具有价格影响的部分信息下的最优清算

此外，Vc的最优性方程（5.1）可以写成定点方程V=TV。Davis和Farid【23】观察到，这可以用来获得PDMP控制问题中值函数的粘度解决方案特征，现在我们解释如何在我们的框架中应用这一想法。ψ：eY的定义→ R+函数Fψ：eY×R+×RK+2→ R byFψ（ey，v，p）=- sup公司- （ρ+λ（ey，ν））v+g（ey，ν）p+`ψ（ey，ν）：ν∈ [0，νmax].与控制问题（5.3）相关的动态规划方程isFψey，vψ（ey），vψ（ey）= ey为0∈ inteY，vψ（ey）=h（ey）表示ey∈ eY。（5.4）此外，由于V=TV，我们期望V在适当的意义上解决方程Fvey，V（ey），V（ey）= 0，用于ey∈ inteY，V（ey）=h（ey）表示ey∈ eY。（5.5）备注5.1。请注意，方程式（5.4）和（5.5）的不同之处在于，（5.4）中的函数fψ随ψ固定而进入，而（5.5）中的函数FV起作用。这反映了一个事实，即与方程（5.4）相关的控制问题（5.3）具有外源给定的运行成本，而在导致方程（5.5）的优化问题（5.1）中，函数与固定点方程的解有关，因此运行成本是内生的。方程（5.4）和（5.5）有两个问题：vψ和Vare通常不是C函数，以及这些函数在非活动部分的值边界的eY由下式确定。因此，在Barles[6]之后，我们研究了粘度解的以下概念。定义5.2。1.

如果对于所有φ，有界上半连续（u.s.c.）函数v oneY是（5.4）的粘性子解∈ C（eY）和所有局部极大值eY∈v的eY- φ1 hasFψey，v（ey），φ（ey）≤ ey为0∈ inteY，最小值Fψey，v（ey），φ（ey）, v（ey）- h（ey）≤ ey为0∈ eY。（5.6）有界下半连续（l.s.c.）函数u oneY是（5.4）的粘度上解，如果对于所有φ∈ C（eY）和所有局部极小值eY∈u的eY- φ1 hasFψey，u（ey），φ（ey）≥ ey为0∈ inteY，max公司Fψey，u（ey），φ（ey）, u（ey）- h（ey）≥ ey为0∈ eY。（5.7）（5.4）的粘度解vψ要么是一个连续函数，它既是（5.4）的子解也是上解，要么是一个有界函数，其u.s.c.和l.s.c.包络是asub，上解是（5.4）。如果F=Fv的关系式（5.6）成立，则有界u.s.c.函数v oneY是（5.5）的粘度子解。类似地，如果（5.7）对F=Fu成立，则有界l.s.c.函数u oneY是（5.4）的粘度上解。最后，Vis是（5.5）的粘度解，如果它既是asub又是该方程的上解。请注意，定义5.2允许某些边界点Sey的vψ（ey）6=h（ey）的情况∈ eY。特别是，如果Fψey，vψ（ey），vψ（ey）= 粘度意义上的0，（5.6）和（5.7）与h（ey）的值无关。定理5.3。假设假设假设2.1和4.7成立。然后给出了（5.5）ineY连续粘度解的值函数。此外，比较原则适用于（5.5）：如果v≥ 0是子分辨率，u≥ 0一个（5.5）的上解，使得v（ey）/w和u（ey）/w是有界的，并且使得v=u=h在活动边界ΓofeY上，那么v≤ u在inteY上。因此，Vis是（5.5）的唯一连续粘度溶液。证据首先，根据定理4.10，Vis连续。

此外，Barles【6，定理5.2】暗示粘度解为（5.4），ψ=Vand，因此为方程（5.5）。接下来我们证明了比较原理。为了建立不等式v≤ u我们在（5.4）的比较结果上使用基于Tand单调性的归纳论点。Letu：=u，定义u=T u。根据Barles【6，定理5.2】，u是（5.4）的粘度解，ψ=u。此外，u（ey）/w是有界的，因此u=h在Γ上。既然是（5.5）的上解，它也是（5.4）的上解，ψ=u。Barles[6，定理5.7]给出了不等式u≤ uon inteY，因为函数u+和u-该理论的定义与我们的案例一致。现在确定感应un=Tun-1，假设un≤ 联合国-然后，利用T的单调性，我们得到了+1=Tun≤ Tun公司-1=联合国。这证明un+1≤ unfor每n个∈ N、 此外，如第4.3节所述，序列{un}N∈nConverge为V，因此un≥ 对于所有n，我们可以用同样的方法构造一个函数序列{vn}，其中v=v，使得vn↑ 五、 我们得出结论V≤ 五、≤ u、 其余的陈述很清楚。备注5.4。请注意，Davis和Farid[23]中的结果并不直接适用于我们的情况，因为我们的模型不满足他们关于横向边界向量场g行为的假设。此外，Davis和Farid[23]没有给出（5.5）的比较原则。最后，我们显式地编写了动态规划方程（5.5）。

为此，我们使用λ（ey，ν）=PKk=1πkηP（t，ek，ν，R），定义g，定义lVin（5.2），得到0=五、t（t，w，π）+supH（ν，t，w，π，V，五） ：ν∈ [0，νmax], （5.8）H（ν，t，w，π，V，五） =-ρV+ν（1- f（ν））- ν五、w（t，w，π）+KXk，j=1五、πk（t，w，π）πjqjk公司- πkZRuk（t，ν，π，z）ηP（t，ej，ν，dz）+KXj=1πjZRV（t，w，π，z）ηP（t，ej，ν，dz），（5.9）和V（t，w，π，z）：=（1+z）Vt、 w，（πi（1+ui（t，ν，π，z）））i=1，。。。，K- V（t，w，π）。该方程与与受控马尔可夫过程（W，π）相关的标准HJB方程一致。使用粘度解理论的优点是，即使Vis仅仅是连续的，我们也能给出这个方程的数学意义。这与我们的情况有关。实际上，在下一节中，我们将给出一个简单的示例，其中Vis不是C.5.2的反例。我们现在给出一个设置中的示例，其中值函数是动态规划方程的粘度解，而不是经典解。准确地说，我们在示例2.2的上下文中使用线性永久价格影响和确定性补偿器ηP。为简单起见，我们让ρ=0，s=1，h（w）≡ 0，f（ν）≡ 0（期末结算价值为零，无临时价格影响）。在这种情况下，需要施加清算率的外生上限νmaxon，以确保控制集是紧凑的，并且存在粘度溶液（见备注5.5）。此外，我们假设cup<cdown。因此，函数ηPfrom（2.6）由ηP（ν）：=θ（cup- cdown（1+aν））和ηP（ν）<0表示ν>0。因此，对于任何可容许的ν，Sν都是一个超鞅，我们推测，为了减少因投标价格下降而造成的损失，最好尽快出售。用τ（w）表示：=w/νmax清算库存w所需的最短时间。因此，最优策略由ν给出*t=νmax[0，τ（w）∧T]（T）。

此外，对于t<τ（w）∧ T有ηP（νT）=ηP（νmax）和E（S*t） =经验值tηP（νmax）. 因此我们得到了j（ν*) =Zτ（w）∧TνmaxexpuηP（νmax）杜。通过求解该积分，我们得到以下候选值函数v（t，w）：=νmaxηP（νmax）nexpηP（νmax）（τ（w）∧ （T- t） （）- 1o，（t，w）∈ [0，T]×[0，νmax]。（5.10）为了验证Vis实际上是值函数，我们显示Vis是HJB方程5.8的粘度解。在当前设置中，此公式变为-五、T- supnν- ν五、w+ηP（ν）V：ν∈ [0，νmax]o=0。（5.11）首先注意，V符合正确的终端和边界条件。定义集合：={（t，w）∈ [0，T]×[0，w]：τ（w）=（T- t） }。函数Vis-Con[0，T]×[0，w]\\G，它是这个集合上的（5.11）的经典解。然而，Vis在G上是不可微的，因此并非处处都是经典解。固定某个点（t，w）∈ G、 为了表明粘度为（5.8）的Vis溶液，我们需要验证这一点的亚溶解性。（对于上解性质，没有什么可显示的，因为没有C-函数φ使得V- φ具有局部最小值in（t，w）。）考虑φ∈ C如此V- φ在（t，w）中有一个局部最大值。通过考虑函数t 7的左导数和右导数→ （五）- φ） （t，w）分别为w 7→ （五）- φ） （t，w）我们得到了φ的偏导数的下列不等式-νmaxeηP（νmax）（T-t）≤φt（t，w）≤ 0和0≤φw（t，w）≤ 经验值ηP（νmax）τ（w）.此外，它在G上保持V（t，w）=νmaxηP（νmax）经验值ηP（νmax）（T-t）-1.. w=νmax（T-t） 在G上，相对于t的微分给出φT- νmaxφW（t，w）=-νmaxexpηP（νmax）（T- t）. （5.12）应用不等式φ我们得到了这个supnν- νφw+ηP（ν）V：ν∈ [0，νmax]o=νmax-φw+eηP（νmax）（T-t）.使用（5.12）得出-φT- sup公司ν- νφw+ηP（ν）V：ν∈ [0，νmax]= 0，因此为Subsolution属性。备注5.5。

很容易看出，对于νmax→ ∞ 值函数Vfrom（5.10）收敛到v0，∞（t，w）：=-θcdowna经验值(-wθacdown）- 1.V0，∞是方程（5.11）的严格（经典）超解，自ν- ν五、w+ηP（ν）V=1.- E-wθacdown杯子- cdownacdown公司< 所以我们得到了V0，∞大于或等于νmax=∞, 因为它是具有有界最大销售率的价值函数的极限，所以它也小于或等于。这可以得出V0，∞是νmax=∞.6个例子和数值结果在本节中，我们研究了模型中的最优清算率和预期清算利润。具体而言，我们在示例2.3的框架内工作，即ηPdepends在清算策略以及两状态马尔可夫链上的示例。我们关注两个不同的研究问题：i.）模型参数对最优清算率形式的影响；ii.）额外的清算利润来自随机过滤的使用以及与经典方法的比较。此外，我们还报告了一项小型校准研究的结果。数值方法。由于示例2.3设置中（5.9）中的方程无法解析求解，因此我们采用数值方法。我们采用显式有限差分格式来求解HJB方程并计算相应的清算策略。首先，我们通过时间反演将HJB方程转化为初值问题。给定时间离散化0=t<····<tk<···<tm=t，我们设置Vt=h，给定Vtk，我们近似清算策略如下：*tk（w，π）：=argmaxν∈[0，νmax]H（ν，tk，w，π，Vtk，discVtk），（6.1）其中讨论梯度算子，用适当的有限差分替换导数。

在续集中，我们提到ν*tkfrom（6.1）作为候选最优清算率。这样我们就可以获得值函数的下一次迭代，Vtk+1=Vtk+（tk+1- tk）H（ν*tk，tk，w，π，Vtk，discVtk）。（6.2）由于比较原理成立，如定理5.3所示，且值函数是我们的HJB方程的唯一粘度解，因此我们通过Barles和Souganidis【7】、Dang和Forsyth【21】中类似的参数，将建议的程序收敛到值函数；详情见附录C。使用候选最优策略的动机如下：通过有限差分近似（6.2）获得的值函数可被视为近似控制问题中的值函数，其中状态过程遵循离散时间马尔可夫链，候选最优策略（6.1）是近似问题中的最优策略，参见Fleming和Soner的第九章【24】。价值函数的有限差分近似的收敛结果表明，候选最优策略在原始问题中几乎是最优的。然而，对候选最优策略的最优性性质的形式化分析超出了本文的范围。6.1候选最优清算率。我们首先计算候选最优清算率ν*tk对于示例2.3，假设临时价格影响的形式为f（ν）=cfν，对于>0。因为所有t的πt+πt=1∈ [0，T]，我们可以从状态变量集中消除过程π。在后半部分中，我们用πt表示处于良好状态的条件概率，用V（t，w，π）表示在点（t，w，（π，1）处计算的值函数- π） ）。计算ν*tkwe替换（3.5）中给出的函数ui和过程的动力学（πt）0≤T≤t从（3.6）转化为一般的HJB方程（5.8）。

用πpostt=πtcdownπtcdown+（1）表示- πt）cdown，0≤ T≤ T、 状态的更新（后验）概率egiven表示T处发生向下跳跃。此外，通过δVδwand和δVδπ表示（6.1）中出现的离散化偏导数。替换为（5.9）导致ν*tk=argmaxν∈[0，νmax]ν（1- cfν）- νC（tk，w，π）, 式中（6.3）C（tk，w，π）=δVδw（tk，w，π）+δVδπ（tk，w，π）π（1- π） a（cdown- cdown）-（1）- θ） V（tk，w，π柱）- V（tk，w，π）（πcdown+（1- π） cdown）a。（6.4）最大化（6.3）关于ν，我们得到*如果C（tk，w，π）>1，tk=0；对于C（tk，w，π）≤ 1一个有ν*tk=eν*∧ νmax，其中eν*求解方程1- cf（+1）ν=C（tk，w，π）。（6.5）在我们的数值例子中，我们选择了足够大的νmax，以便约束νt≤ νmaxis从不绑定。ν的表征（6.5）*tkis非常直观：1- cf（+1）ν给出了由于ν增加而产生的边际清算收益，而C（tk，w，π）可被视为ν增加的边际成本（见下文）。对于C（tk，w，π）≤ 1，eν*通过将边际效益和边际成本相等得出；对于C（tk，w，π）>1，所有ν的边际收益小于边际成本≥ 0和ν*tk=0。候选最优清算率ν*因此，tkis由边际成本C（tk，w，π）决定，我们现在对（6.4）中的术语进行经济解释。

首先，δVδ是边际机会成本，因为出售库存会减少未来可清算的金额。此外，它认为-（1）- θ） V（tk，w，π柱）- V（tk，w，π）= θV（tk，w，πpost）-V（tk、w、π柱）- V（tk，w，π）.θV（tk，w，πpost）表示由于回报过程中向下跳跃而导致的预期清算价值减少，以及（πcdown+（1- π） a是向下跳跃强度的边际增加，因此θV（tk，w，πpost）（πcdown+（1- π） cdown）a（6.6）衡量因永久价格影响而产生的边际成本；在续集中，我们提到（6.6）流动性成本。最后，请注意πpost- π=π（1-π） （cdown）-cdown）πcdown+（1-π） C下降。因此，（6.4）中的剩余项等于-V（tk、w、π柱）- V（tk，w，π）-δVδπ（tk，w，π）（π柱- π）a（πcdown+（1- π） cdown）。（6.7）模拟表明，Vis在π中是凸的；这很自然，因为它意味着真实状态的不确定性会降低最佳清算价值。因此，（6.7）为负，这导致候选最优清算率（6.5）增加。自π后- π是π的最大值≈ 0.5，如果投资者不确定真实状态，这种影响最为明显。因此（6.7）可以被视为一种不确定性修正，如果交易者对真实状态不确定，那么他可以更快地卖出。数值分析和不同的价格影响参数。为了进一步了解候选最优清算率的结构，我们借助于数值实验。我们使用表1中给出的参数集。此外，我们设置清算值h（w）≡ 0；这相当于对T的任何剩余库存进行严重处罚。

在不丧失一般性的情况下，我们将s设置为1，以便预期清算利润等于V.wTρθcup，cdowncdown，cupaqq6000 2天0.00005 0.001 1000 900 7×10-60.6表1：数值实验中使用的参数值。首先，我们讨论了临时价格影响大小不同的候选最优清算率的形式，即对于不同的cf，将永久价格影响参数a保持在中等值a=7×10不变-图2显示了t=0时，作为w和π函数的中大型临时价格影响的清算率。图为a曲线图：白色区域对应于ν=0，灰色区域对应于中等速度的销售，另请参见图下方的颜色栏。比较这些图表，我们可以看到，对于较高的临时价格影响（高cf），交易者倾向于在状态空间上更均匀地进行交易，以保持由于暂时价格影响较小而产生的成本。候选最优策略由两个区域组成：一个是卖出区域，交易者以某种（变化的）速度卖出；另一个是等待区域，交易者根本不卖出。ν的反应*通过对（6.5）的检查，也从理论上证明了cfcan中tkto的变化。图2:cf=10时清算政策随w（横坐标）和π（纵坐标）变化的等高线图-5（左），cf=5×10-5（右）和t=0，例如2.3。现在我们研究了永久价格影响a对候选最优清算率形式的影响。图2显示，对于中等a，清算率在π中降低，在库存水平中增加。当永久性价格影响变得很大时，情况就会发生变化。图3描述了部分信息下的销售和等待区域，这取决于库存水平w和过滤概率π（a=7×10-5.