《沉默之声》：中的均衡滤波和最优截尾

定理1中获得的输出预测披露截止值具有规定的显式形式，因为▄γt=supGE[Z▄Gt]满足截尾微分方程▄γ′t=-|γtνt，对于θpubn-1<t<θpubn，（6）参见§1。在§2.3的背景下，可以将其解释为表达信息抑制的风险溢价，其方式暗示了对一类broa der模型的概括，其中，制度变迁伴随着可选的、战略性的“保护性”活动，其行使率平衡了边际预期期权价值。以下结果解释了随着时间的推移，“沉默”（保密）受到的惩罚越来越少。推论在定理1的设置下，0<t<1的输出预测过程|γtf具有以下性质：（a）其跳跃发生在披露时间θpub处，且向上；（b） 在跳跃之间，输出估值过程的表示为▄γt=^γtg*（θpubn-1） ，其中（重标截面积）确定性函数^γtsatis：^γ′t=-^γtνt，对于θpubn-1<t<θpubn，带^γ（θpubn-1） =1；（c） （减薄）在披露时间之间的任何间隔内，相对衰减强度νt/λt减小；（d） 在连续的保密间隔之间，周期内相对衰减强度νt/λt减小（至零，为t→ 1） 。证据这是即时的–省略常规证明。3.1.1定理1的博弈论方面我们强调证明背后的ga me-t理论原则的作用：差异原则、贝叶斯更新、均衡。给定时间0<t<1时的信息，在t<s<θ+（t）的任何时间s表征截止值γ≤ 1观察时，观察者在时间s的差异，如果Ys=γ，则在披露观察值和不披露之间；这是因为在这两种情况下，公众估值是相同的。

事实上，估值是相同的，因为在概率为1的时间间隔（t，s）中-（s）-t） λt+o（s-t） （作为s↓ t） 代理没有观察到Ys，外部人员无法从代理观察到的事件中区分该事件，但没有披露Ys的观察值（因为它低于γs）。这产生了作为条件贝叶斯公式的差异（平衡）条件：△γs=E[Z | NDs（γs），G+t]，（7）其中，如前所述△γs：=E[Z | Ys=γs，G+t]，G={G+t}此处表示公共文化。（7）的意义在于，它是以下纳什均衡条件（10）的特例；方程式（7）首先出现在DYE【16】的静态模型中，以模拟部分（自愿）披露的合理性，与格罗斯曼（Grossman）和哈特（Hart）[20]的总体披露原则（“分解”）。3.1.2 Cuto ff和Black-Scholes公式是（7）（和（10）的结果，是适用于预测（而非观察）的Cuto ffγ=~γ的Black-Scholes公式。计算至少可以追溯到[22]（参见[18]），其中（7）在当前上下文中减少t至：uF- γ=q1- qHF（γ），其中（8）HF（γ）=E[（γ- F）+]=Z（γ- x） +dQ（F≤ x） =Zx≤γQ（F≤ x） dx，（参见第1部分和§5.1）。这里F表示随机变量E[Z | Ys，G+t]，平均uF（在时间t+时有条件），q=（s-t） λ是到时间s时观察发生的概率（与F无关），HF（γ）是“低于目标γ的第一次偏矩”，在风险管理中广为人知，简写地称为半均值函数（鉴于其关键作用）。上面的对数正态F，提示在参数λ，σ方面对溶液γ=γLN（λ，σ）1进行标准化- γ=λHLN（γ；σ）。

（9） 例如，见McNeil、Frey和Embrechts【29】，第2.2.4节。解决方案的行为源自Black-Scholesput对公式的性质作为其行使的函数，相当于相应的赎回公式作为其基础资产价格的函数（Black-Scholes“看跌期权对称性”，参见【BarNS，§11.4】、【BjeS】、【CarL】——背景见【Teh】）。对于罢工γ和时间1到期，在初始资产估值为|γtat时间t<1的条件下，公式readsHLN（γ）=γΦ对数（γ/～γt）+σ（1- t） σ√1.- T- γtΦ对数（γ/～γt）-σ(1 - t） σ√1.- T,Φ为上述标准正态分布。因此，在连续自愿披露之间的任何时间t，将上述罢工设置为γ=~γsyields，限制为s↓ t（带|γs→ ~γt）anat货币限制前向启动调用公式；如（5）所示，这在-mo-ney optionvalue下简化为￠γt2Φ（σt/2）。我们希望在其他地方回到这一方面。3.1.3其他评论衰变强度由两个具有经济意义的因素组成。首先，泊松强度λ测量输出估值信息观测到达的瞬时机会成本，并为估值升级（通过良好观测）和抑制不良观测值提供机会。其次，通过抑制不良估值的可能性，即“保护性看跌期权”的影响，减弱了强度λ。随着时间的推移，随着精度的提高，保护put的值会降低并趋于零（即。

波动率为零）。要直观地查看公式的细节，请记住，如上所述，假设观察者选择实现最大估值，从而根据以下规则进行自愿披露：找到截断函数t 7→ γt对于t=θobsn：（i）可靠地披露Y的值，当Yt≥ γt，或相当于公共产出预测Zestt：=Et[Z | Y（θobsn）]；以及（ii）不披露，当Yt<γt.用Zestt代替Yt：=E[Z | G+t]时，可以将Y-截夫问题（选择γt）在同构术语中重新表述为Zestt的截夫问题（即选择其相应的截夫γt），假设回归函数mt（Y）：=Et[Z | Yt=Y]是单调的。3.2多代理情况我们现在考虑一般情况m>1。这里的出发点是一个方程组，通过引用具有（子博弈）纳什均衡条件系统形式的一般贝叶斯更新规则，将值{γit:i=1，…，m}相互关联。。。，m： E[字|(j） NDjt（γjt），Gt]=E[Zi|(j 6=i）NDjt（γjt）NDjt（γjt），Yi=γit，Gt]，（10）NDjt（γ）为（时间t）的保密事件。其预期含义是，根据时间t之前可用的信息，如果所有代理均未进行披露（由于缺乏观察，或由于观察值等于或低于各自的过滤审查值），并且第i个代理的观察值与各自过滤审查值γit的值相同，无论代理人是否选择披露观察结果，相应的输出估计值（即Ziin期望值）都是相同的。

（回顾§2.3脚注中的等式约定。）第（10）条概括了§2.3的第（3）条，另见上文§3.1.1。请注意，NDjt（γ）是Dt（γ）的补充，如§2.3中所述（尽管此处涉及第j个代理）。在到达间隔期内，所有观测过程均未披露任何信息，这将对每个最佳观测过滤审查的衰减率产生不同的影响，即过滤方程有义务表达上述纳什均衡条件（10）产生的相互依赖关系。为了表示显式形式，我们需要从§2.1的波动率中得到许多参数。使用缩写颚化符表示法，将σ0i：=σ+σi和▄σ0i（t）：=（1- t） σ0i，分析：~pi（t）：=1/[（1- t） σi]，？p（t）：=Xmi=0？pi（t），？κi（t）：=？pi（t）/？p（t）≡ κi，~κ-i（t）：=▄pi（t）/（▄p（t）- pi（t））≡ κ-i： =pi/（p）- pi）。函数ρi（t）是第三个重要的函数，它表示给定t（…，σ）~W1的第i个分量的（条件）部分协方差（参见[11]）-t+σiWi1-t、 …）在剩余的分量上，其中W表示维纳过程W在时间t重新启动。我们现在可以陈述一般定理；下文将对下标“hyp”的使用进行说明。函数▄βim对应于▄βiinTheorem 1，并在§5.4的引理2中推导。在▄γit=supGE[Zi▄Gt]下方，是一个较早的s，但yitreplacesγitto allow▄yitto没有其他含义，对应于证据中Yisto▄Yisto的重新缩放。这里的‘G和G’的符号与定理1中的符号相似。定理1m（持续保密期间的过滤规则：m≥ 1） 。对于§2的模型，假设yt=（…，yit，…）是一个c\'adl\'ag最佳审查过滤器，它生成一个披露过滤，该过滤具有相关的披露到达时间序列0=θpub<θpub<θpub<。。。

<θpubl< 随机（有限）长度的1l ≤Pmi=1Ni（1），披露事件发生时。然后，对于0≤ N≤ l, 相应的输出预测过程具有以下特性：（i）磁盘存储更新条件（第i个代理的“重新初始化”）gi*（t） ：=E[Zi | G+t]=E[Zi |{Yjt:j∈ Jt}]，如果t=θpub-（t） ；（11） （ii）每个到达间隔θ=θpub-（t）≤ t<θpub+（t）supGE[Zi | Gt]=E[Zi | Gt]=kimβimgi*（θ） 经验值-Ztθνagg（s）ds,其中，在最左侧，时间s向上的左侧范围超过公共过滤G={G+t}，在最右侧t，相关聚集的衰减强度vaggisνagg（t）：=Xjκjκ-J1+Xhαhαjκhκνjhyp（t）和νihyp（t）：=Φαiκiσ0iq1- §ρiλi，和▄βim=▄βiindiv·▄βagg和▄βiindiv：=u（αi，（1- κ） σ）u（κi，（1- κ） σi），且▄βagg=Yju（κj，▄σ0j）；（iii）在披露事件时间之间的每个到达间隔内，针对θ=θpubn给出第i个代理的披露审查员yitof-1.≤ t<θpubnby：αilog yit=-αiκ-iZtθνihyp（s）ds-κκακ-1Ztθν1hyp（s）ds+κακ-2Ztθν2hyp（s）ds+。。。.特别地，最优审查员ytis是一个唯一的分段e-决定马尔可夫过程。注意，对于m=1，这将简化为定理1。证明见§5.3，并取决于（a s定理1）过程M=Mi（σMforσMi）的因式分解，对于不言而喻的形式M=Mexp（σMW）的固定t-σM）=Mtexp（σMW1-T-σM（1- t） ，其中Wiis线开始于时间t。定理1m的讨论。这一结果建立在定理1的基础上，因此具有适当的相似性（例如，在披露日期更新），并依赖于条件贝叶斯公式（7），因此我们现在只对m>1最显著的差异进行评论，即需要分解相互依赖性。

为了确定m个观察主体的观察剖面，首先构建m个对应主体，称为假设主体，每个人都面临定理1中考虑的被抑制的观察问题，但在隔离中。这引入了两个特征：首先，修正的平均因子L-i（t），乘以观测过程的当前条件平均值（定义于§5.3的定理M中，并反映了仅基于加载和精度因子s的单个试剂的增量效应），以及第二，使用Schur补码产生的部分协方差|ρi（见[5，注4.27，p.120]，参见[24，Ch.27]，[25，§§46.26-2 8]）。随后将相应的假设观察削减汇总为原始m-agent问题的收益观察削减。根据这些观测结果，得出了第i个输出端的ecastγIto电流。回想一下，在定理1中，γt的公式要求使用重标函数γt（单位值为t=θ，最新披露日期）。同样地，在理论中，我们也看到一个函数^γ以类似的方式被用来构造^γit；在这里，尺寸常数Kim对应于fi，并反映相对输出幅度，正如κ反映相对精度一样。4应用：审查自愿披露的市场估值定理1的微分方程可用于推导资产市场价格形成的比较静态，其中投资者期望在两个固定的自愿披露日期之间的任何时候自愿披露（具有正概率）。这些比较静力学与时间间隔有关，在此时间间隔内，已知代理人会主动且间歇地观察到共同效应产生的资产价值的噪声信号。

§2.3的解释在此扩展为：=E【E【Zi | G+】G+t】作为资产价格过程（Q下的预期作为市场的风险中性估值度量）。代理i通过鞅Yit间歇性地被赋予关于第i个资产价格演化的隐私信息，并且可以自愿向市场披露关于资产的信息。在连续的公开披露到达时间之间的时间t，时间1估值E【Zi | G+】的ecasts对G+或onGtyields的条件相同，因此相应地，资产价格与|γit=E【E【Zi | G+】Gt】相同，其中|γ是定理1m给出的唯一估值下限。此外，§2.3将披露行为描述为受到激励的行为，以便资产价格给当前的股票持有人（投资者）提供最大的资产价值，给定可用的公共信息。因此，可以根据模型的参数（精度pi、加载因子αi和私人观测到达强度λi）利用各代理使用的观测切割效应来研究对价格形成的影响。值得注意的是，关于抑制的预测。由于企业与环境因素之间的相关性为正，上述公式表明，一个良好的新闻潮流效应是成立的：在其他条件相同的情况下，代理人都会选择更高的边际效益（相对于单一代理人的情况m=1），降低了他们删除私人观察的可能性。此外，还有一个直观清晰的估计器质量效应，这导致代理被划分为低于“平均精度”（在m代理总体上）的区域，如下定理所示。

结果表明，那些精度低于平均值的人采用了较低的截止值（相对于单剂情况），其他条件相同的人则会增加他们发布私人观察结果的概率，并将高于平均值的结果反向保留。潮流定理。在任何周期内，相关性的存在都会增加剪切力的精度参数，因此会提高剪切力：γLN（～λi，～σ0i）<γLN（～λi，κi～σ0i）<γLNλi，κi▄σ0iq1- §ρi,式中，γLN（λ，σ）表示y中下列方程的唯一解：（1- y） =λHLN（y，σ），并表示s i age nt情况下的归一化截面积，如（9）所示。证据这直接来自于[18，§6]的静态模型。当相关性为正时，也会对相关炒作剂的削减效应产生反补贴精度效应，这是由修正后的因子平均值引起的-i（见上文定理1M的讨论），当实际精度低于平均精度时，如下所述。估计量质量定理。假设m≥ 所有i的αi>0。修正后的平均值L-假设公司的i（t）i随piandexp增加s-αi（1- t） 2（p- pi）< L-i（t）<经验αi1+αi-1n-1.（1）- t） 2pav，-我其中pav，-i： =p- 大头针- 1+αi。特别是，如果所有公司的负荷指数相同，则-i（t）<L-j（t）i ffi pi<pj。否则，如果0<αi<αjand pi<pj，则L-i（t）<L-j（t）。修正后的平均值是一个严格的定义，即-i（t）<1，i f p低于负荷调整后的竞争对手平均值，即pi<pn- 1+αi：=pav，-iso对于αi=1，有pav，-i=p/n证明。这也是直接来自于[18，§6]的静态模型。因此，低精度管理者更有可能进行披露，但从定义上讲，披露的准确性会降低。

因此，就在更新规则中赋予其权重而言，投资者对此类不精确的管理者披露坏消息的权重会降低。5证明我们在§5.1中以命题1的证明开始，并在§5.2中使用它来证明定理1，但只有在我们用两个引理的计算准备好基础之后。在§5.3中，我们证明了定理1m；该论点将要求对§5.2中的引理进行重新概括，这些引理被归入§5.4.5.1命题的证明。在§2的符号中，我们有▄γs=Q（N（s）=N（t））·E[Z | G+t]+Q（N（t）<N（s））·Rz≤ γszdQ（E[Z | Ys，G+t]≤ z | G+t）Q（N（s）=N（t））+Q（N（t）<N（s））Q（E[z | Ys，G+t]≤ γs | G+t）=（1- （s）- t） λt）·γt+（s- t） λt·Rz≤ γszdQ（E[Z | Ys，G+t]≤ z | G+t）（1- （s）- t） λt）+（s- t） λtQ（E[Z | Ys，G+t]≤ γs | G+t）。放置qts=（s- t） λt，表示Q asRdQ、交叉乘法和r arranging（1- qts）（￠γt- γs）+o（s- t） =qtsZz≤ γs（z- γs）dQ（E[Z | Ys，G+t]≤ z | G+t）=-qtsZz公司≤ γsQ（E[Z | Ys，G+t]≤ z | G+t）dz，其中最后一行是通过部件进行积分的。5.2定理1的证明本节致力于定理1的证明。证明的想法。这取决于两个观察结果。第一点是，由于回归函数mt（γ）：=E[Z | Yt=γ，Gt]是明确的（引理1下面-但这里我们省略了代理指数）和单调的，因此，由截断函数γt决定的审查行为可以等效地表示为审查函数γt，用于披露估值过程Zt：=~mt（Yt），其中γt=~mt（γt）。第二个——证据的核心（来自第1项）——是▄γt可以用一个方程式来表示代理人在▄Zt=▄γt时不披露与披露▄Zt之间的差异。这样一个方程式隐含地给出了▄γ；然而，方程的变分分析明确地确定了|γtvia是一个简单的微分方程。