无套利XVA

条件r+f<uI（并在必要时加以修改）有一个更实际的解释：它排除了卖空交易员公司承销的债券并将其投资于融资账户的套利机会。接下来，我们将提供一个充分的条件，保证基础市场不存在套利。提案4.4。假设除假设4.2外，r+r≤ r+f≤ R-r、 那么该模型不允许套期保值者对任何x进行套利≥ 我们注意到，在无违约证券的市场模型中，Bielecki和Rutkowski（2014）（提案3.3）以及Nie和Rutkowski（2013）（提案3.1）得出了借贷利率之间的类似不平等。鉴于我们的模型也考虑了交易对手风险，我们在借贷方和风险债券回报率之间施加了额外的关系。证据首先，观察在上述条件下，我们有rrψrt=r+rψrt1l{ψrt>0}+r-rψrt1l{ψrt<0}≤ r+fψrt1l{ψrt>0}+r+fψrt1l{ψrt<0}=r+fψrtrfξft=r+fξft1l{ξft>0}+r-fξft1l{ξft<0}≤ r+fξft1l{ξft>0}+r+fξft1l{ξft<0}=r+fξft接下来，可以方便地将财富过程写入通过随机指数PdP指定的适当测度P下Gτ=er+f-uσWPτ-（右+右）-u）2στuI- r+fhPIHIτe（r+f-uI+hPI）τuC- r+fhPCHCτe（r+f-uC+hPC）τ根据Girsanov定理，~P是P的等价度量，因此风险资产的动态由dst=r+fStdt+σStdWPt，dPIt=r+fPItdt给出- 矿井-d$I，~ Pt，dPCt=r+fPCtdt- PCT-d$C，P，其中W▄P：=（W▄P；0≤ T≤ τ） 是（G，P）-布朗运动和$I，P：=（$I，Pt；0）≤ T≤ τ） 以及$C，~P：=（$C，~Pt；0≤ T≤ τ）是（G，~P）-鞅。r+F贴现资产St：=e-r+ftSt，~坑：=e-r+Ftpit和▄PCt：=e-r+ftp因此是（G，~P）-鞅。

特别是，W▄P=WP+u-r+fσ和套期保值者及其交易对手在▄P下的违约强度由h▄Pi=ui给出- r+f，i∈ {I，C}，根据命题的假设，这是正的。表示与（St、PIt、PCt）t相关的财富过程≥0在基础市场中，byˇVt.利用自我融资条件，其动态由byˇVt给出=rfξftBrft+r+fξtSt+rrψrtBrrt+r+fξItPIt+r+fξCtPCtdt+ξtσStdWPt- ξItPIt-d$I，~磅- ξCtPCt-d$C，~磅=rfξftBrft+rrψrtBrrtdt+ξtdSt+ξItdPIt+ξCtdPCt。然后我们得到了ˋVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）=Zτr+fξtSt+rfξftBrft+rrψrtBrrt+r+fξItPIt+r+fξCtPCtdt+ZτξtσStdWPt-ZτξItPIt-d$I，~磅-ZτξCtPCt-d$C，~磅≤Zτr+fξtSt+r+fξftBrft+r+fψrtBrrt+r+fξItPIt+r+fξCtPCtdt+ZτξtσStdWPt-ZτξItPIt-d$I，~磅-ZτξCtPCt-d$C，~Pt=Zτr+fˇV（x）dt+ZτξtσStdW ~Pt-ZτξItPIt-d$I，~磅-ZτξCtPCt-d$C，~磅。因此，如下所示-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤ZτξtdSt-ZτξItd▄坑--ZτξCtdPCt-.请注意，上述不等式的右侧是一个从下方有界的局部鞅（因为值过程从下方受可容许性条件的约束），因此是一个超鞅。考虑到预期，我们得出结论，EPE-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤ 0。因此ˋVτ（Д，x）=er+fτx= 1或￠PˋVτ（Д，x）<er+fτx> 0.由于▄P等于P，这表明在该模型中，套期保值者的套利机会被排除在外（套期保值者将通过以r+f的利率向财政部支付正现金金额x来获得er+fτx）。接下来，我们想从套期保值者的角度定义衍生证券无套利价格的概念。我们将假设套期保值者的初始资本为零，或者等效地，他没有可用于套期索赔直至到期的流动初始资本。因此，对冲组合将完全通过回购市场购买/出售股票和通过融资账户购买/出售债券来融资。

虽然我们的整个分析可能会扩展到非零初始资本的情况，但这样的假设将简化符号，并允许我们突出研究的关键方面。定义4.5。估价P∈ 具有终端支付功能的衍生证券的R∈ FTis称Edger的无套利if for allγ∈ R、 为γP购买γ证券，并在市场上以不允许的策略和零初始资本进行套期保值，不会产生套期保值者的套利。在描述套期保值者的无套利估值之前，我们分析了财富过程的动力学。为了符号的简单性，我们将在估值度量Q下重写它。利用条件（3），我们从式（10）中得出=rfξftBrft+（rD- rr）ξtSt+rDξItPIt+rDξCtPCt- rcψctBrctdt+ξtσStdWQt- ξItPIt-d$I，Qt- ξCtPCt-d$C，夸脱=r+fξftBrft+- R-FξftBrft-+ （rD- R-r）ξtSt+- （rD- r+r）ξtSt-+ rDξItPIt+rDξCtPCtdt公司-R-CψctBrct+- r+cψctBrct-dt+ξtσStdWQt- ξItPIt-d$I，Qt- ξCtPCt-d$C，夸脱=r+fξftBrft+- R-FξftBrft-+ （rD- R-r）ξtSt+- （rD- r+r）ξtSt-+ rDξItPIt+rDξCtPCtdt公司+r+cCt+- R-CCt-dt+ξtσStdWQt- ξItPIt-d$I，Qt- ξCtPCt-d$C，夸脱。（13） 设置Zt=ξtσSt，ZIt=-ξItPIt-, ZCt=-ξCtPCt-, （14） 再次使用条件（3）和公式（10），我们得到ξftBrft=Vt- ξItPIt- ξCtPCt+ψctBrct=Vt- ξItPIt- ξCtPCt- Ct。（15） 然后等式（13）中的动力学读数为DVT=r+fVt+ZIt+ZCt- Ct+- R-FVt+ZIt+ZCt- Ct-+ （rD- R-r） σZt公司+- （rD- r+r）σZt公司-- rDZIt公司- rDZCt+r+cCt+- R-CCt-dt+ZtdWQt+ZTD$I，Qt+ZCtd$C，Qt。我们接下来定义驱动因素+t、 v、z、zI、zC；^V:= -r+fv+zI+zC- α^Vt+- R-Fv+zI+zC- α^Vt-+ （rD- R-r） σz+- （rD- r+r）σz-- rDzI公司- rDzC+r+cα^Vt+- R-Cα^Vt-（16） f级-t、 v、z、zI、zC；^V:= -f级+T-五、-Z-zI，-zC；-^V, （17） 这取决于市场估值过程^VtT≥0（通过抵押品C），我们省略了指标，因为我们只对违约前的对冲感兴趣。

尤其是f±：Ohm ×[0，T]×R，（ω，T，v，z，zI，zC）7→f±t、 v、z、zI、zC；^V是BSDE的驱动因素，如推论4.8所示，它承认独特的解决方案。此外，确定V+、γ和V-,γ作为BSDE的溶液-dV+，γt=f+t、 V+，γt，Z+，γt，ZI，+，γt，ZC，+，γt；^Vdt公司- Z+，γtdWQt- ZI，+，γtd$I，Qt- ZC，+，γtd$C，Qt，V+，γτ=γθI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}+θ1l{τ=T}. （18） 以及-dV-,γt=f-电视-γt，Z-,γt，ZI，-,γt，ZC，-,γt；^Vdt公司- Z-,γtdWQt- ZI，-,γtd$I，Qt- ZC，-,γtd$C、Qt、V-,γτ= γθI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}+θ1l{τ=T}. （19） 我们注意到，V+，γ描述了当复制γ>0的索赔γ时的财富过程（HenceHedgeing the position after sellγsecurities with terminal payoffθ），初始资本为零。另一方面，-五、-,γt描述复制索赔时的财富过程-γθ，γ>0（HenceHedgeting the position after Buildingγsecurities with terminal Payoffθ），初始资本为零。注意驱动因素f+和f的正同质性-在BSDE（18）和（19）中，考虑γ=1的情况就足够了。为了简化符号，我们设置V+，1t=V+和V-,1t=V-t、 我们还注意到，这两个BSDE本质上是相关的：（V-, Z-, ZI，-, ZC，-) 是数据的解决方案F-, θI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}，θ当且仅当(-五、-, -Z-, -ZI，-, -ZC，-) 是数据的解决方案f+，θI(-^Vτ）1l{τI<τC∧T}+θC(-^Vτ）1l{τC<τI∧T}，-θ.我们的目标是计算总估价调整XVA，该调整需要添加到索赔的BlackScholes价格中，以获得实际估价。正如我们所看到的，这种情况对于买卖估价是不对称的，因此我们必须从卖方和买方的角度对其进行界定。定义4.6。卖方的XVA是G-适应随机过程（XVA）t≥0定义asXVA+t：=V+t-^Vt（20），而买方的XVA定义为XVA-t： =V-T-^Vt。

（21）XVA+量化交易员对冲期权多头头寸所产生的总成本（包括抵押品、融资和交易对手风险相关成本），而XVA-量化对冲空头头寸时产生的总成本。正如我们将在第5.1节中看到的，只有当BSDE的驱动程序是线性的时，这两个XVA才一致。注意到代理行的估价过程满足Black-Scholes BSDE-d^Vt=-rD^Vtdt-^ZtdWQt，^VT=θ，这是公认的唯一解决方案，我们可以立即获得XV a的BSDE±：-dXVA±t=~f±t、 XVA±t、~Z±t、~ZI、±t、~ZC、±t；^Vdt公司-Z±tdWQt-~ZI，±td$I，Qt-~ZC，±td$C，Qt，XVA±τ=~θC（^Vτ）1l{τC<τI∧T}+℃θI（^Vτ）1l{τI<τC∧T}，（22）带▄Z±T：=Z±T-^Zt，^ZI，±t=ZI，±t，^ZC，±t=ZC，±t，^θC（^v）：=LC（（1- α） ^v）-,θI（^v）：=-LI（（1- α） ^v）+、（23）和f+t、 xva、~z、~zI、~zC；^V: = -r+fxva+～zI+～zC+（1- α） ^Vt+- R-Fxva+～zI+～zC+（1- α） ^Vt-+ （rD- R-r） σ▄z+- （rD- r+r）σ▄z-- rDzI- rDzC+r+cα^Vt+- R-Cα^Vt-+ rD^Vt，（24）~f-t、 xva、~z、~zI、~zC；^V: = -f+T-xva，-z，-zI，-zC；-^V. （25）注意，将（16）与（24）和（17）与（25）进行比较，我们可以看到▄f±（t，v，▄z，▄zI，▄zC；^v= f±（t，v+^v，^z，^zI，^zC；^v+ rD^v.（26）接下来，我们可以应用Crépey和Song（2015）开发的缩减技术，找到一个连续的BSDE来描述违约前的XVA。定理4.7。BSDEs-dˇU±t=ˇg±t、 ˇU±t，ˇZ±t；^Vdt公司-过滤F和过滤g时，Z±tdWQtˇU±T=0（27）+t、 ˇu，ˇz；^V:= hQI公司θI（^Vt）- ˇu+ 寰球公司ИθC（^Vt）- ˇu+f+t、 ˇu，ˇz，￠θI（^Vt）- ˇu，￠θC（^Vt）- ˇu；^V（28）_g-t、 ˇu，ˇz；^V:= -_g+T-ˇu，-ˇz；-^V, （29）承认独特的解决方案ˇU±，ˇZ±, 与独特的解决方案相关XVA±、~Z±、~ZI、±、~ZC、±BSDE（22）通过以下关系。一方面，U±t：=XVA±t∧τ-,ˇZ±t：=ˇZ±t1l{t<τ}，是简化BSDE（27）的解，另一方面是完整XVA BSDE的解，由等式给出。

（22）由xva±t给出：=ˇU±t1l{t<τ}+θC（^VτC）1l{τC<τI∧T}+℃θI（^VτI）1l{τI<τC∧T}1l{t≥τ} ，~Z±t：=ˋZ±t1l{t<τ}，~ZI，±t：=θI（^Vt）-ˇU±t1l{t≤τ} ，~ZC，±t：=ИθC（^Vt）-ˇU±t1l{t≤τ} 。证据由于方程（27）是具有Lipschitz驱动的连续BSDE，存在性和唯一性是经典的（参见，例如，（El Karoui et al.，1997，定理2.1））。完整G-BSDE和简化F-BSDE的等效性如下（Crépey and Song，2015，定理4.3）：在我们的情况下，我们不改变概率度量，因此条件（A）满足（H）-假设（注意，条件（B）在我们的上下文中也成立）。条件（J）基本满足，因为终端条件不依赖于辅助过程▄Z、▄zc和▄ZI。最后，通过关于F和G的鞅表示定理（见（Bielecki和Rutkowski，2001，第5.2节）），Crépey和Song（2015）中考虑的鞅问题和本文中考虑的实际BSDE具有相同的唯一解。V±的原始BSDE解的唯一性及其在过滤中的预测版本来自于XVA的定义：推论4.8。BSDE（18）和（19）都有独特的解决方案。这些解决方案与独特的解决方案相关\'U±，\'Z±BSDE的-d’U±t=g±t、 \'U±t，\'Z±t；^Vdt公司-过滤F中的“Z±tdWQt”U±T=θ（33）和G+t、 \'u，\'z；^V:= hQI公司θI（^Vt）- \'\'u+ 寰球公司θC（^Vt）- \'\'u+ f级+t、 \'u，\'z，θI（^Vt）- \'u，θC（^Vt）- \'\'u；^VG-t、 \'u，\'z；^V:= -g级+T-\'\'u，-\'\'z；-^V,通过以下关系。一方面，U±t：=V±t∧τ-,\'Z±t：=Z±t1l{t<τ}是简化BSDE（33）的解，而另一方面，方程（18）和（19）给出的完整BSDE的解是V±t：=\'U±t1l{t<τ}+θC（^VτC）1l{τC<τI∧T}+θI（^VτI）1l{τI<τC∧T}1l{t≥τ} ，Z±t：=？Z±t1l{t<τ}，ZI，±t：=θI（^Vt）-\'U±t1l{t≤τ} ，ZC，±t：=θC（^Vt）-\'U±t1l{t≤τ} 。备注4.9。

我们讨论了如何从上述结果中获得XVA过程的复制策略。我们使用颚化符（e）表示复制XVA过程的策略（例如，分别为ξ、ξI、ξCdenote，用于复制XVA的股票、交易员和交易对手债券的数量）。这使我们能够将它们与用于复制索赔价格过程VT的策略区分开来。从鞅表示定理和股票价格的动力学（另见命题5.3证明末尾的讨论），可以得出如下结论：|ξ±t=|Z±tσSt1l{t<τ}，|ψr，±t=-Иξ±tStBrrt1l{t<τ}。根据定理4.7以及方程式（14）和（23），可以得出|ξI，±t=-ZI，±tPIt-= --LI（（1- α） ^Vt）+-ˇU±tPIt-1l{t≤τ} ，￠ξC，±t=-ZC，±tPCt-= -LC（（1- α） ^Vt）--ˇU±tPCt-1l{t≤τ} 。从方程式（9）和（7）可以得出|ψct=-α^VtBrct1l{τ>t}。最后，从式（15）中，（用XV A±t+^Vt替换V±twi），我们得到ξf，±t=V±t-^Vt- ξItPIt-- ξCtPCt--α^VtBrft1l{τ>t}=LC（（1- α） ^Vt）-- LI（（1- α） ^Vt）++ˇU±t- α^VtBrft1l{τ>t}，其中，在上一个方程中，我们使用了方程（21）和（20）中的XVA±t定义，以及XVA±t=71u±t集{τ>t}。接下来，我们分析了在哪些条件下，通过求解BSDE得到的估值是无套利的。定理4.10。设Φ是多项式增长的函数。假设r+r≤ r+f≤ R-r、 r+f≤ R-f、 r+f∨ rD<uI∧ uC，（34）andr+C∨ R-C≤ R-F≤ uI∧ uC.（35）如果V-≤ V+，其中V+和V-是BSDE（18）和（19）解决方案的第一个组成部分，则存在估值πsup和πinf，πinf≤ πsup，对于期权θ=Φ（ST），使得封闭区间内的所有价值【πinf，πsup】都不受套期保值者的套利。所有严格大于πsup且严格小于πinf的估值都为套期保值者提供了套利机会。特别地，我们有πsup=V+和πinf=V-.证据

首先，请注意，根据（34）中的条件，基础市场模型没有Edger套利。接下来，我们注意到，交易员可以使用初始资本V+作为Φ的多项式增长，通过terminalpayo fffθ=Φ（ST）完美对冲短期看涨期权头寸∈ L(Ohm, 英尺，P）。因此，很明显，P>V+的任何值都不是无套利的，因为我们可以出售该值的期权，使用V+对冲索赔并存入P- 资金账户中的V+。使用相同的价格，我们可以得出结论，购买任何价值P<V的期权-将导致套利。第二，通过矛盾假设估价P≤ 出售期权时，V+将导致套利。这意味着，从初始资本P开始，交易者可以完美地用终端支付对冲索赔∈ FT，其中θ≥ θ=Φ（ST）a.s.和P[θ>θ]>0。同于hQj=uj- rD，j∈ {I，C}，我们有g+（t，\'u，\'z；^Vθt）- g+（t，\'u，\'z；^Vθt）=hQIθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+ 寰球公司θC（^Vθt）- θC（^Vθt）+R-F- r+fθI（^Vθt）+θC（^Vθt）- \'\'u- α^Vθt+-θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- \'\'u- α^Vθt+- R-FθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- θC（^Vθt）- α^Vθt-^Vθt+ 研发部θI（^Vθt）- θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- θC（^Vθt）+ αr-C（^Vθt）-- （^Vθt）-- αr+c^Vθt+-^Vθt+≥uI- R-FθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+uC- R-FθI（^Vθt）- θI（^Vθt）+ αR-F- （r+c∨ R-c）^Vθt-^Vθt≥ 为了推导第一个不等式，我们使用了-F- r+fis正极。这可以从θI（^Vθt）+θC（^Vθt）以下的直接计算中直接看出- α^Vθt=（1- α） （1）- LI）^Vθt+- （1）- α） （1+LC）^Vθt-≥（1）- α） （1）- LI）^Vθt+- （1）- α） （1+LC）^Vθt-= θI（^Vθt）+θC（^Vθt）- 为了推导最后一个不等式，我们使用了（35）。

因此，我们可以将F BSDEs的比较原理（El Karoui et al.，1997，定理2.2）应用于“U”，然后注意到θ≥ θ意味着^Vθt≥^Vθt，这反过来导致收尾项之间的以下不等式：θC（^Vθt）≥ θC（^Vθt）和θI（^Vθt）≥ θI（^Vθt）（其定义也见等式（12））。因此，Vθt≥ Vθ和特别是P>V+（使用严格的比较，即P=Vimpliesθ=a.s.），与我们的假设相矛盾。通过使用对称参数，可以得出P≥ 五、-. 因此，如果V-≤ V+，我们可以得出以下结论：【πinf=V】区间内的所有估值-, V+=πsup]是无套利的，而如果V-> V+。我们注意到，无套利区间的宽度可以根据索赔的估价和XVA asXVA来描述+- XVA公司-= 五+- 五、-= πsup- πinf。简化的BSDE还使我们能够使用基于非线性Feynman-Kac公式的经典参数，为θ=Φ（ST）的情况提供PDE表示。我们在以下命题中提供了此类陈述，其证明见附录。提案4.11。二维半线性Cauchy问题-u±t+Lu±=g±t、 u±，σ（u±x+^ux）；^u, u±（T，x）=0，- ^wt+L^w=-rD^w，^w（T，x）=Φ（ex），（36），其中微分算子L定义为：=-研发部-σ十、-σxx，承认唯一的粘度解u±并认为u±（t，log（St））=XVA±t1l{t<τ}。此外，如果Φ是分段连续可微分的Φ，且Φ（如定义）具有最多多项式增长，则柯西问题（36）具有经典解。备注4.12。从BSDE（18）（或（19））到PDE（36）的转换是通过将G-BSDE投影到F-BSDE，然后对其应用Feynman-Kac公式得出的。

可以采用另一种方法，首先通过非线性费曼-卡茨公式推导出与BSDE相关的四个变量的PDE，然后降低维数。这在Bichuch et al.II（2015）中有详细说明，我们在此提供了论点的要点。在{t<τ}上，确定BSDE（18）和（19）的预设解v±（t，St，$I，Qt，$C，Qt）=v±t1l{τ>t}。这些可测函数v±的存在，即v±是马尔可夫函数的事实，源自德隆（2013）的命题4.1.1。具体而言，Bichuch et al.II（2015）中的定理3.2表明v±满足- v±t-Xj公司∈{I，C}hQjθj^v（t，s）- v±（t、s、wI、wC）- v±j- rDsv±s-σsv±ss- f±t、 v±，σsv±s（t，s，wI，wC），θI^v（t，s）- v±（t，s，wI，wC），θC^v（t，s）- v±（t、s、wI、wC）；^v（t，s）= 0，v±（T，s，·，·）=粘度意义上的Φ（s）（37）。在上述表达式中，我们使用了符号v±i=v±wi，i∈ {I，C}。此外，Bichuch et al.II（2015）中的定理3.2表明，v±是满足lim | x的偏微分方程（37）的唯一粘度解|→∞v±（·，ex，·，·）E-c log | x |=0，c>0。上述步骤将BSDE（18）和（19）传输到PDE（37）。Remark3给出了PDE领域中的关键步骤，该步骤平行于从原始bsde到简化bsde的转换。Bichuch et al.II（2015）第3页。本质上，我们只关心违约发生前的V±t，因此我们不需要跟踪鞅项$j，Qt。这些只需要跟踪违约的发生。如果未发生默认值，$j，Qt=-hQjt。因此，v±仅成为两个变量的函数，即“v±（t，s）：=v±（t，s，-hQIt，-hQCt）。