灾难性死亡债券的模型无关价格界

该死亡率指数由年龄、性别（男性65%，女性35%）和国籍（美国70%、英国15%、法国7.5%、意大利5%和瑞士2.5%）的死亡率（死亡率为100000）加权平均值构建而成，并给出了下限。qti=XjCjXkAkGmqmk，j，ti+Gfqfk，j，ti（2.1）其中qmk、j、tian和qfk、j、tia是j国k年龄组中男性和女性的各自死亡率（每100000人的死亡率），cj是附加到j国的权重，aki是归属于k年龄组（相同的形式和女性）的权重，Gmand gf是分别适用于男性和女性的性别权重。瑞士再保险债券是一种本金风险债券。如果指数qti（i=20042005或i=1、2、3分别为2006）超过了2002年的实际水平q，那么投资者将减少本金支付。以下方程式描述了本金损失百分比，以ti年为单位：Li=如果qti为0≤ Kq（qti-Kq）（K-K） qif Kq<qti≤ Kq1如果qti>Kq（2.2），特别是对于瑞士再保险债券，K=1.3和K=1.5。在本金面临风险的情况下，投资者每季度收到的利息相当于三个月的美国伦敦银行同业拆借利率加上135个基点。总共有12张息票，息票价值为J=SP+LIj.C如果j=。。。，，SP+LIj。C+XT如果j=3，（2.3），其中SP是利差值，为1.35%，li是伦敦银行同业拆借利率，C=4亿美元，T=和x是一个随机变量，代表到期日返还给债券持有人的本金比例，x=C1-Xi=1Li！+，（2.4）其中Pi=1是t时的总损失率。然而，在债券期限内没有发生灾难。付款的贴现现金流（DC）由DC（r）=Xi=1COi给出1+ri（2.5），其中r是名义年利率。进一步定义=-ZTρ（t）dt其中ρ（t）是t时的美国伦敦银行同业拆借利率。

因此，在债券终止时返回的随机本金的风险中性值为0，isP=等式E-YTXT公司其中Q是风险中性度量。然而，在假设Yt和XT独立的情况下，这会降低toP=EQE-年初至今公式[XT]【24】中广泛讨论了可能（或不可能）将独立性假设从物理世界度量P转移到Q的条件。此后，在这个不完整的市场中，我们选择在风险中性措施下定价，以保持市场风险和死亡风险之间的独立性。为了继续，我们代表EQE-年初至今ase公司-rT，意味着P=e-rTEQ[XT]（2.6），其中r是无风险利率。在随后的写作中，我们从上述表达式中删除了qf。2.1瑞士再保险债券的本金支付与anAsian型看跌期权的本金支付事实上，我们可以将（2.4）中给出的XT写成一种更紧凑的形式，类似于亚洲看跌期权的支付，如下所示：XT=Dq-Xi=15（qti- 1.3q）++（2.7）d=Cq（2.8），执行价格等于q。为了简单起见，我们使用qi代替Qtian，定义=5（qi- 1.3q）+（2.9）andS=Xi=1Si（2.10）使用（2.7）中的（2.9）-（2.10）并将结果插入（2.6），我们得到：P=De-rTE公司（q）- S）+（2.11）自然假设不等式S≥ 卡尔莫斯（a.s.）和≤ 质量保证。s、 不要持有，否则问题的解决方案微不足道。这意味着q∈F-1+S（0），F-1S（1）, 式中，如【22】所示，F-1Xis累积分布函数（cdf）的广义逆，即F-1X（p）=inf{x∈ R | FX（x）≥ p} ，p∈ [0，1]（2.12）和F-1+Xis是一个更复杂的反定义asF-1+X（p）=sup{X∈ R | FX（x）≤ p} ，p∈ [0，1]。（2.13）我们的兴趣在于计算P的合理界限。我们使用Ejensen不等式计算下限，并在后续章节中给出我们的发现。

我们两次利用这个不等式，并注意到，为了保持每一步都具有凸函数的一致性，最好考虑瑞士再债券支付的调用对应项，而不是（2.11）。我们将该支付命名为P，即我们有P=De-rTE公司（S）- q）+（2.14）然后，我们利用亚洲期权的看跌期权平价来实现所讨论的支付边界。2.2瑞士再保险债券的看跌期权平价我们现在推导出瑞士再保险债券的看跌期权平价关系。对于任何实数a，我们有：（a）+- (-a） +=a（2.15），因此我们得到-rTXi=1Si- q+- E-rTq-Xi=1Si！+=E-rTXi=1Si- Q在接受双方的期望后，我们获得-rTE公司Xi=1Si- q+-E-rTE公司Q-Xi=1Si+= E-rTE“Xi=1Si- q#。最后，在乘以D并扩展Si的定义时，我们得到了- P=De-rTE“Xi=15（qi- 1.3q）+- q#=> P- P=De-rT“Xi=1 RTIC（1.3q，ti）- q#，（2.16），其中C（K，ti）表示欧洲看涨期权在死亡率指数上的价格，包括行权K、到期日和当前死亡率值q。如果死亡率指数大于1.3q（瑞士再保险债券的触发水平），则该期权为货币期权。显然，目前市场上没有此类工具可供交易。但一个更完整的寿险市场正在形成，我们认为这种证券很快就会推出（c.f[9]和[8]）。应制定薪酬结构，即发行证券的设计和死亡或有付款，以吸引投资者和再保险公司。尽管瑞士再保险债券已全部认购，新闻报道强调投资者对其非常满意（如2003年12月19日的《欧洲周刊》），但致命链接证券市场仍需要创新，如致命指数上的普通期权，以提供灵活的对冲解决方案。

瑞士再保险债券的投资者包括大量养老基金，因为他们可以将该债券视为强大的对冲工具。与债券相关的潜在死亡风险与养老金计划积极成员的死亡风险相关。如果发生灾难，本金的减少将由这些养老基金养老金负债的减少来决定。此外，该债券的回报率远远高于类似评级的浮动债券（c.f.[7]）。以类似于[2]的方式，我们认为生命市场的成功取决于灵活性。因此，这种期权类型的结构使再保险公司能够保留大部分资本，同时防范灾难性的死亡情况。[18] 在2004年亚洲和非洲海啸的背景下，提出1.3qin触发水平的有趣说明。在这种情况下，上述类型的死亡率选项将非常有用。【52】和【14】将瑞士债券的最终支付分解为两个看涨期权。方程（2.16）给出了SwissRe死亡率界与其调用对应方之间所需的put调用奇偶性关系。De fineg=De-rT“Xi=1 RTIC（1.3q，ti）- q#。（2.17）很明显，如果我们将Pby与土地u绑定，那么瑞士再保险死亡债券的相应边界如下（l- G）+≤ P≤ （u）- G） +。（2.18）3瑞士再保险债券的下限我们现在开始为瑞士再保险债券中支付的本金的最终价值制定适当的下限。为此，我们首先计算以下亚洲类型看涨期权的金额p=De-rTE“nXi=1Si- q+#（3.1）T=tn，n=3。间隔[0，T]由监控时间T，T。。。，田纳西州-1、本节提出的理论的暗流是【1】的论文。

为了估计亚式看涨期权的价值，作者推导出了四个下界，即平凡、LB、LB（1）和LB（2）t，从其与亚式看涨期权实际价值的接近程度来看，这些下界在递增顺序上更为尖锐。他们为打破这些界限所作的基本假设是，市场上可以买到具有任意罢工和到期日的欧洲看涨期权价格。虽然，正如我们之前的讨论所表明的那样，以死亡率指数为基础的证券尚未出现在地平线上，但对于发展完整的人寿保险市场来说是不可或缺的。设计此类证券的第一步是需要一个基准寿命指数。2010年成立的生命与长寿市场协会（LLMA）是这方面的一个重要里程碑。《LLMA》促进了长寿和死亡相关风险的流动性交易市场的发展，这是保险相关证券（ILS）和其他大型趋势风险（如利率和通货膨胀）存在的类型。各方已经制定了一些死亡率指标，但我们仍然缺乏一个基准。【44】揭示了各种长寿指数。调用Jensen不等式和对任意随机变量∧的条件，我们得到“nXi=1Si- q+#≥ E“nXi=1（E（qi∧）- 1.3q）+- q！+#。（3.2）基于Jensen不等式的随机变量asum止损溢价下界的一般推导可在[49]中找到，对于其在算术亚式期权中的应用，可参考[23]。Wenow definezi=5（E（qi∧）- 1.3q）+；i=1，2。。。，n、 （3.3）根据（3.2）的结果，我们得到了“nXi=1Si- q+#≥ E“nXi=1Zi- q！+#。（3.4）在调查E“nXi=1Si#和E”nXi=1Zi#之间的关系时，我们发现E“nXi=1Si#≥ E“nXi=1Zi#。（3.5）在（2.10）行上，定义为nXi=1Zi（3.6），以便我们可以重写（3.4）asE（S）- q）+≥ E（Z）- q）+.

（3.7）事实上，（3.7）中不等式的两边本质上是S和Z的停止损失函数。因此，我们得到了≥slZ（3.8）orS≥slnXi=1（E（qi∧）- 1.3q）+。现在，适当地调整不等式（3.7）以满足我们对亚洲型看涨期权的需要，通过乘以时间T的贴现因子，我们得到≥ De公司-rTE“nXi=15（E（qi∧）- 1.3q）+- q！+#。（3.9）为了利用共单调性理论，例如，见[22]，我们现在必须证明S的下界可以表示为止损保费的总和。如果我们可以选择条件变量∧，使E（qi∧）在每个i之前增加或减少，这样向量：ql=（E（q∧），E（qn∧）是共单调的。这自动意味着向量：Zl=（Z，…，Zn）是共单调的。从这一点开始，我们假设q∈F-1+Z（0），F-1Z（1）这完全不是第2.1节所指出的对所有实际目的的限制。由于使用共名性，我们有（S）- q）+≥nXi=1EZi公司- F-1Zi（FZ（q））+-Q- F-1Z（FZ（q））（1）- FZ（q））。（3.10）如果边际CDF Fzi严格增加，我们有以下紧凑表达式（S）- q）+≥nXi=1EZi公司- F-1Zi（FZ（q））+,Q∈F-1+Z（0），F-1Z（1）. （3.11）注意（3.3）和（3.6）中的Zis和随后的Z是非负的，这自动意味着q≥ 此外，根据cdf的定义，wehaveFZ（q）=P[Z≤ q] =PnXj=1Zj≤ Q= PnXj=15（E（qj∧）- 1.3q）+≤ Q.（3.12）因此，我们能够通过对任意随机变量∧的条件，得到S=Pni=1的停止损失下界，即P≥ De公司-rTnXi=1E5（E（qi∧）- 1.3q）+- F-1Zi（FZ（q））+- K、 （3.13）其中K=De-rT公司Q- F-1Z（FZ（q））（1）- FZ（q））。

（3.14）3.1如果随机变量∧与死亡率演变{qt}t无关，则平凡下界≥0，则（3.9）中的界限仅减少为：P≥ De公司-rTE“nXi=15（E（qi））- 1.3q）+- q+#（3.15）或者更准确地说，因为外部期望是冗余的P≥ De公司-rTnXi=15（E（qi）- 1.3q）+- q！+。（3.16）在存在等价鞅测度（EMM）Q的假设下，贴现死亡率过程是鞅，因此E[qt]=qert。（3.17）如果我们将其替换为方程式（3.16），我们将获得亚洲类型调用选项P的非常粗略的下界≥ Ce公司-rTnXi=1erti公司- 1.3+- 1！+=：lb.（3.18）根据第2节推导的看跌期权平价，瑞士再保险死亡债券的平凡下界为≥ （磅- G） +=：SWLB。（3.19）其中G在（2.17）中定义。3.2下界SWLB为了改进微不足道的下界，我们选择∧=qin（3.13）。使用折现死亡率过程的鞅论证E[qi | q]=E埃尔蒂-rtiqi | q= er（ti-t） qand so from（3.3）Zi=5er（ti-t） q- 1.3q+; i=1，2。。。，n、 （3.20）然后是随机向量ql=q、 er（t-t） q，er（tn-t） q是科莫酮。方程式（3.13）则减少了顶部≥ De公司-rTnXi=1E“er（ti-t） q- 1.3q+- F-1Zi（FZ（q））+#- K、 （3.21）如果Kis在（3.14）中给出，根据cdf的定义，我们有Fz（q）=P[Z≤ q] =PnXj=1er（tj-t） q- 1.3q+≤ Q=> FZ（q）=PnXj=1er（tj-t） qq- 1.3+≤ 1..现在，由于概率内不等式的左侧是q/q中的递增函数，我们得到了Z≤ qif且仅当q≤ xq，其中，我们用x代替上述概率q/qin，并通过求解nxi=1获得其值er（ti-t） x个- 1.3+= 0.2。（3.22）因此，我们有fz（q）=Fq（xq）=FZi5季度er（ti-t） x个- 1.3+= FZi（ki）i（3.23），其中ki=5qer（ti-t） x个- 1.3+.

（3.24）将（3.23）插入（3.21），注意到ZI是非负的，我们有≥ 5De-rTnXi=1E“er（ti-t） q- 1.3q+-F-1Zi（FZi（ki））+#- K=5DnXi=1e-r（T-ti）Cqer（ti-t）1.3+5qF-1Zi（FZi（ki））, T- K=：lb.（3.25），其中Ki在（3.24）和q中定义≥ 0和C（K，t）表示一次欧式看涨期权的价格，该看涨期权的死亡率指数为K，到期日和当前死亡率指数q。函数Lb提供了一个在每次欧式看涨期权的下界，使得这些合同在qer（ti-t）1.3+5qF-1个ZIFZi公司5季度er（ti-t） x个- 1.3+在第i个时间点。该界限适用于任何无套利市场模型，与（3.18）中给出的微不足道的界限相比，是一个显著的改进。调用第2节中导出的输出调用奇偶校验，给出了SWIS Re死亡率债券的相应下界≥ （磅- G） +=：SWLB，（3.26），其中G在（2.17）中定义。如果边际CDF Fzi严格增加，我们有lb=5DnXi=1e-r（T-ti）C最大尿流率x、 1.3er（ti-t）, T. （3.27）3.3与模型无关的下界作为下一步，我们建议可以通过施加以下附加假设nxi=1qi来改进界SWLBs≥sl公司J-1Xi=1q（1-ti/t）qti/tt+nXi=jer（ti-t） qt（3.28）对于0≤ T≤ T和j=min{i:ti≥ t} 。这一假设符合[1]中等式11的精神。可以表明，（3.28）适用于死亡率演化qt=qeXt的平稳指数L` evy模型，其中（Xt）t≥0是一个L\'evy进程。显然，nXi=15（E（qi | qt）- 1.3q）+=j-1Xi=15（E（qi | qt）- 1.3q）++nXi=j5（E（qi | qt）- 1.3q）+≥J-1Xi=15qqtq数量ti/t- 1.3++nXi=j5qqtqer（ti-t）- 1.3+=: Sl.（3.29）显然，sli与（3.6）中的Z相同，其中∧被qt替换，thusfrom（3.8），我们有≥slSl（3.30）如前所述，设j=min{i:ti≥ t} 。考虑滑动方程（3.29）和定义Y=（Y。

，Yn），whereYi=5季度qtq数量ti/t- 1.3+i<j5qqtq数量er（ti-t）- 1.3+我≥ ji=1，2。。。，n、 很明显，Y是共单调的，因为它的分量是单变量qt的严格递增函数。因此，LCA的止损变换可以写为其组件的止损变换之和（例如参见[22]），即Sl公司- Q+=nXi=1E易- F-1Yi（FSl（q））+-Q- F-1Sl（FSl（q））（1）- FSl（q））（3.31），其中与之前一样，q∈F-1+Sl（0），F-1Sl（1）FSl（q）是在qsuch处计算的s的分布函数，对于任意t，我们有：FSl（q）=PhSl≤ qi=PJ-1Xi=1qtq数量ti/t- 1.3++nXi=jqtq数量er（ti-t）- 1.3+≤ 0.2.很明显，Sl≤ qif且仅当qt≤ xq，其中我们用x代替上述表达式中的qt/qin，并通过求解：j获得其值-1Xi=1xti/t- 1.3++nXi=jxer（ti-t）- 1.3+= 0.2。（3.32）因此，我们有：FSl（q）=Fqt（xq）=仅供参考5季度xti/t- 1.3+= FYi（li）i<jFYi5季度xer（ti-t）- 1.3+= 供参考（mi）i≥ j（3.33），其中Li=5qxti/t- 1.3+; i<j（3.34），mi=5qxer（ti-t）- 1.3+; i>j.（3.35）使用方程（3.31）中的结果，回顾（3.1）中给出的亚洲型看涨期权的定义，以及方程（3.30）中给出的S和SLA之间的止损顺序关系，并注意到Yis不是负的，我们得到，P≥ De公司-rTnXi=1E易- F-1Yi（FSl（q））+!- K=5De-rTj公司-1Xi=1q1-钛/碲“qti/tt- 数量/吨1.3+5qF-1Yi（仅供参考（li））+#+nXi=jertiCqer（ti-t）1.3+5qF-1Yi（仅供参考（mi））, T!- K=：lb（2）t（3.36），其中LIAN和MI分别在（3.34）和（3.35）中定义，K=de-rT公司Q- F-1Sl（FSl（q））（1）- FSl（q））（3.37）事实上，lb（2）是所有t的下界，因此它可以相对于t最大化，以产生如下所示的最佳下界：P≥ 最大值0≤T≤Tlb（2）t.（3.38）在选择t=时，系数j=1，因此方程（3.32）减少到（3.22），我们得到lb（2）=lb。

（3.39）因此，我们的最大值为0≤T≤Tlb（2）t≥ lb.很明显，正如前面几节所述，我们有≥磅（2）吨- G+=: SWLB（2）t，（3.40），其中G在（2.17）中定义。如果边际CDF严格增加，我们有lb（2）t=5De-rTj公司-1Xi=1q1-钛/碲qti/tt- qti/tmaxxti/t，1.3++nXi=jertiC最大尿流率x、 1.3er（ti-t）, T!. （3.41）我们现在在下一节中继续推导瑞士债券价格的上限。4瑞士再保险债券的上界我们推导出了瑞士再保险债券的两个上界。4.1第一个上界本节将以类似于[35]和[25]的方式，使用共单调性理论，重点探讨所讨论债券的上界。将q=（q，…，qn）的同调对应定义为qu=F-1S（U）。。。，F-1Sn（U）其中U~ U（0，1）。进一步定义C=nXi=1F-1Si（U）=nXi=1Sci。（4.1）显然≤cxSc（4.2），其中cx表示凸序（例如参见[22]）。换句话说，E“nXi=1Si- q+#≤ E“nXi=1Sci- q+#（4.3）我们有“nXi=1Sci- q+#=nXi=1E硅- F-1Si（FSc（q））+-Q- F-1Sc（FSc（q））（1）- FSc（q））（4.4），其中理解为q∈F-1+Sc（0），F-1Sc（1）. 因此，瑞士再保险债券的看涨期权对应方的上限为asP≤ De公司-rTnXi=1E硅- F-1Si（FSc（q））+- K=5De-rTnXi=1 RTIC1。3q+F-1Si（FSc（q）），ti！- K、 （4.5）其中K=De-rT公司Q- F-1Sc（FSc（q））（1）- FSc（q））。（4.6）因此，我们可以写出上述asP≤ 5De-rTnXi=1 RTIC1。3q+F-1Si（x），ti！- K、 （4.7）其中x∈ （0，1）是方程nxi=1F的解-1Si（x）=q.（4.8）我们现在寻求用qi的逆分布函数来表示Si的逆分布函数。Letyi=F-1Si（x）；易≥ 0（4.9）=> x=FSi（yi）=P5（qi- 1.3q）+≤ 易= Fqi公司1.3q+yi. （4.10）=> yi=5F-1qi（x）- 1.3q. （4.11）根据方程（4.7）、（4.9）和（4.11），我们得出结论，上界为≤ 5De-rTnXi=1 RTICF-1qi（x），ti- K=：ub。