具有价格影响的部分信息下的最优清算

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英文标题：
《Optimal Liquidation under Partial Information with Price Impact》
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作者：
Katia Colaneri, Zehra Eksi, R\\\"udiger Frey, Michaela Sz\\\"olgyenyi
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study the optimal liquidation problem in a market model where the bid price follows a geometric pure jump process whose local characteristics are driven by an unobservable finite-state Markov chain and by the liquidation rate. This model is consistent with stylized facts of high frequency data such as the discrete nature of tick data and the clustering in the order flow. We include both temporary and permanent effects into our analysis. We use stochastic filtering to reduce the optimal liquidation problem to an equivalent optimization problem under complete information. This leads to a stochastic control problem for piecewise deterministic Markov processes (PDMPs). We carry out a detailed mathematical analysis of this problem. In particular, we derive the optimality equation for the value function, we characterize the value function as continuous viscosity solution of the associated dynamic programming equation, and we prove a novel comparison result. The paper concludes with numerical results illustrating the impact of partial information and price impact on the value function and on the optimal liquidation rate.
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中文摘要：
我们研究了一个市场模型中的最优清算问题，其中投标价格遵循几何纯跳跃过程，其局部特征由不可观测的有限状态马尔可夫链和清算率驱动。该模型与高频数据的程式化事实相一致，例如tick数据的离散性和订单流中的聚类。我们在分析中包括了暂时和永久影响。我们使用随机滤波将最优清算问题简化为完全信息下的等价优化问题。这导致了分段确定性马尔可夫过程（PDMPs）的随机控制问题。我们对这个问题进行了详细的数学分析。特别地，我们推导了值函数的最优性方程，我们将值函数刻画为相关动态规划方程的连续粘性解，并证明了一个新的比较结果。本文最后用数值结果说明了部分信息和价格影响对价值函数和最优清算率的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_Liquidation_under_Partial_Information_with_Price_Impact.pdf (1.49 MB)

2022-5-25 09:57:27 上传

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关键词：有价格 Mathematical Optimization Unobservable Applications

部分信息下具有价格影响的最优清算*Zehra Eksi+Rüdiger FreyMichaela Sz"olgyenyi§abstract我们研究了市场模型中的最优清算问题，其中投标价格遵循几何纯跳跃过程，其局部特征由不可观察的有限状态马尔可夫链和清算率驱动。该模型与高频数据的样式化行为一致，如蜱虫数据的离散性和有序流中的聚类。我们在分析中包括了暂时和永久影响。我们使用随机滤波将最优清算问题简化为完全信息下的等价优化问题。这导致了分段确定马尔可夫过程（PDMP）的随机控制问题。我们对这个问题进行了详细的数学分析。特别地，我们推导了该值函数的最优性方程，将该值函数刻画为相关动态规划方程的连续粘性解，并证明了一个新的比较结果。本文最后用数值结果说明了部分信息和价格影响对价值函数和最优清算率的影响。关键词：最优清算、随机过滤、分段确定马尔可夫过程、粘性解和比较原理。1简介在金融市场中，交易员经常面临在短时间内出售大量给定资产的任务。这导致了大量关于最优投资组合执行的研究，很大程度上是在市场影响模型的背景下进行的。在这些模型中，可以直接说明agiven交易策略对资产出价的影响，而基本价格（即如果交易者不活跃，价格）通常被建模为一个差异化过程。

然而，投资组合清算策略的执行频率相对较高。因此，健全的市场影响模型应与Cartea等人[13]或Cont[17]所讨论的高频数据的关键风格化事实相一致。首先，在固定时间尺度上，资产的出价最好用纯跳跃过程来描述，因为实际上价格是在由刻度大小定义的离散网格上移动的。*罗马大学经济系Tor Vergata，Via Columbia 2，00133 Roma，Italykatia。colaneri@uniroma2.it+维也纳经济和商业大学（WU）统计和数学研究所，Welthandelsplatz 1，1020 Vienna，Austria，zehra。eksi@wu.ac.at维也纳经济和商业大学统计与数学研究所（WU），ruediger。frey@wu.ac.at，通讯作者§克莱根福大学统计系，Universit"atstrasse 65-67，9020 Klagenfurt，Austria，michaela。szoelgyenyi@aau.atSecond，订单流在时间上是聚集的：有随机的时段，有大量的买入订单，也有大量的卖出订单，其间有较平静的时段，交易活动较少。Cont【17】将此归因于这样一个事实，即许多观察到的订单都是以小块执行的较大父订单的组成部分。事件间时间聚类的另一个原因是新信息到达率的随机波动，参见Andersen[4]。

第三，收益率在短时间间隔内的分布是强非高斯分布，但具有重尾和在零附近的大质量；在某种程度上，这是前两个程式化事实的结果。最后，还有一个永久性的价格影响，即实施清算战略将价格推低。为了捕捉这些程式化事实，我们将投标价格建模为带有Markovswitching的标记点过程，其局部特征（强度和跳跃大小分布）取决于交易者的当前清算率ν和有限状态Markov链Y的值Y。当地特征取决于ν，这一事实被用来模拟永久性价格影响。马尔可夫切换允许我们按照顺序重现观察到的聚类。我们的框架包括在一个Y状态下具有高强度向下跳跃和在另一个Y状态下具有高强度向上跳跃的模型，以及事件间时间由指数分布的混合给出的模型。我们将过程Y视为生成聚类的抽象建模设备，因此假设交易者无法观察到Y。这与集群的经济来源（如其他投资者的交易活动）无法直接观察到这一事实是一致的。先前在高频数据的统计建模中考虑了带有部分信息（无价格影响）的马尔可夫调制标记点过程，例如，参见Cvitanic等人【19】或Cartea和Jaimungal【12】；然而，我们是研究这种情况下最优清算的第一人。分析具有部分信息的控制问题的第一步是通过随机滤波在完全信息下建立一个等价问题，从而推导出用于我们设置的随机滤波方程。

这些方程描述了截至时间t的投标价格历史记录下的YT条件分布动态。请注意，这为将投标价格建模为标记点过程提供了进一步的理论基础。事实上，短期回报的强非正态性意味着，对于具有不同观测过程的模型，使用高频数据作为经典滤波方程数值解的输入是有问题的，因为产生的滤波器可能变得不稳定。为了克服这个问题，我们更喜欢在pointprocess框架中工作。我们使用参考概率方法对我们的模型进行了严格的构造，并推导了滤波方程。我们最终得到一个控制问题，其状态过程（用X表示）由股票价格、库存水平和过滤过程组成。我们对这个问题进行了详细的数学分析。资产收益动态的形式表明，X是一个分段确定的马尔可夫过程（PDMP），因此我们依赖控制理论进行PDMP；Davis（22）或B"auerleand Rieder（9）对这一理论进行了全面介绍。我们建立了值函数的动态规划方程，并在问题的数据上推导了保证值函数连续性的条件。这需要仔细分析接近状态空间边界的值函数的行为。作为下一步，我们将值函数描述为Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）部分积分微分方程的唯一连续粘性解，并给出了一个示例，表明通常HJB方程不允许经典解。此外，我们还证明了HJB方程的一个新的比较定理，该定理在更一般的PDMP设置中是有效的。

为了确保数值格式收敛到值函数，需要一个比较原则，见Barles和Souganidis【7】。本文最后有一节介绍了应用程序。我们讨论了最优清算率和预期清算率的性质，并使用HJB方程的有限差分近似来分析临时和永久价格影响参数对最优清算率形式的影响。除其他外，我们发现，对于某些参数星座，最优策略显示了交易者令人惊讶的赌博行为，这是无法预先猜测的，我们给出了基于HJB方程形式的经济解释。此外，我们还研究了使用过滤模型产生的额外清算利润，并报告了一项小型校准研究的结果，该研究为我们的模型提供了进一步的支持。我们继续简要讨论现有文献，重点讨论市场影响模型。第一个贡献是Bertsimas和Lo【10】，他们分析了风险中性代理在线性和纯粹永久价格影响模型中的最优组合执行问题。阿尔姆格伦（Almgren）和克里斯（Chriss）[1]对该模型进行了推广，他们还考虑了风险规避和临时价格影响。此后，市场影响模型得到了广泛的研究。重要贡献包括He和Mamaysky【29】、Schied和Sch"oneborn【34】、Schied【33】、Guo和Zervos【28】、Casgrain和Jaimungal【14】。所有这些模型都在（离散化的）差异框架中工作。从方法论的角度来看，我们的分析还与B"auerleand Rieder等纯跳跃过程的预期效用最大化相关文献[8]。对PDMPs控制理论的重要贡献包括Davis【22】、Almudevar【3】、Costa和Dufour【18】。

Davis和Farid曾考虑过PDMP控制问题的粘度解决方案【23】。论文概要如下。在第2节中，我们介绍了我们的模型、主要假设和优化问题。在第3节中，我们推导了模型的滤波方程。第4节包含通过PDMP技术对优化问题的数学分析。在第5节中，我们提供了值函数的粘度解特征。最后，在第6节中，我们给出了数值实验的结果。附录包含了一些传统证据。2模型2。1我们在过滤概率空间中研究的最优清算问题(Ohm, F、 F，P），其中过滤F={Ft}t≥0满足正常条件。这里F是全局过滤，即所有考虑的过程都是F适应的，P是历史概率度量。我们考虑一个交易者，在给定的时间范围T内，必须在[0，T]期间清算w>0单位的给定证券（称为续集中的股票）。我们用S=（St）0表示投标价格过程≤T≤Tand FS是S生成的正确的连续和完整过滤。我们假设交易员以非负的FS适应率ν=（νt）0出售股票≤T≤T、 因此，她的库存，即她在时间T持有的股份数量∈ [0，T]由绝对连续过程wt=w给出-Ztνudu，0≤ T≤ T、 （2.1）库存动态（2.1）是一种实际交易的程式化模型，其中订单是在离散的时间点下达的。我们的解释遵循了有关价格影响模型的文献，如Almgren和Chriss【1】或Cartea等人【13】，第6.2节。我们将时间间隔[0，T]拆分为固定长度δ的小子间隔，从而划分为0=T<T<···<tn=T。每次tj时，投资者都会决定她想要在这段时间内清算的库存量【tj，tj+1】。

该数量用FStj可测量的非负交易率νtj=（Wtj）来描述- Wtj+1）/δ，j=0，N- 1、我们假设此次股票销售产生的收入由（νtjδ）Stj（1）给出- f（νtj）），j=0，N- 1.（2.2）此处为Stj（1- f（νtj））是每股的执行价格，非负、连续和递增函数f表示临时价格影响。（2.2）的一个简单解释是，νtjδ股票是按市场订单出售的，数量f（νtj）以一种程式化的方式描述了订单“遍历订单”时对执行价格的影响。更抽象地说，人们可能会将（2.2）视为（预期）一些超高频交易算法的收入，用于清算儿童订单νtjδover（tj，tj+1），例如Lehalle等人【31】。请注意，f所描述的价格影响纯粹是暂时的，因为它只涉及当前交易的执行价格。永久价格影响（交易对S动态的影响）在下一节。现在考虑一个离散的股票销售列表{νt，…，νtn-1} 并通过νt=n定义相关的持续时间清算策略ν-1Xj=0νtj（tj，tj+1）（t），0≤ T≤ T对于小δ，离散交易产生的库存过程近似等于（2.1），离散交易的累积收入过程近似等于绝对连续现金流ztνsSs（1- f（νs））ds，0≤ T≤ T、 （2.3）在本文中，我们研究了绝对连续库存动力学（2.1）和回收流（2.3）。这有助于与文献进行比较，并允许我们使用随机演算和连续时间随机控制的工具。现在我们详细描述清算问题的组成部分。首先，我们考虑临时价格影响。

经验证据表明，f可以建模为幂函数，f（ν）=cfν，0<<1，参见Cartea等人[13]，第6.7节或Almgren等人[2]。在这种情况下，νf（ν），以ν的速率进行交易的成本正在增加，严格凸且呈非线性增长，即limν→∞f（ν）=∞. 在我们分析的理论部分，我们没有明确规定f的函数形式，但我们始终假设νf（ν）是递增的，并且随着超线性增长而严格凸。其次，为了说明在时间T之前并非所有股份都已售出的情况，我们通过h（WT）ST对剩余股份头寸的值进行建模。这里h是h（w）的递增、连续和凹函数≤ 棒h（0）=0。我们还观察了差异（WT- h（WT））表示对非零终端库存头寸的处罚。第三，我们将交易员定义为FSadapted策略。此外，观察到νf（ν）的凸性和超线性增长意味着映射ν7→ νSt（1-f（ν））（按ν出售股票产生的瞬时收入）在νmax>0时有一个唯一的最大值。因此，代理人以大于νmax的速率清算股票永远不是最优的。因此，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设清算速率以νmax为界，我们称清算策略ν=（νt）0≤T≤t如果ν为FSadapted且如果νt，则允许∈ [0，νmax]对于所有0≤ T≤ T对于largeνlarge，f的精确形式很难根据经验估计，因为对清算率施加上界有助于数学分析，因为关于分段确定性马尔可夫过程控制的现有结果依赖于紧凑控制空间的假设。需要超出典型订单规模进行推断。因此，很难精确估计νmax的值。

所以，在第2.3节中，我们证明了最优清算问题的值对该参数的精确值相当不敏感。最后，我们描述了交易者的目标。固定一些允许的清算策略ν，并用ρ表示≥ 0交易者的（主观）贴现率。ν产生的收入的预期贴现值等于j（ν）=EZτe-ρuνuSνu（1- f（νu））du+e-ρτSντh（Wτ）. （2.4）此处Sν表示给定交易者遵循策略ν的出价（见第2.2节），而FSstopping timeτ由τ：=inf{t给出≥ 0：重量≤ 0}∧ T（2.5）交易者的目标是最大化（2.4）所有可接受的策略；相应的最佳值用J表示*.注意，（2.4）中目标函数的形式意味着交易者是风险中性的。在我们的设置中，风险中性似乎是一个合理的假设，因为时间段[0，T]相当短，而且交易者被定义为纯卖出策略，因此她可能承担的风险是有限的。将风险规避纳入我们的模型的一个简单方法是将惩罚形式包括在内-Rτe-ρuSuWudu转化为奖励函数。这样的条款会惩罚执行缓慢和高价格风险的hencestrategies。Cartea等人【13】第6.5.2.2节“投标价格动态”中讨论了类似的观点。为了捕捉高频价格轨迹的离散性质，我们将投标价格建模为马尔可夫调制的几何有限活动纯跳跃过程。设Y=（Yt）0≤T≤连续时间有限状态马尔可夫链(Ohm, F、 F，P）状态空间E={E，E，…，eK}（eK是RK中的第k个单位向量），生成矩阵Q=（qij）i，j=1，。。。，K初始分布π=（π，···，πK）。投标价格具有动态St=St-dRt，S=S∈ （0，∞) ,其中返回进程R=（Rt）0≤T≤这是一个有限的活动纯跳跃过程。