《沉默之声》：中的均衡滤波和最优截尾

本文的关键概念是公众的概念正如裁判员指出的那样，完全可以从泊松过程的一个因子（通过适当的细化）来构建公众过滤率n，以便通过某些到达时间的重合来识别“分离者”。过滤G（在§2.1.6的意义上）是一种特殊的联接子过滤∨i第2.1.5条私人过滤的隐私权。其定义是指披露的观测值等于或高于“参考过程”γ的当前值，关键是，要求其自身生成的公共信息具有可预测性。我们定义了从（私人）过滤{Yprivi:i∈ 一} 通过G-可预测审查过滤器γ=（γit:I∈ 一） ，即公共过滤器，每0<t<1，还需满足以下三个条件。这意味着，在每次披露时，都会有披露代理，如（v）所示，他们的观察结果会公开，如（vi）所示，因为，如（vii）所示，这些代理超过了他们的审查阈值：（v）设置的JT是非空的i f Npub（t）>Npub（t）-).（vi）如果Npub（t）>Npub（t-), 当Yj pub（t）=Yj obs（t），对于每个j∈ Jt。（vii）如果Ni（t）>Ni（t-) 对于一些人来说∈ 一、 然后Npub（t）>Npub（t-) 而我∈ Jt。对于此类过滤Gpub，§2.1.6（ii）中（0，1）中出现的计数过程到达时间将被称为自愿披露事件时间（如果m=1，则称为直接披露时间）：θpub，θpub。2.2与固定披露过滤相关的最佳审查问题G={G+t}，如§2.1.7所述，始终通过γ生成，是通过对时间-1信息子集t 7的时间-1输出Z的或有期望获得的过程→ E【Zi | Gt】；该过程被解释为G-可预测估值过程或G-预测过程。

下面讨论的最优审查问题要求构建过滤层*, 必然唯一，其关联的forecastingprocess是所有G-forecastingprocess上的左侧时间点上确界，也就是说，对于每个时间t∈ （0，1）和每个代理i，E[Zi | G*,t] =supGE[Zi | Gt]，（OC），其中最高值范围超过§2.1.7中的披露过滤G={G+t}。在（OC）中，等式的两侧仅取决于日期左侧可用的公共信息。定义如下：*, 如果存在，则为唯一。本文的主要结果在§3中给出了§2.1中几何布朗信号过程X的最优截尾问题的解；定理1对应于一维情况m=1，定理1对应于任意整数维情况m≥ 1、备注1。非正式地说，审查问题要求代理i仅使用所有先前公共信息的历史记录来做出披露/抑制决策。2、利用上述过滤理论语言，最佳过滤问题涉及到构造具有以下性质（i）至（iii）的过滤（过程）γ的两倍：（i）披露过滤G∨我∈IYprivi，通过参考过程γ抑制观察而生成，始终由私有函数{Yi：i=1，…，m}生成；（ii）γ是G-可预测的（这是至关重要的）；（iii）对于每个i∈ I和对于每个时间瞬间t∈ （0，1），γ的选择是为了最大化Zi的预期值，仅考虑过去的公共信息，以及对γjtforj 6=i的同时筛选选择s的最佳响应（这就是为什么γ需要是G-可预测的）。当然，这会为每个代理人产生单独的私人估值。3.

上述G的作用是在任何时间t披露之前，正式审查与“公开”信息相关的私人观察过程，因此与下一节（§2.3）E【Zi | G+t】中的可选评估过程不同，后者在时间t.4模拟了随后的权利连续公开评估。在备注2中，代理是与终端输出（通过其估计器）相关联的瞬时目标的最大化器。另一种方法是为估计器的整个轨迹建立一个单一的整体绩效指标。瞬时（有时称为“短视”）目标所诱导的总体经济行为的最优性，是针对一类与费尔德曼（Feldman）[17]中的模型建立的。对于分析而言，非常重要的是，日期t可以从条件σ-代数Gt（同样适用于Yit）中推断出来，因此它包含在构造中。2.3资产价格模型的应用我们认为单一的“固定”Zitin是孤立的，因此在方便的时候省略i。公司经理（代理人i）在t=1时强制声明其（基本）值，采取贝叶斯立场，这是经理对公司经济状态的估计/预测，即γ：=E[Z | G，Y]=E[Z | G+]，因为G+=σ（（1，Y），G）。下面，我们使用标准的市场结构来创建Q下的资产价格流程（参见。

[6] ）；然后，我们注意到审查引入的期权价值，并观察到审查导致披露和不披露之间的差异，保留了Q下资产价格的风险中性特征。给定公共过滤G，则§2.2的相关预测过程。产生资产价格过程的模拟S，其中t=E[E[Z | G+]| G+t]，表示0≤ T≤ 1、这种构造还将参考度量Q（sto chasticbasis）转变为风险中性的价值度量，这是条件平均f公式所隐含的事实，对于t<s，条件平均f公式断言E[Ss | G+t]=E[E[Z | G+]| G+s]| G+t]=E[Z | G+]| G+t]=St。披露截止γ由资产价格过程s唯一确定，如下所示。修正t<s。在t时，假设代理人i被委托使用截止日期，并选择披露截止日期，以便在以后的s使用。假设，在进一步不ice之前，在interva l（t，s）中没有任何公开披露。设Ds（γ）为时间s的披露事件，对应于观察到Ysat或γ以上值的试剂i，因此就指标函数而言，sds（γ）=1N（s）>N（s-)· 1年（s）≥γ。（D） 方程式（D）表明，YS上的一或无二元期权的Black-Scholes值具有走向γ（由1Y（s）表示）≥γ） 将成为我们推理路线的核心。接下来考虑互补事件NDs（γ），其中，给定γ，市场计算Zas的预测值为▄γs=E【Z▄NDs（γ），G+t】。如果代理人希望在时间S时使资产价值最大化，则当Ys=γ等差效应【Z | Ys=γ，G+t】=E【Z | NDs（γ），G+t】时，选择γ将导致披露和不披露之间的差异。在时间t时，对|γt=E[Z|G+t]值的观察和条件化知识，得出了平衡值|γsand|γt之间的以下简单关系。

（在§3.1的定理1中出现了一个更简单的极限形式。）该关系涉及到Zests的分布：=E[Z | Ys，G+t]，即终端输出Z的时间-s估计值的分布，条件是代理对Ys的观察。（在下面的（2）中，直接替代会导致虚假的内部调节；下面的兰道符号具有以下含义：o（h）/h→ 0，作为h↓ 命题1（条件贝叶斯公式；参见[22]）。在单代理设置中，如果区间（t，s）中没有披露，则▄γt：=E【Z▄G+t】和▄γs：=E【Z▄Ys=γs，G+t】，等式▄γs=E【Z▄NDs（γs），G+t】（1）是qts的等式：=（s- t） λtto（1- qts）（￠γt- γs）+o（s- t） =qtsZz≤γs（z- γs）dQ（Zests≤ z | G+t）=qtsZz≤γs（z- γs）dQ（E[Z | Ys，G+t]≤ z | G+t）。（2） 证据见§5.1。γ的“差异选择”意义重大：我们在此引用我们之前的结果为：命题2（风险中性，[30]–参考[19]）。在命题1的设置中，当D=Ds（γ）和τtD：=Q[D | G+t]，其市场概率（在时间t时有条件），方程（1）等价于t=E[S | G+t]=τtD·E[S | Ds（γS），G+t]+（1- τtD）～γs.（3）为了简单起见，这里和下面我们采用等式惯例，即将方程Yt=y的条件理解为s，这意味着其公开。这等于E【Z | Yt=γt，Gt】，无任何披露。因此，利用§2.1中的模型参数，将Black-Scholes设置中|γs（唯一）解的计算简化为Black-Scholes公式的简单应用；见下文§3.1.1中对定理1和等效方程式（7）的讨论。评论

从sset价格的市场估值角度来看，未来cuto ffγs（如上）的价值必须包含在市场衡量中，但这正是（3）所描述的；因此，我们可以有效地将此处的风险中性度量值视为基础均衡市场模型的总结，如[13]所述。2.4在最简单的m=1的情况下，取α=1和f=1，使Z=X。给定通过上述筛选γtas生成的筛选G，我们可以将观察到的与γ相关的Y称为在时间t低于γt时的坏消息，以及在时间t高于或在γt时的好消息。忽略时间，我们指的是与γ相关的好消息和坏消息，其中γ：=△m（Y）=E【Z | Y】是输出过程的事前估值，前提是在时间t=0的初始强制披露。我们对相关回归函数使用符号▄mt（y）=Et[Z | Yt=y]=Et[Z | Yt=y，Gt]，条件是时间t披露y；此处，时间t之前披露的可用信息由期望运算符中的非正式下标表示，如§2.2中关于Gt的条件所述，因此et[.|…]：=E[.|…，Gt]。有人认为▄mt（.）结合了随时间t提高的观测过程精度。在这种情况下，我们可以讨论抑制坏消息的可能形式（相对于γ），从两个极端开始：披露所有坏消息（无抑制）与抑制所有坏消息。这两种方法都不能得到均衡考虑的支持，但自然的第三种候选方法，结合了适当的、向下的、随时间变化的风险溢价调整格式，能够得到均衡支持——见下面的定理1。示例（抑制风险调整）。

经济上合理的逐段确定性审查方法（对于m=1的情况）通过预测投资者如何将抑制风险溢价纳入其风险中性估值，从而修正了“低于平均值”的天真抑制想法。这导致了审查员的向下调整。这一溢价因素方法有两个互补效应。为了理解这一点，假设第一次公开的观测发生在停止时间θ：=inf{t>0：~mt（Yobst）≥ γ}。随后，在进一步披露之前，应将依赖于时间的降级因子应用于mθ=mθ（Yobsθ）的平均值fort>θ，以识别两个特征：首先，随着时间的推移，出现在平均mθ以下的未披露观测值的可能性（随之产生的条件预期输出估值较低），其次，fo精度的提高可重新计算输出值Z（由于更接近终端时间）。因此，当t>θ时，观测Cuto ffγtsatis fies▄mt（γt）<▄mθ，这自相矛盾地意味着，最终可能会披露导致产出估值低于条件平均值的观测结果；然而，这些因素导致的估值高于降级平均值带来的估值。次要考虑是随着时间的推移，鼓励估值最大化的代理人进行新的披露；这种影响必须认识到，在任何时候，终端输出的预期估值都是最低的，这取决于观测是否被抑制的不确定性。风险溢价的计算是由泊松比λt的确定性以及输出、观测和状态三个过程的乘法性质驱动的。

结果表明，风险溢价是一种与风险资产相关的确定性零息票债券，估值为Et【Z | Yt】；这是一个由两个变量组成的价格函数B，B=B（t，s），定义为0≤ T≤ s<1，使得B（t，t）=1，并且B（t，u）B（u，s）=B（t，s）为0≤ T≤ U≤ s<1。因此，通过参考γt引入“公开时间”，归纳地从θ：=inf{t>0:N（t）>N（t）开始-) & 约伯斯特≥ γt}，“riskyasset”的定价为▄γt=▄γθ-（t） ·B（θ-（t） ，t）；此处为早期θ-（t） 表示最近的披露时间等于或低于t。也就是说，~γ就像通过一种类似于“远期定价”的机制一样延迟。此处▄γt=▄mt（γt），γt为Yt披露的截止值。参考连续向下穿越时间，使用sucha作为公式，很容易得出G的归纳结构，作为Ypriv的子过滤。这个例子的教训是双重的。首先，在M.H.Davis【15】的意义上，Ytis的截尾滤波器γt是一个分段确定性马尔可夫过程，因为▄mt（.）是一个确定性函数。其次，可以很容易地将γt从Yprivby归纳结构中确定的“披露”过滤描述为由上述停止时间θ、θ……产生的YPRIVE的子过滤。。。。事实上，这意味着公共过滤的另一种形式化，即停止时间。3期内估值：保密十年在本节中，定义了§2.1.7中定义的具有审查过滤器γ的一致生成过滤，并假设其为（OC）意义上的最佳审查过滤器。后者被视为唯一的特征，即在[15]意义上的一个依序确定性马尔可夫过程（必然如此——见[9]和[26]），能够从{Yprivi:i∈ 一} 在这种情况下，审查过程是可预测的。

首先，我们考虑简单的情况m=1（将一般情况m>1保留到§3.2），并陈述主张过滤问题显式解决方案的理由（出现了一个以γs为特征的“剪切方程”，对于t<s<θ+，它采用简单微分方程的形式）。该定理的证明见§5.2，但我们在陈述后评论说，最优审查在时间s满足贝叶斯更新规则，我们的微分方程如下。3.1单一代理人案例m=1且仅涉及第i个代理人的情况如下。Asin§2.3，在公开披露日期之间，我们不仅必须参考用于观测Yt的审查员γt，还必须参考图像处理γt：=E【Z | Yt=γt，Gt】=E【Z | NDt（γt），Gt】。在Black-Scholes框架下，时间t回归函数γ7→ E[Z | Yt=γ，Gt]是单调的。在单一代理人的情况下，由于单一观察者是任何公共过滤扩张的唯一来源，因此原则上可以使用披露/审查语言，通过参考|γt，而不是披露/审查观察Yt，仅对预测[Z | Yt，Gt]进行披露/审查。然而，在多代理设置中，这是不容易做到的，因为其他代理可能会扩大公共过滤器，因此|γ和γ之间的连接（平衡）更加复杂。因此，我们只需追逐这两组变量。由于与“重新启动”维纳过程相关的技术原因（在t和θpub-（t） ），审查员需要在重新开始之日重新调整到统一的规模，因此，下面的推论还将出现进一步的过程。

（相关参数见§2.1.4。）在定理1中，参考了固定公共过滤，也参考了上文§2.2（OC）中的一般公共过滤；此外，在（i）中披露的可选估值E[Z | G+t]与（ii）中的可预测估值过程E[Z | Gt]之间建立了联系–参见§2.2。Φ以下表示标准正态分布。定理1（m=1的衰变规则；仅存在第i个代理）。对于§2的模型，假设γ是一个c\'a dl\'ag最优观测截尾滤波器，生成一个披露过滤G={G+t}，关联的披露到达时间序列0=θpub<θpub<θpub<…<θpubl< 1，随机（有限）长度l ≤ N（1）发生二次碰撞的位置。相应的输出预测过程具有以下特性：（i）磁盘存储更新条件（“重新初始化”）g*（θpub-（t） ）：=E[Z | G+t]≡ E[Z | Gt，Yt]，如果t=θpub-（t） ，（4）或此处明确表示，对于t=θpub-（t） ，E[Z | G+t]=E[Z | Yt，\'Gt]=kYκt，其中k=f1-κ、 κ=κi=pi/（pi+p）；（ii）在每个到达间隔（即卸货时间之间）内，supGE[Z | Gt]=e[Z | Gt]=g*（（θpub-（t） ）经验值-Ztθνsds, 对于θpub-（t）≤ t<θpub+（t），其中，在显示上述内容的最左侧，左侧的时间上限（如in（OC））范围覆盖所有公共过滤G={G+t}，最右侧：G*与i n（i）abo v e一样，而在估值公式中，存在由νt=λt[2Φ（σt/2）给出的衰减强度- 1] >0，σt=αi（σ+σi）（1- t） ；（5） （iii）在每个到达间隔内，披露观测结果的截止时间为y满足度[Z | Gt]=kβtγtκ，其中β=～βi：[0，1]→ R（β（1）=1）是时间的递减确定性加权函数，在§5.2的引理2中明确确定。特别地，最优审查γ是一个唯一的、分段确定的马尔可夫过程。证据见§5.2。