波动性和套利

此外，由于Kunita Watanabe不等式（Karatzas和Shreve（1991）中的命题3.2.14），过程αi，j（·）取[-1，1]对于每个i，j=1，···，d。我们还考虑停止时间的顺序dn：=infT≥ 0：最小1≤我≤dui（t）<n, N∈ N、 （5.8）定理5.10（严格的非退化条件）。假设过程u（·）存在一个偏差=u（·），··，ud（·）相对市场权重，以及满足（4.2）某些实际常数η>0的正则函数G。此外，假设d- （5.7）中的矩阵值过程α（·）的最大特征值在[[0，Dn[[in（t，ω）]上远离零，对于每个n∈ N、 用（5.8）表示。那么在[0，T]上存在相对于市场的相对套利，因为每个真实数T>0。定理5.10的证明在本小节末尾。下面的命题6.11表明，在这个定理中，d- 1矩阵值过程的最大特征值α（·）最严格正。如果它们没有额外远离零的界，那么可以构造一个例子，其中对于某些实数T>0，在时间范围[0，T]内，相对于市场的相对套利不存在。必须强调的是，定理5.10只确定了交易策略的存在，而交易策略会影响所声称的相对套利。此外，与定理4.3中的交易策略不同，定理4.3中的交易策略具有很强的套利性、明确性、无模型性和独立于时间范围，而定理5.10中声称存在的交易策略可能不是这些东西。备注5.11（It^o-过程协变量结构）。

如果hui，uji（·）=R··βi，j（t）dt适用于所有i，j=1，···，d，则ΓQ（·）=dXj=1Z··βj，j（t）dt；αi，j（·）1{Pdk=1βk，k（·）>0}=βi，j（·）Pdk=1βk，k（·）{Pdk=1βk，k（·）>0}，i，j=1，··，d。因此，在这种情况下，对于OREM 5.10中的非退化假设来说，一个充分（尽管不是必要）的条件是-1矩阵值过程β（·）的最大特征值从零开始，从整数开始[[0，Dn[]，对于每个n∈ N、 定理5.10的证明使用以下引理。引理5.12（从下面有界的二次变化之和）。假设存在生成函数G和常数η>0，从而满足（4.2）。然后，对于每个n∈ N、 存在一个实常数C=C（N，η，d，G），使得映射t 7→ ΓQ（t）- Ct在[[0，Dn[]证明上不减损。让我们来验证一下∈ N、 由于（3.2），我们得到了ΓG（·）=-dXi=1dXj=1Z·Di，jGu（t）αi，j（t）dΓQ（t）on[[0，Dn[]。接下来，我们观察到Pdi=1Pdj=1Di，jGu（·）在随机区间[[0，Dn[[]上，由一个大于0的实数常数Kn界定。根据不等式|αi，j（·）|≤ 1对所有1≤ i、 j≤ d、 我们有差异knΓQ（·）- 2ΓG（·）在[[0，Dn[（5.9）上是非减量的，因此，（4.2）得出C=2η/Kn的陈述。命题5.13（两种资产的情况）。假设d=2，并且存在一个正则函数和一个实际常数η>0，这样（4.2）就可以满足。那么，在时间范围内，相对于市场的强套利可以通过一个长期交易策略来实现[0，T]，对于任何给定的实数T>0。证据这直接来自引理5.12和定理5.1，如本例中的ΓQ（·）=2hui（·）。或者，命题5.13的较弱公式也可以通过定理5.10证明，该公式保证在任何给定的时间范围内存在相对套利，但不保证这种相对套利很强。

为了应用这个结果，有必要检查α（·）的最大特征值是否等于1。然而，这里很容易看到：我们有u（·）=1- u（·）；因此，α1,1（·）=α2,2（·）=1/2和α1,2（·）=α2,1（·）=-因此矩阵α（·）的特征值实际上是0和1。定理5.10的证明。首先，我们可以假定G是非负的，而不失一般性。我们应该用矛盾来解释，假设对于某个实数T*> 0在时间范围内，不可能对市场进行相对套利[0，T*]. 备注4.2给出了等效概率测度Q的存在性*~ F上的P（T*), 其中相对重量u(·∧ T*), ··· , ud(·∧ T*)是鞅。接下来，我们将证明这导致了h=minx的性质（5.5）∈dG（x），因此，在定理5.7的强度上，对期望的矛盾。为了在这种方法上取得进展，我们确定ε>0和T∈ （0，T*], 定义：=G-1.[h，h+ε）∩ （0，1）d d+，选择点x∈ U、 和fix一个整数N∈ N足够大，以便Min1≤我≤dxi>N；最小1≤我≤dui（0）>N。我们从引理5.12中调用常数C=C（N，η，d，G），并定义停止时间%：=infT≥ 0：ΓQ（t）>CT. （5.10）为了将来的参考，我们注意到引理5.12产生了集合包含{DN≥ T} {%≤ T}。（5.11）现在，为了获得（5.5），有必要显示停止的过程ν（·）：=u· ∧%（5.12）满意度Q*ν（T）∈ U> 0。这将在我们展示NQ后立即进行*dXi=1（νi（T）- xi）<δ！>0。（5.13）此处δ∈ （0，1/N）足够小，因此∈ d、 我们有dxi=1（yi- xi）<δ意味着y∈ U和min1≤我≤dyi>N；dXi=1（yi- ui（0））<δ表示min1≤我≤dyi>N。很明显，由于（5.10），对于（5.12）中停止的过程ν（·），我们有上界dXi=1hνii（·）=dXi=1huii（·）∧ %) = ΓQ（·）∧ %) ≤ CT。（5.14）为了建立（5.13），我们修改了Stroock和Varadhan（1972）以及Stroock（1971）中的论点。

我们确定向量ζ：=x- u（0）CT（5.15）和letα[（·）表示（5.7）中矩阵α（·）的摩尔-彭罗斯伪逆。接下来，注意向量ζ在[[0，DN[]上的α（·）范围内，因为矩阵α（·）具有秩d- 满足度α（·）e=0，其中e=（1，···，1）。因此，我们有α（·）α[（·）ζ=ζ在[[0，DN[[]上。我们现在引入continuousQ*–局部鞅（·）：=Z·∧DNα[（t）ζ，dν（t）=Z·∧DN∧%α[（t）ζ，du（t）.该局部鞅的二次变化由一个实常数控制：即hMi（·）=Z·∧DN∧%ζα[（t）α（t）α[（t）ζdΓQ（t）=Z·∧DN∧%ζα[（t）ζdΓQ（t）≤ζζcNΓQ（·∧ DN∧ %) ≤CT cNdXi=1（xi- ui（0））≤CT cN，根据（5.14）和（5.15），其中实常数cN>0表示随机区间[[0，DN[]上α（·）最小正特征值的下界。同样，我们有hνi，Mi（·）=dXj=1dXk=1Z·∧DN∧%ζkα[k，j（t）αi，j（t）dΓQ（t）=ζiΓQ· ∧丹麦∧ %=xi- ui（0）CTΓQ· ∧丹麦∧ %, i=1，···，d.（5.16）根据Novikov定理（Karatzas and Shreve（1991）中的命题3.5.12），随机指数E（M（·））是一致可积的Q*–鞅。因此，这个指数鞅在F（T）上生成了一个新的概率测度Q*), 相当于Q*. 根据Girsanov定理的van SchuppenWong扩展（同上，练习3.5.20），我们得到了分解νi（·）=ui（0）+hνi，Mi（·）+Xi（·），i=1，··，d，其中Xi（·）是一个Q-局部鞅，Xi（0）=0。我们现在考虑事件a：=（maxt≤TdXi=1Xi（t）<δ）。由于（5.16），对于每个i=1，···，d的分量ui（0）+hui，Mi（·）的任何向量都是u（0）和x的凸组合；这导致 {DN≥ T}。

现在，结合（5.11）和（5.16），这个集合包含意味着hνi，Mi（T）=xi- A上的ui（0），i=1，··，d，因此dxi=1（νi（T）- xi）=dXi=1（νi（T）- ui（0）- hνi，Mi（T））=dXi=1Xi（T）<δ。因此，权利要求（5.13）将遵循等效Q*~ Q、 一旦我们确定Q（A）>0。为了论证这种积极性，我们首先介绍了过程R（·）：=dXi=1Xi（·）和Y（·）：=Z·{R（t）≥δ/4}dR（·）≥ R（t）-δ和notingN（·）：=Y（·）-dXi=1Z·∧%{R（t）≥δ/4}αi，i（t）dΓQ（t）=2Z·{R（t）≥δ/4}hX（t），dX（t）i.（5.17），因此，有必要论证q最大值≤TY（t）<δ> 0。（5.18）为此，定义Q–局部鞅cm（·）=-Z·{R（t）≥δ/4}Pdi=1αi，i（t）X（t）α（t）X（t）X（t），dX（t）,其二次变化再次由一个实常数控制：即hcMi（·）=Z·∧%{R（t）≥δ/4}Pdi=1αi，i（t）X（t）α（t）X（t）dΓQ（t）≤cNδZ·dXi=1αi，i（t）dΓQ（t）=4dΓQ（·）∧ %)cNδ≤4dCTcNδ，因为（5.14）。这里，实常数cN>0再次表示随机区间[[0，DN[]上α（·）最小正特征值的下界。回顾（5.17）中的Q-局部鞅N（·），我们得到N、 厘米（·）=-dXi=1Z·∧%{R（t）≥δ/4}αi，i（t）dΓQ（t）。Novikov定理的另一个应用是，随机指数E（cM（·））是一致可积的Q-鞅，并在F（T）上生成概率测度Q*), 在这个新的概率测度下，过程Y（·）=N（·）- hN，cMi（·）是一个局部鞅。然而，这个连续的bq–局部鞅Y（·）从下到下是有界的-δ/4和满意度（0）=0；因此，房地产BQ最大值≤TY（t）<δ> 0成立，且（5.18）遵循等效Q的强度~bQ。

证据到此结束。在没有定理5.10中严格的非退化条件的情况下，Kunita（1974，1978）的可控性方法产生的条件保证了当向量市场权重过程u（·）=（u（·），··，ud（·））是It^o扩散时，定理5.7中的假设成立。在同样的情况下，对该扩散组分的协变量施加适当的H¨ormander型亚椭圆条件，以及对漂移施加额外的技术条件，可以产生良好的“管估计”，从而再次避免施加严格的非简并条件；见Bally等人（2016），以及引用的文献。6缺乏短期相对套利机会在备注4.5中，我们提出了一个问题，（4.2）的条件是否会导致在足够短的时间范围内存在相对套利。在第5节中，我们看到，在市场权重协变量结构的适当附加条件下，这个问题的答案是肯定的。然而，一般来说，对备注4.5问题的回答是否定的，我们将在本节中看到。将以系统的方式构建市场模型的具体反例，以说明在任意短时间范围内的套利机会不一定存在于令人满意的模型中（4.2）。在第6.1、6.2和6.3小节中，我们将重点讨论（3.10）的二次函数Q。更准确地说，我们构建了满足（4.2）G=Q的市场模型u（·）的变化，但不允许在任何时间范围内进行相对套利。我们记得2ΓH（·）- ΓQ（·）是（3.9）的累积超额增长ΓH（·）的非减量；因此，如果（4.2）由二次函数Q满足，则它也自动由（3.7）的熵函数H满足。这也会对备注4.5中提出的问题给出否定答案。

在第6.4小节中，构建了市场权重模型u（·），使得G（u（·））以单位速度沿一般Lyapunov函数G的水平集移动，即G（u（t））=G（u（0））-t和ΓG（t）=t，但不允许在任何时间范围内进行相对套利。备注6.1（为了便于标注，进行了一些简化）。在本节中，我们将做出某些假设，主要是为了便于注释我们将重点讨论d=3的情况。事实上，命题5.13表明，当d=2时，不可能找到对备注4.5问题的反例。下面的反例可以推广到三种以上的资产，但需要额外的注释，并且没有任何重大的额外见解我们将构建市场模型，对于某个Lyapunov函数G，满足条件p映射[0，T]3 T 7→ ΓG（t）- ηt为不递减= 1，对于某些η>0和T>0。（6.1）我们可以这样做而不丧失一般性。事实上，让我们假设我们有一个满足（6.1）的市场模型u（·），并且不允许在任何时间范围内进行相对套利。通过适当调整u（·）的动态，例如在时间T/2之后，始终可以构建满足（4.2）要求的市场模型bu（·），并且也不允许在短时间范围内进行套利（因为它在时间T/2之前显示相同的动态）。6.1二次生成函数的第一步这里是（6.1）条件下不存在相对套利的第一个结果。命题6.2（Lipschitz连续色散矩阵反例）。假设过滤概率空间(Ohm, F，P），F=（F（t））t≥0支持布朗运动W（·）。

然后存在一个It^odiflusionu（·）=（u（·），u（·），u（·）），值为, 中的时间齐次Lipschitz连续色散矩阵+, 并且具有以下性质：（i）对于具有相对权重过程u（·）的市场，在T>0的任何时间范围内不存在相对套利。（ii）（6.1）的条件由（3.10）的二次G=Q满足，η=2/3-Q（u（0））和T=T*（u（0））严格正实数，前提是Q（u（0））∈1/2、2/3.我们在本小节末尾提供命题6.2的证明。在本证明中，当推导相对市场权重过程u（·）的动力学时，以下随机微分方程系统将发挥重要作用：dv（t）=√v（t）- v（t）dW（t），t≥ 0，（6.2）dv（t）=√v（t）- v（t）dW（t），t≥ 0，（6.3）dv（t）=√v（t）- v（t）dW（t），t≥ 0，（6.4），其中W（·）表示布朗运动。系数的Lipschitz连续性保证了该系统对任何初始点v（0）具有路径唯一的强解∈ R、 此外，如果v（0）是超平面Hof（2.1）中的点，那么我们也有v（t）∈ H、 对于每个t≥ 备注6.3（显式解决方案）。让我们在（6.2）–（6.4）中提供系统的显式解v（·），前提是v（0）∈ H、 如果v（0）=（1/3，1/3，1/3），那么我们还有v（t）=（1/3，1/3，1/3）表示所有t≥ 更一般地，一些确定但相当基本的随机微积分表明，（6.2）–（6.4）的解由v（t）=+et/2h2v（0）cos（W（t））+v（0）给出-cos（W（t））+√3 sin（W（t））+ v（0）-cos（W（t））-√3 sin（W（t））我v（t）=+et/2hv（0）-cos（W（t））-√3 sin（W（t））+ 2v（0）cos（W（t））+v（0）-cos（W（t））+√3 sin（W（t））我v（t）=+et/2hv（0）-cos（W（t））+√3 sin（W（t））+ v（0）-cos（W（t））-√3 sin（W（t））+ 2v（0）cosW（t）i、 备注6.4（特殊情况下的陈述）。

初始条件vi（0）=+δcos2πu+i- 1., 对于某些δ，i=1、2、3∈ [0，1/3]和u∈ R、 我们在备注6.3中找到了解决方案的另一个有用表示。事实上，一个计算表明sxi=1vi（0）=1+δcos（2πu）+cos2πu+2π+ cos公司2πu+4π= 1，（6.5）因此v（0）∈ H、 我们现在声称vi（t）=+δet/2cosW（t）+2πu+i- 1., i=1、2、3、t≥ 0（6.6）求解系统（6.2）–（6.4）。为此，请注意It^o的公式会产生dynamicsvi（t）=-δet/2sinW（t）+2πu+i- 1.dW（t），i=1，2，3，t≥ 此外，由于sin（π/3）=√3/2，有足够的理由认为2罪π罪x+2π（i- （1）= cos公司x+2π（i+1）- cos公司x+2πi, i=1、2、3、x∈ R、 这是一个基本的三角恒等式，由此得出结论。为了进一步研究（6.2）–（6.4）中系统的解v（·）的动力学，我们引入了函数：r:r→ [0，∞), x 7→ r（x）：=十、- 十、+十、- 十、+十、- 十、. （6.7）以下结果表明，Pr（x）是从单元单纯形侧面上的“节点”（1/3、1/3、1/3）的距离。引理6.5（r的另一种表示）。我们有表达式r（x）=Xi=1xi-=Xi=1xi-, 十、∈ H（6.8）表示为（2.1）。此外，如果v（·）表示（6.2）–（6.4）的解，则v（0）∈ H、 thenr公司v（t）= Rv（0）et，t≥ 0.（6.9）证明。修复x∈ 手动定义yi：=xi- 1/3，每个i=1、2、3。然后我们得到r（x）=Y- Y+Y- Y+Y- Y=Xi=1yi-yy+yy+yy=Xi=1yi+y+y+yy=Xi=1yi+Xi=1yi=Xi=1yi=Xi=1xi-,使用y=-Y- 我饿了。基本随机演算和（6.8），现在得出非常简单的确定性动力学dr（v（t））=r（v（t））dt≥ 0，前提是v（0）∈ H和（6.9）如下。命题6.2的证明。我们让v（·）表示（6.2）–（6.4）中描述的随机方程组对某些v（0）的解∈ +. 接下来，我们定义停止时间τ：=infT≥ 0:v（t）/∈ +停止的过程u（·）：=v（·）∧ τ）。

这是一个鞅向量，因此对于以u（·）为其相对权重的市场，在T>0的任何给定时间范围[0，T]内，相对套利是不可能的；另见备注4.2。现在，停止时间τ的定义意味着Q（u（τ））≤ 1/2，因此也是r（u（τ））≥ 1/6，保持。结合引理6.5，这得出τ的界远离零，即t*（u（0））：=对数1/（6r（u（0）））≤ τ保持不变，因为Q（u（0））>1/2。此外，对于（6.7）和（6.9），我们有tΓQ（t）=r（u（t））≥ Ru（0）, T∈ [0，T*（u（0））]。因此，（6.1）满足G=Q和η=r（u（0））=2/3-Q（u（0））∈ （0，1/6），感谢（6.8）。备注6.6（健全性检查）。我们可以验证T*（u（0））<Q（u（0））/η符合上述证明的符号，并符合推论4.4。备注6.7（扩展圆）。让我们从（6.9）中观察到，提案6.2中构建的市场权重是一个不断扩大的循环。更具体地说，从（6.8）、（6.9）和（3.10）中，我们得到了u（t）+u（t）+u（t）=+ru（t）=+ Ru（0）et，t∈ [0，T*];因此，相对市场权重的向量u（·）位于超平面H与以原点为中心的半径P（1/3）+r（u（0））Et球面的交点上。该交点是以节点（1/3、1/3、1/3）为中心的半径Pr（u（0））Et的圆。6.2从节点开始，“缓慢移动”，如（6.9）所示，在命题6.2的上下文中，过程u（·）从单元单纯形侧面的节点开始，然后非常快地向外旋转（即指数速度），直到在某个时间τ到达单纯形的边界≥ 日志1/（6r（u（0）））; 这一时间以零为界。我们在此构建了另一个市场模型，类似于第6.1小节中的模型，但其中u（·）的旋转速度“大大减慢”。