具有价格影响的部分信息下的最优清算

此外，我认为Rt：=Rt- Rt公司-> -1表示所有t，因此S是严格正的。请注意，FSis等于FR，即返回过程R生成的过滤；在续集中，我们将以可更改的方式使用这两种过滤器。用uR表示与R相关的随机度量，用uR（dt，dz）定义：=Xu≥0，Ru6=0δ{u，Ru}（dt，dz），并通过ηPthe（F，P）-uR的双重可预测投影（或补偿随机测度）。Weassume，ηPis是绝对连续的，形式为ηP（t，Yt-, νt-; dz）dt，对于R上的有限测度ηP（t，e，ν；dz），并且过程R和Y没有公共跳跃。因此R和Yare是正交的，即[R，Y]t≡ 0表示所有t∈ [0，T]，P-a.s.测度ηP（T，e，ν；dz）是一个至关重要的数量，因为它决定了概率P下关于过滤F的投标价格规律。ηP依赖于当前清算率的事实可以用来模拟永久价格影响；ηPon Yt的依赖性-可用于在高频数据中观察到的事件间持续时间内产生聚类，并模拟其他市场交易活动的反馈效应。最后，ηpC的时间依赖性可用于模拟高频数据观察到的强日内季节性模式。下面的示例2.3更详细地解释了这些方面。接下来，我们将为我们的设置提供进一步的动力。高频价格轨迹的离散性质如图1所示，其中我们绘制了以1秒频率采样的谷歌股价，以及相应回报的QQ图。后一个图清楚地显示了收益率是强非高斯的。（2.2）中的离散化参数δ通常为564。2 564.4 564.6 564.8 565.0投标价格15:58:02 15:58:32 15:59:02-4.-2 0 2 4-1.5-1-0.5 0.0 0.5理论量采样量图1：高频返回特性。

左图：2012年6月21日谷歌股价在15:58:02至15:59:02之间以1秒的频率采样；右图：对应退货的QQ图。几分钟的量级，因此比图1中使用的时间尺度大，因此在δ-时间尺度上，S的离散近似值可能有意义。在我们的partialinformation设置中，点流程框架更合适，原因如下。由于过程Y不可直接观察，最优清算率νt取决于交易员对市场状态的估计，由条件状态概率πit=P（Yt=ei | FSt），i=1，K、 例如，在下面的示例2.3中，很明显，如果处于良好状态的条件概率很高（πtclose-toone），交易者可能希望等待价格上涨。在数学术语中，这意味着必须将过滤过程（πt，…，πKt）0相加≤T≤t问题的状态变量。后者解决了由返回观测驱动的K维SDE（称为Kushner-Stratonovich方程）。这里出现了以下问题。在最优清算问题的数值分析中，需要在非常小的时间尺度上解决SDE，以充分利用可用信息。如果使用R的扩散模型，这会导致数值上的困难，这主要是因为高频返回是强非高斯的。因此，我们倾向于将回报建模为标记点过程。

因此，用于计算过滤过程π的模型与用于最优清算问题本身的模型之间的一致性意味着后一个问题应在点过程框架中进行分析。第6.3节中给出的模拟andreal数据的小型校准研究为我们的设置提供了进一步的实证支持。这里我们使用的事实是，对于ν≡ 0该模型是一个具有点过程观测的hiddenMarkov模型，我们应用期望最大化（EM），例如，我们在第6.3节中使用1秒返回值进行校准研究。马尔可夫调制点过程估计Y的生成矩阵和补偿器ηP的参数的方法。有趣的是，考虑投标价格相对于完整信息过滤F的半鞅分解。表示所有（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，νmax]ηPbyηP（T，E，ν）的平均值：=ZRzηP（T，E，ν；dz）；（2.6）ηP（t，e，ν）在下面的假设2.1下存在。修正一些清算策略ν。然后返回过程的鞅部分MRt由MRt=Rt给出-RtηP（s，Ys-, νs-)ds，适用于所有t∈ [0，T]和S方程的F-半鞅分解st=S+ZtSs-dMRs+ZtSs-ηP（s，Ys-, νs-)ds，t∈ [0，T]。（2.7）在续集中，我们假设对于所有（t，e）∈ [0，T]×E，映射ν7→ ηP（t，e，ν）在[0，∞), 也就是说，S的半鞅分解（2.7）中的漂移在液化率上正在减小。这类似于Almgren和Chriss[1]中的永久价格影响模型，其中清算增加了投标价格的负漂移。最后，我们介绍了补偿器ηP的一些技术假设。假设2.1。有一个确定性的有限度量ηQon R，其支持度由supp（η）表示，是(-1.∞), 对于所有（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，∞) 测量值ηP（t，e，ν；dz）等于ηQ（dz）。

此外，对于每个νmax<∞ 有一个常数M>0，这样M-1<dηP（t，e，ν）dηQ（z）<M表示所有（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，νmax]。（2.8）该假设意味着，对于每个固定的νmax，都有一个λmax<∞ 这样SUP{ηP（t，e，ν；R）：（t，e，ν）∈ [0，T]×E×[0，νmax]}≤ λmax；（2.9）特别是与S跳跃相关的计数过程是P-非爆炸的。此外，它还提供了一个存在参考概率测度的充分条件，即概率测度Q等价于P on(Ohm, FT），使得在Q下，uRis是一个泊松随机测度，强度测度ηQ（dz），与Y和ν无关。这在第3节分析交易员的过滤问题时是必要的。注意，ηPandηqimpliessthat对于所有（t，e，ν）的等价性∈ [0，T]×E×[0，∞) ηPis的支撑等于supp（η）。supp（η）是紧凑型的假设没有限制性，因为实际上投标价格一次只移动几个滴答声。以下示例用于说明我们的框架；第6节将讨论这些问题。示例2.2。考虑返回过程R遵循双变量点过程的情况，即有两种可能的跳跃大小，R∈ {-θ、 θ}对于某些θ>0。在这个例子中，我们假设S的动力学与Y和t无关。此外，向上跳跃的强度λ+是常数，等于cup>0，强度λ-向下跳跃的速度取决于坡度，由λ给出-（ν） =cdown（1+aν），对于常数cdown，a>0。注意，选择λ-, S向下跳跃的强度在清算率ν中呈线性增加。函数ηPfrom（2.6）由ηP（ν）=θ（cup）给出-cdown（1+aν））明显独立于tand e，且在ν中呈线性递减。

文献中经常考虑永久价格影响的线性模型，因为它们具有理论和实证优势；参见instanceAlmgren等人【2】或Gatheral和Schied【27】。示例2.3。现在，我们推广示例2.2，并允许ηPto依赖于状态过程Y。我们考虑一个状态空间为E={E，E}的两状态马尔可夫链Y，我们假设eis是“好”状态，ea是“坏”状态，其意义如下：在状态E中，股票向上移动的强度大于状态E；另一方面，e中ethan状态下向下移动的强度更大。因此，我们选择常数cup>cup>0，cdown>cdown>0和价格影响参数a>0，并设置i=1，2，λ+（ei，ν）=（cup，cup）ei和λ-（ei，ν）=（1+aν）（cdown，cdown）ei。那么，ηP（ei，ν，dz）=λ+（ei，ν）δ{θ}（dz）+λ-（ei，ν）δ{-θ} （dz），对于i=1，2。自cup>cup以来，美国平均有更多的采购订单；这可能代表另一位交易员正在执行大型买入计划的情况。类似地，由于cdown>cdown，在e州平均有更多的sellorders，例如，因为另一个交易者正在执行一个大型卖出计划。ηp的形式表明，永久价格影响是线性的，与向下移动的强度成比例，因此在“坏”状态下更大，在好状态下更大。注意，在我们的一般设置中，这个示例可以通过多种方式增强。

例如，过渡强度CUPIAN和CDOWNIAN以及流动性参数a可能取决于时间，以反映这样一个事实：在大多数市场上，一天中的交易活动都是在一天的开始和结束时发生的交易多于在中间。此外，可以引入市场横向移动的另一种状态，或者可以考虑流动性参数a依赖于Y的情况。2.3在前一节中，我们已经看到，具有由超线性和凸函数νf（ν）描述的临时价格影响意味着清算策略的内生上限νmax。然而，如果函数f的确切形式未知，则很难估计该值。在本节中，我们提供了一个稳健性结果，表明清算的最佳收益几乎与νmax的精确值无关。为此，我们定义了J*,如果交易者使用FS adaptedstrategies withνt，则mas为最佳清算值≤ m表示所有t，并在命题2.4中证明J*,m的错界独立。现在序列{J*,m} m级∈Nis明显在增加，因为m越高意味着转换器可以在更大的策略集上进行优化。因此，{J*,m} m级∈这是导致结果的原因。提案2.4。假设假设2.1成立，函数（t，e，ν）→ （2.6）中的ηP（t，e，ν）在ν中递减，设置η=0∨ sup{ηP（t，e，0）- ρ： t型∈ [0，T]，e∈ E} 。然后supm>0J*,M≤ wSeηT。注意，J上的上界*对应于无价格模型中存货的清算值，其中投标价格的预期值以最大速率η+ρ增长。证据用[0，m]中的值固定一些FS适应策略ν，用Sν表示相应的投标价格，并删除νt=e-ρtSνt。

因为Wt=w-Rtνsds我们通过部分积分得到zτνseSνsds=-ZτeSνsdWs=Sw-eSντWτ+ZτWsdeSνs.自h（W）起≤ w和f（ν）≥ 因此我们得到zτνueSνu（1- f（νu））du+eSντh（Wτ）≤ZτνueSνudu+eSντWτ=Sw+ZτWudeSνu。注意，RτWudeSνu=RτWueSνudMRu+RτWueSνu（ηP（u，Yu-, νu-) - ρ） 杜。此外，处理器·∧τWueSνudMRuis是真鞅。作为0≤ 吴≤ w、 引理a.1证明中的类似论点表明，该过程是可积二次变分的。自ηP（u，Yu-, νu-) - ρ≤ η、 τ≤ T和Wu≤ w、 we getJ（ν）≤ Sw+EZτWueSνu（ηP（u，Yu-, νu-) - ρ） 杜邦≤ Sw+EZTweSνuηdu. （2.10）接下来，我们显示EeSνt≤ 为此，请注意引理A.1，R·SνS-Dmrs是真鞅，所以eSνt= S+E中兴通讯νu（ηP（u，Yu-, νu-) - ρ） 杜邦≤ S+η中兴通讯eSνudu，并且该主张源自Gronwall不等式。使用（2.10），我们最终得到J（ν）≤Sw（1+RTηeηudu）=SweηT，从而得出结果。3部分信息和过滤在本节中，我们推导了模型的过滤方程。例如，Frey和Schmidt【25】、Ceci和Colaneri【15、16】考虑了点过程观测的过滤。本文献主要基于创新方法。在本文中，我们通过参考概率方法解决过滤问题。这种方法依赖于等效概率测度的存在，使得观测过程由具有独立于马尔可夫链的双重可预测投影的随机测度驱动，参见Brémaud【11，第6章】。参考概率方法允许我们对模型进行严格的构造，见引理3.1.3.1参考概率。

我们从过滤概率空间开始(Ohm, F、 F，Q），其支持具有状态空间E和生成器矩阵Q的马尔可夫链Y，以及具有补偿器ηQ（dz）dt的独立泊松随机测度urw，如假设2.1.2所示；Q被称为参考概率度量。请注意，Y和urimpiles的独立性使得R和yh没有公共跳跃。对于（t，e，ν，z）∈ [0，T]×E×[0，νmax]×supp（η），我们通过β（T，E，ν，z）定义函数β：=dηP（T，E，ν；dz）dηQ（dz）（z）- 1，即β（t，e，ν，z）+1是度量ηP（t，e，ν；dz）相对于ηQ（dz）的Radon-Nikodym导数。我们用FR表示uR生成的过滤。用νt固定一些FR适应的清算策略ν∈ [0，νmax]，t≤ T和T的定义∈ [0，T]随机指数z byeZt=1+ZtZReZs-β（s，Ys-, νs-, z）uR（ds，dz）- ηQ（dz）ds. （3.1）那么我们得到以下结果。引理3.1。以假设2.1为准。那么过程是一个严格正鞅，等式为eZT公司= 1、通过设置DPDQ确定FTP上的度量值PFT=eZT。然后P和Q是等价的，在P下，随机测度uRhas补偿器ηP。引理的证明推迟到附录A。请注意，引理3.1给出了第2.2节中介绍的模型的严格构造。使用测量变更方法的优点在于，泊松随机测量u和观察过滤框架是外生的。如果试图直接构造循环，则会出现循环，因为过程R取决于策略ν，而策略ν又适用于过滤FR.3.2过滤方程。对于函数f:E→ R、 我们将滤波器π（f）作为过程f（Y）在滤波器FS上的可选投影，即π（f）是一个cádlág过程，因此对于所有t∈ [0，T]，它认为πT（f）=Ef（Yt）| FSt.

注意，由于Y是有限状态马尔可夫链f（Yt）=hf，所有t的Yti∈ [0，T]，其中h，i表示Rk上的标量积，且fi=f（ei），i∈ {1，…，K}，因此马尔可夫链的函数可以用K向量识别。让所有t∈ [0，T]和i∈ {1，…，K}，πit:=E{Yt=ei}| FSt. 然后，我们可以将滤波器表示为πt（f）=KXi=1fiπit=hf，πti，0≤ T≤ T、 本节的目的是推导过程π=（π，…，πK）的动力学。为此，我们首先观察到，根据Kallianpur-Striebel公式，我们得到πt（f）：=pt（f）pt（1）表示所有t∈ [0，T]，其中p（f）表示过滤器的非规范化版本，由pt（f）定义：=等式eZthf，Yti | FSt, 0≤ T≤ T、 （3.2）p（f）的动力学在下一个定理中给出。定理3.2（Zakai方程）。假设假设2.1成立，让f:E→ R、 那么，不管怎样∈ [0，T]，非正规化滤波器（3.2）求解方程：pt（f）=π（f）+Ztps（Qf）ds+ZtZRps-（β（z）f）（uR（ds，dz）- ηQs（dz）ds），（3.3），其中pt-（β（z）f）=等式f（Yt-)eZt公司-β（t，Yt-, νt-, z） | FSt和pt（Qf）=等式eZthQf，Yti | FSt.我们现在提供了证明的总体思路，详细信息见附录A。请考虑（3.1）中定义的过程和一些函数f:E→ R、 然后根据It^o的公式，乘积eztf（Yt）具有以下（Q，F）-半鞅分解eztf（Yt）=F（Y）+ZteZshQf，Ytids+ZteZsdMfs+ZteZsf（Ys）ZRβ（s，Ys-, νs-, z）uR（ds，dz）- ηQs（dz）ds,其中Mf=（Mf）0≤T≤这是F（Y）的半鞅分解中出现的真（F，Q）-鞅。将关于FStyields的条件期望作为结果，因为它可以显示：RteZsdMfs | FSt= 我们引入符号πt-（ηP（dz））：=KXi=1πit-ηP（t，ei，νt，dz），0≤ T≤ T、 通过应用[11，Ch.II，定理T14]，很容易看出πT-（ηP（dz））dt给出度量uR的（FS，P）-双可预测投影。

下一个命题提供了条件状态概率的动力学。提案3.3。过程π=（π，…，πK）求解以下方程组：πit=πi+ZtKXj=1qjiπjsds+ZtZRπis-ui（s，νs-, πs，z）（uR（ds，dz）- πs-（ηP（dz））ds），（3.4）每t∈ [0，T]和1≤ 我≤ K、 式中，ui（t，ν，π，z）：=（dηP（t，ei，ν）/dηQ（z）PKj=1πj（dηP（t，ej，ν）/dηQ（z）- 1.证明。根据Kallianpur-Striebel公式，我们得到πt（f）：=pt（f）pt（1），对于每个t∈ [0，T]。然后，通过（3.3）和It^o公式，我们得到了归一化滤波器π（f）的动力学。claimedresult是通过为每个i设置f（Yt）=1{Yt=ei}来获得的∈ {1，…，K}。请注意，过滤方程（3.4）不取决于ηQ的特定选择。例如，过滤方程2.3。下面我们给出了过程π的动力学，例如2.3。对于两态马尔可夫链，有必要指定π=π的动力学，因为π=1- π。定义两点流程NUPT=PTn≤t型{RTn=θ}和Ndownt=PTn≤t型{RTn公司=-θ} ，对于所有t∈ [0，T]，计算返回过程的向上和向下跳跃。很容易看出，对于每个（ν，π，z）∈ [0，νmax]×[0，1]×{-θ、 θ}，函数u（ν，π，z）=λ+（e，ν）πλ+（e，ν）+（1- π） λ+（e，ν）{z=θ}+λ-（e，ν）πλ-（e，ν）+（1- π） λ-（e，ν）{z=-θ} 。（3.5）通过推论3.3，我们得到πt=πt的以下方程：dπt=qπt+q（1- πt）dt+πt（1- πt）（λ+（e，νt）+λ-（e，νt））- （λ+（e，νt）+λ-（e，νt））dt+πt-λ+（e，νt）πt-λ+（e，νt）+（1- πt-)λ+（e，νt）- 1.dNupt+πt-λ-（e，νt）πt-λ-（e，νt）+（1- πt-)λ-（e，νt）- 1.dNdownt公司。（3.6）4控制问题I：通过PDMPsWe进行分析我们首先简要概述了我们对控制问题的分析（2.4）。在下面的命题4.3中，我们表明Kushner-Stratonovich方程（3.4）有唯一的解。