条件。迭代进行，直到jNand iN，其中N=min（| Bt |，| Lt |）是借款人和贷款人集合的小规模，我们发现了一个稳定的匹配u*各银行与其首选可用交易对手匹配的tin（如果没有合适的可用交易对手，则保持不匹配）。现在我们将显示u*这是唯一稳定的匹配。让ut成为jis与i不匹配的任何匹配。然后jand和iwouldbene fit放弃其当前指定的交易对手（在匹配ut下），转而一起交易。因此，违反了条件（I），ut不稳定。设utnow为jis与i匹配但jis与toi不匹配的任何匹配。然后，jand和iwould都将从放弃当前指定的交易对手（在匹配ut下）和一起交易中获益。因此，违反了条件（I），且不稳定。

反复进行，直到jNand iN，其中N=min（| Bt |，| Lt |）是借款人和贷款人中较小者的大小，我们在每一步都会发现违反了条件（I），因此任何匹配差异都不同于u*它不稳定。由于这涵盖了所有可能的匹配，我们已经表明u*这是唯一稳定的匹配。命题5的证明。我们首先证明，如定理1所示，在适当选择SRT T下，任何可行匹配都可以保持为唯一平衡。在定理1的证明中，给定任何期望的可行匹配ut∈ EQt，我们可以将期望的贷款人i=u（j）放在每个借款人j的优先权列表的顶部。调用此匹配u*,Tt，我们现在证明它是唯一的稳定匹配。为了证明稳定性，我们使用了与命题4证明相同的直觉。让j∈ Btbe违约概率最低的借款人ρjt，S。然后借款人j与贷款人i的匹配=u*,Tt（j）是稳定的，因为两个jand都在对方的偏好列表上。现在我们可以应用相同的逻辑来显示j的匹配∈ Bt，第二低违约概率ρjt，S的借款人，对贷款人i=u*,Tt（j）稳定。

继续迭代直到jNand iN，其中N=min（| Bt |，| Lt |），我们显示u*,TTI是一种稳定的匹配，在这种匹配中，每家银行都与SRT T下的首选可用交易对手匹配（如果没有合适的可用交易对手，则重新匹配）。应用与命题4的唯一性证明完全相同的逻辑，我们得出以下结论：*,TTI是SRT T下唯一的稳定匹配。我们现在证明命题的（i）和（ii）部分。第（i）部分：证明与命题3（i）的证明相同，因为通过适当选择SRT，eqt中的任何可行匹配都可以作为唯一均衡来维持。第（ii）部分：类似托宾税的借款利率κ在此简单定义为rκij=ri+κ。命题4的唯一性结果在类似托宾的税收κ下成立，因为它既不影响贷款人的偏好，也不影响借款人偏好的排序。它只会减少借款人愿意与之进行交易的一组贷款人（因为rκij可能比rκij更大，对于某些贷款人而言，rκij可能比rκij更大）∈ Lt）。然后，证明与命题3（ii）的证明相同。参考Abdulkadiroglu，A.和S¨onmez，T.2003。学校选择：一种机制设计方法。《美国经济评论》93，3729–747。2.2.4Acemoglu，D.、Ozdaglar，A.和Tahbaz Salehi，A.2013年。金融网络中的系统性风险和稳定性。国家经济研究局技术代表。1阿尔坎，A.和盖尔，D.2003年。显示偏好下的稳定时间表匹配。《经济理论杂志》112，2289–306。5.4.2MINI，H.，Cont，R.，和Minca，A.，2013年。金融网络的抗传染能力。数学金融。1 Nufriev，M.、Deghi，A.、Panchenko，V.和Pinotti，第2016页。隔夜银行间市场的网络信息模型。CIFR纸张103。2016年，Abus，A。金融网络的形成。兰德经济杂志47，2239–272。1Ba–ou，M。

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