《沉默之声》：中的均衡滤波和最优截尾

第一个是一个连续的“到达间折扣”术语，概括了单个观察者的情况，作为对假设对应项的回归加权平均值：αiκ-iZtθνihyp（s）ds+κκακ-1Ztθν1hyp（s）ds+κακ-2（…）+。。。=αiκ-iZtθνihyp（s）ds+κκακ-1Ztθν1hyp（s）ds+κακ-2Ztθν2hyp（s）ds+。。。=Ztθνi（s）ds。第二个是移位项，来自于将t hemove中的初始平均值从实际因子调整为假设因子：αiκ-ilog yhypi（θ）+κ... +κiαiκ-ilog yhypi（θ）+。。。,由于（log yi（u））/αi=logyi（u））与（log yi（θ））/αifor yi（θ）在时间θ处的重新初始化值必须相等（通过αi进行f运算后）。Soαilog yi（u）=lo gyi（u）=-αiκ-iZtθνihyp（s）ds-κκακ-1Ztθv1hyp（s）ds+κακ-2Ztθv2hyp（s）ds+。。。.Solog yit=-κ-iZtθνihyp（s）ds-κκαiακ-1Ztθv1hyp（s）ds+καiακ-2Ztθv2hyp（s）ds+。。。.3.（实际相关估值动态）。从引理2mβi=u（αi，κИσ）u（κi，κИσi）和βm=Yju（κj，σ0j），E[Zh | Yt=Yt，Gt]=khmβh·βm·yκ1t。。。yκmmt，使用此处建立的符号。把∧γt=yκ1t。。。yκmmt。取logar it hms，替换κilog yit，然后在第一个术语中重新标记j以替换i，并在第二个术语中更改求和顺序，以获得logγt：=-Xiκiκ-iZtθνihyp（s）ds-XiXjκiκαiαjκjκ-jZtθvjhyp（s）ds=-Xjκjκ-jZtθνjhyp（s）ds-XjXiκiκαiαjκjκ-jZtθvjhyp（s）ds=-Xj公司1+Xiαiαjκiκκjκ-jZtθνjhyp（s）ds。SoE[Zi | Yt=Yt，Gt]=kim▄βi▄βm▄γt·gi*[θ-].5.4扩展§5.2中的两个引理，我们将§5.2中的引理1和2扩展到一般m，以建立：△γit=E[Zi | Yt=Yt，Gt]=kimβityκ1t。。。yκmmt。我们需要选择一些额外的符号，以便使一般情况在排版上与m=1情况相似。处理m向量y，z∈Rm+作为{1，2，3，…，m}上的函数，定义y·z（和so y/z）以及逐点意义上的指数分析；同时写出yzashyzi各成分的乘积：=（yz）。。。（ymzm），通过与内积的类比，使得loghyzi：=hz，log yi=zlog y+。。。

+zmlog ym。特别是，用所有分量均为α（qua函数常数α）的向量识别α>0，hyαi=（y…ym）α。最后，为了方便起见：κiorκim：=pi/p（i=0，1，…，m），κi：=pi/（p+pi）（i=1，…，m）。引理1m（Zgiven观测值Y=Y的估值）。Putκ=（…，κjm，…）。ThenE[Zi | Y=Y，]=kihyκi fo r ki=kim=fih（1/f）κi.Proof。对于引理1中的超坝符号，请注意【18，第10.3款】，如果‘T’有组件‘Ti=’X’Yi，其中‘X和（…’Yi…）是独立的，具有精度参数“pi”，则对于κi=”pi/（”p+”p+…+”pm）和δ>0E[”Xδ| T=T]=KδTδκ。。。tδκmm=Kδhtδκi。与之前一样，X和i有条件方差σt和σit、 取Kδ=1（其极限值为T→ 0；见引理1），无'pi=（1/σi）。对于δ=αi，条件为Y=Y，从E[Zi | T]=E[fiXδ| T]=fih | TΔκi=fih（Y/f）1/δ）Δκi=fih（Y/f）κi读取o ffkim=fih（1/f）κi。引理2m（Z的赋值时间t条件定律，给定观测Yt）。在Yt=y的条件下，time-1估值E[Zi | y，G]的时间-t分布是kiβimhyκi^Zit的时间-t分布，其中，与引理1和引理2一样：（i）κ：=（κm，…，κmm）；（ii）对于？κ=1- κ=（p- p） /p，dκi=π/（p+π），~βim：=~βiindiv·βagg：~βiindiv：=u（αi，~κσ）u（κi，~κσi），~βagg=Yju（κj，~σ0j）；（iii）^Zitis对数正态，其与方差jκjσ0j的平均零范数al的关系。特别是，该时间-t分布的平均值由[Zi | Yt=y，Gt]=kimβiindiv·βagghyκi.Proof给出。根据引理1，我们得到了fo rκ=（κm，…，κjm，…）E【Zi | Y，G】=E【fiXαi | Y，G】=kimh（Y）κi。条件是Yt=（…Yjt…），通过引理2的（13），δ：=κjm对于每个j，有单位平均值和方差κjσ0j的^Zjt=^Zjt（κj），其中^Zjt=expκj[αjσОW1-t+σjWj1-t]-κjσ0j,使得（Yj）κj=βj（Yjt）κj^Zjt，其中βj=（ut（αj）ujt）κju（κj，αjσ0j），对于ujt：=u（αj，αjσj）。

因此，通过替换[Zi | Y，G]=kimYj≥1βj（Yjt）κj^Zjt。NowYj公司≥1（utujt）κju（κj，αj|σ0j）=Yju（αj，|σ）κju（κj，σi）κju（κj，αj|σ0j）=u（αi，κ|σ）u（κi，κ|σi）Yju（κj，αj|σ0j），其中'κ：=Pj≥1κjm：=Pj≥1pj/p=（p- p） /p=1- κ。Put^Zit：=Yj≥1^Zijt=expXjκj[αjσОW1-t+σjWj1-t]-κjσ0j= expXj公司≥1.κjαjσИW1-T-κjαjσexpXj公司≥1.κjσjWj1-T-κjσj（因为▄σ0j=αj▄σ+▄σj）。这是每个UnitExpection独立术语的产物。该乘积的方差jκj[￠σ+￠σj]=Pjκj￠σ0j。我们得出[Zi | Yt，Gt]=kimβihYκti^Zit。确认我们非常感谢裁判员和编辑们提供了极其详细、学术性和有益的报告，这些报告带来了许多改进。我们还感谢我们的同事：尼克·宾厄姆、丹克雷桑、卢西安·福尔德斯、比约恩·杰根森、阿恩·勒卡、迈克尔·施罗德和大卫·韦伯，感谢他们阅读并详细评论了本论文的早期版本。参考文献【1】Aggoun，L.，和Elliott，R.J.，测量理论和滤波。简介与应用s.剑桥大学出版社，2004年。[2] Bain，A.，和Crisan，D.，随机过滤基础，随机建模和应用概率60，Springer，2009。[3] BarndorOff-Nielsen，O.E.和Shiryaev，A.，《时间的变化》和《chan geof measure》。第2次。，高级服务。统计科学&应用程序。问题。21，《世界科学》，2015年。[4] Bjerksund P.和Stensland G.，“美国交易所期权和aput看涨期权转换：注释”，J.Business Fin.&Acc.，20.5（1993），761–764。[5] Bingham，N.H.，和Fr y，J.M.，回归：统计中的线性模型，SUMS，Springer，2010年。[6] Bingham，N.H.和Kiesel，R，《风险中性估值》，第2版。，斯普林格，2004年。[7] Bj¨ork，T.和Murgoci，A.，“离散时间中马尔可夫时间不一致随机控制的理论。”金融斯托克。18.3（2014），545–592。[8] Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Macrina，A.，基于信息的资产定价。内景J.Thero。应用程序。

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