金融市场流动性的弦模型

因此，（39）和（40）表示qθπθ∈ A.= P（X∈ A） =Qθcπθc∈ A., A.∈ BC（[0，T]）,完成证明。我们寻求为形式为Hθ=F的未定权益Hθ定价πθ（·）,对于C（（0，T））上的一些连续泛函F。我们假设它可以被交易策略所复制θ∈ Θ。文献[3]中的定理4.1表明，由策略生成的渐近清算过程θ∈ Θ可以是ε-近似于策略θ、 ε∈ ΘBV。根据命题3.3，相应的可变现财富Vθ、 ε是Qθ-鞅，因此我们可以定义（直到ε-近似）或有索赔Hθ的无套利价格：νθH=EQθ[F（πθ）]。以下定理是本节的主要结果。定理12假设假设假设Q1-Q4成立。如果θ∈ ΘBV，则Hθ的无套利价格仅取决于大交易策略的初始值：νθH=EQθc[F（πθc）]。（41）证明。带θ∈ ΘBV，（41）现在紧跟定理11。备注5定理12表明，使用P而不是Q有一个缺点。假设大交易者今天的头寸θ（0）=xmin，但不失一般性。在第5.3节的对数正态模型中，清除价格π将因此等于p（xmin）。查看方程式（34）中p（xmin）的定义，我们发现价格曲线的其余部分，即x>xmin的p（x）对p（xmin）的动力学没有影响，我们回到了标准的Black-Scholes模型。如果我们规定波动率是随机的，流动性效应就会存在，但这会使风险方程的市场价格更加复杂。7实用模型7。1连续版本本节中的模型满足使用前一节中开发的期权定价公式的主要要求。

特别是，净需求曲线被指定为数量与价格的函数；这使得流动性效应的建模比作为数量函数的价格模型更好（见备注5）。我们将我们的模型指定如下：Q（0，t）=Q（0，0）+FZ′σQ（0，s）B（ds，t）, （42）q（p，t）=q（p，0）+FZ′σq（p，s）B（ds，t）, （43）Q（p，t）=Q（0，t）-Zpq（x，t）dx，（44），并假设o0<δ0，min≤ F（x）≤ δ0，最大值，0<δ1，最小值≤ F（x）≤ δ1，最大值；oF∈ C、 infx | F（x）|>0；oF∈ C、 F（x）≤ -ε<0；o|“‘σQ（0，s，t）|+’σQ（p，s，t）|+|(R)σq（p、s、t）/p |≤ C、 o存在ε∈ （0，1）使得对于（s，p）σq（p，s，t）=0∈ [0，ε]×[εS，S]，和：Q（εS，t）+xmin≥ 0，0≤ T≤ T、 （45）同样，Q（0，T）通过构造是正的，因此条件Q（S，T）+xmax≤ 0，0≤ T≤ T、 （46）必须保持结算价格低于S。Let:h（T）≡F十、Z′σQ（0，s，t）B（ds，t）,h（p，t）≡F十、Z′σq（p，s，t）B（ds，t）.对于风险方程的市场价格，一种简便的方法（我们将在下一节中使用以获得明确的公式）是假设：h（t）Zε′σQ（0，s，t）ds- h（εS，t）ZεZεS′σq（x，S，t）dxds≥ η>0。（47）图1：流动性模型变量说明。引理13条件（45）、（46）和0<ε<S可以通过适当选择参数δ0、min、δ0、max、δ1、min、δ1、max、xmin、xmax、S in（42）、（43）、（44）来满足。我们在9.2节证明了引理13；图1提供了一个示例。根据（7.4），清算价格低于εS。因此，如果风险方程（48）的市场价格适用于小型领域p∈ [εS，S]：ZσQ（0，s，t）-Zph（x，t）(R)σq（x，s，t）dxλ（s，t）ds=A（p，t）。（48）我们得到的关于p的微分（48），因为（s，p）的σq（p，s，t）=0∈ 【0，ε】×【εS，S】：Zεh（p，t）(R)σq（p，S，t）λ（S，t）ds=-A（p，t）p、 p∈ [εS，S]。

（49）假设h（p，t）≤ η<0我们现在可以除以h（p，t）得到以下第一类确定性Fredholm方程：Zε′σq（p，s，t）λ（s，t）ds=-A（p，t）ph（p，t），p∈ [εS，S]。（50）命题14假设Fredholm方程（50）具有s的唯一解∈ [ε，1]。然后，风险方程的市场价格存在唯一解。证据我们需要证明，对于p=εS，方程（48）有一个解。该方程可以重写为：ZεИσQ（εS，S，t）λ（S，t）ds=a（εS，t）-ZεИσQ（εS，S，t）λ（S，t）ds。我们观察到：ZεИσQ（εS，S，t）ds=Zεh（t）(R)σQ（0，s，t）- h（εS，t）ZεS′σq（x，S，t）dxds。因此，通过（47）RεИσQ（εS，S，t）ds≥ η>0。因此，对于s∈ [0，ε）我们可以选择常数解：λ（s，t）=A（εs，t）-RεИσQ（εS，S，t）λ（S，t）dsRεИσQ（εS，S，t）ds。（51）然而，不可能在核σqsuch上建立实际条件，即（50）对任何右侧都有解决方案。这个问题在离散情况下不会发生，因此我们转向问题的有限维近似。回想一下，方程式27中提供了A（p，t）的公式。用uQ（p，t）和σQ（p，t）获得A（p，t）是足够的。我们将在下一小节中提供模型的离散化版本。7.2模型的离散化版本我们考虑一个有限的交易区间[0，T]，并离散化我们的时间轴0=T（n）<…<t（n）Jn=t。我们将仅验证离散价格P（n）集合的风险方程的市场价格，其中P（n）=np（n）≤ p（n）≤ ··· ≤ p（n）Ino，其中p（n）=εS，p（n）In=S。我们还将p（n）=0。

最后，我们通过设置k=0，…，来离散因子空间。。，In:s（n）k=kIn。在我们的离散模型中，函数σQ（0，，..）近似为：(R)σ（n）Q（0，s，t）=Jn-1Xj=0[t（n）j，t（n）j+1）（t）×In-1Xk=0[s（n）k，s（n）k+1）（s）(R)σQ0，s（n）k，t（n）j.为了简化符号，我们将函数σqin的近似定义为略微不同的方式，是否（s，p）∈ [0，ε）×[εS，S]或（S，p）是否属于域的其余部分。实际上，对于前一个域，我们需要引入一组可逆矩阵σ（n）q，jfor j∈ [0，Jn- 1] ：/σ（n）q，j=\'σ（n）q，j（1，1）。。。(R)σ（n）q，j（1，In- 1） 。。。。。。(R)σ（n）q，j（In- 1，1）。。。(R)σ（n）q，j（In- 1，英寸- （1）.然后，函数σqis近似为：σ（n）q（p，s，t）=Jn-1Xj=01[t（n）j，t（n）j+1）（t）×In-1Xi=01[p（n）i，p（n）i+1）（p）×1[s（n），s（n））（s）(R)σq（0，p（n）i，t（n）j）+In-1Xk=11[s（n）k，s（n）k+1）（s）(R)σ（n）q，j（i，k）1[p（n），p（n）In）（p）#。细心的读者会注意到，在不失去一般性的情况下，（s，p）的σ（n）q（p，s，t）=0∈ [ε，1）×[0，εS）。我们通过λ（n）（S，t）=Jn来离散风险的市场价格-1Xj=0[t（n）j，t（n）j+1）（t）In-1Xk=0[s（n）k，s（n）k+1）（s）λ（n）j（k）。第一类确定性Fredholm方程（50）变为：\'σ（n）q，j（1，1）。。。(R)σ（n）q，j（1，In- 1） 。。。。。。(R)σ（n）q，j（In- 1，1）。。。(R)σ（n）q，j（In- 1，英寸- （1）λ（n）j（1）。。。λ（n）j（n- （1）= 在里面A（p（n），t（n）j）h（p（n），t（n）j）-A（p（n），t（n）j）h（p（n），t（n）j）。。。A（p（n）英寸-1，t（n）j）h（p（n）In-1，t（n）j）-A（p（n）In，t（n）j）h（p（n）In，t（n）j）.（52）自σ（n）q起有一个解，jis假设每个j可逆∈ [0，Jn-1] .8实证分析我们根据历史数据校准了市场模型，然后模拟了净需求面，首先是物理测量，然后是风险中性测量，以对期权进行定价。为了简化符号，我们在最后一节中删除了所有变量的上标（n）。

我们选择以下模型：F（x）=δ0，min+δ0，max- δ0，min1+x，F（x）=δ1，min+δ1，max- δ1，min1+x.8.1数据交易数据收集自2011年4月纽约证券交易所Arca限额账簿订单。纽约证交所Arca历史账簿数据提供纽约证交所、纽约证交所Arca、纽约证交所MKT、纳斯达克和ArcaEdge平台在高延迟速度（小于5毫秒）下从凌晨3:30至晚上8:00的完整限额指令簿（LOB）信息。在本文的实证研究中，我们只考虑从上午9:30到下午4:00的订单。m、 ，当价格形成有效且股票定期且活跃交易时。每个限价单都包含唯一的参考编号、以秒和毫秒为单位的时间戳、以美元为单位的限价、以股数为单位的数量以及交易类型（“B”：买入或“S”：卖出）。所有限额订单簿记录分为三组：“A”：添加，“M”：修改，“D”：删除。对于市场流动性模型，我们考虑股票的净需求，这是通过将addedrecords（“A”）与修改后的（“M”）调整相加，然后减去删除的（“D”）订单得到的。具体而言，在特定的分区时间段内，如果适用且订单发生在同一分区时间内，则添加的订单将由修改的订单更新。我们使用苹果公司（纽约证券交易所：AAPL）截至2011年4月1日的限额订单数据。图2显示了与时间和价格相关的净需求面Q（左）和净需求密度Q（右）。每个时间步长相当于5分钟的实时交易时间。图2：真实数据集：左图显示了净需求surfaceQ，右图绘制了苹果公司股票的相应净需求增量q（纽约证券交易所：AAPL）。上市日期为2011年4月1日。每个时间步代表5分钟的实时交易时间。

每个价格步骤为0.0672美元，价格范围为344.24美元至350.96美元。正如该理论所表明的那样，在任何给定的时间，净需求Q都会随着股票价格而单调下降。对于给定的价格水平，随着时间的推移，净需求呈“驼峰”形状。驼峰型的一个合理解释是，对于这个特定的市场日期，买入订单在交易日开始时累积，然后大量卖出订单迅速减少了过去几个小时的净需求。8.2校准方法为简化说明，我们假设等分，即：s=sk+1- sk=英寸t=tj+1- tj=τJnp=pi+1=pi=sin，其中τ是我们的校准窗口。在我们的实证研究中，S=350.96，In=100，Jn=78，τ=1。我们将2011年4月1日上午9:30设置为时间零点（t=0）。首先，通过以下公式计算估计净需求量。^Q（pi，tj）=^QB（pi，tj）-^QS（pi，tj），i=0，在且j=0，Jn。（53）式中，^QB（pi，tj）是价格高于piat time tj的采购订单的可用数量，^QS（pi，tj）是价格低于t的销售订单在t时的可用数量。净需求密度q（pi，tj）估计为：^q（pi，tj）=-^Q（pi，tj）-^Q（pi-1，tj）p、 （54）其他模型参数为δ0、min=76、942、δ0、max=21、067、319、δ1、min=0和δ1、max=1、822、500，这满足了我们所选股票和日期的所有模型假设。矩阵∑q和∑q使用矩量法进行估计。8.3风险中性测量中的模拟我们使用Euler方案模拟净需求面。我们使用方程（52）计算风险的市场价格，然后使用方程（5）模拟带有随机字符串的路径。图3使用onerandom样本绘制了模拟的净需求和需求密度。从该图中我们可以看出，网络需求曲面的主要属性是满足的。

换句话说，任何给定时间的净需求曲线Qa向下倾斜，净需求密度q均为正。此外，模拟的净需求面（Q（p，t））模拟了真实数据中显示的“驼峰”形状。净需求密度（q（p，t））集中于类似的结算价格和交易时间，如经验限价单数据集所示。图3：模拟数据：左图显示了截至2011年4月1日苹果公司的模拟净需求表面，其中有一个随机模拟场景。模拟曲面的价格和时间范围与实时净需求曲面的比例相同。右图绘制了相应的净需求增量。8.4模型验证利用模拟的净需求面，我们然后计算（通过在价格方向上线性插值Q）市场清算价格π（t，ω），即：Q（π（t，ω），t，ω）=0，t∈ [t，t]。我们模拟了N=1000条价格π（，ω）的路径。设c（K）和p（K）是到期时间为t=t+30天的看涨期权在t<t时的价格的蒙特卡罗估计，并取K。根据定理12：c（K）=NNXω=1max（π（t，ω）- K、 0），p（K）=NNXω=1max（K- π（T，ω），0）。（55）通过求解σcall（K）=BS，计算不同走向水平K的隐含波动率-1（π（t）；K、 r，T，c（K）），σput（K）=BS-1（π（t）；K、 r，T，p（K）），（56），其中BS-1表示Black-Scholes欧式期权定价公式的倒数，在这里，我们求解给定清算价格π的隐含波动率水平。与我们的模型一致，我们选择了利率r=0.2537%，这是从市场零息票曲线（提供于WRDS OptionMetric数据库）中线性插值得到的。图4中，我们将模型隐含波动率与30天到期的市场期权隐含波动率进行了比较。从OptionMetric数据库中检索市场期权隐含效用偏差。

请注意，xaxis由相应期权的增量索引，即期权价格对现货水平变动的敏感性。看涨期权delta为Φ（d），看跌期权delta为Φ(-d） ，其中Φ（·）是标准正态累积分布函数。时间tisd=log（π（t）/K）+（r+σ）（t）时的项d（t）- t） σ√T- t、 （57）我们在波动率微笑表示中使用delta而非执行价格，因为OptionMetric数据库提供了LTA的波动率面，而delta是货币中期权的统一度量，这对从业者来说更感兴趣。图4：上图比较了市场看涨期权隐含波动率模型和模型隐含波动率偏斜。期权到期日为30天。下图比较了看跌期权的波动率。x轴表示相应选项的增量。所选库存为AppleInc。（纽约证券交易所：AAPL），上市日期为2011年4月1日。从上图中可以看出，看涨期权和看跌期权的货币（50%delta）波动率水平与市场隐含波动率水平几乎完美匹配。看涨期权和看跌期权的误差项分别为0.60%和0.21%（绝对差值），这表明我们使用的定价模型具有高度的市场一致性。该模型似乎高估了买入型和卖出型期权的货币内和货币外隐含波动率。一个看似合理的原因是，模拟路径很难深入到货币或货币水平。为了避免volatilitysmile变成波动性傻笑，建议使用多个交易日的限额订单数据，但校准和模拟方法基本相同。另一个看似合理的解释是，存在套利或市场不完全性，因此定理12不适用。9附录9。1命题证明10证明。

通过（34），p（x，t）=p（x）+Zt′p（x）p（x，r）dr+ZtZε′σp（x，s）B（ds，dr），因此（22）中相应的系数是∑p（x，s，t）=′σp（xmin，s）p（xmin，t）+Zxxmin′σp（y，s）p（y，t）dy，up（x，t）=up（xmin）p（xmin）p（xmin）p（y，t）dy∈ [0，T]并分三步构造（29）的解λ（s，T）：首先，对于s∈ [ε，2ε），然后，对于s∈ （2ε，1），最后，对于s∈ [0，ε）。首先，区分（29）的两侧，关于x:Zε′σp（x，s）p（x，t）λ（s，t）ds=(R)up（x）p（x，t），xmin≤ 十、≤ X最大值，t∈ [0，T]。接下来，将两侧除以p（x，t）：Zε′σp（x，s）λ（s，t）ds=(R)up（x），xmin≤ 十、≤ X最大值，t∈ [0，T]。由于s>f（x）时‘σp（x，s）=0，Zf（x）ε‘σp（x，s）λ（s，t）ds=’up（x），xmin≤ 十、≤ X最大值，t∈ [0，T]。（58）当s∈ [ε，2ε]：λ（s，t）=up（xmin）R2εε′σp（xmin，s）ds。接下来，关于s的x定义λ（s，t）（58）的微分∈ [2ε，1]：λf（x），t=（1）- 2ε）’σpx、 f（x）up（x）十、-Zf（x）ε(R)σp（x，s）xλ（s，t）ds！。回想一下x 7→ f（x）是从[xmin，xmax]到[2ε，1]的双射。最后，我们定义λ（s，t）为s∈ [0，ε）。为此，我们评估（29）atx=xmin:Zε′σp（xmin，s）p（xmin，t）λ（s，t）ds=(R)up（xmin）p（xmin，t）-Zε′σp（xmin，s）p（xmin，t）λ（s，t）ds，并选择一个常数解：λ（s，t）=up（xmin）-Rε′σp（xmin，s）λ（s，t）dsεRε′σp（xmin，s）ds，0≤ s<ε9.2引理13的证明。不等式（46）适用于所有t∈ [0，T]ifQ（0，0）+δ0，max-ZSq（p，0）dp- δ1，min+xmax≤ 0.（59），而不等式（45）适用于所有t∈ [0，T]如果，对于某些0<ε<1，Q（0，0）-Zεq（p，0）dp- δ1，最大εS+xmin≥ 0

（60）如果我们假设给定了xmax、xminan和S，我们就解决了δ1、min和δ1、max的这些不等式：δ1、min≥xmax+Q（0，0）+δ0，最大值-RSq（p，0）dpS，δ1，最大值≤xmin+Q（0，0）-Rεq（p，0）dpεS。我们必须首先检查δ1，min<δ1，max，它满足以下条件：xmax+q（0，0）+δ0，max-RSq（p，0）dpS<xmin+Q（0，0）-Rεq（p，0）dpεS，或ε<xmin+q（0，0）-Rεq（p，0）dpxmax+q（0，0）+δ0，max-RSq（p，0）dp。观察右侧严格为正，因此我们可以选择ε>0。如果δ0，max>xmin，则价格εS小于S- x最大+ZSq（p，0）dp。参考文献【1】Allouba，H.（1998）。Girsanov\'stheorem眼中不同类型的SPDE。随机肛门。应用程序。，16（5）：787–810。[2] Bandi，F.、Russell，J.和Zhu，Y.（2008）。使用高频数据进行动态投资组合选择。计量经济学评论，27（1-3）：163–198。[3] Bank，P.和Baum，D.（2004年）。大型交易商金融市场中的套期保值和投资组合优化。数学金融，14（1）：1-18。[4] Bank，P.和Kramkov，D.（2015a）。大型投资者按市场差异价格交易的大型模型ii：连续时间案例。《应用概率年鉴》，25（5）：2708–2742。[5] Bank，P.和Kramkov，D.（2015b）。大型投资者以市场差异价格进行交易的模型。i： 单周期情况。《金融与随机》，19（2）：449-472。[6] Black，F.和Scholes，M.（1973年）。期权定价和公司责任。《政治经济学杂志》，8（3）：217–224。[7] Bollerslev，T.、Litvinova，J.和Tauchen，G.（1973年）。高频数据中的杠杆和波动性反馈效应。《金融经济计量学杂志》，81（3）：637–654。[8] C,etin，U.，Jarrow，R.，和Protter，P.（2004）。流动性风险与套利定价理论。《金融与随机》，8（3）：311–341。[9] C,etin，U.和Rogers，C.（2007）。在离散时间内建模流动性影响。数学金融，17:15–29。[10] C,etin，U.，Soner，M.H.，和Touzi，N.（2010）。