高斯分形指数的半参数推断

在该图中，交叉是对数γp（k/n；X）作为对数（k/n）的函数，而直线是相关的OLS回归曲线，其带宽为m=5。三条直线的估计斜率分别为^aOLS=0.3361、0.6713和1.0044，通过（3.4），得出以下分形指数估计值，^α=-0.1643（0.0050），-0.1638（0.0047），以及-0.1630（0.0049），其中parenth eses中的数字表示估计值的标准偏差，参见定理3。1、像EW ise一样，利用推论3.1，我们通过空hyp-othesisH检验Kolmogorov的预测：α=-1/6反对备选方案H：α6=-1/6，标称水平为5%。这种情况下的推论产生的P值分别为63.38%、54.52%和45.54%。换句话说，我们不能拒绝α=-在这个数据集中，1/6的湍流速度在这个采样频率下流动。5.2金融价格数据的应用经常使用的高频率金融对数价格模型是zj/n=Xj/n+uj，j=1，n、 （5.1）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1时间-1-0.50.51.5速度（m/s）-10-9-8-7-6-5log（k/n）-10-8-6-4-2log^γp（k；X，n）p=3p=2p=1图5：如文中所述，在5 Hz下采样的标准化数据的时间曲线图。右图：带宽m=5的p=1、2、3的OLS回归（3.2）示例。其中，u={uj}nj=1是市场微观结构噪声过程（O\'Hara，1995），X是随机波动过程，例如，Xt=X+ZtσsdGst≥ 众所周知，对于市场中没有套利的情况，要求X是一个半鞅（Delbaen和Schachermayer，1994），在温和的假设下，它等于G，因此X，hα=0。

换言之，由于我们预计市场不会出现混乱，我们预计X的分形指数α=0。为了验证这一点，我们研究了金融期货价格对数的长期序列，假设它们来自模型（5.1）。具体而言，从2005年1月3日至2014年12月31日，我们在CME Globex电子交易平台上交易的E-mini S&P 500期货合约的前一个月记录了每秒的数据。我们不包括周末和节假日，只保留完整的交易日，即2495天。对于这些天，我们进一步将注意力限制在一天中最活跃的时段，即纽约证券交易所（NYSE）开放的时间，即东部标准时间（EST）上午9:30至下午4:00。这将导致每天23 400秒（6.5小时）。我们每天使用两个估计器（3.4）和（3.13）估计α；结果N=2 495个α估计值，每个计算值N=23 400个观察值。如前所述，由于我们认为市场没有仲裁机会，我们预计会发现α≈ 财务价格为0；然而，当我们使用标准OLS估计器（3.4）从数据中估计α时，我们通常会发现非常负值；事实上，N=2 495天内α的平均估计值为- 0.20。同样，当我们使用定理3.1以名义5%的水平测试nu ll hyp othesisH：α=0与备选方案H：α6=0，（5.2）时，我们拒绝了Hon 98.92%的天数。换句话说，乍一看，高频率原木价格似乎非常粗糙。

当然，这一发现可能仅仅是噪声序列u的伪影，我们预计在高频股价中会出现噪声序列u；因此，我们还应用了稳健估计量（3.13）。0 100 200 300 400 500κ0.20.40.6RMSEOLSRobust0 500 1000 1500 2000 2500Days-0.4-0.20.2^α图6：左：作为κ函数的标准OLSestimator（3.4）、蓝线和稳健估计量（3.13）、红线和十字的均方根误差（RMSE）模拟研究；正文中给出了研究的细节。右图：标准OLSestimator（3.4）中的α估计值，蓝色圆点，以及κ=60的稳健估计值（3.13），红色交叉。两个图中的带宽均为m=5。稳健估计器需要选择调整参数κ，如第3.2节所述，我们进行了模拟实验，以确定该参数的合理值。我们将我们的实验设置为真实的，这样我们就可以期望我们发现的κ的最佳值也是一个很好的值，可以用于实际数据。因此，我们模拟了B=5000个fBm实例（“天”），n=23400个观察（“秒”）；对于这些FBM，我们将α设置为0，因为我们希望这是基础流程的真实值。（当α=0时，fBm是标准的眉毛运动。）对于每个模拟的f Bm，我们添加了一个σu=0.01的高斯噪声iid序列；σuwaschosen的该值是微观结构噪声方差的合理值（Hansen和Lunde，2006）。然后，我们应用（3.13）并计算各种κ值的RMSE≥ 结果显示在图6的左图中，我们看到κ的RMSE最小≈ 然后，我们继续将这两个估计值应用于上述经验数据；结果如图6的右图所示。如前所述，非稳健OLS估计器（蓝点）通常是非常负的（所有天的平均值为-0.20）。

相反，κ=60（红色交叉）的稳健估计值似乎更接近于零的预期值（所有天的平均值为-0.0448）。我们还将推论3.2应用于数据，以检验观察值中非噪声的零假设（3.14）。当每天以5%的水平执行此测试时，我们拒绝99上的空值。72%的天数。换句话说，正态检验为观察结果中存在市场微观结构噪音提供了非常有力的证据。6结论和开放性问题在这篇论文中，我们为分析具有fr特征的数据制定了一个大而连贯的框架。我们关注的是分形指数的一个特定估计量，但这些方法的结果对σu的变化具有稳健性，对于σu的所有实际值，使RMSE最小化的κt介于25到200之间。可以更广泛地应用，尤其是其他相关估计量。例如，在计算变异函数时，使用高阶差异（而不是我们在这里使用的一阶差异）的范围是直接的。我们知道如何将该理论推广到一大类非高斯过程。对于高斯过程和非高斯过程，估计量的一致性结果是相同的，而在非高斯过程中，中心极限定理要求有一个外因子。当不存在随机波动性时，该修正f因子的估计量——cSpin推论3.1——与症状无关。因此，我们建议在应用分形指数估计量的中心极限定理时，始终包含此因素，无论是否相信基础数据是高斯的。最后，我们在观察中看到了噪音，例如。

测量噪声会使分形指数的估计值向下偏移。重要的是，实践者在研究可能很粗糙的数据时要认识到这种可能的偏差；我们提出了一种对此类噪声具有鲁棒性的估计器，并且可以应用于预期数据会受到如此污染的情况。让我们简要评论一下进一步研究的几个可能方向。OLS估计器依赖于带宽参数m；inDavies和Hall（1999）作者通过模拟发现，这方面的最佳值为m=2。然而，如上所述，当我们研究估计器的有限样本特性时，情况并非如此。实际上，对于粗糙过程，带宽的中间值，例如m＝5，是优选的。如何选择最佳的有限样本是一个开放而有趣的问题。同样，要使用的功率参数p>0的值是一个开放的问题；Gneiting等人（2012年）建议p=1，因为他们发现这使得估计对异常值或非高斯性更为稳健。然而，在上述情况下，我们提出了一个估计量，该估计量通过构造对此类异常具有鲁棒性，尤其是当p=2时。与p=1的标准估计量相比，深入研究robu st估计量的性质将是有价值的。最后，我们还发现鲁棒估计器依赖于调节参数κ；找到一种数据驱动的方法来选择此参数将非常有用。总的来说，“稳健估计”的问题很有趣，对这一领域进行更多的理论和应用研究将是有价值的。命题2.1的证明。首先注意，sin ce X是高斯分布，假设（A1）意味着≥ 1，E[| Xt- Xs | 2n]=C2n | t- s |（2α+1）nL（t- s）2n、t、s∈ R、 其中x 7→ L（x）在零处缓慢变化。现在让我们K （0，∞) 是一个紧集，并考虑∈ K

根据慢变函数的性质（Bingham et al.，1989，定理1.5.6（ii）），对于所有大于0的函数，我们可以找到一个大于0的函数- Xs | 2n]≤C1，n | t- s | 1+（2α+1）n-1.-2n，t- s∈ （0，a），对于常数C1，n>0。相反，由于L在（0，∞), 我们还有That[| Xt- Xs | 2n]≤C2，n | t- s | 1+（2α+1）n-1，t- s>a，对于常数C2，n>0。把这两个观察结果放在一起，我们发现存在一个常数C3，n>0，因此对于所有大于0的情况，我们都有[Xt- Xs | 2n]≤C3，n | t- s | 1+（2α+1）n-1.-2n，t，s∈ K、 利用这一点，我们推断，对于n足够大的情况，Kolmogorov的连续性准则表明，x有一个修正，对于所有φ，它是φ阶的低H¨older连续∈0，（2α+1）n-1.-2n2n=0，α+1/2-2n个- . 出租n↑ ∞, ↓ 0，得出命题3.1的预期结果证明。首先请注意，我们可以编写^α- α=pxTmxmxTm（Um+m），（A.1），其中Um：=U1/n，U2/n，嗯/否T型=日志γp（1/n；X）γp（1/n；X）, 日志γp（2/n；X）γp（2/n；X）, . . . , 日志γp（m/n；X）γp（m/n；X）T、 和m：=1/n，2/n，m/nT=（对数Lp（1/n），对数Lp（2/n），记录Lp（m/n））T，以查看术语xTmmvanishes为n→ ∞, 请注意，mXk=1xm，k=mXk=1日志k-日志m= 0（A.2），因此x mm=mXk=1xm，klog Lp（k/n）=mXk=1xm，klogLp（k/n）Lp（1/n）→ 0，n→ 0，自limn起→∞Lp（k/n）Lp（1/n）=1，由缓变函数的性质决定。现在，所需的结果如下所示：^γp（k/n；X）γp（k/n；X）=^γp（k/n；X）mpγ（k/n；X）p/2P→ 1，n→ ∞ , K≥ 1，由InBarndorff-Nielsen等人（2009）根据（LLNa）持有；根据定理2，inBarndor Off-Nielsen等人（2009年）根据（LLNb）；根据定理3.1。在Corcuera等人（2013）的（LLNc）中。定理3.1的证明。首先考虑X满足假设（CLTa）的情况。使用Barndor Off-Nielsen等人的定理2。

（2011）和方程（3.7）中的极限，本文得出√Nγp（1/n；X）γp（1/n；X）- 1.γp（m/n；X）γp（m/n；X）- 1.D→ N（0，∧p），N→ ∞, （A.3）其中∧p={λk，vp}mk，v=1是一个m×m矩阵，其条目为λk，vp=limn→∞n·Cov公司γp（k/n；BH）γp（k/n；BH），γp（v/n；BH）γp（v/n；BH）, k、 v=1，2，m、 （A.4），其中γp（·；BH）表示分数布朗运动的p阶变差函数，Hur stindex H=α+1/2，与^γp类似。请注意，（A.4）中的极限存在于k，v=1，2。m、 Breuer和Major（1983），定理1，另见Corcuera等人（2013），备注3.3。如下所示，假设（A4）意味着√nxTmm→ 0，n→ ∞, （A.5）这意味着从（A.1）中，我们使用（A.3）和delta方法，√n（α）- α） d→ N0，xTm∧pxm（xTmxm）p, N→ ∞,这就是我们想要展示的。为了证明（A.5）成立，使用l\'H^opital规则和缓慢变化函数的性质，得出结论→∞√n日志Lp（k/n）Lp（1/n）= 画→∞2n个-1/2L′p（k/n）Lp（k/n）k-L′p（1/n）Lp（1/n）= 0，按假设（A4）。这就得出了证明wh en X是高斯分布的结论。相反，假设假设（CLTc）成立（情况（CLTb）类似）。我们对上述内容进行了分析：根据Barndorff-Nielsen等人（2011）的定理4，也可参见定理3.2。安德烈马克3.4。根据C orcuera et al.（2013），我们得到√Nγp（1/n；X）γp（1/n；X）- 1.γp（m/n；X）γp（m/n；X）- 1.st公司→Zσps∧pdBs，其中B是m维布朗运动，定义在原始概率空间的扩展上(Ohm, F、 P），与F无关。矩阵∧pis与上述矩阵相同。我们照旧进行。特别是调用我们得到的delta方法√n（α）- α） st公司→xTm∧pxTmxmpRσpsdBsRtσpsds，或在其他工作中（有条件地在（σt）t上∈R） ，则，√n（α）- α） st公司→ Zp·Sp，Sp：=qRσ2psdsRσpsds，其中zpi如定理3所示。这是证明的结论。命题3.2的证明。

（i） 注意，我们可以wr itecSp=qm-12p^γp（1/n；X）/γ（1/n；X）pm-γp（1/n；X）/γ（1/n；X）p/2。现在的结果来自于Barndorff-Nielsen等人（2009年）的命题1。（ii）该部分源自定理3.1。Corcuera等人（2013年）。命题3.3的证明。这很容易从以下事实得出：当σu>0时，它适用于任何k≥ 1^γp（k/n；Z）p→ γp（0；Z）=Cpσpu>0，n→ ∞,因此，^aOLS=xTmxmxTm^γmpP→ 0，n→ ∞,根据（A.2）。A、 1与噪声鲁棒估计有关的证明大多数与噪声鲁棒估计有关的证明^α*类似于上述标准估计量α的证明。实际上，函数fp（h；Z，κ）的行为与h的γ（h；X）相同≈ 0-参考方程式（3.1）和（3.11）。结果是，大多数理论都会像上面的证明那样通过。下面的引理正式提供了细节。引理A.1。假设过程X的变差函数γ满足假设（A1）–（A4）。固定κ>1，并用l定义函数f，如（3.11）所示*（x；κ）：=κ2α+1L（xκ）- L（x），x>0。然后用L满足假设（A1）–（A4）*作为缓慢变化的函数。LemmaA证明。（A1）和（A4）满足是微不足道的。为了证明（A2）成立，请注意f（x；x，κ）=x2α+1L*（x；κ）=γ（xκ）- γ（x），x>0，因此xf（x；x，κ）=x2α-1升*（2） （x；κ），其中*（2） （x；κ）：=κ2α+1L（xκ）- L（x）在零处缓慢变化，在（0，∞), 因为这些性质的联系适用于Lby假设。使用此函数L*（2） ，这也是（A3）成立的情况。要查看此内容，请编写L*（2） （y；κ）L*（x；κ）≤κ2α+1L（yκ）L（κx）κ2α+1- L（x）/L（κx）+L（y）L（x）κ2α+1L（κx）/L（x）- 1.=κ2α+1L（yκ）L（y）L（x）L（κx）κ2α+1- L（x）/L（κx）+κ2α+1L（κx）/L（x）- 1.L（y）L（x）。假设L和Lare都在零处缓慢变化并服从（A3），结果如下。命题3.4的证明。

给出引理A.1，证明类似于命题3.1；weskip的细节。定理3.2的证明。（i） 给定引理A.1，p屋顶类似于定理3.1中的屋顶；weskip的细节。渐近方差可以使用delta方法计算——我们在附录C中给出了表达式。（ii）为了便于记法，我们证明了p=2。一般p>0的情况遵循（条件）高斯性。写出^f（k/n；Z，κ）=^f（k/n；X，κ）+^f（k/n；u，κ）+2^f1,1（k/n；X，u，κ），其中^f1,1（k/n；X，u，κ）：=^γ1,1（κk/n；X，u）- ^γ1,1（k/n；X，u），其中^γ1,1（k/n；X，u）：=n- 千牛-kXi=1Xi+kn- Xin公司用户界面+k- 用户界面.我们研究了^f（k/n；Z，κ）f（k/n；X；κ）=^f（k/n；X，κ）f（k/n；X；κ）+^f（k/n；u，κ）f（k/n；X；κ）+^f1,1（k/n；X，u，κ）f（k/n；X；κ）的渐近行为。从（i）中，我们知道，这些术语中的第一个符合CLT，其比率为√n、 此外，很明显，^f（k/n；u，κ）也有相同的作用，因此，第二项将发散，因为分母f（k/n；X；κ）→ 0作为n→ 结果遵循定理3.3的s.证明。（i） 首先请注意，我们可以编写^α*- ^α=2xTmxmxTmlog^fmp-pxTmxmxTmlog^γmp=2xTmxmxTmlog^fmp（^γp）2/p！，（A.6）其中^γmpand^fmpdenotes m×1向量，如正文中所述。我们看到（A.6）采用了上述OLS估计量研究的形式。给定引理A.1，本定理的证明类似于定理3.1的证明；我们跳过了细节。

渐近方差可以使用delta方法计算–我们在附录C中给出了表达式。（ii）这是显而易见的，因为th at^α*- ^αP→ α+1/2>0，如n→ ∞,由于提议3。3和3.4。B多个观测值的OLS估计方差的蒙特卡罗近似n∈ N、 我们试图计算矩阵∧p={λk，vp}mk，v=1的中心的有限样本版本，由（3.5）驱动，即λk，vp，N：=N·Covγp（k/n；BH）γp（k/n；BH），γp（v/n；BH）γp（v/n；BH）=nγp（k/n；BH）γp（v/n；BH）·Covγp（k/n；BH），γp（v/n；BH）, k、 v=1，2，m、 首先注意，对于p>0，γp（k/n；BH）=Cp（k/n）pH，Cp=p/2√πΓp+1,剩下的就是计算协方差项。我们建议通过蒙特卡罗模拟来近似该项，如下所示。首先，选择一个大数字B∈ N个蒙特卡罗复制。然后，对于每个b=1，B： 1。用Hurst ind ex H=α+1/2.2在[0，1]上模拟fBm的n个观测值。计算k=1，…，的经验变差函数^γ（b）p（k/n；BH）的值，m使用方程式（3.3）。利用这些经验变异函数的B实例，估计相关协方差。渐近方差可以通过选择n非常大来近似。定理3中渐近方差的C表达式。2和3。3 let k*是最小的整数，使得k*· 从上面的证明中可以看出，我们对随机量γp（k/n；X）γp（k/n；X）fork函数的联合渐近分布感兴趣∈ M、 其中M：={1，2，…，M，k*κ、 （k）*+ 1） κ，mκ}。设| A |表示集合A的基数，并定义| M |×| M |矩阵∧*p={λk，v，*p} k，v∈Masλk，v，*p=limn→∞n·Cov公司γp（k/n；BH）γp（k/n；BH），γp（v/n；BH）γp（v/n；BH）, k、 五∈ M、 （C.1）其中，BH是指数H=α+1/2的fBm。