《沉默之声》：中的均衡滤波和最优截尾

反转回归得到γtin显式形式a sγt=~m-1t（℃γt）。在上面的变分分析中，代理t r将sZt视为g的噪声信号，使Et[ZZt，Gt]=Et[ZYt，Gt]=Zt。这导致了两阶段分析，从时间t的信息角度来看，过程值zi是一个随机变量，允许利用两阶段分析的已知结果。尽管下文m=1，但考虑到§5.3的符号需求，其中m>1，在这里使用单一利益主体的一般指数i（而不是专门化i=1）是有帮助的，从而预测随后的一般情况。此外，当m=1时，如果方便，可以随意省略索引i。我们从一些辅助结果开始，这些结果被统计为引理1和引理2，这将需要符号u（κ，σ）：=eκ（κ-1） σ。指数κ（κ- 1） 上面u中的σ对应于幂函数t的It^o引理的二阶项→ tκ，回归公式的重复特征（引理1）。其他参数参见§2.1。回想一下§3.2的颚化符号，对于任何常数σ，我们为函数σ（t）写σ：=σ·（1- t） ，对应于在t时重新启动模型。特别是，当“σ0i：=αiσ+（αiσi）时，我们写出￠σi（t）=σi（1- t） 和'σ0i（t）=αi[σ+σi]（1- t） =αiσ0i。为方便起见，我们也可以用M表示X。对于维纳进程swi，调用在时间tWis：=Wit+s重新启动的相应维纳进程- 机智（SoW=0。）对于σMi，省略函数并写入σwf，Mt+s=Mtexp（σWWs-σWs）。（12） 我们需要两个引理。引理1（m=1的Zgiven观测值yf的估值）。把κ=κi=π/（p+π）。ThenE[Z | Yi=y，G]=k k k=ki=（fi）1-κ。证据我们引用并应用了[18，Pro第10.3页，n=1]中的公式。为了区分符号上下文，当从字母中提取公式时，我们在字母上使用overbar。

随机（状态）变量“X”的噪声观测值“T”采用“T=”X“Y”的形式，其中“X”和“Y”是独立的随机变量，其低g正态分布分别具有基本的正态精度参数“pX”。所需公式isE[\'Xα| T]=\'Kα（\'T）ακ，其中κ=\'pY/\'p表示\'p=\'pX+\'pY和\'Kα=expα+α（α- 1） 2英寸p.我们将取'X=X和'Y=M1/α，下面取M=Miandα=αi。我们首先计算相应的常数pX、py和Kα。替代=1- t=上述（12）中的t，给定x=X1-texp（σОWT-σt） ，and M1/α=M1/α1-texp（σMiαiWiT-（σMi）2αit） =M1/α1-texp（σiWiT-αiσit） 。以X1的实现为条件-接地M1/α1-t、 “X”和“Y”分别具有σ的基本条件方差t和σit、 当σMi/αi=σi时，Y上X对应的回归系数κ为α/（αiσi）α/（αiσi）+1/σ=1/（σi）1/（σi）+1/σ=pipi+p=κi，已取消分子和分母t>0；此项保持常量为t变化，因此通道中的lso为T→ 0.Also1/(R)p=t1/σi+1/σ，so'Kα='Kα(t）→ 1个组件T→ 最后，由于Yit=ZitMit=fiXαitMit，\'T=（Yi/fi）1/α=XM1/α=\'X'Y，因此，对Yi=Y进行调节，并设置k=f1-κ、 E[Zi | T]=E[固定α| T]=fi（\'T）ακ=fi（（Yi/fi）1/α）ακ=fi（y/fi）κ=kyκ。在确定性函数下，将因子分解为因子，将因子分解为因子，将因子分解为“分离”个体和因子。引理2（给定观测值Yt，对于m=1，Z的估值时间t条件定律）。

在Yit=y的条件下，time-1估值的时间-t分布E【Z | y，G】是k▄βiyκ▄Zt：=k▄βiindiv▄βaggyκ▄Zt，其中k=引理1中的kias，并且：（i）κ=κi，▄βiindiv：=（ut（αi）uit）κ，▄βagg：=u（κ，αi▄σ0i），uit：=u（αi，αi▄σi）和ut（αi）=u（αi，|σ）；（ii）^Ztlog normal，其基本平均零方差正态^σt=καiσ0i。特别是，该时间-时间分布具有给定的平均值，即[Z | Yit=y，Gt]=k▄βiindiv▄βaggyκ。证据从（12）开始，M=M且任何δ>0Mδt+s=Mδexp（δσMWt+s-ΔσM（t+s））=Mδtexp（ΔσMWs-ΔσMs）。因此，对于s=1- t、 Mδ=ut（δ）Mδtexp（δσMW1-T-ΔσM（1- t） ，其中，最后一项具有单位平均值，且ut（δ）=u（δ，|σM）=u（δ，αi|σi）。特别地，对于δ=κ=κi（即对于外稃1中的κ）和M=Mi，Mκ=uit·Mκt·exp（καiσiWit（1- t）-καiσi（1- t） ，式中uit=u（κ，αiσi）=u（κi，αiσi）；同样，对于M=X和δ=αi，Zi=fiXαi=ut（αi）·Zit·exp（αi∑W1-T-αiσ（1- t） ，式中ut（αi）=u（αi，∑）。组合，如Yit=ZitMit，对于任何δ>0的情况：（Yi）δ=（ut（αi）uit·ZitMit）δ·exp（αiδσИW1-T-Δαiσ（1-t） /2）·exp（ΔαiσiWi1-T-Δαiσi（1-t） /2）。但δ[αiσОW1-t+αiσiWi1-t] =Δαi[σWt（1- t） +σiWi1-t] 方差Δαiσ0i，其中σ0i=[σ+σi]（1- t） 。所以取^Zt（δ）：=expΔαi[σ▄W1-t+σiWi1-t]-Δαiσ0i,它具有单位均值和方差Δαiσ0i，给出（Yi）δ=（utuit·Yit）Δu（δ，αiσ0i）^Zt（δ）。（13） 在特定情况下，条件为Yit=y，取上面的δ=κ，并设置^Zt：=^Zt（κ）；然后，通过（13）和上述引理1中的k，E[Z | Y，G]的条件时间-t分布是由zestt驱动的变量zesttg的条件时间-t分布：=k（Yi）κ=k（utuit·Y）κu（κ，αi|σ0i）^Zt。定理1的证明。下面我们抑制对唯一代理i的引用。我们对事件θpub设置条件-（t）≤ t<s<θpub+（t），即（t，s）中没有后续公开。用γt表示定理1中假设的c\'adl\'ag审查员。

对于t≤ U≤ s、 让NDu（γ）表示在时间u时N（u）=0或代理观察到Y低于γ，并让|γ对Random变量E[Z|Y，G]的time-u求值；然后∧γu=E[Z | NDu（γu），G+t]。如§2.3中所述，根据差异原则（参见[18，§11（附录8）]，元的唯一切割值γuf和时间-u评估值γuof E[Z | Y，G]与γu=E[Z | NDu（γu），G+t]=E[Z | Yu=γu，G+t]=kβuγκu相关，其中βu=βi表示在u评估的β，如上述引理2所示，因此γu=kβuγκu，或logγu=κlogγu+log kβu，将^γu：=^γu/^γt（因此^γt=1），从而将E[Z | Y，G]| G+t]的时间-t估值重新调整为统一；我们现在的工作就像|γt=1。设相应的time-u值为随机变量^Zuof Lemma2。引理的基本零均值正态随机变量hasvariance^σu：=κ▄σ0i（u）。用引理2表示，qts：=（s- t） λt支柱的f公式。1给出（1- qts）（1- γs）+o（s- t） =QTSZZ≤ ^γs（zs- ^γs）dQ（^Zs）≤ zs | Gt，~γt=1）=-qtsZzs≤ ^γsQ（^Zs≤ zs | Gt，~γt=1）dzs。除以-qt并根据Black-Scholes公式重新排列差异项-（1）- qts）λt^γs- 1（s）- t） =ZZ≤ γsQ（^Zs≤ zs | Gt，~γt=1）dzs=γsΦlog（γs）+σ（1- t） ^σ√1.- T- Φlog（^γs）-^σ（1- t） ^σ√1.- T高达o（s-t） /[（s-t） λt]。再次重新排列，并使用缩写σt表示变量，（1-qts）λt^γs- 1（s）- t） =-γsΦlog（γs）+σtσt+Φlog（^γs）-σtσt+o（s）- t） （s）- t） λt。因为yus是c\'adl\'ag，所以∧γuand^γu也是；所以右边的术语有alimit作为s↓ t、 作为qts→ 0，函数^γ（u）被视为右差，并且，由于Φ(-u） =1- Φ（u），λt^γ′（t）=-[2Φ（σt/2）- 1] ，（14）或等效地，表示σt=αi（σ+σi）（1- t） ，▄γ′（t）▄γ（t）=-λt[2Φ（^σt/2）- 1] 。（15） 现在取消筛选t，我们允许t在没有披露的时间间隔内变化。

通过从上次披露日期θ积分，求解微分方程-（t）≥ 0到日期t，条件是t在下一次披露θ+（t）之前，得出以下结果：log（|γ（t）/|γ（θ-（t） ））=-Ztθ-λu[2Φ（^σu/2）- 1] du，|γ（t）=|γ（θ-（t） ）经验值-Ztθ-λu[2Φ（^σu/2）- 1] 杜邦.注意，a s^σu≥ 0，系数[2Φ（σs/2）- 1] 为非负。因此，对E[Z | Y]：=E[Z | Y，G]的条件时间t评估可通过以下公式得出：|γt=E[E[Z | Y]| NDt（γt），Gt]=E[Z | NDt（γt），Gt]=γ（t）E[Z | Yθ，Gθ]，对于θ=θ-（t） （且t未固定），其中现在^γ（t）：=exp-Ztθ-λu[2Φ（^σu/2）- 1] 杜邦,滥用符号，因为该函数满足（14），但带有^γ（θ-（t） ）=1。要获得显式形式，请应用θ=θ的引理2-给出[Z | Yθ，Gθ]=kβθYκθ，其中，恢复指数i，κ=κi=pi/（p+pi），k=ki=f1-κii，βt=（utuit）κiu（κi，~σ0i），其中uit：=u（αi，αi ~σi），ut（αi）=u（αi，~σ）。最后，引理2明确给出了yiuis的分界，即γiu=（△γiu/（kiβiu））1/κi.5.3定理1的证明本节致力于定理1的证明，这与定理1类似，但由于应用了下面的定理M【18，Th.14.2（附录7）】的结果，其细节更加复杂。需要（此处使用的参数值与此处使用的参数值）进行适当替换；这些内容的调整是常规的，但很繁琐，因此仅在拟议的arXiv版本中显示为混乱；其依据来自于推迟至§5.4的一些计算。鉴于本文件和源文件之间的相似性以及上下文的差异，我们遵循第5.2条关于引用自[第18条第14.2款（附录7）]的超额变量的约定。这使得根据参数是否被过度禁止，可以在两种上下文中的任何一种情况下阅读定理M。我们注意到，λ=1/λ–这两篇文章的λ变量是倒数，通过Prop。

定理M（多形式截夫方程，[18，第14.2条（附录7）]）。在本节的设置中，在重新校准使Yit=1后，时间s>t的观测值Yit被其重新缩放版本Yis所取代，确定Yi切屑的同时条件Bayes方程可以简化为一个非奇异线性方程组，该线性方程组将对数切屑与下面定义的假设切屑相关联。此外，观察i的唯一确定条件是log i=log giαiκ-i+κκακ-1log g+κακ-2日志g++κmαmκ-mlog总经理,（16） 式中，gi=gi（s）=^γL N（|λi，αiκi|σ0iq1- §ρi）L-i∧i=λi（s），NISInsity，L-i=L-i（s）=经验αi（m- 1） +αi（αi- 1） 2（▄p- pi）经验值-mαi+αi（αi- 1） 2p,（修正后的平均值–系数的调整系数），其中：γLN（λ，σ）表示y中以下方程的唯一解：（1）- y） =λHLN（y，σ），（17）κi=\'pi/\'p（标准回归系数），κ-i=\'pi/（\'p- (R)pi）（从聚合精度中去除试剂i的贡献），1- §ρiis剩余变量▄wj上▄wi的部分协变量，其中▄wj（t）：=σ▄W1-t+σiWj1-t、 验证策略。[18]的结果涉及一个两阶段模型，其中有一个初始时间（此处取固定时间t<1）、第二个“间期”（此处取时间s，t<s<1）和一个终止日期1，如此处所示。此外，该模型引用了随机变量，这些随机变量描述了在（强制）披露终止日期披露的值。[18]中的代理i在过渡日期（此处为时间s）接收到私人噪声观测的正概率为“Ti=”X“yi”，其中“X”是静态随机变量，而“yi”是噪声；随机变量是独立的，对数正态分布，基本正态分布分别具有零均值和精度“pand”pi。

观察的概率由赔率λi描述。代理人通过选择一个唯一的切向效应γifor Ti，寻求最大化Zi:=fi¨Xαi的中间日期预期值。模型可概括为M'n（Z'T，…，\'T'n；'λ，…，'λ'n），以及试剂的数量。“γ”的值是唯一的，在理论中通过参考“n个独立的简单单代理模型M（Zhyp-i | | Thypi；’λi）得到的截面积γ的适当集合来描述，孤立的y代理i是h个理论代理（对应于原始代理i）；主体之间的原始相关性通过Schur补码去除，特别是通过部分协方差ρi（测量第i个主体与其他主体的协方差，如定理所述；参见[5，注释4.27，第120页]，参见[24，Ch.27]，[25，§§46.26-28]）。定理M规定了通用尺寸（参见§2.1.2）假设观测变量的E^γ：’Thypi：=（’Ti）αi’’κi√1.-？ρi=（？X？Yi）αi？κi√1.-ρi，即精度参数由因子αiκip1改变- ρi。根据§5.2的精神，该结果来自于使用单调单变量条件回归函数，例如| m（t |γ，|γ，…）：E[Zi | T=T&(j>1）（\'Tj=\'γj）]，以确定相应条件下的截止值Z：=E[Zi | T=T&(j>1）（\'Tj=\'γj）]。特征方程简化为等效的无条件方程，其中除一个噪声观测值外，其余观测值均不存在。大纲中的证明与此类似。（i） 应用定理M。实现格式“Ti=”X“Yi替换Yitby▄Yit=（Yi）1/αi。用t<s固定时间t，s；假设整个（t，s）不披露；构建随机变量，在s描述时间1的结果；对于这些，计算适当的统计数据；传递到假设过程。

在这一点上，后者仅被隐含地定义。这一证明的大部分被推迟到§5.4引理1和2（引理1和2的版本适用于一般m），在这里，我们计算常数skimand确定性函数βitsuch，对于κi=κimE[Zi | Yt=Yt，Gt]=kimβityκ1t。。。yκimt。（ii）获得yhypsby回归分析的显式公式：根据假设过程的动力学，计算“估计员”的估值截止系数γIto的动力学，它=E【Zhyp-i | Gt】。作为状态和观察过程相同的假设模型，这些观察和评估结果与yhyps相同。（iii）第一次反演：用yhypsinto定理M代替，从假设j的观测切向力矢量中获得切向力γis=～yisfor～yis。（iii）第二次反演：使用log yis=αilog～yis，从▄yiscuto ff dynamics对动力学f或Yit=（▄Yit）αi进行反向工程。替代调整。取^fi=（fi）1/αi和▄Mis：=（Mis）1/αi，▄Yit：=（Yit）1/αi=（zittit）1/αi=^fi（Xt）▄Mi，（参见§5.2中的引理1和2），因此▄Yi=^fiX▄Mi。由于▄Mithas基础维纳波动率σMi/αi=σi，我们计算参数值如下表所示。此处（禁止）有‘∑▄σ：=▄σ（t）=σ（1- t） 1/2〃σiσii=0，1。。。，m、 \'σ0i：=\'σ+\'σi▄σ0i=▄σ+（▄σi）▄pi，\'ppi=1/σi，p=Pmi=01/σi▄pi=pi（1- t） ，▄p=p（1- t） ？κi=？pi/？p？κi=？pi/？p=pi/p=κi（常数）Ti=e？σ0i？wi-\'\'σ0i▄Yi=▄Yite∑Wt（1-t）-σeσiWit（1-t）-σi\'wi▄wi：=σ▄Wt（1- t） +σiWit（1- t） ρi▄ρiXαiZi：=fi·Xαi▄σhyp，iσhyp，i：=αiκi▄σ0ip1- 定理1m的ρiProof。我们循序渐进。1.（假设的剪切力）。我们考虑θ=θpub的s，t-≤t<s<θpub+≤ 我们将上述定理M（t为事前日期，中间日期）应用于代理人i。

定理M为相应定义的“超理论”观察者的截距yhypi（u）的Yiuin项设置观察截距，后者通过方程（17）隐式定义。如§5.2所述，我们进行了变分分析，以明确得出相应假设观测的截面积（u）。由于定理M适用于在日期t之前大小相同的变量，所以将Gi（u）=^zi（u）/^zi（t），使得Gi（t）=1。然后，对应于一个普通大小的过程，有一个具有调整值Gi（u）L的次theticalprocess（g-process-i（u）在时间u时，假设单位时间的波动率为▄σhyp，i=σhyp，i（u）：=αiκi▄σ0iq1- §ρi。主体i间歇性观察到的孤立假设过程现在要接受§5.2的变分分析，如下所示。如§3所示，根据【18，§15（附录8）】适用于时间t的差异原则，唯一的cuto ff值▄yisfor▄yi和时间s对e【Zi | Y，…，Ym】的评估通过【Zi】进行关联|(j） NDj（~yjt），Gt）=E[Zi|(j 6=i）NDj（▄yjt），▄Ti=▄yit，Gt]=E【Zi】|(j） [(R)Tj=(R)yj]，Gt]=kimβitPyακ1t。。。yακmmt，α=αi，κi=pi/p，如上所述；最后一个回归公式引用自下文§5.4中的引理2ma（参见[1 8，§10.3.3（附录3）]）删除下标，如§5.2所示，根据条件贝叶斯公式（第1条，§2.3），假设输出值为：G（t）L（t）-G（s）L（s）=λt（s-t） Zz公司≤G（s）L（s）Q（E[Zhyp | Yhyps，G+t]≤ z | G+t）dz+o（s）-t） ，其中Zhyp=Yhyp，根据假设代理人的定义。

现在，在§5.2中用G（t）L（t）代替γ（t）来推导（15）的类似物。重新排列，并使用Black-Scholes-put公式，正如§5.2中所述，我们获得o（s）以内- t） /[（s- t） λt]-λt·G（s）L（s）- G（t）L（t）（s）- t） =G（s）L（s）Φlog（G（s）L（s）/G（t）L（t））+￠σhyp/2￠σhyp！-G（t）L（t）Φlog（G（s）L（s）/G（t）L（t）））- σhyp/2）▄σhyp！。现在，G（u）/G（t）=^zu/^zt是一个c’adl’ag过程（作为u的函数，因为每个yjuis以及连接对数截函数和假设对数截函数的方程没有n-奇异矩阵）。因此，右侧有一个极限值s↓ t、 因此，G（u）L（u）和so G（u）在u=t<1时是右差的。通过限制（如§5.2所述）-λt·ddu【G（u）L（u）】u=t=G（t）L（t）[2Φ（￠σhyp/2）- 1] 。进行差分，我们得到以下G′（t）L（t）+G（t）L′（t）=-λtG（t）L（t）[2Φ（|σhyp/2）- 1] ，G′（t）G（t）+L′（t）L（t）=-λt[2Φ（￠σhyp/2）- 1] 。但^z（u）=^z（t）G（u）[和^z′（u）=^z（t）G′（u），so^z′（u）/^z（u）=G′（u）/G（u）]，so^z′（t）z（t）+L′（t）L（t）=-νhyp（t）：=-λt[2Φ（￠σhyp/2）- 1] 。对于假设的代理i，我们明确地得到了log（^zi（t）/^zi（θ））+log（L-i（t）/L-i（θ））=-Ztθνihyp（s）ds，从日期θ=θ开始积分-直到θ+之前的任何时间t，并恢复下标。索洛格（^zi（t）L）-i（t））=对数（^zi（θ）L-i（θ））-Ztθνihyp（s）ds，使用νihyp的定义。但yhypi（u）=^zi（u）L-i（u），solog yhypi（u）=lo g yhypi（θ）-Ztθνihyp（s）ds。（18） 2。（实际相关观测动态）。我们应用rem M的公式来获得Yit的截面积。若要在时间θ处进行通用大小调整，请将^γi（t）：=▄yi（u）/▄yi（θ）设置为θ=θ-< t<θ+。返回到对应的实际ag ent i，从（18）替换为（16）给定g^γi（t）=αiκ-我对数yhypi（θ）-Ztθνihyp（s）ds+κ... +κjαjκ-J对数（yhypj（θ））-Ztθνjhyp（s）ds+ ....我们将其重新排列，以分离出下面显示的两个组件。