灾难性死亡债券的模型无关价格界

（4.12）在使用方程（4.8）和（4.11）的情况下，我们可以看到x解出以下方程nxi=1F-1qi（x）=q（1+6.5n）。（4.13）与下界情况一样，援引第2节的看跌期权平价，我们对瑞士再保险债券P≤ （ub）- G） +=：SWUB。（4.14）其中G在（2.17）中定义。如果边际CDF F F严格增加，则UB=5De-rTnXi=1 RTICF-1qi（x），ti（4.15）式中，x解方程（4.13）。4.2条件化的改进上界我们现在寻求获得瑞士再保险债券更精确的上界。如果我们假设有关于（q，q，…，qn）随机性质的额外信息，这是可能的。也就是说，如果我们能够找到具有已知分布的随机变量∧，那么给定事件∧=λ的QI的单个条件分布对于λ的所有i和所有可能值都是已知的。这种方法可以在[35]、[22]、[23]、[36]和[27]中找到。定义=nXi=1F-1Si∧（U）=nXi=1Sui，（4.16），其中U~ U（0，1）。然后我们有≤cxSu公司≤cxSc，（4.17）现在让qu=（Su，…，Sun）。自从F-1S∧=λ。。。，F-1Sn∧=λ是共单调的，wehave，F-1Su∧=λ（p）=nXi=1F-1Si∧=λ（p），p∈ （0，1）。（4.18）因此，在这种情况下，Nxi=1F-1Si∧=λFSu∧=λ（q）= q、 （4.19）所以我们有f（λ）=E“nXi=1Sui- q+∧=λ#=nXi=1E硅- F-1Si∧=λFSu∧=λ（q）+∧=λ-Q- F-1Su∧=λFSu∧=λ（q）1.- FSu∧=λ（q）, （4.20）如果q∈F-1+Su∧=λ（0），F-1Su∧=λ（1）. 通过应用towerproperty和（4.17）给出的凸序关系，我们得到了瑞士再保险债券的看涨期权对应方的上界，即P≤ De公司-rTE公司（苏- q）+= De公司-rTE[f（λ）]=De-rTnXi=1Z∞-∞E硅- F-1Si∧=λFSu∧=λ（q）+∧=λdF∧（λ）- K=5De-rTI公司- K其中i=nXi=1Z∞-∞Eqi公司-1.3q+F-1Si∧=λFSu∧=λ（q）!!+∧=λdF∧（λ）和k=Q- F-1Su∧=λFSu∧=λ（q）1.- FSu∧=λ（q）.

（4.21）给定事件∧=λ，设x为下列方程的解nxi=1F-1Si∧=λ（x）=q.（4.22）此外，我们从方程（4.19）中看到，x=FSu∧=λ（q）。因此，根据【22】中的公式93，瑞士再保险债券的赎回对应方的上限为≤ 5De-rTnXi=1Z∞-∞Eqi公司-1.3q+F-1Si∧=λ（x）+∧=λdF∧（λ）-K、 （4.23），其中x通过求解（4.22）得到。此外，这是直截了当的-1Si∧=λ（x）=5F-1qi∧=λ（x）- 1.3q. （4.24）因此，上限可以重写为asP≤ 5De-rTnXi=1Z∞-∞Eqi公司- F-1qi∧=λ（x）+∧=λdF∧（λ）- K=：ub（1）t，（4.25），其中x∈ （0，1）可通过求解方程nxi=1F获得-1qi∧=λ（x）=q（1+6.5n）。（4.26）由于这是所有t的上界，因此我们可以通过最小化t上的方程（4.25）来找到最佳上界∈ [0，T]。与之前一样，调用第2节的put调用奇偶校验，我们得到了瑞士RebondP≤ub（1）t- G+=: SWUB（1）t，（4.27），其中G在（2.17）中定义。如前所述，这个界改进了（4.14）给出的无条件界。如果临界CDF FSi∧严格增加，可以将K=0放入（4.25）以获得上界。5个示例我们现在通过选择重要性指数的特定模型来推导下限和上限。5.1 Black-Scholes模型让我们考虑死亡率演化过程{qt}t≥0遵循Black-Scholes模型（c.f.[6]），我们将其写成qt=eUt，其中{Ut}t≥0定义为：Ut=对数（q）+R-σt+σW*t、 （5.1）其中{W*t} t型≥0表示标准布朗运动，因此W*T~ N（0，t）。因此~ Nlogeq公司+R-σt、 σt.

（5.2）我们现在分别推导了该模型在WLB（2）和SWUB（1）线上的下界和上界。5.1.1我们知道的下限SWLB（BS）tWe如果（X，Y）~ BVN公司uX，uY，σX，σY，ρ其中BV N代表二元正态分布，给定事件eY=y，对数正态随机变量eX的条件分布为fex | eY=y（x）=Φlogex-uX+ρσXσY（logey- uY）σXp1- ρ. （5.3）其中Φ表示标准正态分布的c.d.f。给定每个i的时间点ti，t，设ρ为uti和Ut之间的相关性。那么，从（5.2）可以看出：（Uti，Ut）~ BVN公司uUti，uUt，σUti，σUt，ρ, 其中，相同的方程式规定了uUti、uUt、σUti和σUt。同样，当qt=eUt时，我们从方程（5.3）中得出，Qi的分布函数以事件qt=Sti为条件，给出为fqi | qt=st（x）=Φ（a（x）），其中a（x）由a（x）=logex给出-logq公司stq公司ρqtit+R-σti公司- ρ√山雀!σpti（1- ρ） 。（5.4）由于c.d.f.的差异产生p.d.f.，因此给定qt=st的QI条件密度函数满足以下等式：fqi | qt=st（x）=xσpti（1- ρ） φ（a（x）），（5.5），其中φ表示标准正态分布的p.d.f。假设死亡率进化过程{qt}t≥0定义为qt=EUT，其中UTI在等式（5.1）中给出，给定qt的条件期望由表达式（qi | qt）给出=Qqtq数量Tieσti2t（t-ti）ti<t，qter（ti-t） ti公司≥ t、 （5.6）我们利用此表达式获得Black-Scholes设置下亚洲看涨期权的下界。定义：Sl=Pni=1Yi，其中利用（5.6），在Black-Scholes案件中，Yi，i=1，2。。。，n由Yi给出=5季度qtq数量ti/teσti2t（t-ti）- 1.3+i<j5qqtq数量er（ti-t）- 1.3+我≥ 显然，Y=（Y，…，Yn）是共单调的，所以我们有Sl公司- Q+=nXi=1E易- F-1Yi（FSl（q））+, （5.7）式中，FSl（q）是在q处评估的S的分布函数。

对于任意t，我们有fsl（q）=PhSl≤ qi=P“j-1Xi=15qqtq数量ti/teσti2t（t-ti）- 1.3++nXi=j5qqtq数量er（ti-t）- 1.3+≤ q#=P“j-1Xi=1qtq数量ti/teσti2t（t-ti）- 1.3++nXi=jqtq数量er（ti-t）- 1.3+≤ 0.2#。（5.8）如前一节所述，我们用x代替qt/qa，并用方程j求解x-1Xi=1xti/teσti2t（t-ti）- 1.3++nXi=jxer（ti-t）- 1.3+= 0.2。（5.9）这确实是直截了当的，注意到该方程的左侧在x中严格增加。这得出：FSl（q）=Fqt（xq）=FYi5qxti/teσti2t（t-ti）- 1.3+!i<j，仅供参考5季度xer（ti-t）- 1.3+我≥ j、 将其替换为方程式（5.7），回顾方程式（3.30）中给出的S和SLA之间的止损顺序关系，将其应用于Sl，拆分条款并乘以上一节中所做的平均贴现系数，并注意到边际CDF FY1严格增加，我们得到≥ De公司-rTnXi=1E易- F-1Yi（FSl（q））+!= 5De-rTj公司-1Xi=1q1-钛/碲“qti/tteσti2t（t-ti）- qti/tmaxxti/teσti2t（t-ti），1.3+#+nXi=jertiC最大尿流率x、 1.3er（ti-t）, T!. （5.10）我们将第一次求和中的术语表示为EAN，其值为低。E=5qertiΦ（d1ai）- 最大值xti/teσti2t（t-ti），1.3Φ（d2ai）, （5.11）其中D2aI和D1aI分别为D2aI=-loge公司daiq公司+R-σtσ√t（5.12）d1ai=d2ai+σti√t（5.13）和dai为dai=qmaxxti/t，1.3eσti2t（t-ti）！！t/ti。（5.14）在（5.10）中插入（5.11），我们得到了下限lb（BS）tas followsP≥ 5De-rTj公司-1Xi=1qertiΦ（d1ai）- 最大值xti/teσti2t（t-ti），1.3Φ（d2ai）+nXi=jertiC最大尿流率x、 1.3er（ti-t）, T!=: lb（BS）t.（5.15）结合的lb（BS）tcan可进行与lb（2）tin最大化有关的处理≥ 最大值0≤T≤Tlb（BS）t.（5.16）一个有趣的评论是，当我们明确计算E【qi | qt】时，而不是找到它的下界，很明显，在{qt}遵循Black-Scholes模型的情况下，lb（BS）timproveson lb（2）。

同样，与之前一样，利用put调用奇偶校验，P≥lb（BS）t- G+=: SWLB（BS）t，（5.17），其中G在（2.17）中定义。5.1.2上界SWUB（BS）tIn第4.2节中，我们已经证明，通过假设存在随机变量∧，Cov（Xi，∧）6=0，可以改善上界SWUBi、 假设这个假设是真的，死亡率指数{qt}t≥0取决于基本的标准布朗运动{Wt}t∈[0，T]。然后，从方程（4.25）中，注意到边际CDF Fqi | Wt=严格增加，因此K=0，我们看到瑞士再保险债券的看涨期权对价上限为≤ 5De-rTnXi=1Z∞-∞Eqi公司- F-1qi | Wt=w（x）+Wt=wdΦW√T, （5.18）在使用（4.26）的情况下，我们可以看到x是通过求解以下方程nxi=1F获得的-1qi | Wt=w（x）=q（1+6.5n）。（5.19）以下结果提供了给定事件Wt=w的QI条件逆分布函数的显式公式。提案1。在Black-Scholes模型的假设下，在事件Wt=w的条件下，QI的条件分布函数由F给出-1qi | Wt=w=量化宽松R-σti+σtitw+σqtit（t-ti）Φ-1（x）i<j，qeR-σti+σw+σ√（ti-t） Φ-1（x）i≥ j、 （5.20）其中j=min{i:ti≥ t} 。证据设X=σWti，Y=wt，Y=ewin（5.3）。然后，我们得到了事件Wt=w.FeσWti | Wt=w（s）=Φ时eσwtigi的条件分布函数的以下表达式洛格斯- ρσqtitwσpti（1- ρ）. （5.21）然后得出，当且仅当ifs=F时，FeσWti | Wt=w（s）=x-1eσWti | Wt=w（x）=eρσqtitw+σ√ti（1-ρ） Φ-1（x）我们可以通过注意ρ=p（ti）得到方程（5.20∧ t） （ti∨ t） 下面的表达式是Qi的逆条件分布函数，给定Wt=w.F-1qi | Wt=w=qeR-σtiF公司-1eσWti | Wt=Wt这就完成了证明。值得注意的是，F-当t=ti时，1qi | Wt=wis连续（也就是说，对于某些i，我们有i=j）。

从方程（5.19）中，我们希望解出以下x.j-1Xi=1eR-σti+σtitw+σqtit（t-ti）Φ-1（x）+nXi=jeR-σti+σw+σ√（ti-t） Φ-1（x）=0.2+1.3n。（5.22）因此，使用方程（5.18），Black-Scholes情况下瑞士再保险债券赎回对应方的改进上界由以下方程组sp给出≤ 5Ce-rTZ公司∞-∞nXi=1eR-σ（ti∧t） 2个ITti+σti∧ttwΦc（一）- （0.2+1.3n）（1-x） 哦！dΦW√T=: ub（BS）t，（5.23）c（i）=（σqtit（t- ti）- Φ-1（x）i<j，σp（ti- t）-Φ-1（x）i≥ j、 （5.24）其中x∈ （0，1）解方程（5.22）。这种情况下的最优上界由t上的最小化方程（5.23）给出∈ [0，T]。如前所述，调用第2节的看跌期权平价，我们对瑞士再保险债券P≤ubt公司- G+=: SWUB（BS）t，（5.25），其中G在（2.17）中定义。5.2对数伽马分布对数伽马分布是一种特殊类型的变换伽马分布。据说死亡率指数“q”遵循对数伽马分布（log Gamma distributioniflogeq）- uσ=x~ γ（p，a），（5.26），其中u、σ、p和a是参数（>0），log是自然对数。阅读转换伽马分布的有用参考文献有【34】、【53】和【14】。5.2.1下限SWLB（LG）tIn在这种情况下，边际CDF fyiar严格增加。

因此，对于对数伽马分布，我们得到lb（2）的以下紧凑表达式，然后从中减去G，得到SWLB（LG）t.lb（2）t=5Ce-rTj公司-1Xi=1q-ti/tetitu（σ“）ph1- Gd、 p，σ“我- Kh1- Gd、 p我+nXi=jer（ti-t） qqert【1】- G（d，p）]- K[1- G（d，p）]!（5.27）其中σ“=1- σtit，σ=1-qert公司-u1/p，d=lnd- uσ，d=q1.3+xti/t- 1.3+t/ti，K=Dti/t，K=q1。3er（ti-t）+十、-1.3er（ti-t）+!,d=lnK- uqert-u- 1，d=d+lnK- u，G（x，p）=ZxΓ（p）xp-1e级-XDX和Gx、 p，σ“=Zx公司σ“pΓ（p）xp-1e级-（σ“x）dx。5.2.2上界SWUB（LG）第4.1节中给出的第一个上界可以采用上述相同的方式得出，即边际CDF fq严格增加。结果见表5和6.6数值结果。现阶段将研究前几节推导的理论的应用。我们在第3节和第4节中成功获得了瑞士再保险债券的多个下限和上限。第5节我们提供了几个例子。我们现在测试这些与著名的瑞士再保险债券蒙特卡罗估值的对比。在所有例子中，我们假设C=1。我们首先在众所周知的金融模式下开展这项工作，然后针对几个转型的分布。边界的命名已在第3节和第4节中规定。在所有的例子中，边际CDF都在严格增加。在表1和表2中，我们假设死亡率演变过程{qt}t≥0遵循Black-Scholes模型，由以下随机微分方程（SDE）dqt=rqtdt+σqtdWt规定。为了模拟路径，我们将考虑构成债券期限的三年内死亡率指数的值，即n=3。事实上，我们认为时间点为t=1。。。，tn=T=3。

我们调用以下等式来生成死亡率演变：qtj=qtj-1expR-σδt+σ√δtZjZj公司~ N（0，1），j=1，2，n、 （6.1）根据【40】的规定，我们在下面强调了参数选择。表1中的利率值有所不同，而表2在假设利率为零的情况下，对死亡率指数基值的变化进行了实验。表1和表2的参数选择（按年计算）为：q=0.008453，t=3，t=0，n=3，σ=0.0388。表2后面是图1-3。图1和图2描述了界限之间的比较，图3描述了Black-Scholes模型生成的瑞士再债券的价格界限。我们将让MC表示瑞士再保险债券的Monte Carlo估值。表1反映了相对差异（=|界-MC | MC）在任意边界和基准蒙特卡罗估计之间，随着基准死亡率指数q固定值利率的增加而增加。这一观察结果如图1所示。另一方面，图2描述了瑞士再保险债券的蒙特卡罗估计值与推导边界之间的差异。束缚SWLB（BS）T比SWLB好得多。估计价格和边界之间的绝对差异随着基本死亡率指数的增加而增加，然后出现切换，这一差距开始缩小。这一观察得到了以下事实的支持：死亡率起始值的增加增加了灾难发生的可能性，这将导致本金被冲走，或者换言之，期权耗尽。我们现在考虑另一个示例。

假设死亡率“q”服从四参数转换正态（Su）分布（详情参见[33]和[34]），定义如下-1.Q- αβ= 十、~ Nu，σ, （6.2）其中α、β、u和σ是参数（β、σ>0）和sinh-1是逆双曲正弦函数。r SWLBSWLBSWLB（BS）tMC，带S.E.SWUB（BS）tSWUB0。035 0.899130889131 0.899130889153 0.899131577419 0.899131338643 0.899131588500 0.899131637780（0.000007814868）0.030 0.913324024542 0.913324024546 0.913324256506 0.913324365180 0.913324317265 0.913324320930（0.000005483857）0.025 0.9274475050803 0.927447580428 0.927447582074 0.927447605312 0.927447619324（0.000003766095）0.020 0.941626342686 0.941626342687 0.941626365600 0.9416263567040.941626369727 0.941626384749（0.000002549695）0.015 0.955935721003 0.955935721003 0.955935727716 0.955935715489 0.955935732230.955935736078（0.000001673442）0.010 0.970419124546 0.970419124546 0.970419126422 0.970419112046 0.970419126802 0.9704129772（0.000001032941）0.005 0.985101139986 0.985101139986 0.985101140486 0.985101142704 0.985101140840 0.985101141738（0.000000646744）0.000 0.999595780160.99999778016 0.99999778143 0.99999770298 0.99999778175 0.999995778584（0.000000405336）表1：根据【40】的规定，q=0.008453，σ=0.0388的Black-Scholes模型下瑞士再保险死亡率债券的下界和上界SWUB。MCSimulations：5000000次迭代（对偶方法）qSWLBSWLBSWLB（BS）tMC和S.E。

SWUB（BS）tSWUB0。007 100000000001.0000000000001.0000000000001.0000000000001.0000000000001.000000000000（0.000000000000）0.008 0.99999915252 0.999999915252 0.999999915252 0.999999915033 0.999999915253 0.99999915253（0.0000000 52478）0.008453 0.99999778016 0.99999778016 0.99999778143 0.99997770298 0.999577875 584（0.000000 405336）0.009 0.999821987943 0.999821987950 0.99982025863 0.99982226302140.999822374801 0.9998222875816（0.00000305524）0.010 0.978292691035 0.978310383929 0.97850356021 0.978782997810 0.978292691184 0.9862918347（0.000042738093）0.011 0.57275082004 0.61096212458 0.610962123857 0.652245039892 0.572755594265 0.877336305502（0.000090193709）0.0120000000.040209774144 0.040209770810 0.094677358603 0.0000000000000000000.395672911251（0.0000895585）0.013 0.0000000000000.0000000000000.0000000000000.001665407936 0.0000000000000.083466184427（0.000011391823）0.014 0.0000000000000 0.0000000000000.000002890238 0.0000000000000.008942985848（0.000000379522）表2：根据[40]，r=0.0且σ=0.0388的Black-Scholes模型下瑞士再保险死亡率债券的下限和上限SWUB。