灾难性死亡债券的模型无关价格界

MC模拟：5000000次迭代（对比法）-1E-076E-211E-072E-073E-074E-075E-076E-077E-078E-079E-070 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04Rel。差异rSWUB1SWLBT（BS）SWUBt（BS）图1：SWLB（BS）t、SWUB（BS）和SWUBw的相对差异。r、 Black-Scholes模型下的t.MC估计值-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016GAPQ0SWLB0SWLB1SWUB1SWB1SWLBT（BS）SWUBt（BS）图2：B-S模型下的不同界限与r=0-0.200.000.200.400.600.801.001.200 0.002 0.004 0.006 0.01的MC估计值的差异比较0.012 0.014 0.016价格Q0MCSWLB1SWUB1SWWLB0SWLBT（BS）SWUBt（BS）图3： Black-Scholes模型下的价格界限对于Lin和Cox（2008）模型的参数选择表3，我们改变表1中的利率，并使用[52]中使用的参数集。上述作者使用[40]的死亡率突变模型来生成数据，然后利用[50]的分位数估计来估计支持参数。初始死亡率和时间点与表1和表2相同。以下数组显示了瑞士再保险债券涵盖的2004、2005和2006三年的参数值。α=[0.008399，0.008169，0.007905]，β=[0.000298，0.000613，0.000904]，u=[0.70780，0.58728，0.58743]，σ=[0.67281，0.50654，0.42218]。由于（3.36）中的第一项无法用数学方法计算，因此表3中的SWLB（2）tin值已使用MATLAB中的“数值积分”进行计算。表3为假设死亡率指数的各种分布的一大类模型的界限极其狭窄的说法增加了权重。最后，在表4和表5中，我们通过改变表4中的利率和表5中的基准死亡率来试验对数伽马分布。

参数的选择如【14】所述，其采用了与上文所述【52】类似的方法，q=0.0088，但使用最大似然估计来获得拟合对数伽马分布的参数。与之前一样，以下数组表示年份wiseparametersp=[61.6326,64.2902,71.8574]，a=[0.0103,0.0098,0.0080]，u=[-5.2452，-5.4600，-5.7238]和σ=[7.4×10-5，9.5×10-5，9.4×10-5] 。表4和表5清楚地表明，即使对于非正常宇宙，边界也是极其精确的。图4-6绘制在图1-3的线条上，强烈支持我们的观察结果。r SWLBSWLBSWLB（2）tM C S.E.（MC）SWUB0。035 0.88325546 0.88432143 0.88554815 0.88468962 0.00006349 0.886806570.030 0.90340398 0.90401002 0.90469396 0.90422765 0.00004987 0.905481790.025 0.92160707 0.92193552 0.92229117 0.92201394 0.00003804 0.922759500.020 0.93840783 0.93857698 0.93874756 0.93863396 0.00002794 0.9390909010430.015 0.95428713 0.95436972 0.95444409 0.95441569 0.00001956 0.954582650.010 0.96963954 0.96967776 0.969706600.96968765 0.00001352 0.969774880.005 0.98476274 0.98477952 0.98478912 0.98478917 0.00000859 0.984820460.000 0.99986135 0.99986838 0.99987088 0.99987622 0.0000513 0.99988427表3：q=0.008453的SU分布下瑞士再保险死亡率债券的下限和上限SWUB，参数选择符合【52】。

MC模拟：2000000次迭代（对偶方法）r SWLBSWLBSWLB（LG）tM C S.E.（MC）SWUB0。035 0.84803277 0.84842404 0.85596973 0.85408651 0.00049859 0.866104360.030 0.87357702 0.87381345 0.87911092 0.87815608 0.00044050 0.887240130.025 0.89710281 0.89724267 0.90088166 0.90050920 0.00038741 0.907283090.020 0.91889696 0.91897792 0.92142119 0.92103020 0.00034012 0.9263666 400.015 0.93924097 0.93928679 0.94088833 0.94092949 0.00028650 0.944633310.010 0.95840372 0.95842907 0.959452700.95947457 0.00024259 0.962230650.005 0.97663543 0.97664912 0.97728623 0.97748291 0.00020357 0.979302970.000 0.99416285 0.99417007 0.99455565 0.99466024 0.0001677 0.99598733表4：q=0.0088的转换伽马分布下瑞士再保险的下限和上限SWUB，并根据【14】进行参数选择。

MC模拟：100000次迭代QSWLBSWLBSWLB（LG）tM C S.E.（MC）SWUB0。008 0.99976607 0.99976607 0.99977284 0.99978465 0.00003227 0.999779560.0088 0.99416285 0.99417007 0.99455565 0.99466024 0.0001677 0.995987330.009 0.98910499 0.98914615 0.98995211 0.99003596 0.00023335 0.993383350.010 0.87669254 0.88804918 0.89637631 0.89137680 0.00077924 0.958189590.011 0.41097106 0.59608967 0.59608967 0.56844674 0.00128761 0.837207970.012 0.00000000 0.27104597 0.271045970.20822580 0.00105003 0.613838720.013 0.00000000 0.08274071 0.08274071 0.04612178 0.381822440.014 0.00000000 0.01270202 0.01270202 0.00673234 0.00019165 0.212229380.015 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00084831 0.00006528 0.110420350.016 0.00000000 0.00009165 0.0000235 0.055555 39270.017 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000621 0.00000447 0.027576850.0180.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000205 0.00000145 0.01369796表5：在r=0.0的变换伽马分布下，瑞士再保险死亡率债券的下界和上界SWUB，参数选择符合【14】。MC模拟：100000次迭代00次。0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04Rel。差异RSWLB0SWLB1SWB1SWLBT（2）图4：下限和SWUB1 w.r.t的相对差异。

转换伽马分布下的MCestimate-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450 0.005 0.01 0.015 0.02GAPQ0SWLB0SWLB1SWUB1SWB1SWLBT（2）图5：转换伽马分布下的不同界限与MC估计的差异比较，r=0-0.200.000.200.400.600.801.001.200 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.018 0.02QQ 0SWLBT（2）MCSWLB1SWUB1SWLB0图6:Lin和Cox（2008）模型参数选择的转换伽马分布下的价格界限7结论在寿险公司和私人养老金计划的管理中，风险预测极其重要。证券化和凡人债券建设已成为资本市场解决方案的重要组成部分。在2003年推出瑞士再保险债券之前，人寿保险证券化并不是为了处理死亡风险。本文研究了2003年瑞士再保险死亡债券价格边界的设计。如【20】所述，没有套利机会的不完全死亡率市场保证至少存在一个称为等价鞅测度Q的风险中性测度，可用于计算死亡率证券的公平价格。我们依赖这一事实，在不假设任何特定模型的情况下，为所讨论的死亡率安全性设计边界。然后，可以通过将必要的模型插入到通用边界中来实现模型特定边界。据我们所知，【30】之前只有一份关于瑞士再保险债券价格界限的出版物。然而，这些作者提出了支持模型风险的盈亏界限。我们的结果假设了死亡率指数上的普通期权的交易，在这种情况下，我们可以使用这些期权的市场价格来创建真正独立于模型的界限。

一个值得注意的是，目前工作的刺激因素是共名理论。因此，我们可以很容易地扩展这种方法来计算其他死亡率和寿命相关证券的紧界限。确认。R、 B.感谢协会和精算师学院的财政支持。。参考文献[1]Albrecher，H.、Mayer，P.A.和Schoutens，W.算术亚式期权价格的一般下界。《应用数学金融》，15（2）：123-1492008。[2] Bauer，D.《死亡风险的随机死亡率建模和安全化》。ifa Verlag，乌尔姆，德国，2008年。[3] Bayraktar，E.、Milevsky，M.A.、Promislow，S.D.和Young，V.R.《通过瞬时夏普比率评估死亡风险：对终身年金的应用》。《经济动力与控制杂志》，33:6766912009。[4] Bayraktar，E.和Young，V.R.通过瞬时夏普比率为不完全股票市场中的期权定价。《金融年鉴》，4（4）：3994292008年。[5] Beelders，O.和Colorassi，D.用极值理论建模死亡率风险：瑞士再保险死亡率指数债券案例。全球风险专业人士协会，19（7月/8月）：26-30，2004年。[6] Black，F.和Scholes，M.《期权和公司负债的定价》。《政治经济学杂志》，81（3）：637-6541973年。[7] Blake，D.、Cairns，A.J.G.和Dowd，K.《与死亡共存：LongevityBonds和其他与死亡相关的证券》。《英国精算杂志》，12:153-2282006。[8] Blake，D.、Cairns，A.和Dowd，K.《生命市场的诞生》。《亚洲太平洋风险与保险杂志》，2008年3:6-36。[9] Blake，D.、Cairns，A.、Coughlan，G.、Dowd，K.和MacMinn，R.新生命市场。《风险与保险杂志》，80（3）：501-5582013。[10] Cairns，A.J.G.，Blake，D.和Dowd K.具有参数不确定性的随机死亡率的双因素模型：理论和校准。

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