具有价格影响的部分信息下的最优清算

然后，标准参数确保不完全信息下的原始控制问题等价于状态过程等于（K+2）-维过程X=（W，S，π）的完全信息下的控制问题。这个过程是Davis（22）意义上的PDMP，即X的轨迹由一个确定性部分组成，该部分求解一个普通微分方程（ODE），其间穿插着随机跳跃。因此，为了解决最优清算问题，我们将控制理论应用于PDMPs。该理论基于这样一个观察结果：PDMP的控制问题在时间上是离散的：粗略地说，在过程的每个跳跃时间，我们都选择一个控制策略，以跟踪到下一个跳跃时间或直到成熟。因此，我们可以将PDMP的控制问题与离散时间内连续马尔可夫决策模型（MDM）的控制问题联系起来。利用这一联系，我们证明了最优清算问题的值函数是连续的，这是MDM的动态规划或最优性方程的唯一解。这些结果是第5.4.1节“作为PDMP控制问题的最优清算”中值函数粘度解特征的基础。从具有过滤功能的交易员的角度来看，时间t时的经济系统状态∈ [0，T]由Xt=（Wt，St，πT）给出。由于使用自治马尔可夫过程更方便，我们将时间纳入状态和定义：=（t，Xt）。X-iseX=[0，T]×X的状态空间，其中X=[0，w]×R+×sk，其中sk是K维单纯形。设ν为交易员遵循的清算策略。

从（2.1）、（3.4）和（2.1）、（3.4）可以看出，投标价格是一个纯跳跃过程，在跳跃时间之间，状态过程遵循ODE deXt=g（eXt，νt）dt，其中向量字段g（ex，ν）∈ RK+3由g（ex，ν）=1，g（ex，ν）=-ν、 g（ex，ν）=0，对于k=1，K、 gk+3（ex，ν）=KXj=1qjkπj- πkKXj=1πjZRuk（t，ν，π，z）ηP（t，ej，ν，dz）。对于我们的分析，我们需要g.引理4.1的以下正则性。在假设2.1下，函数g在ex中是Lipschitz连续的，在（t，ν）中是一致的∈ [0，T]×[0，νmax]；Lipschitz常数用Kg表示。证明推迟到附录B。状态进程的跳跃率由λ（eXt）给出-, νt-), 对于所有t∈ （0，T），其中对于每（ex，ν）∈eX×[0，νmax]，λ（eX，ν）=λ（t，w，s，π，ν）：=KXj=1πjηP（t，ej，ν，R）。接下来，我们确定控制x跳跃的转换内核qext。用{Tn}n表示∈X的跳跃次数的N序列。从（3.4）可以看出，对于任何可测函数f:eX→ R+，QeXf（ex，ν）：=Ef（eXTn）| Tn=t，XTn-= x、 νTn-= ν=λ（ex，ν）QeXf（ex，ν），其中QeXf（ex，ν）=KXj=1πjZRf给出的非规范化核qaxist、 w，s（1+z），π（1+u），πK（1+uK）ηP（t，ej，ν，dz）。这里ui是ui（t，ν，π，z）的缩写。综上所述，eX是一种PDMP，其特征由向量场g、跳跃率λ和过渡核QeX给出。PDMPs使用所谓的开环控制是控制理论的标准。在当前情况下，这意味着交易者在每个跳跃时间Tn<τ选择一个清算政策ν，以跟进到Tn+1∧ τ。此策略可能取决于状态extn=（Tn，XTn）。定义4.2。用A表示可测映射集α：[0，T]→ [0，νmax]。

允许的开环清算策略是映射序列{νn}n∈n带νn：eX→ A.时间t的液化率由νt=P给出∞n=0（Tn∧τ、 Tn+1∧τ] （t）νn（t- Tn，eXTn）。从Brémaud【11，定理T34，附录A2】可以看出，可接受的策略是定义4.2中给出的形式，但对于fstn可测映射νn：Ohm → A代表每n∈ N、 这可能取决于系统的整个历史。马尔可夫决策模型的一般结果（见B"auelle和Rieder[9，定理2.2.3]）表明，如果我们考虑较小类别的可容许开环策略，则交易者的预期收益保持不变，因此我们可能会将自己限制在这一类。提案4.3。假设2.1成立。对于每个容许的清算策略{νn}n∈与每个初始值ex相比，存在一个具有上述特征g、λ和QeXas的唯一PDMP。特别是Kushner Stratonovic方程（3.4）有一个唯一的解。证据引理4.1意味着对于α∈ A ODE deXt=g（eXt，αt）dt有一个唯一的解决方案，因此跳跃之间的状态过程是明确的。在任何跳变时间Tn，ext根据可观察数据（Tn，RTn）。此外，由于跳跃强度以λmax为界，因此跳跃时间不能累积。用P{νn}（t，x）（相当于P{νn}ex）表示状态过程定律，前提是Xt=x∈ 交易者使用开环策略{νn}n∈N、 与可容许清算策略{νN}N相关的奖励函数∈由V（t，x，{νn}n）定义∈N） =E{νN}（t，x）Zτte-ρ（u-t） νuSu（1- f（νu））du+eρ（τ）-t） h（Wτ）Sτ,部分信息下清算问题的值函数为V（t，x）=sup{V（t，x，{νn}n∈N） ：{νN}N∈不允许的清算策略}。（4.1）备注4.4。

请注意，补偿器η和过滤器π的动力学与当前出价s无关，清算策略的支付{νn}n∈Nis在s中是正同质的。这意味着清算问题的报酬和价值函数在s中是正同质的，尤其是V（t，w，s，π）=sV（t，w，1，π）。4.2相关马尔可夫决策模型。（4.1）中的优化问题在时间上是离散的，因为控制策略是在离散时间点Tn，n选择的∈ N，这些时间点的状态过程值形成离散时间马尔可夫链（对于Tn<τ）。因此（4.1）可以重写为有限期马尔可夫决策模型中的控制问题。MDM的状态过程由序列{Ln}n给出∈Ln=extnTn<τ且Ln=“” 对于Tn≥ τ、 n个∈ N，其中‘ 是公墓州。为了推导序列{Ln}n的转移核∈和MDM的奖励函数，我们引入了一些符号。对于函数α∈ 由eДαt（ex）或eДt（α，ex）得出的wedenote初值问题的流量Ddtex（t）=geX（t），αtwith initial conditioneX（0）=ex。每当我们想要明确表示对时间的依赖时，我们都会以（t，Дα）的形式写入Дα。此外，我们定义了函数λαubyλαu（ex）=λ（eДαu（ex），αu）=λ（（t+u，Дαu），αu）u∈ [0，T- t] ，我们让∧αu（ex）=Ruλαv（ex）dv。接下来，我们仔细看看x的边界。首先注意，过程π取超平面HK={x中的值∈ RK:PKi=1xi=1}，因此ex包含在集合H=R×HK中，这是RK+3的超平面。当考虑状态空间的边界或内部时，我们总是指相对于H的相对边界或相对内部。

对我们来说，特别重要的是状态空间的活动边界Γ，这是x边界的一部分，可以通过从内点x开始的流速eΓα·（ex）达到∈ int（eX）。只有当w=0，t=t，或过滤过程达到k维单纯形的边界时，才能达到x的边界。后者是不可能的：事实上，如果πi>0，那么对于所有t∈ [0，T]，因为马尔可夫链没有改变其状态的概率是正的，并且由于给定的FStis的条件分布等于Kallianpur-Striebel公式中的无条件分布。因此，活动边界等于Γ=Γ∪ 式中，Γ=[0，T]×{0}×（0，∞) ×SKandΓ={T}×[0，w]×（0，∞) ×SK，（4.2），其中ski是SK的内部，即SK：={x∈ SK:xi>0表示所有i}。在（4.2）中，Γ是与等于零的库存水平相对应的活动边界的侧面部分，Γ是与到期时状态空间的出口相对应的终端边界。在该方程中，我们用τИ=τИ（ex，α）=inf{u表示流量eДα·（ex）fromeX的第一次退出时间≥ 0:eДαu（ex）∈ Γ}。请注意，（2.5）中定义的停止时间τ对应于状态processeX第一次到达活动边界Γ的时间。使用与B"auelle和Rieder[9，第8.2节]或Davis[22，第44节]中类似的参数，很容易看出序列{Ln}n的转换核ql∈QLF提供的Nis（t，x），α=Zτ~n（ex）e-∧αu（ex）QeXf（u+t，Дu（ex），αudu+e-∧ατИ（￠x）f（(R)) ;我们省略了细节。此外，由于公墓州正在吸收，QL{}（“”, α） =1。最后，我们定义了单周期奖励函数r:eX×A→ R+byr（ex，α）=ZτИe-ρue-∧αu（ex）αus（1- f（αu））du+e-ρτИe-∧ατα（ex）h（wτД）s，（4.3）和wτД是eДα的库存成分，我们设置r（“”) = 0

对于容许策略{νn}n∈Nwe集J{νn}∞（ex）=E{νn}exP∞n=0r（Ln，νn（Ln））, andJ公司∞（ex）：=supnJ{νn}∞（ex）：{νn}n∈不可接受的清算策略。（4.4）下一个引理表明，具有过渡核ql和单周期报酬r（L，α）的MDM等价于优化问题（4.1）。引理4.5。对于每个容许策略{νn}，它认为V{νn}=J{νn}∞. 因此V=J∞,控制问题（4.1）和（4.4）是等价的。该证明类似于Davis的证明【22，定理44.9】，因此省略。4.3贝尔曼方程。在本节中，我们研究值函数V的Bellman方程。α的定义∈ A和可测函数v:eX→ R+函数Lv（·，α）byLv（ex，α）=R（ex，α）+QLv（ex，α），ex∈例如：。最大奖励算子T由T v（ex）=supα给出∈ALv（ex，α）。由于单周期报酬函数是非负的，我们有一个所谓的正MDM，从B"auelle andRieder[9，定理7.4.3]可以看出，价值函数满足所谓的Bellman或最优方程V（ex）=T V（ex），ex∈例如，V是运算符T的固定点。为了将V描述为与PDMPeX相关的HJB方程的粘度解（见第5节），我们需要一个更强的结果。我们想证明：i.）值函数V是T在适当函数类M中的唯一固定点；ii.）作为起点v∈ 形式为vn+1=T vn，n的M次迭代∈ N1，收敛于V；V是连续的。第i.）点和第ii）点。）遵循下一个引理。引理4.6。定义γ>0时，函数b:eX∪ {} → R+乘以b（ex）=b（t，x）：=sweγ（t-t） ，ex∈eX和b（“”) = 0

然后，在假设2.1下，b是MDM的一个有界函数，具有转移核Ql和奖励函数r，即存在常数cr，Cq，因此对于所有（ex，α）∈eX×A.| r（eX，α）|≤ crb（ex）和QLb（ex，α）≤ cQb（ex）。此外，对于γ足够大的情况，它认为cQ<1，即MDM正在收缩。证明推迟到附录B。在续集中，我们用BB表示函数集BB：=v：eX→ R使supex∈eX公司v（ex）/b（ex）< ∞,我们定义了v∈ BB标准kvkb=supex∈eX | v（eX）/b（eX）|。那么下面的结果成立了，seeB"auelle和Rieder[9，第7.3节]：a）（Bb，k·k）bis a Banach空间；b） T（Bb） Bb；c） kT v型- T ukb≤ cQkv- ukb。如果MDM是收缩的，则最大报酬算子是（Bb，k·k）b上的收缩，而值函数是Bb的一个元素。因此，巴拿赫不动点定理给出了性质i.）和i.）以上M=Bb。为了建立属性iii.）（V的连续性），我们观察到setCb：={V∈ Bb:v是连续的}是（Bb，k·k）b的闭子集，参见b"auelle和Rieder【9，第7.3节】。此外，我们在Proposition 4.8中显示，在某些连续性条件下（见假设2.1和4.7），T映射到自身。因此，根据Banach的不动点定理，V∈ Cb。假设4.7。1、j的测量ηj（t，ν；dz）∈ {1，…，K}在弱拓扑中是连续的，即对于所有有界和连续φ，映射（t，ν）7→RRφ（z）ηj（dz）在[0，T]×[0，νmax]上是连续的。对于命题3.3中介绍的函数ujintroduced，以下情况成立：对于任何序列{（tn，νn，πn）}n∈Nwith（tn，νn，πn）∈ 每n，[0，T）×0，νmax]×sk∈ N、 这样（tn，νN，πN）---→N→∞（t，ν，π），一个haslimn→∞supz公司∈supp（η）| uj（tn，νn，πn，z）- uj（t，ν，π，z）|=0。提案4.8。假设假设假设2.1和4.7成立，并让v∈ Cb。然后T v∈ Cb。证据考虑一些序列exn→ ex代表n→ ∞.

自| T v（exn）-T v（ex）|≤ supα∈A | Lv（exn，α）-Lv（ex，α）|，有必要估计差异supα∈A | Lv（exn，α）- Lv（ex，α）|。首先，注意在引理4.1中建立的g的Lipschitz连续性，我们有eИαt（exn）- eИαt（ex）≤ |exn公司- ex |+KgZteДαu（exn）- eИαu（ex）杜。Gronwall不等式因此产生了thatsupt∈[0，T]，α∈A.eИαt（exn）- eИαt（ex）≤ |exn公司- ex | eKgT，（4.5），因此n一致收敛→ ∞ 流量eДα（exn）至eДα（ex）。然而，这并不意味着τИn，即eИα（exn）进入状态空间活动边界的时间，收敛于τИn→ ∞. 为了解决这个问题，我们区分了两种情况：案例1。流量eДα·（ex）在终端边界Γ处退出状态空间ex（见（4.2））。这意味着τД=T- 并且库存水平wu对于u<t是严格正的- t、 因此，我们可以从（4.5）中得出结论，τИnConverge to t- t、 在假设2.1和4.7下，一致收敛极限→∞supα∈A | Lv（exn，α）- 因此，使用r的定义和映射（ex，ν）的连续性，Lv（ex，α）|=0紧随其后7→在引理B.1中建立的Qv（ex，ν），见附录B案例2。横向边界Γ处存在流速eДα·（ex），因此wτД=0。在这种情况下（4.5）意味着lim infn→∞τИn≥ τИ；然而，这种不平等可能是严格的。我们展示了这种情况下奖励函数的连续性。我们将r（exn，α）分解如下，为简单起见设置ρ=0：r（exn，α）=sZτν∧τИne-∧αu（exn）αu（1- f（αu））du（4.6）+sZτИnτИ∧τИne-∧αu（fxn）αu（1- f（αu））du+se-∧ατИn（exn）h（wτИn）。（4.7）现在从（4.5）得出，（4.6）中的积分收敛于n→ ∞ 至r（ex，α）uniformlyinα∈ A、 （4.7）中的术语从上方以swτИ为界∧τИn；这可以通过引理4.6的证明中类似的部分积分论证来证明。此外，wτИ∧τИnConvergesunformally inα∈ A到wτД=0，因此（4.7）收敛到零。

接下来，我们转向transitionkernel。我们分解QLv:QLvexn，α=ZτИ∧τИne-∧αu（～xn）Qv（eИu（exn），αu）du+ZτИnτИ∧τИne-∧αu（～xn）Qv（eДαu（exn），αu杜。对于n→ ∞, 第一个积分收敛到QLvex，α使用（4.5）和映射（ex，ν）7的连续性→ Qv（ex，ν）（引理B.1）。要估计第二项，请注意Qv（ex，ν）≤kvkbswλ（ex，ν）（因为λ′Q是概率转移核），所以积分以kvkbswτν为界∧τИnZτИnτИ∧τИnλαue-∧αu（exn）du≤ kvkbswτИ∧τИn，n的最后一项收敛到零→ ∞, α中均匀∈ A、 备注4.9。请注意，Lv（·，α）的现有连续性结果，如Davis【22，定理44.11】假设气流Дα以匀速到达活动边界，与所选控制无关。为了在我们的框架中确保这一假设，我们必须对可接受的清算率施加严格的正下界。这在经济学上是对战略空间的难以置信的限制，这就是为什么我们更喜欢依赖直接的论点。我们在下面的定理中总结了这一部分的结果。定理4.10。假设假设假设2.1和4.7成立。然后，值函数V是连续的oneX，满足横向边界Γ中ex的边界条件V（ex）=0，V（T，x）=sh（w）。此外，V是Bb中Bellman或最优性方程V=eT V的唯一解。5控制问题II：粘度解在本节中，我们证明了值函数是与受控马尔可夫过程（W，π）相关的标准HJB方程的粘度解，并推导了该方程的比较原理。

这些结果对于确保HJB方程合适的数值模式的收敛性，从而确保最优清算问题的数值解至关重要。在第5.2节中，我们提供了一个示例，表明通常HJB方程不提供经典解。5.1粘度溶液特性。作为第一步，我们写下Bellman方程，并使用投标价格中V的正同质性（见备注4.4）从状态变量集中消除SF。定义=[0，T]×[0，w]×sk，由inteY和eY的相对内部和eY相对于超平面R×HK的相对边界。弗雷∈我们设置V（eY）=V（t，w，π）：=V（t，w，1，π），使值函数满足关系V（ex）=sV（eY）。对于ν∈ [0，νmax]，ey∈eY和任何可测函数ψ：eY→ R+，defineqψ（ey，ν）：=KXj=1πjZR（1+z）ψt、 w，（πi（1+ui（t，π，ν，z）））i=1，。。。，KηP（t，ej，ν，dz），注意QV（ex，ν）=sQV（ey，ν）。从现在起，我们用eДαu（ey）表示向量场g的流量，并将价格分量gomitted，我们首次将τД表示为该流量达到Γ给出的有效边界：=[0，T]×{0}×SK∪ {T}×[0，w]×斯科菲。通过正齐性，V的Bellman方程简化为V的以下最优性方程：V（ey）=supα∈AnZτИe-（ρu+∧αu（ey））αu（1- f（αu））+QV（eДαu（ey），αu）du+e-ψ：ey的（ρτИ+∧ατИ（ey））h（wτИ）o.（5.1）→ R+有界，定义函数“ψ：eY×[0，νmax]→ R＋和算符Tby′ψ（ey，ν）=ν（1- f（ν））+Qψ（ey，ν），（5.2）Tψ（ey）=supα∈AnZτИe-（ρu+∧αu（ey））`ψeИαu（ey），αu）du+e-（ρτИ+∧ατИ（ey））h（wτИ）o.（5.3）注意，对于固定ψ，vψ：=Tψ是具有瞬时奖励ψ和边界值h的确定性出口时间最优控制问题的值函数。Barles[6]广泛研究了该问题的粘度解。