无套利XVA

PDE（37）变为- \'v±t+（hQI+hQC）\'v±（t，s）- rDs？v±s-σs'v±ss- f±（t，\'v±，σs'v±s（t，s），θI（^v（t，s））- \'v±（t，s）θC（^v（t，s））- \'v±（t，s）；^v（t，s））=Xj∈{I，C}hQjθj（^v（t，s）），\'v±（t，s）=Φ（s）。在此基础上，应用变量x=log s、\'w±（t，x）=\'v±（t，ex）和^w（t，x）=^v（t，ex）的标准变化，我们得到了偏微分方程- \'w±t-研发部-σ\'w±x-σ′w±xx+hQI+hQC“w”- f±t、 \'w±（t，x），σ\'w±x（t，x），θI^w（t，x）- \'w±（t，x），θC^w（t，x）- ‘w±（t，x）；^w（t，x）=Xj公司∈{I，C}hQjθj^w（t，x）,\'w±（T，x）=Φ（ex）。PDE（36），然后导出w±=\'w±的PDE- ^w，与方程式（20）和（21）给出的XVA的BSDE表示相关。因此，我们可以将XVA表示为二维半线性偏微分方程组Cauchy问题的解，- w±t+Lw±=f±t、 w±+^w，σ（w±x+^w±x），^θI（^w）- w±，^θC（^w）- w±；^w+Xj公司∈{I，C}hQj^θj（^w）- w±+ rD^w，w±（T，x）=0，- ^wt+L^w+rD^w=0，^w（T，x）=Φ（ex）。（38）回顾方程式（16）、（17）、（24）、（25）、（26）和（28）、（29）中给出的f±、~f±和g±的定义及其关系，我们得出方程式（38）和（36）是一致的。此时，我们可以得出结论，PDE（38）的唯一溶液w±仅在粘度意义上。如果Φ是分段连续可微的，并且Φ（定义的地方）最多有多项式增长，那么从定理4.11可以看出，解的唯一性在经典意义上也是成立的。此外，我们可以应用Bichuch et al.II（2015）的定理A.1，得到在集合{t<τ}上，Z±t=σStw±xt、 日志（St）,Zi，±t=θi^V（t，St）- w±（t，log（St）），i∈ {I，C}.5显式示例我们将我们的框架专门化，以处理一个具体示例，我们可以为总估价调整提供完全显式的表示。

更具体地说，我们考虑了皮特堡（2010）的模型及其扩展，考虑了交易对手信用风险和结算成本。这意味着交易员和交易对手的可违约债券成为对冲策略的一个组成部分。在本节中，我们对利率做出以下假设，如皮特堡的假设：r+f=r-f=rf，r+c=r-c=rc，rD=r+r=r-r=rr。我们还假设rf>rr>rc，根据Piterbarg（2010）的说法，这种情况在实践中是可以预期的。在上述假设下，证券、融资和抵押品账户不取决于证券中的头寸是多头还是短头，金额是从欧元区借入还是借给欧元区，以及抵押品是过账还是收到。由于价格之间的对称性，买方和卖方的XVA是一致的，因此我们可以在BSDE中删除加号和减号。估值机构选择的贴现率Rd与回购利率之间的差异也可能被解释为回购市场流动性不足的代表。根据这种解释，rD=RR对应于完全流动性制度。BSDE变为线性，并导致XVA在不同调整方面的明确分解，详情见下文。我们还注意到，Brigo et al.（2012）也获得了类似的分解，见定理4.3及其后续注释。5.1皮特堡模型本节在皮特堡（2010）提出的框架中提供了XVA和相关对冲策略的明确表示。除了利率之间的对称性，Piterbarg（2010）排除了模型中违约的可能性，但维持了抵押品的存在。

在介绍本节的主要结果之前，我们先介绍以下数量prft：=BrftBrfT，Prrt：=BrrtBrrT，这可以理解为两种（有效的）无风险债券的时间t价格，分别具有贴现因子rf和rr。下一个命题在附录中得到了验证，它提供了XVA及其复制策略的明确表示。提案5.1。总估价调整由XVAT=PrftPrrt给出- 1.1.- αrf- rcrf- rr！^Vt：=βt^Vt.（39）此外，库存中的复制策略由ξt=βt^给出t、 （40）其中^t=^（t，St）：=S^V（t，St）=SEQ公司BrrtBrrTΦ（ST）英尺. （41）陈述（39）将XVA表示为索赔公开价格的百分比。此外，命题5.1表明，融资成本以两种方式进入XVA和股票中相应的复制策略：（1）融资以rf的利率进行，但XVA和对冲策略基于使用rras贴现率的公共估值，以及（2）与已公布抵押品的大小成比例的融资调整，α^V（t，St），源于融资和抵押品利率之间的差异。备注5.2。本节中考虑的模型是Piterbarg（2010）提出的模型的特例。具体而言，Piterberg（2010）中的模型更为通用，因为利率rr、Rf和Rc可以是随机过程，他还考虑了一般抵押品规格。与我们不同的是，Piterberg（2010）没有定义和研究XVA，而是专注于在上述假设下确定索赔价格。在利率对称假设下，使用等式中给出的抵押规则。

（9） 可以看出，Piterbarg（2010）的方程（3）正是我们的BSDE（18）的解，它允许显式表示Brft公司-1Vt=等式BrfT公司-1Φ（ST）Fti+α（rf- rc）ZTtBRF公司-1BR序列HBrrs-1^VsFTID=布莱夫特-1BrrTBrrt^Vt+α（rf- rc）ZTtBRF公司-1个RRSBrrt公司-1^VTD。Piterbarg（2010）中零抵押品的情况对应于我们案例中的设置α=0。也可以推导出皮特堡（2010）的方程式（5），其中假设用于计算索赔的利率是抵押利率rc。要看到这一点，请考虑公式（18），在该设置下（并使用公式（9）），公式（18）变为Sdvt=rf（Vt- α^Vt）+rcα^Vt- ZtdWQt=rcVt+（rf- rc）（Vt- Ct）- ZtdWQt。我们记得Ct，t≥ 0，表示并行过程。接下来就是Brct-1Vt=BrcT-1Φ（ST）-ZTt公司Brcs公司-1ZsdWQs+射频- 钢筋混凝土ZTt公司Brcs公司-1（Vs- Cs）ds。以条件期望为例，注意到Z（可计算方式与命题5.1的证明类似）是平方可积的，因此上面的随机积分是真鞅，我们得到Brct-1Vt=等式BrcT-1Φ（ST）Fti+（rf- rc）ZTtBrcs公司-1EQVs公司- Cs公司英尺ds。与我们的框架不同，假设抵押品规则基于套期保值者的估值，我们可以使用类似的论点，并在完全抵押（Ct=Vt）的情况下恢复皮特堡（2010）的方程式（7）。上述分析旨在说明我们的框架的一般性，在该框架中，可以通过适当的模型参数来恢复特殊的可处理案例。接下来，我们将分析XVA对融资利率和抵押水平的依赖性。图4显示，在欧洲看涨期权的情况下，当抵押水平较小时，XVA为负值。这与表达式（39）一致，可以理解如下。假设α=0。

在皮特堡模型中，期权的套期保值者是多头股票，并以回购利率rr融资购买股票。他还长期持有资金账户，并在higherrate rf累积利息。在Black-Scholes世界中，卖方购买股票和投资现金，两者的利率均为rr=rD。因此，如果rf>rr，融资账户的存在对套期保值者有利。因此，套期保值者的价格将低于布莱克-斯科尔斯价格，因此XVA为负值。随着α变得越来越大，交易员还需要融资购买抵押品，以过账给交易对手。为了做到这一点，他以rf的利率向财政部借款。然而，他只收到已过账抵押品的利息。考虑到rc<rr<rf，这会给交易者带来损失。图4证实了我们的直觉。它还表明，交易者的股票头寸随着基金收益率的增加而减少，而随着担保水平α的增加而增加。当XVA为负值时，即套期保值者的价格低于Black-Scholes价格，那么交易者的策略是做空股票。5.2皮特堡违约模型在本节中，我们通过包含交易员或其交易对手违约的可能性来推广皮特堡模型。命题5.3给出了欧洲索赔XVA的明确表达式，以及股票和债券复制策略的封闭式表达式。我们将此结果专门用于备注5.4中的选项情况。提案5.3。

总估值调整由xVAT1L{τ>t}给出=（rr- rf）+α（rf- 钢筋混凝土）1.- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt1l{τ>t}+（uC- rf）LC1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（右后）（1）- α） ^Vt-1l{τ>t}- （uI- rf）LI1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（右后）（1）- α） ^Vt+1l{τ>t}，（42）0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-10-8-6-4-2024相对XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.440.460.480.50.520.540道德化水平α。右图：XVA复制策略中的股票数量。我们设定rD=0.05，rc=0.01，σ=0.2，α=0。该权利要求是到期日为T=1的货币买入期权。式中η：=uI+uC- 射频。此外，XVA在股票、交易对手和交易员债券中的复制策略由ξt给出=（rr- rf）+α（rf- rc）1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr+（uC- rf）LC1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α） 1l{^Vt<0}- （uI- rf）LI1- E-（η）-rr）（T-t） η- rr（1- α） 1l{^Vt>0}^t1l{τ>t}，|ξIt=XVAt+LI（1- α） （^Vt）+PIt1l{τ>t}，|ξCt=XVAt- LC（1- α） （^Vt）-PCt1l{τ>t}。（43）此外，在事件{t=τI<τC∧ T}，XVA过程由xVAT=|ξftBrft+|ξCtPCt给出-ИψctBrct-^Vt=-LI（（1- α） ^Vt）+，（44）当事件{t=τC<τI∧ T}byXVAt=▄ξftBrft+▄ξItPIt-ИψctBrct-^Vt=LC（1- α） ^Vt）-.回想一下，在假设4.2中给出的无套利条件下，我们得到uI>rf，uC>rf，因此η>rf>rr。因此，方程式（42）中给出的XVA表达式得到了很好的定义。此外，回购、抵押品和融资账户中持有的股份数量（|ψrt，|ψct，|ξft）由股票、投资者和交易对手债券的持有量唯一确定（见备注4.9）。与经典的皮特堡设置一样，表示（42）表明XVA允许分解，但现在分解为三个独立的贡献项。第一个术语对应于无违约情况下的复制。

它捕获了复制公开可用的索赔（t，St）以及在投资者或交易对手最早违约之前为公布的抵押品融资的成本。第二项对应于CVA组件的（资金调整后的）复制成本，第三项对应于DVA组件的（资金调整后的）复制成本。备注5.4。式（42）减少toXVAt1l{τ>t}=（rr- rf）+α（rf- rc）{z}资金-LI（1- α） （uI- rf）{z}DVA1.- E-（η）-rr）（T-t） η- rr^Vt1l{τ>t}：=A^Vt1l{τ>t}。（45）事实上，XVA现在表示为索赔公开价格的百分比。由于交易员做空看涨期权，因此需要复制多头头寸进行对冲，因此他总是面临交易对手的Szero风险敞口（交易员需要向交易对手提交抵押品，但后者不需要向交易员提交抵押品），因此他只需复制交易的DVA部分，而该部分不会因已发布抵押品而减轻。在这种情况下，复制策略所需的（43）中的股票和债券数量简化为ξt=A×S^V（t，St）1l{τ>t}，~ξIt=A×Vt+LI（1- α） ^VtPIt1l{τ>t}，|ξCt=A×^VtPCt1l{τ>t}。此外，在事件{t=τI<τC∧ 投资组合的价值为XVAt=1.- LI（（1- α)^Vt，和类似的{t=τC<τI∧T}我们有XVAt=^Vt。尽管交易者的CVA部分不存在，对冲者仍在交易对手债券中交易。这是因为他需要对冲其交易对手的违约风险，因为索赔将被复制到套期保值者和交易对手违约时间最早的时候。最后，我们对上述结果进行了数值评估。我们考虑S=K=1的一元期权，因此在到期日T=1时，我们的支付Φ（x）=（x- K） +。图5报告了有助于公式（45）中给出的分解的资金和DVA组件的价值。

在更安全的场景中（左面板），随着RFR的增加，资金部分变得占主导地位，而在交易方的默认时间内，来自结算头寸的复制成本的贡献很小。随着交易者和交易对手的违约风险变得更高（右面板），并且对于不太高的融资利率rf，鉴于结算程序提前触发且结算支付更大，DVA部分占主导地位。比较图6和图7的底部面板，我们可以看到，在这两种情况下，交易公司债券份额的数量相似，用于复制跳转到收尾值。然而，在风险情景下，根据估值指标，交易方债券的回报率更高，因此对XVA的贡献更大。当α较高时，XVA为正。交易员债券的头寸高于交易对手债券，因为需要复制剩余的DVA部分（在抵押品缓解后），而CVA部分为零，因为交易员面临的交易对手风险敞口为零。随着α的增加，考虑到头寸更具抵押性，需要复制较小的残余DVA分量。因此，交易者减少了自己债券的头寸。0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15RF102030405060708090价格构成（%）资金DVA0。08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15RF20304050607080价格组成（%）资助DVAFigure 5：默认情况下，Piterbargmodel中的XVA分解（以复制索赔市值的百分比表示）。我们设定rr=0.05，rc=0.01，σ=0.2，α=0.25，LC=0.5，LI=0.5。该权利要求是到期日为T=1的货币买入期权。左：uI=0.2，uC=0.25。

右：uI=0.55，uC=0.55。图6和图7的直接比较表明，对于适度低水平的抵押，交易员在风险情景下购买更多的自己的债券，并使用交易对手债券卖空的收益部分融资。备注5.5。公式（42）中给出的XVA公式及其对非负性pAyo ff（45）的特化也可以使用带跳跃和直接鞅变元的线性BSDE的表示结果来推导。这种方法用于（Bichuch等人，2015年，第5.2节）。6数值分析我们进行了比较静态分析，以分析在第4节的一般非线性设置中，XVA和投资组合复制策略对融资利率、债券回报和抵押水平的依赖性。我们考虑相对XVA，即以XVA±t/^Vt给出的索赔价格^Vt的百分比表示调整。该索赔被选择为股票证券的欧式看涨期权，即Φ（x）=（x- K） +。我们考虑S=K=1到期atT=1的货币期权。为了关注融资成本的影响（这在实践中是最相关的），并将其与抵押品和回购利率不对称对XVA的额外贡献分开，我们设定了r+c=r-c=0.01，r+r=r-r=0.05，除非另有规定。我们使用以下基准参数：σ=0.2，r+f=0.05，r-f=0.08，rD=0.01，uI=0.21，uC=0.16，LI=LC=0.5，α=0.9。我们使用有限差分Crank-Nicholson格式计算偏微分方程的数值解。我们分析的主要结果将在续篇中讨论。较高的融资利率增加了无套利区间的宽度。

由于衍生工具合同规定了期权的价格和交易的担保水平，因此无套利0。08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-12-10-8-6-4-2024相对XVA（%）α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-0.08-0.06-0.04-0.020.04股票α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.13 0.14 0.15rf00。010.020.030.040.050.06交易者债券股份α=0α=0.25α=0.75α=10.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15rf-15-10-505交易对手债券股份×10-3α=0α=0.25α=0.75α=1图6：左上：XVA作为rffor不同α的函数。右上角：复制策略中的股票数量。左下角：复制策略中交易员债券份额的数量。右下角：复制策略中的交易对手债券股份数量。我们设定rr=0.05，rc=0.01，σ=0.2，LC=0.5，LI=0.5，uI=0.16，uC=0.21。该债权是一种到期日为T=1的货币买入期权。该区域在XVA和α中显示为（二维）条带，而不仅仅是（一维）intervalin XVA。图8显示了无套利区间，其宽度在融资评级器中增加-f、 随着α变得更高，在再次加宽之前，谱带明显收缩，达到α=80%左右的最小值。请注意，买方和卖方的XVA没有对称行为。通过分析图8中带与担保水平α的依赖关系，可以更好地理解这一点。如果α不太高（α<0.5），则无套利区间相对于融资评级机构的扩大-因买方XVA减少而产生的fis。另一方面，如果α较高，买方的XVA对r的变化不敏感-f、 鉴于卖方的XVA随r增加-f、 有助于扩大无套利区间。表1中报告的数值进一步证明了这一点。