金融市场流动性的弦模型

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英文标题：
《A String Model of Liquidity in Financial Markets》
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作者：
Sergey Lototsky and Henry Schellhorn and Ran Zhao
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a dynamic market model of liquidity where unmatched buy and sell limit orders are stored in order books. The resulting net demand surface constitutes the sole input to the model. We prove that generically there is no arbitrage in the model when the driving noise is a stochastic string. Under the equivalent martingale measure, the clearing price is a martingale, and options can be priced under the no-arbitrage hypothesis. We consider several parameterized versions of the model, and show some advantages of specifying the demand curve as quantity as a function of price (as opposed to price as a function of quantity). We calibrate our model to real order book data, compute option prices by Monte Carlo simulation, and compare the results to observed data.
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中文摘要：
我们考虑流动性的动态市场模型，其中无匹配的买入和卖出限额订单存储在订单簿中。生成的净需求面构成模型的唯一输入。我们证明了当驱动噪声为随机字符串时，模型一般不存在套利。在等价鞅测度下，清算价格是鞅，期权可以在无套利假设下定价。我们考虑了该模型的几个参数化版本，并展示了将需求曲线指定为数量与价格的函数（而不是价格与数量的函数）的一些优点。我们根据实际订单数据对模型进行校准，通过蒙特卡罗模拟计算期权价格，并将结果与观测数据进行比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_String_Model_of_Liquidity_in_Financial_Markets.pdf (1.86 MB)

2022-5-25 15:00:05 上传

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关键词：金融市场 流动性 Mathematical Quantitative mathematica

金融市场流动性的弦模型Sergey Lototsky*Henry Schellhorn+Ran ZhaoAbstractWe考虑流动性的动态市场模型，其中未匹配的买入和卖出限额订单存储在订单簿中。生成的netdemand曲面构成模型的唯一输入。我们证明了当驱动噪声是随机字符串时，模型中一般不存在套利。在等价鞅测度下，定价是鞅，期权可以在无轨道假设下定价。我们考虑了模型的几个参数化版本，并展示了将需求曲线数量指定为价格函数（而不是价格作为数量函数）的一些优势。我们根据实际订单数据对模型进行校准，通过蒙特卡罗模拟计算期权价格，并将结果与观测数据进行比较。关键词：流动性建模·字符串模型·It^o-Wentzellformula·无套利条件·SPDEMSC（2010）：91B26·91G80·91G601简介在我们的模型中，资产的均衡价格完全由Theoreder Flow决定，这被视为一个外生过程。我们建立了一个没有专家的资产市场模型，其中每个交易者都提交限额订单，即*南加州大学数学系+克莱蒙特研究生大学数学科学研究所克莱蒙特研究生大学数学科学研究所和德鲁克管理学院。对于购买订单，买方指定最高购买价格或购买限制价格，对于销售订单，卖方指定最低销售价格或销售限制价格。如果在给定的时间内，买方因所需限价的销售订单不足而无法完成整个订单，则订单中不匹配的部分将记录在订单簿中。对于传入的销售订单，存在Symmetricoutcom。

随后，这些buyunmatched订单可能会与新的传入销售订单相匹配。我们注意到，这是许多电子交易所的操作程序，例如纽约证券交易所Arca。时间优先权用于打破进入买方之间的不确定性，即以高于要价的限价（即销售订单簿中的最低限价）进行匹配。因此，清洁价格过程的均衡总是被定义的。由于匹配机制不会向经济中添加任何信息，因此有关资产价格的所有信息都包含在订单中。公共交易所应该还是不应该实时披露订单数据是一个重要问题，这一直困扰着金融市场共同体（Financial Markets Community）[35]。我们的理论框架适应了这两种观点。然而，我们的模型在订单簿是公共信息，但大型交易员头寸未知的经济体中最有用。当前高频交易活动的蓬勃发展【2、7、13、16】似乎证实了我们的观点，即交易员（i）有兴趣了解订单信息，以及（ii）利用该信息进行交易。我们在本文中不讨论差异信息的问题。市场微观结构文献，如凯尔模型[23]，考虑了涉及多个不知情或噪声交易者以及一个或多个知情交易者的各种情况。[23]的一个关键结果是，考虑到噪音交易者可用的信息，由此产生的价格过程是一个关于适当度量的鞅，而对于知情交易者可能不是。因此，我们不认为抽象不同信息的问题会导致任何通用性的损失。订单反映了所有公共信息。

公共信息对应于过滤，为了避免套利，清算价格需要有一个等价的鞅测度。显然，结算价格可能不是一个市场，但该声明并不缺乏普遍性。在我们的模型中，买市订单可以指定为限价订单，限价等于单位。由于我们仅以正价格对资产进行建模，因此在我们的模型中，卖出市场订单可以指定为限价等于零的卖出限价订单。如果过滤扩大到包含私人信息，则在上述措施中使用tingale。流动性文献中主要有两类模型。第一类模型（[3、5、4、14、18、19、27、28、30、33]）考虑了能够操纵市场价格的大型交易员的行为；我们的模型属于这个类。大型交易者可以采用以下两种策略之一：“垄断市场，挤压空头”或“抢先进行自己的交易”。虽然一些交易所有限制市场垄断的规定，但禁止交易所抢先交易似乎更难。在离散时间交易中，众所周知，在大投资者不进行交易的时段内，没有套利意味着不存在市场操纵策略。例如，在[9、8、10、15]中考虑的第二类模型抽象了市场操纵的问题，并考虑了所有贸易商的价格承受者。特别是，[8]引入了投资者交易所依据的外生剩余供给曲线。

投资者交易市场订单，订单即时匹配，然后，如[3]所述，合理的假设是，订单的价格影响仅限于订单投放市场的那一刻，因此未来时间的剩余供应曲线在统计上独立于刚刚匹配的订单。Roch（29）的论文试图通过分析大型交易商对需求价格的线性影响，弥合这两类模型之间的差距。相比之下，我们的模型并不局限于线性影响。我们的模型在两个方向上扩展了以前的模型。在我们的模型中，所有信息都包含在驱动市场净需求曲线动态的布朗表中。这样的字符串模型可以在净需求曲线中代表任何相关结构，并且已经在金融中引入该模型来模拟收益率曲线。圣克拉拉（Santa Clara）和索内特（Sornette）[32]认为，“相对于术语而言不连续的]正向曲线[…]直觉上不太可能”。经济中所有的不确定性都包含在这个单一的布朗表中。因此，我们可以假设，通过在净需求曲线上的不同点进行交易，可以复制债权，因此市场是完整的。其次，我们的需求曲线表示数量（股票数量）作为价格的函数，而传统上，需求曲线表示价格作为数量的函数。这种公式的主要优点是，我们可以很容易地证明一个风险中性的定价公式，在一个大交易者可以操纵的市场中，但她限制自己使用有界变化的连续策略，以避免流动性成本。这种方法还有一个技术优势（见备注5）。

有趣的是，我们的需求曲线风险中性模型（表示为数量与价格的函数）得出了一个非线性随机偏微分方程（SPDE）。该SPDE的线性化导致模型不稳定。这是否可以从数学上解释为什么非流动性市场往往不稳定？我们把这个有趣的问题留给以后的研究。我们分两步来确定我们的模型。在第一步中，我们考虑一个有原子贸易商和大型贸易商的市场，并在原子贸易商的净需求曲线上制定条件，使大型贸易商无法操纵市场，因此，将避免交易产生流动性成本的大型贸易商或有限变动订单。然后，我们假设在第二步中，大型交易者被简化为不同的策略。一般来说，大型交易者的策略是不可见的。幸运的是，在上述完整性假设下，我们得到的风险中性定价公式对于每个大型交易者策略都是相同的。因此，即使大交易者可以操纵标的市场，她也无法操纵期权价格，其交易对标的当前价格的直接影响除外。这是我们模型的一个权宜之计：我们不需要确定市场上是有一个大型交易员，还是有几个大型交易员，期权定价公式才是合理的。因此，我们的贡献是双重的。首先，我们证明了在自然套利下，大型交易者不能产生套利，并得到了风险中性定价公式。其次，我们将一个特定的模型与经验数据相匹配。在这一特定模型中，流动性效应对期权价格有影响。与Black-Scholes[6]之后的大多数其他模型类似，我们获得了隐含波动率的微笑曲线。

我们的分析表明，公平技术（有限维）模型可以很容易地实现。我们希望，如果这篇论文引起了从业者的兴趣，那么接下来会有比这篇论文中包含的更多的重新定义的实现，这不仅仅是为了证明我们的概念。本文的结构如下。第2节介绍了市场机制和弦模型的初步内容。第3节介绍了不确定性因素串模型，第4节说明了在不确定性因素模型中套利的可能性。第5节导出了等价鞅测度存在的一般条件。第6节介绍了一个期权定价公式，在这个市场中，大型交易员可以操纵标的资产的价格。第7节介绍了我们将在实证分析中使用的离散化模型。实证分析在第8节中，我们描述了数据集、离散化算法和期权定价。我们在第9节（附录）2序言2中提供了证明的技术细节。1市场机制购买限制指令规定了交易员想要购买的股份数量，以及每股的最高购买价格；我们称这个价格为（买入）限价。所有限价指令规定了交易员想要卖出的股票数量，以及他愿意以什么样的最低价格卖出这些股票。我们称这个价格为（卖出）限价。不匹配的买卖订单存储在订单簿中，直到它们被取消或与传入订单匹配为止。收入订单与市场另一端价格最优的订单相匹配。交易的结算价格等于账簿中订单的限价，而不是传入订单的限价。允许部分执行，并按时间优先级解决关系。以下是离散时间匹配机制的示例，即在时间t最多有一个订单到达∈ {0，1，2。

.}。示例1假设时间0的结算价格是任何价格P（0）∈[100120]。结算后，即当0<t<1时，我们假设订单簿包含以下订单buy Order BookPrice Quantity100 10 Sell Order BookPrice Quantity120 10130 10当时间t=1时，购买订单到达时的限价为125美元，数量为15美元。交易所将其与最佳卖出订单进行匹配，即卖出限价为120美元的订单。然而，执行只是部分执行，购买订单的剩余部分以125美元的限价放入订单簿，导致以下订单簿：购买订单账面价格数量100 10125 5销售订单账面价格数量130 10时间1的结算价格等于销售订单的限价：P（1）=120。该示例说明了限价订单市场的几个属性：o结算价格始终是确定的，并且可以假设任何正值。o收到的订单可以“跨越”订单簿，即对于abuy订单，其限价高于最佳销售订单限价（即最佳询价），因为买方不会损失一分钱。交叉这本书确实有两个优势：第一，它允许更快的执行。在我们的例子中，如果买方以130美元的价格提交了一份订单，他就会购买他想要的全部数量的股票（15），而不是等待不确定的时间，直到足够多的卖出订单到达他的限价如果同时提交多个采购订单，且在最佳要求下需求超过供应，则首先执行限价最高的采购订单。我们自己的数据分析表明，很少有订单通过Arca图书。这与Rosu[31]提出的最优订单安排理论一致。2.2字符串建模我们现在转向连续时间，忽略了与离散时间模型收敛相关的技术细节。

我们从过滤概率空间开始(Ohm, F、 {Ft}，P）满足通常条件。除非另有说明，否则几乎可以肯定地理解随机变量的等式。同样，在解释了存在随机过程的修正后，我们不考虑掉期市场，其中价格可能为负。为了满足某种特性，我们在文本的其余部分不区分原始过程和相应的修改。所有的不确定度都用一维布朗表B=B（s，t）表示为0≤ s≤ 1和0≤ T≤ 生成{Ft的T≡ σB（s，t）; 0≤s≤ 1} 在0上≤ T≤ T构造aBrownian片和相应的随机积分有三种主要方法；参见Mueller【24】：1。鞅测度方法（Walsh[34，第2章]），2。希尔伯特空间方法（Da Prato和Zabczyk【12，第4章】），3。函数空间法（Krylov[20，第8.2节]）。希尔伯特空间方法包括鞅测度方法[12,24]；函数空间方法涵盖了希尔伯特空间方法[20]。为了利用函数空间方法构造关于布朗表的随机积分，我们采用正交基{mn；n≥ 1} 在L[0，1]中，设{wn，n≥ 1} 独立标准布朗运动[0，T]。确定随机领域B（s、t）=∞Xn=1wn（t）Zsmn（r）dr，s∈ [0，1]，t∈ [0，T]。因此，B=B（s，t）是一个高斯随机场，平均值为零，协方差为EB（s，t）B（r，u）=min（r，s）·min（t，u），然后，根据科尔莫戈罗夫连续性准则，B具有在（s，t）中联合连续的修正量【34，命题1.4】；此修改称为Brownian sheet。如果b=b（s，t）是一个随机场，使得ztzeb（s，t）dsdt<∞, （1） 对于每个s∈ [0，1]，过程b（s，·）为Ft-根据定义，调整ZtZsb（r，u）B（dr，du）=Xn≥1ZtZsb（r，u）mn（r）drdwn（u）。

（2） 然后，Girsanov定理（参见[1，定理2.2]或[12，定理10.14]）可以表述如下。定理1假设λ（s，·）是每个s的Ft可预测过程∈[0，1]，即经验值ZTZλ（s，u）B（ds，du）-ZTZλ（s，u）dsdu= 1.（3）定义一个新的概率度量Q(Ohm, FT）bydQ=exp-ZTZλ（s，u）B（ds，du）-ZTZλ（s，u）ds数据处理（4） LetBQ（s，t）=B（s，t）+ZtZsλ（r，u）drdu，（5），然后，对于每个s∈ [0，1]，过程BQ（s，·）是关于{Ft}0的标准布朗运动≤T≤t概率空间(Ohm, F、 Q）。推论2如果X=X（t），t∈ [0，T]是一个表示为X（T）=X（0）+ZtZsσX（r，u）λ（r，u）dsdu+ZtZsσX（r，u）B（dr，du）的随机过程，那么X是度量Q.2.3 It^o-Wentzell公式F=F（X，T），X下的鞅∈ R、 t型∈ [0，T]，是一个随机场，设g=g（T），T∈[0，T]是一个随机过程，使得F（x，T）=F（x，0）+ZtuF（x，u）du+ZtZsσF（x，r，u）B（dr，du），g（T）=g（0）+Ztug（u）du+ZtZsσg（r，u）B（dr，du）。定义1我们说这对（F，g）满足It^o-Wentzell条件1。随机变量F（x，0），x∈ R和g（0）是F-可测的；每个过程ug（·）、σg（r，·）、uF（x，·）、x∈ R、 σF（x，R，·）是适应的；3、函数F和g在t.4中是连续的。函数F在x中可连续二次微分，函数σFis在x.5中可连续二次微分。以下可积条件成立：EI<∞, 式中（6）I=ZTuFg（u），udu+ZTZσFg（u）、s、udsdu+ZTF十、g（u），uug（u）du+ZTZF十、g（u），uσg（s，u）dsdu+ZTZF十、g（u），uσg（s，u）dsdu+ZTZσF十、g（u）、s、uσg（s，u）dsdu。定理3如果对（F，g）满足It^o-Wentzell条件，则Fg（t），t- Fg（0），0=ZtuFg（u），udu+ZtZsσFg（u）、r、uB（dr，du）+ZtF十、g（u），uug（u）du+ZTZF十、g（u），uσg（r，u）B（dr，du）+ZtZsF十、g（u），uσg（r，u）drdu+ZtZsσF十、g（u）、r、uσg（r，u）drdu。（7） 证明。