金融市场流动性的弦模型

然后将[21，定理3.1]与（2）相结合。或者，可以从[22，定理3.3.1]推导（7），方法是：写出F（x，t）=F（x，0）+ZtuF（x，u）du+MF（x，t），g（t）=g（0）+Ztug（u）du+Mg（t），并注意hmgi（t）=ZtZsσg（r，u）drdu，Fx、 g级（t）=MF公司x、 Mg公司（t） =ZTZσF十、g（u）、r、uσg（r，u）dsdu。请注意，（6）的某种形式对于定义（7）的右侧是必要的。3有原子贸易商和大型贸易商的市场将原子贸易商视为贸易商的连续统一体。每个原子论贸易商都以p价提交一份小型订单，并且没有以任何特定价格集中订单。这种订单集中度的缺乏将原子论交易者与大型交易者区分开来。与[18，假设A1]类似，我们假设市场是无摩擦的，即不存在交易成本。我们还假设买卖限制价格p可以取0到S之间的每一个值，并且订单可以在t的任何时间提交给市场∈ [0，T]。定义2净需求曲线Q=Q（p，t，ω）是一个实值函数[0，S]×[0，t]×Ohm. 数量Q（p，t，ω）等于原子贸易商在时间0和时间t之间以低于或等于p的价格提交购买的股份总数与以大于或等于p的价格提交出售的股份总数之间的差值。假设Q1。每t∈ [0，T]，函数Q=Q（p，T）在其第一个参数p中是两个连续可微分且严格递减的。如果N是市场上流通的股份总数，那么，对于所有p∈ （0，S）和t∈ [0，T]，- N≤ Q（S，t）<Q（p，t）<Q（0，t）≤ N、 （8）净需求曲线作为价格PI的函数而下降，这是市场机制的直接后果。

事实上，可用买入订单的数量随着价格的下降而减少，而可用卖出订单的数量却在增加：低买高卖。我们的假设Q1类似于【18】中的假设A3或【3】中的假设2；另请参见下面的备注1。请注意，对于固定价格p，无论是购买还是出售，提交的股份总数都不需要及时增加。因此，Q（p，t）作为t的函数不存在单调性条件。用p（x，t）表示t时市场上的可用价格∈ [0，T]当大交易者的头寸为x时∈ [xmin，xmax]，负值x对应于空头头寸。我们假设以下市场清算条件：QP（x，t），t+ x=C，（9），其中C是常数。备注1等式（9）意味着大型交易商持有的股份数量与相应价格下的当前净需求之和不取决于时间。从数学角度来看，（9）右侧常数的特定值在这一点上并不重要，我们将其设置为零：QP（x，t），t+ x=0。（10） 通过假设Q1，Q（p，t）在p中单调递减，然后（10）意味着p（x，t）在x中单调递增，这正是[3]中的假设2。By（8），P（x，t）∈ [0，S]用于所有x∈ [Q（S，t），Q（0，t）]，t∈ [0，T]。大交易者在时间t的头寸是可预测的过程θ=θ（t）。它也被称为大交易者交易策略。过程θ必须是满足xmin的半鞅≤ θ（t）≤ X最大值。（11） 为了使（10）总是有一个解，我们假定：Q（S，t）<xmin<xmax<Q（0，t），而不损失一般性。（12） 如文献[3]所示，最优交易策略是连续的，因此，在没有一般性的情况下，我们假设过程θ是连续的。

用Θ表示所有交易策略的集合，即满足（11）的连续半鞅。接下来，确定大型交易员在时间t byL（θ，t）=ZθP（x，t）dx处于固定头寸的渐近清算收益。（13） 银行账户中的大型交易员持有量用βθ（t）表示。通过交易策略θ获得的大型交易者的实际财富由Vθ（t）决定，其中Vθ（t）=βθ（t）+Lθ（t），t.在下面的内容中，我们使用符号Lθ（t），dt=Lx、 t型dP（x，t）x=θ（t）。每个θ的命题4∈ Θ，Vθ（t）- Vθ（0）=ZtLθ（u），du-Zt公司P十、θ（u），udhθi（u），（14），其中hθi是θ的二次变化。证据接下来是It^o-Wentzell公式；详情见[3，引理3.2]。推论5如果过程t 7→ZtL公司θ（u），du, T∈ [0，T]是等价鞅测度Q下的局部鞅，则可实现财富Vθ是Q证明下的上鞅。的确，ZtP十、θ（u），udhθi（u）≥ 0，对于所有t≥ 0，因为过程hθi增加，并且增加（10），P（x，t）/x>0。定义3套利策略是一种交易策略θ∈ 使得vθ（0）=0，PVθ（T）≥ 0= 1，PVθ（T）>0> 如果存在套利策略，市场模型允许套利。4有限因素模型中的套利考虑价格过程P（x，t）=u（t）+σ（x）hZ（t）, 十、∈ [xmin，xmax]，t≥ 0，（15）其中oxmin<0是大型交易员可以持有的最大空头头寸；ou=u（t）是一个u（t）>0的非随机、正、连续可微分函数σ=σ（x）是一个非随机、有界、严格递增的光滑函数；oh=h（y），y∈ R、 是一个严格正的有界函数；oZ=Z（t）是实值噪声过程。为了确保价格保持正值，我们假设δ=u（0）+minx，yσ（x）h（y）≥ 0

（16） 作为一个具体的例子，takeP（x，t）=20+2t+（2x- （1）2+正弦Z（t）, T≥ 0，x∈ [-2，2]；（17） Z（t）=σ（t）ZtZb（s，u）B（ds，du），具有布朗表B=B（s，t）和合适的函数σ和B。如果σ（x*) = 0表示某些x*> 0，则常数（与时间无关）购买策略θ（t）=x*, T≥ 0，是一种套利策略。根据Martin Schweizer（private communication）的说法，这种模式更具理论意义：在大多数应用中，价格不受上述限制。查看我们的在线补充，了解更复杂的模型，其中价格不限于上述价格，但至少需要两支股票才能产生套利。实际上，渐近清算过程isL（x*, t） =Zx*P（x，t）dx=u（t）x*+ HZ（t）Zx公司*σ（x）dx=x*u（t）+hZ（t）十、*Zx公司*σ（x）dx！。σmeansx的严格单调性*Zx公司*σ（x）dx>σ（0），因此，乘以（16），L（x*, t） >x*u（t）+σ（0）hZ（t）> 十、*δ（18）对于所有t≥ 0；第二个不等式也是严格的，因为σ（0）>σ（xmin）和hZ（t）> 因此，Vx*（t）- Vx公司*（0）=ZtL（x*, ds）=ZtL（x*, s） u（s）ds>x*δZtu（s）ds=x*δ[u（t）- u（0）]>0。（19） 对于所有t>0和所有ω∈ Ohm.在本例中，处理过程P更容易，但我们也可以导出Q的相应方程：Q（P，t）=-σ-1便士- u（t）hZ（t）!,其中σ-1是σ的倒数，即σ-1.σ（x）= x、 接下来，使用（15）和关系式Q将P作为x的函数进行逆变P（x，t），t+x=0.5无套利假设Q2的条件。过程Q（p，·）具有表示dq（p，t）=uQ（p，t）dt+σQ（p，t）ZbQ（p，s，t）B（ds，dt），（20）ZbQ（p，s，t）ds=1。（21）其中p∈ [0，S]，t∈ [0，T]，过程uQ（p，·）、σQ（p，·）和bQ（p，s，·）是R值的，并采用Ft。注2等式（20）是过程Q上常见的半鞅条件。

虽然并非每个过程（20）在p中都是单调的，但确保单调性的直接方法是设置q（p，t）=ψp、 t，B对于一些在第一个参数中严格递减的光滑函数ψ。其他示例如下所示。条件（21）是一种标准归一化，在σQ存在的情况下，不会导致失去一般性。假设Q3。对于每个t，函数Q=Q（p，t）对于p是两次连续可微的，对于每个p，函数Q=Q（p，s，t）在t中是连续的，而函数σQ（p，s，t）=σQ（p，t）bQ（p，s，t）。对于每一个s和t，对于p都是连续可微的。为了便于标注，我们引入了函数C（p，t）=-Qp（p，t）ZσQ（p，s，t）p∑Q（p，s，t）ds。定理6假设假设Q1、Q2和Q3成立。然后，外汇∈ [xmin，xmax]，价格过程t 7→ P（x，·）满足度dp（x，t）=uP（x，t）dt+σP（x，t）ZbP（x，s，t）B（ds，dt），（22），其中uP（x，t）=-uQP（x，t），t+QPP（x，t），tσPx、 t型+ CP（x，t），tQPP（x，t），t, （23）σP（x，t）=σQP（x，t），tQPP（x，t），t, （24）bP（x，s，t）=-bQ公司P（x，t），s，t. （25）证明。Q的单调性意味着（10）existsand定义的过程是唯一的，并且Qp<0，因此（i）表达式（23）定义明确，（ii）p（x，t）∈ [0，S]。Q的有界性意味着（6）成立。使用（7），我们现在将验证（22）定义了所需的过程：0=dQP（x，t），t= uQP（x，t），tdt+Z￠σQP（x，t），s，tB（ds，dt）+QPP（x，t），tuP（x，t）dt+σP（x，t）ZbP（x，s，t）B（ds，dt）+σP（x，t）QPP（x，t），tdt+σP（x，t）ZσQPP（x，t），s，tbP（x，s，t）dsdt。（26）将（26）中的鞅分量设置为零收益率（24）和（25）。之后，将（26）中的漂移分量设置为零，即得到（23）。接下来，我们研究了等价鞅测度存在的条件，即价格过程P为amartingale的测度。

为了便于标注，我们定义（p，t）=uQ（p，t）+Qp（p，t）σQ（p，t）Qp（p，t）！+C（p，t）。（27）定义4风险的市场价格是一个随机函数λ=λ（s，t），例如z∧σQ（p，s，t）λ（s，t）ds=a（p，t），p∈ [0，S]，t∈ [0，T]，（28）和，对于每s∈ [0，1]和t∈ [0，T]，随机变量λ（s，T）是可测的，我们称之为方程（28）需求形式的风险方程的市场价格。注3：虽然我们认为Q是基础模型的主要输入（或原语），但通过（10）可以将P而不是Q作为相应的原语。然后，通过（23）和（24），公式（29）变为σP（x，s，t）λ（s，t）ds=uP（x，t），x∈ [xmin，xmax]，t∈ [0，T]，（29），σP（x，s，T）=σP（x，T）bP（x，s，T）。我们称（29）为价格形式的riskequation的市场价格。定理7除了假设Q1、Q2和Q3之外，假设方程（28）的解λ=λ（s，t）满足（3）。根据（4）确定测量值。那么，每x∈ [xmin，xmax]，价格过程t 7→P（x，t）是关于测度Q的鞅证明。根据定理6，过程P具有表示dp（x，t）=-A.P（x，t），tQPP（x，t），tdt公司-σQP（x，t），tQPP（x，t），tZbQ公司P（x，t），s，tB（ds，dt）。根据推论2，如果等式（28）成立，则该过程是关于度量Qfrom（4）的鞅；条件（3）确保测量值Q得到很好的定义。结合定理7和[3，定理3.3]，我们得出结论，在假设Q1、Q2和Q3下，我们的模型中不存在套利。方程（28）是第一类Fredholm积分方程，并且只有当且仅当，对于每个t∈ [0，T]，每ω，右手边a（p，T）在积分算子T的范围内：f（s）7→Z▄σQ（p，s，t）f（s）ds；我们现在研究风险方程的市场价格给出解的模型。

在第5.1和5.2小节中，模型的原语是净需求Q，因此我们研究（28）是否有解，而在第5.3小节中，模型的原语是价格过程P，因此我们研究（29）是否有解。当在更容易求解的风险方程的市场价格中使用P结果时，我们参考读者的备注5，在备注5中，我们描述了使用P而不是使用Q.5.1线性模型的一个细微缺点，即存在等价鞅测度的充分条件是存在（28）的有界解λ。当需求曲线在p中呈线性时，该条件易于验证；参见[29]。命题8假设需求曲线与p呈线性关系，因此 σQp（p，s，t）Qp（p，t）=hQ（s，t）和Qp（p，t）=0，有界函数hQ。如果存在有界函数λQ=λQ（s，t），则对于每个t∈ [0，T]，uQ（p，T）=ZσQ（p，s，T）λQ（s，T）ds，（30）那么方程（28）有一个有界解λ（s，T）=λQ（s，T）- 总部（s、t）。（31）证明。在命题的假设下，方程（28）变为Z▄σQ（p，s，t）λ（s，t）ds=Z▄σQ（p，s，t）λQ（s，t）ds-Z▄σQ（p，s，t）hQ（s，t）ds，然后是（31）。结合命题8和[29，定理2.6]，我们得出结论，在线性需求曲线的情况下，只要条件（30）成立，就不存在套利机会。注意，（30）类似于原始HJM模型中的条件C.4【17】。5.2分离模型线性需求模型的扩展是分离需求曲线Q（p，t）=σ（p）FZtZb（s，u）B（ds，du）.命题9假设zb（s，u）ds=1，对于所有u∈ [0，S]，also0<δ≤ F（x），0<δ≤ |F（x）|≤ C、 | F（x）|≤ C、 σ（p）<0，| b（t，u）|≤ C、 ddpσ（p）σ（p）σ（p）!= 0。（32）那么方程（28）有一个有界解。证据

根据It^o公式，uQ（p，t）=σ（p）h（t），bQ（t，s）=b（t，s），σQ（p，t）=σ（p）h（t），σQ（p，t，s）=σ（p）b（s，t）h（t）=FZtZb（s，u）B（ds，du）,h（t）=FZtZb（s，u）B（ds，du）.通过直接计算，方程（28）的有界解为λ（s，t）=b（s，t）h（t）h（t）+h（t）σ2h（t）-h（t）h（t）,h（t）=FZtZb（s，u）B（ds，du）,σ=σ（p）σ（p）σ（p）.方程（32）定义了一个三参数函数族σ。该系列包括线性函数，对应于σ=0.5.3对数正态模型在该模型中，输入是P，价格是数量的函数，主要目标是分析价格格式（29）中风险方程的市场价格。为了求解得到的第一类Fredholm方程，我们将其转换为Volterra方程。设0<ε<1/2。我们定义了将量化变量x映射到噪声变量s的比例函数：f（x）=2ε+（1- 2ε）x- xminxmax- xmin；（33）注意2ε≤ f（x）≤ 1代表x∈ [xmin，xmax]。引入非随机函数p=p（x），“up=”up（x）和“σ=”σp（x，s），并假设pand？upare C（即有界且连续可微，具有有界导数）和“σ是Cin x，与s一致。我们还假设o？σp（x，s）=0表示s≤ ε、 o(R)σpx、 f（x）x从零开始一致有界∈ [xmin，xmax]；o对于s>f（x），σp（x，s）=0Rε′σp（xmin，s）ds 6=0；oR2εε′σp（xmin，s）ds 6=0。定义价格密度函数p（x，t）=p（x）expup（x）t+Zεσp（x，s）B（ds，t）-Zε′σp（x，s）ds, （34）然后价格过程p（x，t）=p（xmin，t）+Zxxminp（y，t）dy，x∈ [xmin，xmax]。

（35）命题10方程（29）有一个有界解。我们在第9.1节中证明了命题10。备注4可以“在风险中性度量中”表示净需求曲线，就像从业人员在HJM框架中建模利率一样：将（23）和（24）与定理7相结合，表明度量Q下的过程Q满足dq（p，t）=-Q（p，t）pσQ（p，t）Q（p，t）p+Qp（p，t）（σQ（p，t））Pdt+σQ（p，t）ZbQ（p，s，t）BQ（ds，dt），（36）Q（p，0）=Q（p）。在这项工作中，我们总是根据物理量P定义Q，在定理7的条件下，它会自动导出（36）的经典解。另一方面，作为一个（相当复杂的）拟线性随机偏微分方程，（36）在阿达玛意义上是不适定的；参见【11，第3.7节】。这种不合时宜的情况表明，流动性模型总体上是不稳定的，这表明了以Q=Q（p，t）形式构建模型的另一个好处，即数量是价格的函数。事实上，在大多数关于该主题的现有文献中使用的公式P=P（x，t），即价格作为数量的函数，模型的不稳定性一点也不明显。我们怀疑不稳定的原因是P或Q的单调性是很难满足的条件；如果没有单调性，则更难连接过程P和Q，并使价格族aQ鞅。6期权定价在一个可操作的市场上与以前一样，我们的市场由原子论交易者和一个大型交易者组成。本节讨论的问题是，当大型交易者可以操纵市场时，如何描述非能动证券的价格。

虽然衍生证券的价格似乎应该取决于大型交易者策略θ的未来，但本节表明，情况往往并非如此。用Θbv表示Θ（大型交易者策略集）的子集，该子集由所有有界变化的函数θ（t）=θ（0）+Zt˙θ（s）ds，˙θ组成∈ L（（0，T））。根据推论5（参见[3，第7页]），largetrader没有交易成本相当于条件θ∈ ΘBV。我们通过Qθ（p，t）=Q（p，t）+θ（t），（37）定义市场上的可观测净需求，因此dqθ（p，t）=uQ（p，t）+˙θ（t）dt+Z▄σQ（p，s，t）B（ds，dt），p∈ [0，S]，t∈ [0，T]。同样，相应的价格过程Pθ=Pθ（x，t）由qθ定义Pθ（x，t），t+ x=0，（38），然后根据It^o-Wentzell公式，dPθ（x，t）=uP（x，t）+P（x，t）x˙θ（t）dt公司-Z▄σQPθ（x，t），s，tQpPθ（x，t），tB（ds，dt），t∈ [0，T]。（39）数量x代表交易者头寸与策略θ的偏差；通常，x的容许值范围取决于θ。我们用πθ（t）：Qθ表示时间t的结算价格πθ（t），t= 常数策略θc（t）：=θ（0），0≤ T≤ T将引起特别的兴趣。假设Q4。对于每个θ∈ ΘBV，存在一个测度Qθ，对于每个可容许的x，过程t 7→ Pθ（x，t）是qθ下的鞅。定理11如果θ∈ 那么，对于每个Borel集∈ B（C（[0，T]）），Qθπθ∈ A.= Qθcπθc∈ A..证据考虑由方程dx（t）=定义的随机过程X=X（t）-Z▄σQ（X（t），s，t）Qp（X（t），t）B（ds，dt），初始条件X（0）=pθ（0，0）；σq的性质包括解的存在性和唯一性。通过构造，πθ（t）=Pθ（0，t）。（40）从原始测量值P切换到测量值Qθ会移除（39）中的漂移部分，但不会改变扩散部分。