无套利XVA

当α<0.5时，卖方XVA在资金账户中的位置是长的，并且无论资金费率如何，都是相同的-f、 另一方面，买方XVA的多头仓位大小增加了r-f、 如果存在完全抵押，即α=1，则情况相反。买方XVA资金账户中的头寸较短，且相对于r保持不变-f、 反之亦然，对于卖方的XVA，空头头寸的规模增加了r-f、 如果α较高，交易者将不得不提供更多抵押品，从而减少可用现金0。08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-20-15-10-505相对XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.02股票α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.13 0.14 0.15 RF00。010.020.030.040.050.06交易员债券股份α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.005交易对手债券股份α=0α=0.25α=0.75α=1图7：左上：XVA作为rffor不同α的函数。右上角：复制策略中的股票数量。左下角：复制策略中交易员债券份额的数量。右下角：复制策略中的交易对手债券股份数量。我们设定rr=0.05，rc=0.01，σ=0.2，LC=0.5，LI=0.5，uI=0.51，uC=0.51。该债权是一种到期日为T=1的货币买入期权。为他的复制战略融资。然后，他将不得不从资金部门借更多的钱，从而导致更高的资金成本。

这推动了卖方的XVA以及复制战略所需的股票和债券的数量。表2还表明，与卖方的XVA相对应的融资头寸为负值，但较低，因此解释了为什么买方的XVA对融资利率r的变化仅略微敏感-f、 随着回购利率之间的差异增大，无套利区间扩大。图9分析了当借贷和借贷回购利率之间的差异增大时，无套利区间的宽度如何变化。对于固定回购贷款利率，卖方的XVA增加回购贷款利率。这是因为套期保值者需要在索赔中复制多头头寸，并且在购买股票时会导致更高的融资成本（现金驱动回购活动，另见图2）。相反，买方的XVA对回购借款利率不敏感。在这种情况下，套期保值者需要复制债权中的空头头寸，从而实施仅取决于回购贷款利率r+r的证券驱动回购活动（见图1）。

如果回购贷款利率更高，套期保值者从回购市场获得更大的收益，因此他愿意以更高的价格购买债权，因为他从卖空策略中获得更多的收入，从而导致买方的0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-50510152025α相对XVA（%）rf- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.150 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.04-0.0200.020.040.060.08α股票rf- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.150 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05交易商债券rfα股- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.150 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02交易对手债券rfα股- = 0.08rf- = 0.1rf- = 0.12rf- = 0.15图8：左上角：买方和卖方的XVA作为不同r值α的函数-f、 卖方的品牌高于买方的XVA，两种品牌均采用相同的线型。右上角：复制策略中的股票数量。左下：复制策略中交易员的债券份额数量。右下角：复制策略中交易对手债券份额的数量。这些策略指的是复制卖方XVA的投资组合。XVA。图9的右面板也反映了这一点，这表明，当r+目标更高时，想要对冲多头头寸的交易员会空头更多的股票，以便从回购市场收到的更高利率中获益。较高的抵押增加了投资组合持有量。随着担保水平α的增加，卖方的XVA增加。之所以会出现这种情况，是因为复制共同头寸所产生的融资成本越来越高。因为交易者需要构建一个复制更大头寸的投资组合，他必须承担更多风险。他通过增加交易对手承销的股票和债券的数量来实现这一目标。

此外，他减少了对自己债券的购买，因为随着头寸变得更加抵押，他需要复制一个较小的剩余DVA（在交易者违约时间，向下跳至平仓价值的幅度较小）。这种行为在图10的曲线图中很明显。无套利区间的宽度对债券收益率不敏感。图10显示，如果交易对手债券的回报率增加，卖方和买方的XVA都会减少。当α较低时，这两个量下降的幅度几乎相同，无套利带的宽度αr-fSeller的XVA：资金账户（$）买方的XVA：资金账户（$）0.08 0.0039 0.04030 0.15 0.0039 0.04280.25 0.08 0.0249 0.02570.25 0.15 0.0249 0.02740.75 0.08-0.0037-0.00360.75 0.15-0.0038-0.00331 0.08-0.0182-0.0181 0.15-0.0193-0.018表1：各列给出了资金账户中对应于复制的美元头寸卖方XVA和买方XVA的策略。0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.101020030405060708090RR-相对XVA（%）rr+=0.05rr+=0.04rr+=0.03rr+=0.020.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.100.050.10.150.20.250.30.35rr-股票rr+=0.05rr+=0.04rr+=0.03rr+=0.02图9：左：买方和卖方的XVA作为r的函数-r+r的不同值。右：复制卖方的XVA（顶部）和买方的XVA（底部）的策略中的股票数量。不受影响。随着α变大，卖方的XVA相对于买方的XVA下降得更快，当α=1时，这两个数量几乎重合。与图10一致，图11显示，当交易对手债券的收益增加时，卖方的XVA减少。之所以会出现这种情况，是因为在保持历史违约概率不变的情况下，交易员将从其交易对手债券的多头头寸中赚取更高的溢价（另请参见图11的底部面板）。

当复制更大的平仓头寸时，这种收益支配着所产生的融资成本（等式（11）表明，随着hQC的增加，平仓付款增加至无风险付款，uC=hQC+rD）。总之，这意味着投资者的融资成本将随着uC的增加而降低。7结论我们为两个风险交易对手之间交易的欧洲索赔价格开发了一个无套利估价框架。我们的分析考虑了对财政部的融资利差、therepo市场、抵押品服务成本和交易对手信用风险。我们推导出了与买方和卖方的XVA估值相关的无套利带，并表明在没有利率不对称的情况下，它会崩溃为唯一的XVA。该设置对应于Piterbarg0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90510152025α相对XVA（%）μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.310 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9的泛化-0.04-0.0200.040.060.08α股票μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.310 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0150.020.0250.030.0350.040.05交易者债券α股票μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.310 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02α交易对手债券份额μC=0.16μC=0.21μC=0.26μC=0.31图10：左上角：买方和卖方的XVA作为α的函数，用于不同的uC值。右上角：复制策略中的股票数量。左下角：复制策略中交易员的债券份额数量。

右下角：复制策略中交易对手债券份额的数量。这些策略指的是复制卖方XVA的投资组合。（2010）的模型，我们可以为其导出XVA的显式表达式。利用BSDE的PDE表示，我们进行了深入的数值研究，分析了XVA和相应复制策略对抵押水平、违约风险和借贷利率利差的敏感性。致谢作者感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议，这些意见和建议对论文的改进做出了重要贡献。命题4.11的证明。证据首先，请注意，通过定理4.7中证明的等式XVA±t1l{t<τ}=ˇU±t1l{t<τ}，并使用非线性费曼-卡克定理（参见El Karoui e.a.，2008，定理3.2）），可以得出-fSeller的XVA：资金（$）买方的XVA：资金账户（$）0.08-0.0124-0.01230.1-0.0125-0.01220.15-0.0127-0.01220.2-0.013-0.0122表2：各列给出了与卖方的XVA和买方的XVA的复制策略相对应的资金账户中的美元头寸。我们设定uC=0.16.0.15 0.2 0.25 0.3 0.324681021416182022hCq相关XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.15 0.2 0.25 0.3 0.3-0.04-0.0200.020.040.060.08μC股票α=0α=0.25α=0.75α=10.15 0.2 0.25 0.3 0.30.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05μC交易对手债券α=0α=0.25α=0.75α=10.15 0.2 0.25 0.3 0.30.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02μC交易对手债券α=0α=0.01 25α=0.75α=1图11：左上：卖方的XVA作为α不同值的uC函数。右上角：复制策略中的库存共享数。左下：复制策略中交易员的债券份额数量。右下角：复制策略中对应债券的数量。

replicatingportfolio指卖方的XVA。XVA±t1l{t<τ}=XVA±（t，St），其中XVA±是-xva±t- rDsxva±s-σsxva±ss- 克±t、 xva±，σs（xva±s+^vs; ^v）=0，xva±（T，s）=0。在上述表达式中，^v=^v（t，s）表示索赔时间t的Black Scholes价格，当ST=s时，支付Φ（ST）。应用变量x=log（s）的变化，并设置u±（t，x）=xva±（t，ex），^w（t，x）=^v（t，ex），x∈ R、 暗示命题的第一部分。首先假设Φ是连续可微的，Φ和Φ是多项式增长的，即Φ（s）|≤ C（1+sn），|Φ（s）|≤ C（1+sn），适用于所有s∈ R> 0对于某些n>0。使用变换‘u±（t，x）=u±（t，x）1+e2nx，’w（t，x）=w（t，x）1+e2nx，’Φ（x）=Φ（ex）1+e2nx，（46）我们注意到‘u±满足柯西问题- \'u±t-σ′u±xx-（4n- 1） e2nx- 1.σ2（1+e2nx）+rD\'u±x-2rD+（2n- 1） σne2nx1+e2nx'u±=g±t、 \'u±，σ“u±x+2ne2nx1+e2nx”u±wx+2ne2nx1+e2nx”w;\'^w,\'u±（T，x）=0，（47）连同-\'^wt-σ′^wxx-（4n- 1） e2nx- 1.σ2（1+e2nx）+rD\'^wx-2rD+（2n- 1） σne2nx1+e2nx^w=-rD^w，^w（T，x）=Φ（x）。（48）上述转换保证了Φ和Φ都是有界的。然后，（47）、（48）的光滑（有界）解的存在性遵循Cannon（1984）中的定理20.2.1。如果Φ仅是分段光滑的，则可以按照Jouiniand Kallal（1995）的类似程序修改原始证明。因此，利用变量的变化（46），我们得出结论，柯西问题存在经典解（36）。命题5.1的证明。证据在没有默认值的情况下，BSDE（22）由以下公式给出-dXVAt=-rfXVAtdt+（rf- rc）α^Vtdt+（rr- rf）^Vtdt-ˇZtdWQtXVAT=0，鉴于卖方和买方的XVA由于价格的对称性而一致，我们省略了上标±。此外，我们使用了式（9）中给出的抵押品规格，以及rD=rr的假设。

上述BSDE包含以下完整代表-rftXVAt=-ZTt（Brfs）-1ˇZsdWQs+（rf- rc）αZTt（Brfs）-1^Vsds+（rr- rf）ZTt（Brfs）-1^VSD。（49）使用Clark-Ocone公式，我们可以通过Malliavin演算找到ˇzt（参见Nualart（1995）了解Malliavin导数的介绍）。我们有-rftˇZt=等式Dt公司ZTt公司BRF公司-1.α射频- 钢筋混凝土+ （rr- 射频）^VSD英尺,式中，dt表示Malliavin导数，可按dt计算ZTt公司BRF公司-1.α射频- 钢筋混凝土+ （rr- 射频）^VSD=ZTt公司BRF公司-1.α（rf- rc）+（rr- 射频）Dt^Vsds=ZTtBRF公司-1.α（rf- rc）+（rr- 射频）S^V（S，Ss）σSSD。（50）如上所述，我们使用了Malliavin演算的链式规则和众所周知的事实，即DtSs=σSsfor s>t。我们预计BSDE的ˇZ项将对应于“调整后的增量对冲”策略，如果所有利率相同，则恢复增量对冲策略。实际上，使用^的定义 式（41）中给出，式（50）中的Malliavin导数可写成 asDt公司...=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrfs^sσSSD。因此，我们得到-rftˇZt=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrfsσEQ^sSs公司英尺ds公司=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrfsσBrrsEQh^sSsBrrsFTID=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTTBRRSBFSσ^tStBrrtds=α（rf- rc）+（rr- 射频）σStrr- rfBrrtBrrTBrfT公司-BrftBrft^t、 （51）其中我们使用了鞅性质EQ^sSsBrrs英尺=StBrrt^t、 事实上，从等式。

（41）并利用ST=BrrTBrrtSte这一事实-σ（T-t） +σ（WQT-WQt）（从（8）中得出），我们得出结论，stbrrt^t=StBrrtSEQ公司BrrtBrrTΦ（ST）英尺=StBrrtEQ公司Φ（ST）e-σ（T-t） +σ（WQT-WQt）英尺= 均衡器Φ（ST）STBrrT英尺= 均衡器^TSTBrrT公司英尺,在这里，我们通过积分符号下的微分来交换导数和期望值。考虑到我们正在计算高斯随机变量的平滑函数的期望值，这一点是合理的。我们注意到71z是平方可积的，因此（49）中的随机积分是真鞅。在积分表示（49）中使用这一事实并采用条件期望，我们可以为BSDE提供如下显式解决方案：XVAt=α（rf- rc）+（rr- 射频）ZTtBrftBrfuEQ^Vu英尺杜邦=α（rf- rc）+（rr- 射频）BrftZTte公司-（右前-rr）uEQBrru公司-1^Vu英尺杜邦=1.- αrf- rcrf- rr（右后）BrftBrrtBrrTBrfT-BrrtBrft！^Vt，在最后一步中，我们使用了折扣支付的鞅性质。这与直接调整后的公式（39）相对应。最后，等式（40）与（14）中的第一个恒等式位于（51）之后。命题5.3的证明。证据证明遵循与命题5.1相似的路线。在存在默认值和速率对称的情况下，XVA（27）的缩减BSDE变为-dˇUt=（右前- rc）α^Vt+（rr- rf）^Vt+Xj∈{I，C}（uj- rf）～θj（^Vt）dt公司- ηˇUtdt-ˇZ±tdWQt，ˇUT=0。（52）上述BSDE允许以下积分表示：e-ηtˇUt=-中兴通讯-ηsˇZsdWQs+ZTt（rf- rc）αe-ηs^Vsds+ZTt（rr- rf）e-ηs^Vsds+Xj∈{I，C}uj- 射频中兴通讯-ηs￠θj（^Vs）ds- ηZTte-ηsds。使用Clark-Ocone公式，我们可以通过Malliavin演算找到ˇzt。我们有-ηtˇZt=等式中兴通讯-ηsα（rf- rc）+（rr- 射频）Dt^Vsds英尺+ 均衡器Xj公司∈{I，C}（uj- rf）ZTte-ηsDt￠θj（^Vs）ds.它认为Dt^Vs=^sσSs。使用Nualart（1995）中的命题1.2.4和等式。

（23），我们得到dt？θC（^Vs）=LC（1- α） Dt公司^Vs-= LC（1- α） 1l{V<0}S^V（S，Ss）σSs，和dt|θI（^Vs）=-LI（1- α） Dt公司^Vs+= -LI（1- α） 1l{V>0}S^V（S，Ss）σSs。由此，我们得到以下等式-ηtˇZt=α（rf- rc）+（rr- 射频）σZTte-η序列^sSs公司英尺ds+（uC- rf）LC（1- α） 中兴通讯-η序列^s1l{^Vs<0}σSs英尺ds公司- （uI- rf）锂（1- α） 中兴通讯-η序列^s1l{^Vs>0}σSs英尺ds公司=α（rf- rc）+（rr- 射频）σZTte-ηsBrrsEQ^sSsBrrs英尺ds+（uC- rf）LC（1- α） σZTte-ηsBrrsEQ^s1l{V<0}SSBRR英尺ds公司- （uI- rf）锂（1- α） σZTte-ηsBrrsEQ^s1l{^Vs>0}σSsBrrs英尺ds公司=α（rf- rc）+（rr- 射频）σStBrrtrr- ηBrrTeηT-Brrteηt^t+（uC- rf）LC（1- α） σStBrrtrr- ηBrrTeηT-Brrteηt^T- （uI- rf）锂（1- α） σStBrrtrr- ηBrrTeηT-Brrteηt^t、 最后一步是通过η>rr这一事实来证明的。我们注意到'Z是平方可积的，因此（49）中的随机积分是真鞅。在积分表示（52）中使用这一事实，并取条件期望，它如下所示-ηtˇUt=ZTt（rf- rc）αe-ηsE^Vs英尺ds+ZTt（rr- rf）e-ηsE^Vs英尺ds+ZTte-ηs（uC- rf）LCEQ（（1- α） ^Vs）-英尺+ （uI- rf）LIEQ（1）- α） ^Vs+英尺ds公司=（右前- rc）α+（rr- 射频）中兴通讯-ηsBrrsEQBrrs-1^Vs英尺ds+（uC- rf）LCZTte-ηsBrrsEQBrrs-1（（1- α） ^Vs）-英尺ds公司- （uI- rf）LIZTte-ηsBrrsEQBrrs-1（（1- α） ^Vs）+英尺ds公司=（右前- rc）α+（rr- 射频）中兴通讯-ηsBrrsBrrt公司-1^Vt+（uC- rf）LCZTte-ηsBrrsBrrt公司-1.（1）- α） ^Vt-- （uI- rf）LIZTte-ηsBrrsBrrt公司-1.（1）- α） ^Vt+,其中，我们使用了折扣支付的鞅性质。因此，得出以下结论：Ut=（rr- rf）1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt+α（rf- rc）1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt+（uC- rf）LC1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α)^Vt-- （uI- rf）LI1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α)^Vt+,得到（32）并乘以指示符1l{τ>t}等式（42）。接下来，我们使用鞅表示定理计算股票中的hedgingstrategyξ。考虑库存复制策略ξ。