高斯分形指数的半参数推断

换句话说，鲁棒估计器是α的一致性估计器，也是在噪声意义下的一致性估计器。0 10 20 30 40 50κ-0.4-0.3-0.2-0.10.1Bias0 10 20 30 40 50κ0.050.10.150.20.250.3rmseolsrobust图4：两个OLS估值器（3.4）和（3.13）的偏差（左）和均方根误差（RMSE，右）；蓝线和红线分别带有十字。偏差和RMSE通过B=10000蒙特卡罗模拟计算得出。α=-0.20，而u=1和σu=0.05用于噪声序列。带宽为m=5。在图4中，我们通过计算（3.4）和（3.13）中给出的两个OLS估计量的偏差和均方根误差（RMSE）来说明命题3.4的使用，当应用于σu>0的过程Z时。图中的标题提供了详细信息。前一种估计器对Z方向的噪声不具有鲁棒性，而后一种估计器符合命题3。很明显，这是如何在OLS估计量（3.4）中的大型b ias中体现出来的。事实上，虽然基础过程的分形指数的真实值是α=-0.20，来自非稳健估计的平均OLS估计为-0.4608，即几乎处于-1/2。这当然是命题3的结果。3、相比之下，本节中提出的robu-st估计器（3.13）对于参数κ的大多数值实际上是无偏的，至少当κ≥ 虽然本节的结果适用于所有整数κ≥ 2，结果的实际有限样本性能可能对该调整参数非常敏感，如图4所示。κ的最佳选择似乎取决于观测次数n和噪声方差σu；对这起案件的确切方式进行调查超出了本论文的范围。

在实践中，我们建议研究人员在类似于实际实验的条件下，对模拟数据进行一些数值实验；模拟实验如图4所示。在第5.2节中，我们提供了一个示例，说明如何构建此类模拟实验，以得出κ的合理值，在该节中，我们将稳健估计应用于金融价格的时间序列。下一个结果提供了中心极限定理，因为它与鲁棒估计量有关。定理3.2。假设过程Z的观测值由（3.9）给出，σu≥ 0，其中x满足假设（CLT）。固定p>0，m∈ N、 让^α*= αp，mbe（3.13）中α的OLS估计量。如果（CLTb）或（CLTc）对X成立，我们需要ξ·min{p，1}>1/2，参见假设（SV）。现在，以下内容成立。（i） 设σu=0。作为n→ ∞,√n（α）*- α） st公司→ Z*p·Sp，Z*P~ N0，σ2，*m、 p,其中SPI如定理3所示。1和σ2，*m、 附录C.（ii）中规定σu>0。作为n→ ∞,√n·^α*- α|→ ∞.重新标记3.4。以与推论3.1相同的方式直接构造（i）情况下的可行中心极限定理，包括σ2的蒙特卡罗估计，*m、 p.如定理3.2（ii）中的n所示，噪声的存在将不幸导致^α的方差*, 其衰减速度比√N实际上，^α的精确分布*很难推导，甚至更难进行切实可行的估计。3.2.1噪声存在性测试使用ab ove，我们现在可以构建观察到的时间序列Z是否包含噪声的测试。具体而言，我们有兴趣测试无效假设：σu=0与备选方案H：σu>0。（3.14）在资产价格时间序列的背景下，这类测试被认为是inAit-Sahalia和Xiu（2018），其中作者开发了高频数据中存在市场微观结构噪音的测试。

这里提出的测试在精神上类似于Ait-Sahalia和Xiu（2018）的测试，在第5.2节中，我们还考虑测试高频资产价格中的市场微观结构。为了进行检验，我们考虑了稳健估计量α之间的差异*（3.13）和（3.4）中的常用（非稳健）估计量^α。从命题3.1和3.4中可以看出，在H^α下*- ^αP→ 0，作为n→ ∞,在H下，命题3。3另外表示th at^α*- ^αP→ α+1/2>0，如n→ ∞.与定理3.2类似，我们也可以证明以下内容。定理3.3。假设Theorem3的设置。现在，以下观点成立。（i） 设σu=0。作为n→ ∞,√n（α）*- ^α）st→ Z**p·Sp，Z**P~ N0，σ2，**m、 p,其中SPI如定理3所示。1和σ2，**m、 附录C.（ii）中给出的pis，让σu>0。作为n→ ∞,√n·（α）*- ^α）P→ ∞.定义：=√n^α*- ^α^Spqσ2，**m、 p（α）*). （3.15）以下推论是定理3的直接应用。3、推论3.2。设^Anbe如（3.15）所示。现在，（i）在H下：和→ N（0，1）为N→ ∞.（ii）根据H：^An→ ∞ 作为n→ ∞.推论3的适用性。2用于测试分形过程是否受到噪声的污染，s.Re mark 3.5。上面我们假设噪声序列是高斯的。然而，可以证明，第3.2节和第3.2.1节的所有结果适用于p=2时具有不确定性的一般iid噪声序列。换言之，如果噪声序列u的高斯假设没有得到满足，或者似乎过于严格，则应选择p=2，然后继续应用这些部分的结果。4模拟研究为了检验上述中心极限结果的有限样本特性，我们在此进行了三项小型模拟研究，并将结果收集在表2-4中。

在每项研究中，我们将让X代表不同α值的赫斯特指数H=α+1/2的fBm，并在区间[0，1]模拟n个观测值。有关exacts simu-lation设置的其他信息，请参见表中的标题。对于值α∈ (-1/2，1/4），推论3。1允许我们测试无效假设：α=α与备选方案H：α6=α。（4.1）表2的面板A显示了在标称5%水平下，对于不同的n和α值，本试验的经验大小，即Hwhen His true的拒收率。相比之下，B组显示了测试的经验能力，即无效假设的拒绝率0，n：α=α+n-1/2针对备选方案H1，n：α6=α+n-1/2，（4.2）当α是fBm模拟中使用的α的真值，n是观测数时。换言之，我们测试的α值以1/2的速率向α的真值逼近。我们看到，检验的经验大小和幂性质都非常好。特别是，测试的大小大约为f或n≥ 20.（我们推测，一些与标称5%水平的微小偏差可能是由于蒙特卡罗模拟误差造成的。）同样，经验能力也是足够的。我们的结论是，该测试非常精确，可以很好地用于实践，即使是小样本。表3包含定理3.2（i）设置中的类似结果。注意，我们在这里设置σu=0，以便在观测中没有任何噪声。我们为所有样本大小设定κ=10，但这可能通过考虑每个不同n值的不同κ值来优化。这样，表3中给出的试验的经验性质是保守的，因为人们可能通过以数据驱动的方式选择κ来获得更好的性质，参见图4设置中的方法。

在考虑这种情况下的局部功率时，我们用n1/4替换率n1/2，也就是说，在表3的面板B中，我们正在测试零假设0，n：α=α+n-1/4相对于备选方案H1，n：α6=α+n-1/4，（4.3），其中α是fBm模拟中使用的α的真实值。我们再次得出结论，该测试的实验性能良好。我们发现，我们需要更多的观察来获得一个适当大小的测试，与上面的情况一样，原因是估计器现在在计算统计量^f时利用了观察值之间大小k=10的差距。经验功率特性似乎也足够了，尽管现在的速度比我们上面看到的要慢一些。但总而言之，这一假设检验的实际相关性并没有上述假设检验的相关性大：在有噪声的情况下（σu>0），我们不具备渐近理论，而在无噪声的情况下（σu=0），正则OL S估计的设置更适合于推断。TheRobrast估计量是一致的，所以对于逐点估计，估计量仍然具有很大的实际相关性。最后，表4包含测试结果（3.14）；也就是说，我们使用推论3.2测试观察中是否存在噪音。现在真正的观测值是Zi=u+Xi+ui，而ui的方差是σu≥ 在面板A中，我们再次得到了测试的大小，这是我们设置σu=0的地方，即他的真值。在面板B中，我们有功率特性，即当σu=0.05时，即当其为真时，Hw的r喷射率。我们发现，在大多数情况下，该测试的大小都稍显不足，尽管相当接近标称水平。n的功率特性是合理的≥ 当α不太负时至少为800；当α≈ -0.50时，测试显然需要许多观察结果才能在无效时拒绝空值。然而，考虑到提案3.3，这是意料之中的。

总的来说，该测试的经验性质非常好，我们告诉读者，通过以数据驱动的方式选择κ，可以进一步改善这些性质，如表4所示，在这项模拟研究中，我们考虑的蒙特卡罗复制比我们在上述两项研究中所考虑的更少；这是因为我们这里，与上述相反，α没有空值–因此我们需要使用估计值，^α*, 当通过蒙特卡罗模拟计算渐近方差时（参见附录B），而我们在其他两项研究中可以在计算估计量的渐近方差时使用空值。结果是，在最近的研究中，我们进行了Mont e Carlo模拟（给出估计值α的渐近方差*) 在蒙特卡罗模拟中（对高智商者的经验拒绝率），使得蒙特卡罗复制次数的计算负担迅速增加。因此，我们在第三项研究中为这个数字选择了一个较低的值。实际上，对于给定的时间序列，只需进行一次蒙特卡罗研究（近似于给定估计值α的渐近方差*) 这是相当快的–hencein实践中，测试仍然可以在高精度下进行，即。

在估计渐近方差时使用了许多蒙特卡罗复制。表2：使用推论3.1进行假设检验面板A：Sizenα=-0.40α=-0.20α=0α=0.20p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=210 0.0611 0.0929 0.0453 0.0746 0.0561 0.0865 0.0920 0.138520 0.0515 0.0655 0.0469 0.0690 0.0575 0.0807 0.0681 0.086140 0.0506 0.0514 0.0485 0.0601 0.0553 0.0671 0.0580 0.066180 0.0525 0.0554 0.0491 0.0565 0.0507 0.0610 0.0500 0.0569160 0.0527 0.0564 0.0540 0.0475 0.0520 0.0522 0.0492 0.0498320 0.0505 0.0500 0.0486 0.0539 0.05460.0539 0.0462 0.051810000 0.0460 0.0537 0.0485 0.0464 0.0508 0.0528 0.0511 0.0495面板B：本地功率α=-0.40α=-0.20α=0α=0.20p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=210 0.1505 0.2837 0.2346 0.3670 0.3947 0.5143 0.8135 0.955120 0.2311 0.3186 0.2515 0.3510 0.2740 0.3865 0.5465 0.705040 0.2692 0.3299 0.2591 0.3322 0.2608 0.3355 0.3336 0.424580 0.3171 0.3715 0.2691 0.329 73 0.2703 0.3439 0.2463 0.3365160 0.3452 0.3999 0.2744 0.3217 0.2750 0 0.3252 0.2285 0.2711320 0.3693 0.4151 0.2793 0.3312 0.26810.3157 0.2048 0.244210000 0.4225 0.4701 0.2958 0.3322 0.2727 0.3132 0.2098 0.2292面板A：试验的经验拒收率（4.1）。B组：试验的经验拒收率（4.2）。名义显著性水平为0.05；表中的数字是10000次蒙特卡罗复制的平均拒绝率；我们使用B=10000个蒙特卡罗重复来估计零位下估计量的方差，详见附录B。第3节。2和5.2为例。5实证实验5。1湍流速度数据的应用我们首先说明了上述方法在湍流速度流研究中的应用。

更准确地说，我们有一个一维时间序列，用于测量大气边界层湍流速度场的纵向分量，测量距离地面35米。该系列由2000万个等距观测组成，观测时间为4000秒，即每秒5000次测量（换言之，采样频率为5 kHz）。Corcuera et al.（2013）、Barndorff-Nielsen et al.（2014）、Bennedsen et al.（2016）等对同一时间序列进行了研究，我们参考Dhruva（2000）以获取有关数据集本身的更多信息。我们首先定义长时间序列的平均值，并将其标准化为单位方差。然后，我们以5 Hz的频率对数据进行采样，即。

每秒5次观察；这种频率正好处于所谓的惯性范围内，著名的科尔莫戈罗夫5/3定律（1941a，b）指出，在本文中，时间序列的基本过程应该具有分形指数α=-1/6（Corcuera等人，表3：使用定理3.2进行假设检验面板A：Sizenα=-0.40α=-0.20α=0α=0.20p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2100 0.1036 0.1205 0.0920 0.1135 0.0736 0.1130 0 0.0973 0.1314200 0.1064 0.1057 0.0633 0.0814 0.0561 0.0846 0.0524 0.0916400 0.0786 0.0767 0.0553 0.0614 0.0572 0.0592 0.0419 0.0677800 0.0639 0.0597 0.0530 0.0555 0.0523 0.0580 0.0395 0.05101600 0.0545 0.0544 0.0493 0.0507 0.0513 0.0529 0.0446 0.050632000.0520 0.0510 0.0506 0.05420.0506 0.0527 0.0438 0.0459面板B：本地功率α=-0.40α=-0.20α=0α=0.20p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2100 0.2603 0.3378 0.2654 0.3605 0.4470 0.5050 0.8789 0.9561200 0.3425 0.4011 0.3218 0.4188 0.3320 0.4725 0.8882 0.9182400 0.4386 0.4750 0.4384 0.5111 0.3797 0.5417 0.7588 0.8041800 0.5338 0.5894 0.5788 0.6576 0.5420 0.6543 0.5491 0.72141600 0.6758 0.7116 0.7238 0.7766 0.7274 0.8082 0.5075 0.73413200 0.8080 0.8348 0.8713 0.89720.8757 0.9240 0.5686 0.8078面板A：试验的经验拒收率（4.1）。B组：试验的经验拒收率（4.3）。

名义显著性水平为0.05；表中的数字是10000次蒙特卡罗复制的平均拒绝率；我们使用B=10000个蒙特卡罗重复来估计空值下估计量的方差，详见附录B。表4：使用推论3.2面板A的假设检验：Sizenα=-0.40α=-0.20α=0α=0.20p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2100 0.0580 0.0500 0.0300 0.0330 0.0600 0.0390 0.0910 0.0580200 0.0450 0.0380 0.0220 0.0230 0.0430 0.0260 0.1020 0.0790400 0.0420 0.0480 0.0230 0.0210 0.0580 0.0610 0.0850 0.0690800 0.0330 0.0310 0.0340 0.0530 0.0490 0.0700 0.04901600 0.0390 0.0410 0.0380 0.0560 0.0550 0.0470 0.0600 0.0450面板B：功率α=-0.40α=-0.20α=0α=0.20p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2 p=1 p=2100 0.0750 0.0670 0.0700 0.0840 0.2810 0.2780 0.5450 0.5650200 0.0680 0.0620 0.1300 0.1390 0.5560 0.5760 0.7800 0.8050400 0.0650 0.0700 0 0.2980 0.3300 0 0 0 0 0.8410 0.8660 0.8680 0.8780800 0.0730 0.0680 0.6090 0.6250 0 0.9420 0.9700 0.8210 0.83801600 0.0830 0.1040 0.8830 0.9070 0.9730 0.9780 0.6370 0.7200面板A：经验拒收率当σu=0时，即当其为真时，进行试验（3.14）。B组：当σu=0.05时，即当其为假和为真时，试验的经验不合格率（3.14）。名义显著水平为0.05；表中的数字是1000次蒙特卡罗复制的平均拒绝率；我们使用B=2000个蒙特卡罗重复来估计估计量的方差，使用^α*作为计算中使用的分形指数的估计值，参见附录B.2013第5节）。图5的左图包含以5 Hz采样的标准化数据序列。右侧的p图给出了p的回归（3.2）示例∈ {1，2，3}。