灾难性死亡债券的模型无关价格界

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英文标题：
《Model-Independent Price Bounds for Catastrophic Mortality Bonds》
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作者：
Raj Kumari Bahl and Sotirios Sabanis
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper, we are concerned with the valuation of Catastrophic Mortality Bonds and, in particular, we examine the case of the Swiss Re Mortality Bond 2003 as a primary example of this class of assets. This bond was the first Catastrophic Mortality Bond to be launched in the market and encapsulates the behaviour of a well-defined mortality index to generate payoffs for bondholders. Pricing these type of bonds is a challenging task and no closed form solution exists in the literature. In our approach, we express the payoff of such a bond in terms of the payoff of an Asian put option and present a new approach to derive model-independent bounds exploiting comonotonic theory as illustrated in \\cite{prime1}, \\cite{2} and \\cite{Simon} for the pricing of Asian options. We carry out Monte Carlo simulations to estimate the bond price and illustrate the quality of the bounds.
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中文摘要：
在本文中，我们关注灾难性死亡债券的估值，特别是我们考察了2003年瑞士再保险死亡债券的案例，作为这类资产的一个主要例子。该债券是市场上推出的第一个灾难性死亡率债券，包含了定义明确的死亡率指数的行为，以为债券持有人产生回报。为这些类型的债券定价是一项具有挑战性的任务，文献中不存在封闭形式的解决方案。在我们的方法中，我们将这种债券的收益表示为亚式看跌期权的收益，并提出了一种新的方法，利用协单调理论推导模型独立边界，如亚式期权定价的{prime1}、{2}和{Simon}所示。我们进行蒙特卡罗模拟来估计债券价格，并说明边界的质量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Model-Independent_Price_Bounds_for_Catastrophic_Mortality_Bonds.pdf (667.73 KB)

2022-5-25 11:28:55 上传

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关键词：灾难性 Catastrophic Differential Quantitative Applications

灾难性死亡债券的模型独立价格界限拉吉·库马里·巴赫和索蒂里奥斯·萨班尼斯2020年12月9日摘要在本文中，我们关注灾难性死亡债券的估值，特别是我们研究了2003年瑞士死亡债券的案例，作为这类资产的一个主要例子。该债券是市场上首次推出的灾难性死亡债券，包含了为债券持有人产生回报的定义明确的死亡指数的行为。为这些类型的债券定价是一项具有挑战性的任务，文献中不存在封闭形式的解决方案。在我们的方法中，我们将这种债券的收益表示为亚洲看跌期权的收益，并提出了一种新的方法，利用[1]、[23]和[49]中关于亚洲期权定价的协单调理论推导模型独立界限。我们进行蒙特卡罗模拟来估计债券价格，并举例说明边界的质量。关键词：灾难性死亡债券、模型独立边界、亚式期权、共名性。JEL代码：G220；C6。AMS科目分类：初级91G20；辅助60G44。1简介在当今世界，许多金融机构面临着人类死亡率意外波动的风险，显然，这种风险有两个方面。一方面，如果由于流行病的严重爆发或重大人为或自然灾害等灾难性事件，实际死亡率超过预期，支付死亡津贴的人寿保险公司将承担经济损失。这方面的风险在文献中被称为死亡风险。另一方面，养老金计划发起人以及提供退休年金的保险公司都面临长期风险，也就是说，人们比预期寿命更长的风险。

对于这些机构，人们的寿命越长，必须支付退休收入的时间就越长，因此，财务负债就越大。死亡率的意外变化将影响所有现行政策。因此，与个体生命周期之间的随机变化相反，它不能通过增加投资组合的规模来分散。再保险是解决这一问题的一种可能方法，但其能力通常有限。或者，风险可以通过平衡产品自然对冲或降低。例如，保险公司可能会将人寿保险出售给购买人寿年金的相同客户。由此产生的组合将减少公司未来面临死亡率变化的风险，从而减少死亡率或寿命风险方面的资本储备。这种通过死亡风险补偿长寿风险的想法通常被称为自然对冲。然而，正如【16】所指出的，这种策略可能成本过高，在某些情况下可能不实用。因此，一种应对这些风险的自然补救措施以所谓的死亡率证券化的形式出现，其表现形式为文献中简称为MLS的死亡率相关证券。这些证券通常以债券的形式出现，为保险公司提供了一种工具，将其对死亡率敏感的风险敞口转移给资本市场中的既定投资者，作为回报，为他们提供风险溢价。与死亡率相关的证券不同于其longevitycounterparts，因为前者的现金流与死亡率指数相关，后者则基于幸存者指数。关于这两类债券的更详细审查，请参阅[43]。

事实上，与死亡率相关的证券也被称为极端死亡率债券或EMB或灾难（CAT）死亡率债券或CATM债券，因为它们是由一个或多个人口死亡率的灾难性演变触发的。这些债券可能会吸引投资者，因为它们有可能为投资组合提供多样化。这些债券的回报率通常与其他投资（如固定收益或股票）的回报率没有任何相关性。从（再保险）保险人的角度来看，这些工具充当“替代风险转移”（ART）机制。开创性的MLS是2003年发行的瑞士再保险死亡债券（Vita I），这是本文的主要重点。随后，于2004年发行了欧洲投资银行/英国央行债券（[7]；[37]）。对于前者，如果在债券存续期间发生灾难性死亡事件，债券本金将减少，因此允许瑞士再保险减少其面临的极端死亡风险。相反，后者是一种25年期的长寿债券，旨在为面临长寿风险的英国养老基金提供。这种债券采取年金债券的形式，每年的息票支付与一些英国和威尔士男性的实际生存率挂钩。然而，它并没有得到与威斯康星州再债券相同的反响。继VITA I成功之后，瑞士再保险推出了五个以上的VITA债券系列，最新的一个是VITA VI，将涵盖澳大利亚、加拿大和英国自2016年1月起5年内的极端死亡率事件。除此之外，瑞士再保险公司还试验了一种称为“Mythen Re”的多风险债券，该债券综合了灾难和死亡风险，获得了2亿美元的资金，用于防范北大西洋飓风和英国极端死亡风险。

许多其他再保险巨头，如苏格兰再保险公司（Scottish Re）和慕尼黑再保险公司（Munich Re），也发行了许多其他死亡债券。我们请读者参考[8]、[15]、[58]和[13]了解更多详细信息。事实上，值得注意的是，瑞士再保险公司还于2010年12月推出了一种创新的“长寿趋势债券”，称为瑞士再保险Kortis债券。感兴趣的读者可参考[13]和[31]。有关死亡率和寿命证券和市场的最新发展列表，请参见【51】和【41】。作为这些创新证券的后遗症，许多MLS的估值方法已经萌芽。[30]将这些方法分为以下四类，不相互排斥：o风险调整过程或无套利定价：在这种方法下，第一步是估计现实世界概率测度下的未来死亡率分布。然后，根据市场上观察到的死亡率相关证券的实际价格，将真实世界的分布转换为风险中性的对应分布。最后，死亡率相关证券的价格可以通过以无风险利率贴现其在确定的风险中性概率测度下的预期收益来计算。这种方法的一个重要基础是，它考虑了实际价格。市场价格的需要使得这种方法的实施非常困难。有效使用无套利方法的一种方法是使用随机死亡率模型，该模型从一开始就在真实世界的测量中定义，并符合过去的数据。然后根据市场价格对模型进行校准，得出风险中性死亡率过程，并据此计算证券价格。

例如，[10]将一个双因素死亡率模型校准为BNP/EIB longevitybond的价格Wang变换：这是【54】、【55】给出的方法，该方法包括使用畸变算子，将基础分布转换为风险调整分布，MLS价格是按无风险利率贴现的风险调整概率下的预期值。Wang变换首先被[39]用于死亡率相关的安全性，随后被包括[26]和[21]在内的其他研究人员采用。基于巨灾地区死亡率的正相关性特征，[47]建立了一个具有共单调性和跳跃-离散过程的巨灾死亡率债券定价模型。指出在这种不完全的市场环境中不存在唯一的风险中性概率，他们使用Wang变换方法对债券进行定价。除非假设一个非常简单的死亡率模型，否则如果我们没有充分的市场价格数据，畸变算子中的参数就不是唯一的。例如，当【11】使用具有短暂跳跃效应的扩展Lee-Carter模型为死亡债券定价时，他们需要估计Wang变换中的三个参数。为了求解这三个参数，Chen和Coxas假设它们相等，但这样的假设并不容易证明。事实上，【46】对Statingt的Wang变换提出了质疑，认为它不是金融和保险定价的通用定价方法。Wang变换被[28]引入的Esscher-Girsanovtransform所取代。与Wang变换相反，Protcher-Girsanov变换与无套利金融和保险定价一致。有关更多详细信息，请参阅[28]和[38]。o瞬时夏普比率：[45]和[3]提倡使用瞬时夏普比率对死亡风险进行财务评估。

他们认为，签发死亡或有索赔的公司要求以预先规定的瞬时夏普比率的形式对该风险进行补偿。根据他们的观点，利用瞬时夏普比率对不完全市场中的死亡或有索赔进行定价具有许多可取的性质，这使得该方法也适用于其他不完全市场中的风险定价。欲了解更多详情，请参考上述文件以及[4]和[57]。o基于效用的估值：基于效用的方法定义投资者的效用函数，并在财富约束下最大化代理人的预期效用，以获得死亡率挂钩证券的均衡价格。对于详细的讨论，可以回顾[52]、[17]、[29]和[19]。[17] [29]采用指数效用函数计算MLS的价格。除了上述方法[5]和[12]外，还使用极值理论来衡量2003年瑞士再保险债券的死亡风险。有关MLS定价的其他方法的有趣摘要，请参阅[48]、[59]、[51]和[41]。由于价格信息或特定效用函数的可用性等限制，文献中可用的MLS定价方法仅适用于有限的应用。MLS定价的困难源于MLS市场不完整的事实，因为潜在死亡率通常在金融市场无法交易。因此，通常的无套利定价方法只能提供价格范围或价格界限，而不是单一价值。令人惊讶的是，与死亡率相关的证券，除了目前的形式外，似乎还有很长的历史。17世纪和18世纪，以那不勒斯银行家洛伦佐·托蒂（Lorenzo Tonti）的名字命名的所谓“托蒂尼”（tontines）曾被多个政府所采用（[56]）。

在这些计划中，投资者一次性付款，并在生存者之间分配年度股息。因此，虽然仍然依赖于投资者的生存，但他的报酬与订阅者群体中的死亡经验有关。这些发行在法国尤其成功，但由于利息支付率很高，很快就对王室的财务状况造成了威胁（见[32]）。然而，这不仅仅是tontines的情况；从投资者的角度来看，在皇室债务中占很大份额的人寿年金也获得了非常有利的条件。Genevan企业家JacobBouthillierBeaumontin利用了这种粗心大意，并将其归因于他的计划（参见[32]）。在这里，年金是为Genevan投资者的账户认购的一组Genevan女孩的生活。因此，他们的支付与Genevan“madmoiselles”的生存直接相关，并且由于法国当局的“慷慨”假设，这些计划最初对Genevans非常有利，Genevans是法国纳税人的真正受害者。1789年法国大革命使这些猜测戛然而止，毫无疑问，无忧无虑的借贷导致的预算危机是其中一个主要原因。直到本世纪初，还没有关于致命链接证券的另一个公开问题，然而，有迹象表明，最近的私人交易类似于托汀计划（见[26]）。

有关死亡率或有证券历史的更详细概述，请参考[2]和[42]。如今，全世界的投资银行和其他金融服务提供商都在致力于交易长寿风险的理念，并且安装了第一个重要交易台，以巩固“赌死时间已定”的理念。本文旨在通过以亚洲认沽期权的形式表达其支付，并利用共单调性理论，确定瑞士再保险致命灾难债券的价格界限。[49]、[23]和[1]提出了这种方法，以确定亚洲期权的价格范围。有关共单调性及其应用的更多详细信息，请参阅[35]和[22]。由于MLS市场不完整，因此不存在唯一的定价措施。然而，由于市场是无套利的，因此至少可以找到一个风险中性的衡量标准，然后可以用来确定死亡或有证券的公平价格。这种措施的存在使我们能够继续对死亡或有证券进行场外定价，无论这种措施的选择是什么，定价都是以模型独立的方式进行的。我们探索这一事实并在一个独立于模型的环境中工作：也就是说，我们不假设死亡率演化过程按照给定的模型进行，而是旨在得出在任何模型下都适用的结论。这与死亡率或有产品定价的标准方法不一致，该方法是假设一个模型，并将基础产品的价格确定为该模型下适当折现的风险中性预期。

这种方法的一个主要问题是，没有任何模型能够完全捕获MLS的真实行为，从而暴露整个建模过程的风险。本文的其余部分组织如下：下一节描述瑞士再保险债券的结构，并以亚洲看跌期权的形式表示其支付。第3节显示了使用共单调性推导上述键的下界。在第4节中，我们使用sameto推导瑞士再保险债券的上界。在第5节中，我们通过选择死亡率指数的特定模型来说明边界的计算。第6节描述了导出理论的数值结果，并将结果与债券价格的蒙特卡罗估计进行了比较。还提供了适当的图表，突出了边界之间的比较。结语部分给出了结论和进一步研究的途径。《The Business》，2007年8月15日，P.Thornton著，“赌死时间已定”。2瑞士再保险债券的设计正如引言中所指出的，人寿保险业支付自然灾害或人为灾害造成的灾难性死亡损失的财务能力有限。为了扩大其支付灾难性死亡保险的能力，瑞士再保险从机构投资者那里购买了约4亿美元的保险，以代替其首个纯死亡保险。再保险巨头于2003年12月发行了一份三年期债券，于2007年1月1日到期。为了进行交易，瑞士再保险设立了一个名为Vita Capital Ltd的特殊目的机构（SPV）。这使得相应的现金流能够保留在瑞士再保险的资产负债表中。委托人面临风险，该风险根据ti年的QTIII指数确定。