高斯分形指数的半参数推断

我们注意到，最近有人提议将类似于T-BSS过程的过程（所有T的σT=1）作为金融资产随机对数波动率的模型，例如Gatheral等人（2018）；拜耳等人（2016）。2.3假设概述。我们介绍了许多过程，在重要方面有所不同，最显著的是通过其分布特性。尽管存在这些差异，本文给出的结果将同样适用于所有这些差异。为了简化注释，我们在此简要总结了假设。分形指数exα估计值的一致性需要第一组假设。（LLN）假设下列条件之一成立：（a）X是高斯函数，满足（A1）–（A3）的α∈ (-1/2，1/2）。（b） X由（2.2）定义，其中G满足度（A1）–（A3）表示α∈ (-1/2、1/2）和σ对于所有q<1/2的情况都有明确的变化-α。（c） X是BSS过程，由（2.3）定义，满足（A1）–（A3）的α∈ (-1/2，1/2）且核函数g满足（BSS）。第二组假设是分形指数α估计量的渐近正态性所必需的。（CLT）假设以下条件之一成立：（a）X是α的高斯满足（LLN）∈ (-1/2、1/4）以及（A4）。（b） X定义为（2.2）满足（LLN）的α∈ (-1/2、1/4）以及（A4）。过程σ额外填充（SV）。（c） X是BSS过程，由（2.3）定义，满足（LLN）的α∈ (-1/2、1/4）以及（A4）。过程σ额外填充（SV）。重新标记2.4。从假设中可以看出，中心极限定理不适用于α≥ 1/4。事实上，在这种情况下，一个中心极限定理确实成立，但其收敛性和极限分布与我们下面推导的不同。当α=1/4时，收敛速度为qnlog，极限分布为零均值高斯分布，渐近方差与α<1/4时不同。

当α>1/4时，收敛速度为n1-2α和Rosenblatt型的极限分布，见Taqqu（1979）。如果有人对α范围感兴趣∈ [1/4，1/2）和期望的症状正态性结果类似于我们下面的结果，我们建议使用Corcuera等人（2013）中观察值之间的差距备注4.4；这种方法的缺点是人们被迫放弃观察结果。鉴于下面给出的结果，填写该方法的细节很简单，尽管很麻烦。由于是非常光滑的过程，即α≥ 1/4，似乎具有有限的实用价值，我们在此不再进一步探讨。3分形指数的半参数估计和推断，考虑n个等距观测值X1/n，X2/n，对于随机过程X，观测到的时间间隔过固定，我们在不丧失一般性的情况下将其作为单位间隔，因此观测之间的时间为。作为n→ ∞ , 这就产生了所谓的完全渐近。在下文中，假设过程X满足假设（A1）–（A3）。当X是高斯分布时，根据高斯分布和（2.1）的（绝对）矩的标准性质，它认为γp（h；X）=Cp | h |（2α+1）p/2Lp（h），h∈ R、 （3.1）当p>0时，函数Lp（h）：=L（h）p/2在零处缓慢变化，Cp>0是一个常数。这促使回归log^γp（k/n；X）=cp+a log | k/n |+Uk，n+k，n，k=1，2，m、 （3.2）其中m∈ N是带宽参数，cp=log cp，a=（2α+1）p，Uk，N=logγp（k/n；X）γp（k/n；X）, an dk，n=对数Lp（k/n）。变异函数γpis直接估计为^γp（k/n；X）：=n- 千牛-kXi=1 | Xi+kn- Xin | p，k≥ 1.（3.3）参数a的OLS估计器自然为^aOLS=xTmxmxTmlog^γmp，“T”表示向量的转置，xm表示m×1向量xm：=日志1-日志m，日志2- 日志m。

，对数m- 日志mT、 log m：=mmXk=1log k，whilelog^γmp：=（log^γp（1/n；X），log^γp（2/n；X），log^γp（m/n；X））T。给定a的估计值，我们对分形指数的估计值为^α：=^aOLSp-. （3.4）该估计器是众所周知的，并且在文献中大量使用，例如，片麻岩和Schlather（2004）；Gatheral等人（2018年）；Bennedsen等人（2017a）。下面的命题证明了α的OLS估计的一致性。提案3.1。假设（LLN）成立。固定p>0，m∈ N、 设α=αp，mbe为（3.4）中α的OLS估计量。现在，αP→ α、 n个→ ∞,其中“P→” 指P-概率中的收敛性。许多研究考虑了来自（3.4）的OLS估计的渐近性质，例如Constantine和Hall（1994），Dav ies和Hall（1999），以及Coeurjolly（2001，2008）。有关该文献的简要总结，请参见Gneiting et al.（2012），第3.1节。以下理论在本文的背景下描述了细节。定理3.1。假设（CLT）成立。固定p>0，m∈ N、 设α=αp，mbe为（3.4）中α的OLS估计量。如果（CLTb）或（CLTc）成立，我们需要ξ·min{p，1}>1/2，参见假设（SV）。现在，作为n→ ∞,√n（α）- α） st公司→ Zp·Sp，Zp~ N0，σm，p,其中σm，p=xTm∧pxm（xTmxm）p，∧p={λk，vp}mk，v=1是一个实值m×m矩阵，其条目为λk，vp=limn→∞n·Cov公司γp（k/n；BH）γp（k/n；BH），γp（v/n；BH）γp（v/n；BH）, k、 v=1，2，m、 （3.5）式中，^γ·（·；BH，·）由（3.3）给出，BH是一个分数布朗运动，Hurst参数h=α+。此外，如果（CLTa）保持，则SP=1，而如果（CLTb）或（CLTc）保持，则SP=qRσ2psdsRσpsds。（3.6）上述“st”表示稳定收敛（在法律上），参见g.R’enyi（1963）。重新标记3.1。对于k，v=1，…，存在（3.5）中的限值，m，Breuer和Major（1983），定理1。另见备注3.3。在Corcuera等人。

（2013年）。也许令人惊讶的是，理论3。1表明，OLS估计量的渐近分布不取决于基础过程X的精确结构，而仅取决于分形指数α的值，通过分数布朗运动（fBm）增量的相关结构，Hurst的指数H=α+1/2，以及可能的“异方差系数”Sp。其原因是，过程填充假设（A1）的小规模行为将与fBm的增量具有相同的小规模行为。要查看此信息，请写入（j）：=CorrXj+1n- Xjn，Xn- 十、=γ（（j+1）/n；X）- 2γ（j/n；X）+γ（（j- 1） /n；十） 2γ（1/n；X）→|j+1 | 2α+1- 2 | j | 2α+1+| j- 1 | 2α+1, N→ ∞, （3.7）通过假设（A1）和慢变函数的性质。我们认为（3.7）是赫斯特指数H=α+1/2的fBm增量的相关函数。如定理3.1的顶部所示，这意味着对于所有符合假设（A1）–（A4）的高斯过程，包括fBm，估计量σm，p的渐近方差是相同的。然而，正如定理所示，当我们考虑条件高斯过程时，渐近分布会略有不同。在这种情况下，随机波动率分量σ引入了异方差性，这导致了中心极限定理的额外因子自旋。为了使推理在实践中可行，我们需要估计这个因素。为此，定义SP=qm-12p^γ2p（1/n；X）m-1p^γp（1/n；X），ms：=s/2√πΓs+1, p、 s>0，（3.8），其中^γ·在（3.3）中给出。我们可以证明以下几点。提案3.2。（i） 假设（LLNa）成立。设p>0。现在，cSpP→ 1，n→ ∞.（ii）假设（LLNb）或（LLNc）成立。设p>0。

现在，cSpP→ Sp，n→ ∞,如（3.6）所示。命题3.2表明CSPOF（3.8）对于我们的目的来说是一个合适的估计量：当X是高斯时，因子是渐近无关的，而当X是非高斯（波动率调制）时，它提供了正确的归一化。无论人们是否相信数据是高斯的，至少在任何潜在的非高斯性是由波动性引起的情况下，这都包括了因子Csp。事实上，下面的推论是定理3的直接结果。命题3.2与稳定收敛的性质；推论h明显应用于可行的传导干扰和α的置信区间。推论3.1。假设定理3的假设。1保持。现在√n^α- αcSpqσm，p（^α）d→ N（0，1），N→ ∞,其中，“d”表示分布的收敛性，σm，p（^α）表示使用估计值^α计算的渐近方差。重新标记3.2。使用Corolulary3时。1对于假设检验，我们建议使用空值下的α值来计算σm，p（·），而不是^α。为了应用上述结果，我们需要计算因子σm，p，这归结为计算方程（3.5）中矩阵∧pgiven的条目。不幸的是，这只有在np=2时才可行，并且随着m的增加变得越来越麻烦。（Benn edsen等人，2016年，附录B中给出了P=m=2的繁琐计算。）。因此，我们推荐σm，p的MonteCarlo估计；事实上，我们建议使用该因子的有限样本模拟。程序e详见附录九B；在下一节中，我们将给出一个输出示例，当我们研究带宽选择的影响时，m.3.1选择带宽参数bandwid th参数m的选择通常是一个开放的问题。文献中的标准做法是将m=2（Gneiting等人，2012年，第2.3节）。

事实上，Constantine和Hall（1994）认为估计量的偏差随着m的增加而增加，Davies和Hall（1999）提出了最佳值的模拟证据，就平均平方误差而言，m=2。当运行（3.2）中的OLS回归时，设置m=2相当于通过在最接近原点的两个点log^γp（1/n；X）和log^γp（2/n；X）之间绘制一条直线来估计α。从偏差的角度来看，我们推测这会导致σm，2，n×10-3α=-0.2m=2m=5m=10m=25n0的方差增加。40.60.81.2σ2,2，n/σm，2，nα=-0.2nσm，2，n×10-3α=0.2m=2m=5m=10m=25nσ2,2，n/σm，2，nα=0.2图2：α、σm、p、n方差的有限样本模拟的蒙特卡罗近似模拟（B=10000次重复）≈ N-1σm，p，参见定理3.1。图上显示了α的真实值。有关计算的详细信息，请参阅Ap pendix B。估计量，仅依赖于回归中的两点。在下文中，我们将更深入地研究这一点。具体而言，我们考虑了带宽对分形指数估值器的影响；首先是定理3.1（图2）中推导出的^α的理论（有限样本）方差，然后是应用于表1（图3）中各种过程的模拟路径时，估计量的有限样本ias和均方误差。对于这些调查，我们考虑α=- 0.20（粗糙情况）和α=0.20（光滑情况）。图2研究了带宽选择对α估计量方差的影响：我们绘制了有限样本方差的近似值α，σm，p，n，其近似等于n-1σm，p，参见定理3.1。从图中可以看出，选择b和D宽度指数对OLS估计值α的方差有影响。有趣的是，与平滑情况相比，粗糙情况下的效果非常不同。

在前者中，从图2的左上图可以明显看出，方差通过中间值m最小化，例如m=5或m=10。为了进一步研究这一点，右上图显示了当m=2时的有限样本方差与当m=2时的有限样本方差之间的比率∈ {5、10、25}。小于1的数字表明，m=2的估计量的方差大于m>2的相应g估计量的方差，0 5 10 15 20 25 m-0.03-0.02-0.01偏差（^α）α=-0.20 5 10 15 20 25 M0。51.5MSE（α）×10-3α=-0.2fBmMatérnPow。Exp.CauchyDagum0 5 10 15 20 25m-0.03-0.02-0.01偏差（α）α=0.20 5 10 15 20 25m0。51.5MSE（α）×10-3α=0.2fBmMatérnPow。实验CauchyDagumFigure 3：表1过程的有限样本偏差（左）的蒙特卡罗近似值（B=10000次重复）和^α的平均误差（MSE，r ight），作为带宽m的函数。我们将p=2，n=1000。文本中给出了参数值。反之亦然。作为样本量n的函数，这些比率似乎相当稳定，从方差的角度来看，最好选择中间值m>2-实际上，当从m=2到m=5时，估计量的方差减少了大约40%。当我们考虑最下面一行中的平滑情况（α=0.20）时，这些结论就被推翻了：在这里，m=2时的th似乎是最优的。我们通过Davies和Hall（1999）中的模拟进一步研究了这一点：图e 3绘制了估计器（3.4）的偏差（左）和平均平方误差（右），作为表1中五个参数过程的带宽m的函数。为了计算估计量的有限样本偏差和平均squ误差，我们模拟每个过程的B=10000个实例，每个实例的n=1000个观察值；本练习中分形指数的真实值为α=-0.2（顶行）和α=0.2（底行）。

比例参数设置为β=1。对于Cauchy和Dagum过程，我们分别额外设置τ=1和τ=0。在粗略情况下，α=-0.2，得出了与上述相同的结论：尽管偏差确实如预期的那样随着m的增加而增加，但很明显，当m>2时，均方误差最小。在这种情况下，即对于这些参数值和样本量，所有五个过程的最小值都在m=5和m=10之间。我们再次得出结论，当α<0时，有限样本中带宽的中间值更可取。平滑情况，α=0.2，也与我们上面的发现相匹配：事实上，我们发现偏差和均方误差都随着m的增加而增加，因此这里m=2似乎是最优的。总之，本节的证据表明，当底层过程比较粗糙时，带宽的最佳选择是一些m>2，我们建议使用中间值，如asm=5。相反，当过程平滑时，m=2更可取。虽然将m=2视为文献中认可的实践，但我们认为α<0的粗略情况在经验应用中更具相关性。出于这个原因，我们建议使用带宽参数的中间值，如果不这样，就有理由相信底层数据是平滑的。3.2存在加性噪声时的渐近理论考虑到满足（A1）–（A3）的X的观测值被加性噪声污染的情况；也就是说，我们不是观察X，而是观察过程Z，由zj/n给出：=u+Xj/n+uj，j=1，2，n、 （3.9）其中u∈ R为常数，u={uj}nj=1为高斯iid噪声序列，平均值为零，方差σu：=V ar（u）≥ 0。（当σu=0时，我们的意思是在观察中没有噪声）因为我们观察到的是Z，而不是X，与f相关的wh或us是“受污染”或“有噪声”的变异函数，即。

观测过程的变异函数Z：γ（h；Z）=E[| Zt+h- Zt |]=γ（h；X）+2σu=h2α+1L（h）+2σu，h∈ R、 （3.10）假设（A1）得出最后一个等式。由此我们可以看出，当enσu>0时，logγ（h；Z）在log h中不是线性的，因此α的估计量（3.4）将不适用；事实上，不难证明，在存在噪声的情况下，即当应用于γp（·；Z）时，该估计器将向下偏置。事实上，以下是事实。提案3.3。假设过程Z的观测值由（3.9）给出，σu>0，其中X满足假设（LLN）。固定p>0，m∈ N、 并让α=αp，mbe为（3.4）中α的OLS估计量，使用经验变量ram的污染版本γp（·；Z）代替回归（3.2）中的γp（·；X）。现在，αP→ -1/2，n→ ∞.命题3。3表明，如果数据被噪声污染，则参数α的估计值将向下偏移-1/2，即α的最低允许值。换言之，如果数据被噪声污染，那么上述α的估计器将得出结论，即数据比基础过程X的实际情况更粗糙。这是从业者需要注意的一个重要点：当发现数据中的粗糙度证据（即α<0）时，重要的是要考虑这是由于底层数据生成机制的固有特性，还是可能只是噪声的产物，例如测量噪声。更进一步，此处未报告的模拟表明，当α≈ 幸运的是，在估计α以得到一致的估计器时，可以考虑噪声。例如，Bennedsen等人。

（2017a）提出了一种基于非线性最小二乘回归的噪声稳健估值器——然而，该估值器不考虑缓慢变化的函数L，需要观察到过程增长的时间间隔。因此，目前，我们提出了一种替代性的噪声鲁棒估计器，该估计器在我们的完全渐近设置中有效，并且增益依赖于简单的OLS回归。首先，对于整数κ≥ 2，定义函数fp（h；Z，κ）：=γp（κh；Z）2/p- γp（h；Z）2/p，h∈ R、 根据（3.10）和假设（A1），我们得到fp（h；Z，κ）=C2/pp | h | 2α+1L*p（h；κ），h∈ R、 （3.11）很容易显示功能*p（h；κ）：=κ2α+1L（κh）2/p- L（h）2/p, H∈ R、 在零处缓慢变化。由此可以清楚地看出，fp（h；Z，κ）的对数处的th等于慢变函数L*p–对数h中的线性。这激发了线性回归，如（3.2）中的线性回归，其中log^fp代替log^γp:log^fp（k/n；Z，κ）=b*+ A.*日志| k/n |+U*k、 n+*k、 n，k=1，2，m、 （3.12）式中^fp（k/n；Z，κ）：=^γp（κk/n；Z）2/p- γp（k/n；Z）2/pis是函数f的经验估计，可以根据观测值zj/n进行计算。将α的噪声稳健估计定义为α*:=^a*OLS-, （3.13）其中^a*OLSis a的O LS估计*根据线性回归（3.12），类似于（3.4），用^fpin代替^γp。我们可以证明以下内容。提案3.4。假设过程Z的观测值由（3.9）给出，σu≥ 0，其中X满足假设（LLN）。固定p>0，m∈ N、 让^α*= ^α*p、 mbe（3.13）中α的OLS估计量。现在，^α*P→ α、 n个→ ∞.重新标记3.3。命题3。4考虑σu=0时的s，即观察中无噪音。