高斯分形指数的半参数推断

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英文标题：
《Semiparametric inference on the fractal index of Gaussian and
  conditionally Gaussian time series data》
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作者：
Mikkel Bennedsen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study a well-known estimator of the fractal index of a stochastic process. Our framework is very general and encompasses many models of interest; we show how to extend the theory of the estimator to a large class of non-Gaussian processes. Particular focus is on clarity and ease of implementation of the estimator and the associated asymptotic results, making it easy for practitioners to apply the methods. We additionally show how measurement noise in the observations will bias the estimator, potentially resulting in the practitioner erroneously finding evidence of fractal characteristics in a time series. We propose a new estimator which is robust to such noise and construct a formal hypothesis test for the presence of noise in the observations. Finally, the methods are illustrated on two empirical data sets; one of turbulent velocity flows and one of financial prices.
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中文摘要：
我们研究了一个著名的随机过程分形指数的估计。我们的框架非常通用，包含许多感兴趣的模型；我们展示了如何将估计量理论推广到一大类非高斯过程。特别关注估值器和相关渐近结果的清晰性和易实现性，使从业者能够轻松应用这些方法。此外，我们还展示了观测值中的测量噪声如何使估计器产生偏差，从而可能导致从业者错误地发现时间序列中分形特征的证据。我们提出了一种对这种噪声具有鲁棒性的新估计量，并对观测值中是否存在噪声进行了形式化假设检验。最后，在两个实证数据集上对这些方法进行了说明；一个是动荡的速度流，另一个是金融价格。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Semiparametric_inference_on_the_fractal_index_of_Gaussian_and_conditionally_Gaus.pdf (901.61 KB)

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关键词：半参数 Practitioner observations Quantitative Econophysics

高斯和条件高斯时间序列分形指数的半参数估计与推断*Mikkel Bennedsen+2018年3月12日摘要我们研究了随机过程分形指数的一个著名估计量。我们的框架非常通用，包含许多感兴趣的模型；我们展示了如何将估计量的理论推广到一大类非高斯过程。特别关注估值器和相关渐近结果的清晰性和易实现性，使从业者易于应用这些方法。此外，我们还研究了观测中的测量噪声如何使估计器产生偏差，从而可能导致在时间序列中发现分形特征的错误。我们提出了一种新的估计器，该估计器对此类噪声具有鲁棒性，并构建了观测中存在噪声的正式假设检验。最后，在两个实例数据集上对这些方法进行了说明；一种是动荡的速度流，另一种是金融价格。关键词：指数分形；粗糙度；估算；推论分数布朗运动；随机波动率。JEL分类：C12、C22、C51、G12MSC 2010分类：60G10、60G15、60G17、60G22、62M07、62M09、65C051引入类分形模型广泛应用于表面粗糙度/粗糙度表征（Constantine and Hall，1994），湍流研究（Corcuera et al.，2013），以及其他许多（例如，Burrou gh，1981；Mandelbrot，1982；Falconer，1990）。最近，这些模型作为随机波动率模型在数学金融领域引起了人们的关注（如Gatheral等人，2018；Bayer等人，2016；Bennedsen等人，2017a，b；Jacquier等人，2017）。在里面*作者要感谢Asger Lunde教授和Mikko S博士。

Pakkanen对分形过程进行了深入的讨论。该研究得到了CREATES（DNRF78）的支持，由丹麦国家研究基金会资助。+丹麦奥胡斯大学经济与商业经济与创新系，Fuglesangs All\'e 4，8210Arhus V。电子邮件：mbennedsen@econ.au.dksuch在应用中，必须能够估计和推断这些模型中的关键参数，即分形指数。该参数存在许多估计器（调查见Gneiting et al.，2012）；然而，各种估计量背后的基本假设及其渐近性质往往不同，很少以清晰简洁的方式陈述。这些事实可能使从业者和研究人员难以进行分析。本文旨在使实证分析在应用中更容易，例如上述的应用。我们清楚地展示了一个大型且连贯的fr-amework，包括有效的基础假设，用于分析具有潜在分形特征的时间序列数据。我们专注于aspeci fic估计器，这可以说是实践中使用最广泛的估计器，在我们的经验中也是最准确的估计器。此外，该估计器易于实现——它依赖于一个简单的OLS回归——并且其渐近性质易于应用。我们希望这将为使用合理的统计方法分析分形数据提供一个透明的指导。这篇论文的主要贡献是阐述了估计量的理论，并提供了它的理论依据，以一种使结果的应用变得简单明了的方式陈述了结果。为此，我们严重依赖于早期关于分形过程增量的理论工作，最著名的是Barndorff-Nielsen et al.（2009）和Barndorff-Nielsen et al.（2009）。

（2011年）。我们进一步从数值上研究了估计量，以衡量其在应用于数据时的性质，从而提出了一些实用的实施建议。最重要的是，我们建议为估计器选择不同的带宽参数，而不是文献中普遍接受的做法，参见第3节。1、Gneiting et al.（2012）第3.1节对分形指数各种估计量的渐近理论进行了调查。，报告称“仍然缺乏一般的非高斯理论”。本文的第二个贡献是将估计理论扩展到高斯范式之外。我们通过v OLAVILITY调制来实现这一点，这是一种将该理论扩展到一大类非高斯过程的方便方法。如图所示，这导致了条件高斯过程，而分形理论仍然适用于此。我们再次明确提出了相关假设，并将重点放在结果的解释和方法的实施上。本文的最终贡献是对数据被噪声（如测量噪声）污染的情况进行了深入研究。我们证明，噪声会使分形指数的估计值向下偏移，从而使受噪声污染的数据看起来比底层过程实际更粗糙。我们提出了一种新的方法来构造对观测值中的噪声具有鲁棒性的估计器。新的估计量还依赖于OLS回归，并且很容易作为本文第一部分研究的标准（非稳健）估计量实现。我们提出了稳健估计的渐近理论，并提出了一个假设检验，该检验可用于正式检验观测值中是否存在噪声。本文其余部分的结构如下所示。

第2节介绍了数学设置和假设，并给出了我们所想到的这类过程的一些例子。然后，本节继续考虑对b asic设置的一些扩展，最显著的是对非高斯进程的扩展。第三节介绍了分形指数的半参数估计及其渐近性质。然后，在第3节中。2，我们考虑了观测值被噪声污染的情况，并给出了这种情况下新估计量的渐近理论；第3.2.1节给出了噪声存在的正式测试。第4节包含小型模拟研究，说明了本文给出的渐近结果的有限样本性质。最后，第5节包含了两个方法示例：第一个使用湍流速度场纵向分量的测量，第二个使用金融价格的时间序列。第6节总结并给出了未来研究的方向。附录中给出了技术结果的证明和一些数学推导。2 SetupLet(Ohm, F、 P）是一个满足通常假设并支持X的概率空间，X是一个具有平稳增量的一维零均值随机过程。定义X：γp（h；X）：=E[| Xt+h的p\'阶变量ram- Xt | p]，h∈ R、 由于我们打算利用巴恩多夫-尼尔森等人（2009、2011）提出的理论，我们采用了这些论文的假设。这些假设是分形过程文献中的标准假设，如下所示。（A1）对于某些α∈-,,γ（x；x）=x2α+1L（x），x∈ （0，∞), （2.1）式中，L：（0，∞) → [0，∞) 是连续可微的，并且在x=0的高度范围内远离零。

假设函数L在limx意义下在零处缓慢变化→0L（tx）L（x）=1表示所有t>0。（A2）ddxγ（x；x）=x2α-1L（x）对于一些缓变（零）函数L，它是连续的（0，∞).（A3）存在b∈ （0，1）带LIM supx→0supy∈[x，xb]L（y）L（x）< ∞.（A4）存在一个常数C>0，使得L的驱动L′满足| L′（x）|≤ C1+x-δ, 十、∈ （0，1），对于某些δ∈ （0，1/2）。根据Bennedsen et al.（2016），在α=0的情况下，该假设由以下内容代替：（A2’）ddxγ（x；x）=f（x）L（x），其中Lis如（A2）所示，函数f是| f（x）|≤ Cx公司-对于某些常数C>0和β>1/2。表1：高斯分形过程的参数示例类自相关函数缓变函数参数FBM- L（x）=βα∈ (-1/2，1/2）材料ρ（x）=-α+1/2Γ（α+1/2）|βx |α+1/2Kα+1/2（|βx |）L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））α∈ (-1/2，1/2）A功率试验ρ（x）=试验-|βx | 2α+1L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））α∈ (-1/2，1/2）bCauchyρ（x）=1+|βx | 2α+1-τ2α+1L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））α∈ (-1/2，1/2）b，τ>0Dagumρ（x）=1-|βx | 2τ+11+|βx | 2τ+12α+12τ+1L（x）=2x-2α-1（1- ρ（x））τ∈ (-1/2，1/2）c，α∈ (-1/2，τ）高斯分形过程的参数示例。“fBm”是分数布朗运动；“动力试验”是动力试验过程。β>0是尺度参数，α是分形指数。最右边一栏中给出的参数范围的全过程假设（A1）–（A3）；字母上标表示（A4）下的参数范围是否不同。a： （A4）对α有效∈ (-1/2、1/4）。b： （A4）对α有效∈ (-1/4、1/2）。c： （A4）对τ有效∈ [-1/4、1/2）。重新标记2.1。技术假设（A3）可以用较弱的假设代替γ（（j+1）/n；X）- 2γ（j/n；X）+γ（（j- 1） /n；十） 2γ（1/n；X）≤ r（j），nnXj=1r（j）→ 0，n→ ∞,对于某些序列r（j）。重新标记2.2。

技术假设（A4）仅用于α和n ot的估计量的渐近正态性，以获得一致性。参数α∈ (-1/2，1/2）被称为分形指数，因为在温和的假设下，它与分形维数D有关=- 过程X的样本路径的α（Falconer，1990；Gneiting等人，2012）。它也被称为X的粗糙度指数，因为α的值反映了X的路径特性，如下结果形式化。提案2.1。设X为平稳增量满足（A1）且分形指数α的高斯过程∈ (-1/2，1/2）。然后，存在一个X的修正，对于所有φ，该修正具有φ阶局部H¨oldercontinuous轨迹∈0，α+.命题2。1表明α控制X的（H¨older）连续度。尤其是，α的负值对应于具有粗糙路径的X，而α的正值对应于光滑路径。众所周知，布朗运动的α=0。在表1中，我们给出了一些我们想要的过程类型的参数化示例，并对它们如何融入到本文的设置中进行了评论；示例摘自Ingneting等人（2012）的表1。为了直观地了解分形过程的轨迹，尤其是α值如何反映路径粗糙度，图1绘制了三条模拟的Mat'ern过程轨迹。很明显，α的负值对应于非常粗糙的路径，而路径随着α的增加变得更加平滑。表1中的过程都是高斯过程。然而，在许多应用中，最好采用分形和非高斯的粗糙过程（Gneiting et al.，2012，第3.1节）。

在下一节中，我们建议对上述设置进行扩展，通过考虑挥发性调制的过程，显式地产生具有分形特性的非高斯过程。0 0.5 1-3.-2.-10123Xtα=- 0.450 0.5 1-3.-2.-10123α=- 0.150 0.5 1-3.-2.-10123α=0.15图1：单位方差Mat'ern过程的模拟，参见表1，β=1，α表示p批次，n=500个单位间隔观察值。所有三个实例都使用相同的随机数。2.1对随机波动过程的扩展引入非高斯过程的一种灵活方法，即通过波动性调制，引入实际指数理论持续适用的过程的非高斯性。继Barndor Off-Nielsen等人（2009）之后，考虑formXt=X+ZtσSDG，t≥ 0，（2.2），其中X∈ R、 σ=（σt）t≥0是一个随机波动过程，G=（Gt）t≥0是一个零均值高斯过程，其平稳增量满足（A1）–（A4），例如表1中的一个过程。随机波动过程对G增量的调制是引入非高斯性的一种方便方法。要看到这一点，请注意，Xt的边际分布，即随机波动率过程过去的条件和起始值X，isXt |（σs，s∈ [0，t]；X）~ N十、 Ztσxdx, T≥ 换句话说，XT的边际分布是正态均值-方差混合分布，其中随机过程σ和初值X的分布决定了混合。为了很好地定义（2.2）中的积分（在路径Riemann-Stieltjes意义上），我们要求σ对于某些q<1/2的情况具有有限的q变化-α。直觉上，这意味着“更粗糙”的G可以是“更粗糙”的σ。在G和dσ的这些条件下，（2.2）中的过程X willinherit描述了驱动过程G的分形性质，如Barndorff-Nielsen等人所示。

（2009年）。为了使下面发展的中心极限定理成立，我们还需要另一个关于σ的假设。（SV）对于任何q>0，它认为e[|σt-σs | q]≤ Cq | t- s |ξq，t，s∈ R、 对于某些ξ>0和Cq>0。正如Benn edsen等人（2017a）所指出的，对于aq<1/2，σ具有有限的q变化的要求-α可能具有相当大的限制性。例如，如果α<0（即G是粗糙的），则σ不能由标准布朗运动驱动。布朗半平稳过程是一个非常方便的过程，它没有这些限制，也非常容易处理，我们接下来考虑它。2.1.1布朗半平稳过程考虑X，（波动性调制）布朗半平稳（BSS）过程（Barndorff-Nielsen和Schmiegel，2007，2009），定义为asXt=Zt-∞g（t- s） σsdWs，t≥ 0，（2.3）其中W是R上的布朗运动，σ=（σt）t∈Ra平稳过程和g a Borel可测函数，使得Rt-∞g（t-s） σsds<∞ a、 参见Bennedsen et al.（2017a），了解BSS过程的更多细节。BSS过程也是正态均值-方差混合：Xt |（σs，s≤ t）~ N0，Z∞g（x）σt-xdx公司, T≥ 有趣的是，Barndorff-Nielsen et al.（2013）指出，对于核函数g和随机波动过程σ的特定选择，X将具有普遍存在的正态逆高斯分布的边缘分布。我们需要对核函数g施加一些技术假设。它们如下所示。（BSS）它认为（a）g（x）=xαLg（x），其中lgs在零处变化很小。（b） g′（x）=xα-1Lg′（x），其中Lg′在零处缓慢变化，对于任何>0，我们有g′∈ L（（，∞)). 此外，对于一些大于0的a，| g′在区间（a，∞).（c） 对于任何t>0，Ft：=Z∞|g′（x）|σt-xdx<∞.核函数为BSS框架提供了极大的灵活性。一种特别有用的核函数，已应用于许多研究中，例如Barndorff-Nielsen等人。

（2013）andBennedsen（2017）是所谓的gamma核。示例2.1（Γ-BSS过程）。设g为gamma核，即g（x）=xαe-α的λxf∈ (-1/2、1/2）和λ>0。结果进程xt=Zt-∞（t- s） αe-λ（t-s） σsdWs，t≥ 0，称为（波动率调制）Γ-BSS过程。不难看出，这一过程完全是消耗（A1）–（A4）和（BSS），参见示例2.3。Bennedsen等人（2017b）。继Bennedsen等人（2016年）之后，在α=0的情况下，采用了另一种假设：（BSSb’’g′（x）=Lg′（x），其中Lg′与（BSSb）中的一样。重新标记2.3。Bennedsen等人（2017b）表明，满足（A1）–（A3）、（SV）和（BSS）的BSS过程将具有与高斯过程相同的分形和连续性：因为这样的BSS过程命题2.1仍然成立。换言之，对于所有φ，X将修改为φ阶的H¨older连续轨迹∈ （0，α+1/2）。2.2非平稳增量过程的扩展当X的增量为非平稳时，可采用类似于on e inBennedsen et al.（2017b）的方法，如下所示。定义时间相关变差函数γ（h，t）：=e[| Xt+h- Xt |]，h，t∈ R、 与（2.1）类似，假设γ（h，t）=C2，t | h | 2α+1L（h），t>0，h∈ R、 （2.4）其中C2，t>0，α∈-,, L是一个缓慢变化的函数。本文所考虑的方法也适用于此类过程。一个例子是连续布朗半平稳过程。示例2.2（截断BSS过程，Bennedsen et al.（2017b））。LetXt=X+Ztg（t- s） σsdWs，t≥ 0，其中X∈ R、 W是布朗运动，σ是随机波动过程。Bennedsen等人（2017b）将这种过程称为截断BSS（T BSS）过程。当X满足（A1）–（A3）和（BSS）时，Bennedsen等人（2017b）表明α确实是X的分形指数，在γ（h，t）满足的意义上（2.4）。