无套利XVA

默认事件过滤由H=（Ht）t给出≥0，Ht=σ（HIu，HCu；u≤ t） 。这种默认模型是二元Cox过程框架的一个特例，众所周知，（H）假设（见Elliott et al.（2000））是适用的。特别地，这意味着非布朗运动wp也是G-布朗运动。我们引入了两种风险债券，由交易员I和其交易对手C承销，并在同一时间到期，零回收。我们通过Pland PC、TraderTreasury Desk（1）（6）股票市场（2）（3）回购市场（4）（5）r表示其价格过程-R图2：现金驱动回购活动：实线为购买/销售，虚线为借贷，虚线为到期利息；蓝线是现金，红线是股票。财政部向交易员（1）借钱，后者用这笔钱从股市（3）购买股票（2）。他将股票作为抵押品（4）从回购市场借款（5），并将其用于向融资部门偿还债务（6）。因此，交易者必须按照利率r支付利息-rto回购市场。交易员和财政部之间没有利息支付，因为付款（1）和（6）相互抵消。分别地对于0≤ T≤ T，i∈ {I，C}，其价格过程的动力学由dpit=uiPitdt给出- 矿井-dHit，Pi=e-uiT，（4）回报率ui。我们不允许债券在回购市场交易。考虑到风险债券的回购协议市场往往缺乏流动性，我们的假设受到了影响。我们还参考了Blanco等人的介绍性讨论。

（2005）指出，即使债券可以在回购市场上抛售，协议的期限通常也很短。在本文中，我们使用τ：=τI∧ τC∧ T表示交易到期日T、交易员和交易对手违约时间中最早的一个。2.2套期保值专用工具该类别包括套期保值者的资金账户和抵押品账户。资金账户。我们假设交易者以可能不同的利率从财政部借贷资金。用r+F表示套期保值者向财政部贷款的利率，并用r表示-他向银行借款的利率。我们用Br±F表示与这些融资利率相对应的现金账户，其动态由DBR±ft=r±fBr±ftdt给出。设ξftt时间t时融资账户的股份数。definebrft：=Brftξf）=eRtrf（ξfs）ds，（5），其中rf：=rf（y）=r-f1l{y<0}+r+f1l{y>0}。（6） 方程式（5）-（6）表明，如果套期保值者在时间tξft的头寸为负值，则他需要为其头寸融资。他将以r利率向财政部借款-f、 同样，如果套期保值者的头寸为正，他将以r+f的利率将现金金额借给财政部。抵押品流程和抵押品账户。抵押品的作用是减轻双方的对抗性风险敞口，即如果一方违约，另一方就交易索赔产生的潜在损失。并行过程C：=（Ct；t≥ 0）是一个适应F的过程。我们使用以下符号约定。如果Ct>0，则称套期保值者为抵押品提供者。在这种情况下，缔约方衡量套期保值者的正面风险敞口，因此要求套期保值者提供抵押品，以吸收套期保值者违约时产生的潜在损失。

反之亦然，如果Ct<0，则套期保值者被称为抵押品接受者，即，他衡量对手的正面风险敞口，因此要求她提供最佳抵押品。根据ISDA（2014）报告的数据，抵押品以现金的形式入账和接收，根据该数据，现金抵押品是最常用的抵押品形式。我们用r+C表示套期保值者收到的抵押品金额的利率，如果套期保值者已经过账了抵押品，即如果套期保值者是抵押品提供者，而r-cis如果套期保值人已收到抵押品，即如果他是抵押品接受者，则套期保值人支付的利率。利率r±C通常对应于美联储基金orEONIA利率，即分别对应于美国和欧元市场现金抵押品赚取的合同利率。我们用Br±C表示与这些抵押品利率相对应的现金账户，其动力学由DBR±ct=r±cBr±ctdt给出。此外，让我们定义rct：=Brct（C）=eRtrc（Cs）ds，其中rc（x）=r+c1l{x>0}+r-c1l{x<0}。设ψctt为交易员在时间t持有的抵押品账户brct的股份数。那么它必须持有ψctBrct=-Ct。（7） 后一种关系意味着，如果交易者是t的抵押品接受者，即Ct<0，那么他已经购买了抵押品账户的股票，即ψCt>0。反之亦然，如果交易者在时间t是抵押品提供者，即Ct>0，则他已将抵押品账户的股份出售给其交易对手。在继续之前，我们在图3中设想了控制发生的整个流量的机制。根据ISDA（2014）（见其中的表3），现金占已交付抵押物总额的78%以上，这些数据在不同年份大体一致。

相反，政府证券仅占已交付抵押品总额的18%，而由风险较高资产组成的其他形式的抵押品，如市政债券、公司债券、股票或大宗商品，仅占略高于3%的一小部分。TraderTreasury Deskr+fr-fCashStock&回购市场股票-rr+rBond MarketBonds PI，PCcounterpartyCollater+cr-图3：交易：实线表示购买/销售，虚线表示借贷，虚线表示利息；蓝线是现金，红线是现金购买股票，黑线是现金购买债券。3重复索赔、平仓价值和财富过程我们采取了一位交易员的观点，他想在股票证券上复制欧洲式索赔。此类索赔由交易员通过场外交易从其交易对手处购买或出售，并受交易对手信用风险的影响。根据国际掉期和衍生品协会（ISDA）审查的市场惯例，索赔的平仓价值由估价代理决定，估价代理可能是一方或第三方。估价代理行通过使用贴现率rD计算衍生工具的布莱克-斯科尔斯价格来确定交易的损失价值。这种（公开可用的）贴现率使套期保值者能够引入一个由资产定义的估价指标Q，即在该指标下，所有证券都具有瞬时增长率rD。本节的其余部分组织如下。我们在第3.1节中给出了估价措施的详细信息。我们在第3.2节中介绍了要复制的索赔和抵押过程的估价过程。我们在第3.3节中定义了可接受策略的类别，并在第3.4.3.1节中指定了收尾程序。估值计量首先引入了违约强度模型。

在物理测度P下，交易对手的违约时间假设为具有恒定强度的独立指数分布随机变量hPi，i∈ {I，C}。然后它认为，对于每一个∈ {I，C}$I，Pt：=命中-Zt公司1.- HiuhPiduis a（G，P）-鞅。估价机构选择的与公开可用贴现率相关的估价指标Q等于P，由Radon Nikod'ym densitydQdP给出Gτ=erD-uσWPτ-（rD-u）2στuI- rDhPI公司HIτe（rD-uI+hPI）τuC- rDhPC公司HCτe（rD-uC+hPC）τ。我们还记得，uI和uC分别表示交易员和交易对手承销的债券的回报率。在Q下，风险资产的动态由dst=rDStdt+σStdWQt给出，（8）dPIt=rDPItdt- 矿井-d$I、Qt、dPCt=rDPCtdt- PCT-d$C，Qt，其中WQ：=（WQt；0≤ T≤ τ） 是（G，Q）-布朗运动和$I，Q：=（$I，Qt；0）≤ T≤ τ） 以及$C，Q：=（$C，Qt；0≤ T≤ τ） 是（G，Q）-鞅。通过直接应用It^o的公式，可以从（4）中给出的各自价格过程中推断出上述Pit和Pctun在估值测度Q下的动态。应用Girsanov定理，我们得到以下关系：WQt=WPt+u-rDσt，$i，Qt=$i，Pt+Rt1.- Hiu（hPi- hQi）du。数量，hQi=ui- rD，i∈ {I，C}，是估价指标下namei的默认强度，假设为正。3.2重复索赔和抵押物规格或有索赔的价格过程θ∈ L(Ohm, 根据估价代理，要复制的FT，Q）由^Vθt给出：=e-rD（T-t） 均衡器θ英尺.当从上下文中理解时，我们将去掉上标θ，只写^vt。在欧式期权的情况下，我们有θ=Φ（ST），其中Φ：R>0→ R是一个实值函数，表示权利要求的最终支付，因此^Vt=^V（t，St）。此外，对冲者必须为索赔提供抵押品。

与回购协议中使用的抵押品（通常是股票）不同，减轻交易对手信用风险的抵押品通常是现金。抵押品被选择为一方对另一方当前风险敞口过程的一小部分。如果套期保值者向其交易对手出售证券的欧洲看涨期权或看跌期权（那么他需要复制payoffΦ（ST），Φ≥ 0，并在T）时将其交付给交易对手），缔约方始终衡量对冲方的正风险敞口，而对冲方对交易对手的风险敞口为零。因此，交易者永远是抵押品提供者，而交易对手永远是抵押品接受者。根据对称推理，如果套期保值者从其交易对手处购买欧洲看涨期权或看跌期权（然后他将复制支付）-Φ（ST），Φ≥ 0，以对冲其头寸），那么他将始终是抵押品的接受者。如果交易者和交易对手在时间t之前均未违约，则抵押品流程由CT定义：=α^Vt1l{τ>t}=α^V（t，St）1l{τ>t}，（9），其中0≤ α≤ 1是抵押级别。当α=0对应于零抵押时，α=1表示完全抵押。抵押水平为行业特定水平，由ISDA按季度报告，例如见ISDA（2011），表3.3。在这里。我们的抵押品规则与Piterbarg（2010）不同，该规则假设抵押品与合同价值相匹配，包括融资成本、回购息差和抵押品。使用这种方法，套期保值者及其交易对手通常在其资金、回购或抵押品利率不同或使用不同模型来衡量信用风险的情况下，对公布的抵押品水平存在分歧。因此，两个交易对手需要进行谈判，以商定抵押品水平。

在我们的模型中，这是可以避免的，因为估价代理根据索赔的Black-Scholes价格确定抵押品要求，不包括融资和交易对手风险相关成本。3.3财富过程我们允许抵押品完全再抵押。这意味着抵押品接受者被授予使用抵押品金额的无限制权利，即他可以使用抵押品购买投资证券。这与ISDA的大多数附件一致，包括纽约附件、英语附件和日语附件。我们注意到，就现金抵押品而言，再抵押抵押品的百分比约为90%（见ISDA（2014）中的表8），因此在很大程度上支持了我们对全部抵押品再抵押的假设。正如Bielecki和Rutkowski（2014）所述，收到的抵押品可以被视为套期保值者交易策略的一个普通组成部分，尽管这仅适用于缔约方违约之前。我们用Vt（Д）表示套期保值者的财富过程，并强调如果他是抵押品接受者，那么他实际上可以使用（通过再抵押）。让^1：=ξt，ξft，ξIt，ξCt；T≥ 0, 其中，我们回顾ξt表示证券的股份数量，ξt表示融资账户中的股份数量，我们使用ξItan和ξCt分别表示时间t时交易对手债券和交易对手债券的股份数量。回顾等式（7），并用股份数量乘以相应证券价格来表示所有头寸，财富过程v（φ）由以下表达式vt（φ）给出：=ξtSt+ξItPIt+ξCtPCt+ξftBrft+ψrtBrrt- ψctBrct，（10）我们注意到回购账户的股份数量ψ和抵押品账户的股份数量ψcheldin分别由等式（3）和（7）唯一确定。定义3.1。

担保交易策略是自我融资，如果∈ [0，T]，它认为vt（φ）：=V（φ）+ZtξudSu+ZtξIudPIu+ZtξCudPCu+ZtξfudBrfu+ZtψrudBrru-ZtψcudBrcu，其中V（Д）=相对于初始禀赋。此外，我们对可接受策略的类别定义如下：定义3.2。可接受的交易策略集是作为F-可预测过程的一类给出的，如投资组合过程是从下面有界的，另见Delbaen和Schachermayer（2006）。2010年所有场外衍生品的平均抵押水平为73.1%。在不同的交易对手类型中，银行和经纪人的头寸抵押程度最高，约为88.6%。对非金融公司、主权ZF和超国家机构的风险敞口往往具有最低的抵押水平，达13.9%。3.4交易的成交价值ISDA场外衍生品抵押实践的市场审查，见ISDA（2010），第2.1.5节，声明存续方应评估因违约事件而终止的交易，并仅在使用可用抵押品减轻损失后才要求赔偿。在我们的研究中，我们遵循无风险平仓惯例，即当交易对手违约时，交易者按市值平仓。接下来，我们将描述如何在我们的框架中对此进行建模。用θ表示τ处复制投资组合的价值，我们记得τ已在第2节中定义。该值表示交易者必须持有的财富量，以便在交易终止时复制平仓收益。

它由θ=θ（τ，^V）：=^Vτ+1l{τC<τI}LCY给出-- 1l{τI<τC}LIY+=1l{τI<τC}θI（^Vτ）+1l{τC<τI}θC（^Vτ），（11），其中Y：=^Vτ- Cτ=（1- α） ^Vτ是违约索赔的价值，扣除已过账抵押物，我们确定θI（V）：=V- LI（（1- α） v）+，θC（v）：=v+LC（1- α） 五）-, （12） 其中，对于实数x，我们使用符号x+：=max（x，0）和x-:= 最大值（0，-x） 。术语1l{τC<τI}LCY-源自抵押品缓解后的剩余CVA期限，而1l{τI<τC}LIY+源自DVA期限，另请参见Brigo et al.（2014）和Capponi（2013）了解更多详细信息。数量0≤ 李≤ 1和0≤ 信用证≤ 1分别是针对交易员和交易对手索赔的损失率。备注3.3。我们详细说明了为什么θ是交易终止时交易者需要复制的金额。假设交易者已经向交易对手出售了看涨期权（因此所有t的^V（t，St）>0）。这意味着交易者始终是抵押品提供者，对于所有t，Ct=α^V（t，St）>0，因为交易对手始终衡量对交易者的正面敞口。如果缔约方在索赔到期前首次违约，则交易员将通过向交易对手过账的抵押品，扣除欠交易对手的金额^V（τ，Sτ），并仅将剩余金额Y退还给交易对手。因此，他的交易策略必须产生与该金额相等的实际财富。由θ=^V（τ，Sτ）给出的上述收尾表达式表明，情况确实如此。由于交易对手已经持有抵押品，交易者只需将金额Y返回给她，这正是交易者在τ.4无套利估值和xVat的财富过程。本节的目标是找到在某种意义上无套利的payoffΦ（ST）衍生证券的估值。

在讨论无套利估值之前，我们必须确保基础市场不允许从套期保值者的角度进行套利（如（Bielecki and Rutkowski，2014，第3节）所述）。在基础市场中，交易员只能借入/出借股票、买入/卖出风险债券以及向融资台借入/出借。特别是，既不涉及衍生证券，也不涉及抵押过程。定义4.1。我们说，如果我们能够找到交易策略，市场（S、PI、PC）允许套期保值者进行套利=ξt，ξft，ξIt，ξCt；T≥ 0因此，如果初始资本x为非负≥ 对冲工具的0，表示对应的财富过程Vt（Д，x）T≥0，我们有PVτ（Д，x）≥ er+fτx= 1和PVτ（Д，x）>er+fτx> 如果市场不允许套期保值者对套期保值者初始资本x进行套利≥ 0，我们说从套期保值者的角度来看，市场是无套利的。只要从上下文中理解，我们将省略财富过程V（Д，x）中的参数x，Д或两者。在续集中，我们做出以下假设：假设4.2。不同利率之间存在以下关系：r+r≤ R-f、 r+f≤ R-f、 andr+f∨ rD<uI∧ uC.备注4.3。上述假设对于排除套利是必要的。条件rD<uI∧uc如第3.1节末尾所述，存在估值措施需要uc（hQi=ui- 风险中性违约强度必须为正）。如果，通过矛盾，r+r>r-f、 交易员可以从融资台以r利率借入现金-fand将其以r+r的利率借给回购市场，同时持有该股票作为抵押品。这为交易者带来了一个肯定的胜利。同样，如果交易方可以从财政部以r的利率为其策略提供资金-f<r+f，这显然会导致套利。