波动性和套利

更准确地说，第6.8项的扩散过程从节点（1/3、1/3、1/3）开始，然后沿着二次函数Q的水平集向外移动。这至少需要T=Q（u）的时间- 1/2；在区间[0，T]上，（6.1）中的条件满足G=Q和η=1，但不存在关于市场的套利。定理6.8（缺乏短期相对套利机会）。假设过滤后的概率空间(Ohm, F，P），F=（F（t））t≥0支持布朗运动W（·）。固定u∈ +Q（u）>1/2。然后存在It^o扩散u（·）=（u（·），u（·），u（·）），值为, 一个时间齐次离散矩阵，起点u（0）=u，并具有以下性质：（i）在T>0的任何时间范围[0，T]内，相对权重过程为u（·）的市场不存在相对套利。（ii）二次函数G=Q，η=1，T=Q（u），满足（6.1）的条件- 1/2。在一个备注和一个初步结果之后，我们在小节末尾证明了这个定理。备注6.9（开放性问题）。假设（4.2）中的条件由具有相对权重过程u（·）的市场模型满足，对于η=1的二次函数Q。定理4.3得出了在T>Q（u（0））的任何时间范围内[0，T]存在关于该市场的强相对套利。另一方面，定理6.8表明，对于时间范围[0，T]，T≤ Q（u（0））-1/2，存在不可能进行相对套利的市场模型，即使（4.2）对其有效。我们不知道时间范围[0，T]与T之间会发生什么∈Q（u（0））- 1/2，Q（u（0）. 我们推测，在这些时间范围内，相对套利是可能的，但它不需要很强。对于下一个结果，我们回顾（6.7）中的函数r。提案6.10（时间变了，（6.2）–（6.4）版本变慢）。

假设过滤概率空间(Ohm, F，P），F=（F（t））t≥0支持布朗运动W（·）。然后，对于任何初始条件W（0）∈ 当w（0）6=（1/3，1/3，1/3）时，以下随机微分方程组具有唯一的强解w（·），取H值：dw（t）=p3r（w（t））w（t）- w（t）dW（t）；（6.10）dw（t）=p3r（w（t））w（t）- w（t）dW（t）；（6.11）dw（t）=p3r（w（t））w（t）- w（t）dW（t）。（6.12）证明。设w（·）表示系统（6.10）–（6.12）的任何解，w（0）∈ H \\{（1/3，1/3，1/3）}。那么很明显w（t）∈ H适用于所有t≥ 0.接下来，我们定义停止时间σ=infT≥ 0:r（w（t））<r（w（0））在引理6.5中，通过应用It^o公式，注意到Dr（w（σ∧ t） ）=1{σ>t}dt，t≥ 因此，如果σ>0，过程r（w（·））是非减量的和确定性的；实际上，对于所有t，我们有r（w（t））=r（w（0））+t≥ 0，σ=∞. 因此，给定任何ε∈ （0，3r（w（0）），系统（6.10）–（6.12）的任何解也会解出系统dwε（t）=pε∨ 3r（wε（t））wε（t）- wε（t）dW（t），（6.13）dWε（t）=pε∨ 3r（wε（t））wε（t）- wε（t）dW（t），（6.14）dWε（t）=pε∨ 3r（wε（t））wε（t）- wε（t）dW（t）。（6.15）由于系统（6.13）–（6.15）具有Lipschitz连续系数，其解决方案是唯一的。系统解决方案的产量（6.10）–（6.12）。通过检查（6.13）–（6.15）的任何溶液是否也是（6.10）–（6.12）的溶液，系统（6.10）–（6.12）的溶液是否存在。定理6.8的证明。我们完全按照命题6.2的证明进行。当w（0）=u时，我们重新定义命题6.10的过程w（·），定义停止时间τ：=infT≥ 0:w（t）/∈ +,并设置u（·）：=w（·）∧ τ） 。这个过程u（·）是连续鞅的向量；因此，在任何给定的时间范围内，不可能对该市场进行相对分配。最后，我们注意到ΓQ（t）=t∧ τ适用于所有t≥ 0和Q（u）- τ=Q（u（τ））≤ 1/2。

这就产生了陈述。6.3修改我们在此对前几小节中的示例进行了修改。更准确地说，让我们重新定义第一个随机微分方程组（6.2）-（6.4），以及（6.6）中给出的解。也就是说，让我们考虑一下∈ （0，1/3）和u∈ R、 相应的市场模型ui（t）=+δet/2cosW（t）+2πu+i- 1., i=1、2、3、t∈ [0，-2 log（3δ）]，其中W（·）是布朗运动，u是实数。第一次修改会在, 因此，得到的新模型有一个协变矩阵值过程α（·），如（5.7）所示，具有两个严格的正特征值。提案6.11（非退化和无套利）。假设过滤概率空间(Ohm, F，P），F=（F（t））t≥0支持两个独立的布朗运动W（·）和B（·）。那么就存在实数T*> 0和It^o扩散u（·）=（u（·），u（·），u（·）），具有以下特性：（i）在T>0的任何时间范围内[0，T]不存在与市场u（·）相关的相对套利。（ii）满足（6.1）的条件，G=Q，如（3.10）所示，η=r（u（0））/4，T=T*.（iii）u（·）的协变量矩阵在[0，T]上有两个严格的正特征值*]; 也就是说，每个∈ [0，T*] （5.7）的矩阵α（t）有两个严格的正特征值。证据为了描述模型，让我们定义一个实常数δ∈ （0，1/9）。我们还考虑了布朗运动B（·）产生的过滤的鞅Φ（·），其值在区间（δ，3δ）内，起始点Φ（0）=2δ。

更准确地说，我们引入了It^o扩散ψ（·）：=Z·ψ（t）- δψ（t）+δ具有状态空间的dB（t）(-δ、 δ）；我们注意到，由于费勒的爆炸试验，hψi（·）正严格增加；定义鞅Φ（·）：=2δ+ψ（·），取区间（δ，3δ）中的值。我们现在确定*:= -2 log（9δ）>0，市场权重为正It^o处理ui（t）：=+Φ（t∧ T*)e（t∧T*)/2个操作系统W（t∧ T*) +2π我- 1., i=1、2、3、t≥ 0。（6.16）由于Φ（·）和W（·）是独立的，因此对于每个i=1，··，3，ui（·）是鞅。实际上，我们有动力学dui（t）=-Φ（t）et/2sinW（t）+2π我- 1.dW（t）+et/2cosW（t）+2π我- 1.dΦ（t）对于所有i=1、2、3和t∈ [0，T*]. 因此，就市场而言，不可能存在相对套利。此外，我们注意到Huii（·）≥Z·∧T*Φ（t）etsinW（t）+2π我- 1.dt公司≥δZ·∧T*etsin公司W（t）+2π我- 1.dt。回想一下，ΓQ（·）=Pi=1huii（·）；因此我们得到tΓQ（t）≥δXi=1英寸W（t）+2π我- 1.=r（u（0）），t∈ [0，T*].屈服（ii）。这里，最后一个等式来自与备注6.4中相同类型的计算。在驱动这个市场模型的两个布朗运动中，W（·）在关于点（1/3、1/3、1/3）；而B（·）生成鞅Φ（·），其二次变差具有严格的正时间导数。因此，这两个独立的随机运动跨越二维空间，市场权重过程u（·）的协变量过程α（·）排名2。备注6.12（将定理5.10与命题6.11进行对比）。定理5.10给出了短期套利的存在性，如果（d- 1） 协方差矩阵α（·）的最大特征值均以零为界。根据提案6.11，较弱的要求是- 1） 最大特征值严格为正，不足以保证短期相对套利。

事实上，命题6.11证明中hψi（·）的斜率可以在任何给定的时间范围内以正概率任意接近零。这可以防止协方差矩阵α（·）的第二大特征值从下方一致有界，远离零。备注6.13（螺旋膨胀）。在（6.16）的市场模型中，相对权重取允许以Φ（t）et/2的速率扩展的循环上的值；更精确地说，我们有u（t）+u（t）+u（t）=+3Φ（t）et<，t∈ [0，T*].因此，在任何给定时间t∈ [0，T*] 相对市场权重的向量u（t）位于超平面H与以原点为中心的半径P（1/3）+（3/2）Φ（t）Et球面的交点上。该交点是半径为p3/2Φ（t）et/2<p1/6的圆，包含在+并以其节点为中心（1/3、1/3、1/3）；另见备注6.7。因此，对当前形势的更准确描述可能是市场权重呈螺旋式上升。这种“螺旋式扩张”的速度正是如此，市场权重就变成了鞅。这句话提出了以下问题：如果市场权重被限定为? 这种扩散被定义为一个圆，与鞅结构不相容。这是下面示例的主题。示例6.14（即时套利）。

设W（·）表示标量布朗运动，fix为实常数δ∈ （0，1/3），并确定正市场权重过程ui（·）：=+δcosW（·）+2π我- 1., i=1、2、3。这些市场权重取区间值（0，2/3）；事实上，它们生活在一个圆上，即u（t）+u（t）+u（t）=+3δ<，所以ru（·）≡（6.7）表示法中的3δ，且具有动态Dui（t）=-δsinW（t）+2π我- 1.dW（t）-δcosW（t）+2π我- 1.dt，t≥ 如上所述，我们有ΓQ（t）=Ztru（s）ds=ru（0）t=3δt，t≥ 现在让我们介绍归一化二次函数Q？：=季度/季度u（0）, 其中Qu（0）=（2/3）-3δ/2> 0、对于交易策略ДQ？（·）由该函数Q相加生成？如（3.3）所示，以及相关的财富过程VQ？（·）在（3.4）中，我们得到vДQ？（t） =Q？u（t）+ ΓQ？（t） =1+3δ2Q（u（0））t，t≥ 0。因此，额外生成的策略ДQ？（·）在任何给定的时间范围内产生强大的相对套利[0，T]。根据这一策略进行投资？（·）是一种肯定的方法，可以立即比市场做得更好，并随着时间的推移不断做得更好。事实上，这种“惊人”或“即时”套利的存在不应让人感到意外，因为所谓的“结构方程”并不令人满意；尤其是，对于u（·），不存在定义2.1中的偏差；例如，参见Schweizer（1992）或Karatzas和Shreve（1998）中的定理1.4.2。备注6.15（一般子流形）。例6.14中构造的扩散存在于R的子流形上，它与鞅结构不相容。相比之下，在第6.1小节中，子流形被允许演化为一个扩展的圆。

这些例子中的扩散很可能被退化为在Rd的任意子流形上有支撑的扩散，对于d≥ 2，然后子流形可以按照我们在R中展开的圆的方式通过rdi演化。在这种情况下，一个自然的问题是描述演化的特征，这将导致演化子流形上的扩散成为鞅。这个鞅相容的演化如何依赖于扩散？随着时间的推移，这个不断演化的子流形会变成什么样子？进化中的子流形会发展出奇点吗？等等。我们在下面的第6.4小节中对这些问题提供了部分答案，但出现的情况似乎还远远不够完整。6.4一般Lyapunov函数我们现在将（6.1）满足但不可能短期套利的市场模型的构建扩展到一类一般的生成函数。在本节中，我们定义了一个李雅普诺夫函数：→ [0，∞); 假设该函数为严格凹函数，且在+. 此外，我们假设它的Hessian DG是局部Lipschitz连续的。接下来，我们介绍非负数字g：=supx∈\\+G（x）。如果G在点c处达到内部局部（因此也是全局）最大值∈ +, 我们将此c称为函数G的“脐点”或“脐点”。定理6.16（一般Lyapunov函数，缺乏短期相对套利）。假设过滤概率空间(Ohm, F，P），F=（F（t））t≥0支持布朗运动W（·）。假设我们还得到了一个李雅普诺夫函数G，其性质和符号与avectoru一样∈ +使G（u）∈g、 maxx公司∈G（x）.

然后存在It^o扩散u（·）=（u（·），u（·），u（·）），起点u（0）=u，值为, 并且具有以下性质：（i）在T>0的任何时间范围[0，T]上，u（·）不可能存在相对套利。（ii）满足（6.1）的条件，η=1，T=G（u）- g、 此外，我们还有u（t）= 克（u）- TΓG（t）=t t t∈ [0，T]。证据我们引入向量函数σ=（σ，σ，σ），分量σ（x）：=DG（x）-DG（x）；σ（x）：=DG（x）-DG（x）；σ（x）：=DG（x）-DG（x），x∈ +.如果σ（x）=σ（x）=σ（x）=0，则x=c是脐点。确实，如果对于某些x∈ +我们有DG（x）=DG（x）=DG（x），那么G的严格凹度0=Xi=1DiG（x）xi- 易> G（y）- G（x），y∈ +.接下来，我们介绍函数l（x）：=-σ（x）DG（x）σ（x），x∈ +（6.17）并注意，只要x不是脐点c，L（x）>0就成立。现在让我们考虑初始条件为u（0）=u且动力学为ui（t）=σi的It^o扩散过程u（·）=（u（·），u（·），u（·））u（t）pL（u（t））dW（t），i=1，2，3。（6.18）从该构造中可以清楚地看出，对于所有x，属性pi=1σi（x）=0∈ n+，只要上述系统很好地定义了过程u（·），它就满足u（·）+u（·）+u（·）+u（·）=1。此外，如果过程u（·）定义良好，则基本随机演算和性质yxi=1DiG（x）σi（x）=0，x∈ n+导致动态CGu（t）=Xi=1Xj=1DijGu（t）dhui，uji（t）=-dΓG（t）。最后的两次求和等于-1，根据（6.17）。因此，G（u（·））正在减少，并保持远离肚脐c（如果存在）。因此，通过类比命题6.10的证明，我们得到过程u（·）得到了很好的定义，因为（6.18）中的随机微分方程系统在时间D之前具有路径唯一的强解。

该停止时间在（2.4）中定义，并描述了u（·）第一次到达; 尤其是itG（u）- G≤ D=克（u）- Gu（D）≤ G（u）。（6.19）i=1、2、3的市场权重过程ui（·）是连续鞅，其值在单位区间[0、1]内。因此，在任何给定的时间范围内，对于结果市场不可能存在相对套利。自D起≥ 克（u）- g、 我们可以得出结论。定理6.8是定理6.16的特例。我们不知道是否可以删除假设G（u）6=maxx∈G（x）来自定理6.16，但推测这应该是可能的。备注6.17（存在间隙）。我们在此继续评论6.9中开始的讨论。比较一下时间间隔很有建设性G（u（0），∞（4.3）中，提供了时间范围长度[0，T]，对于满足（4.2）中η=1的条件的任何市场，在该时间范围内，强套利是可能的；以及时间间隔0，克（u（0））-G在定理6.16中，给出了时间范围[0，T]的长度，在此时间范围内，可以构建不允许相对套利但满足（4.2）中条件的市场示例。当g为正时，这两个间隔之间存在间隙。例如，在（3.7）的entropyfunction G=H的情况下，差距很大，因为我们有G=2 log 2，但maxx∈H（x）=3对数3。在这种“熵”情况下，（6.18）和（6.17）的动力学采用形式dui（t）=logui+1（t）ui-1（t）dW（t）pL（u（t）），i=1，2，3，t≥ 0，带u（·）：=u（·），u（·）：=u（·）；L（x）=Xi=12xi日志xi+1xi-1., 十、∈ +, x：=x，x：=x。备注6.18（无间隙）。

当然，当g=0时，注释6.17中的间隙消失；最重要的是，当函数G在边界上消失时d \\d+，但在d+。对于这样一个函数G和定理6.16证明中构造的市场模型，我们从（6.19）开始，用（2.4）表示，得到了相当显著的恒等式D=D∧ D∧ D=克（u（0））。也就是说，在T=G（u）的准确时间，扩散u（·）的一个成分在一段时间内消失。这种函数的一个突出例子是（3.12）中的几何平均值R；在这种情况下，对于上面的u（·）、u（·）、x和xas，对应于（6.18）和（6.17）的动力学为asdui（t）=ui-1（t）-ui+1（t）dW（t）pL*（u（t）），i=1，2，3，t≥ 0.这里有setL*（x） =R（x）Xi=1xixi-1.-十一+一-Xi=1Xj=1xixjxi-1.-十一+一xj公司-1.-xj+1=R（x）6xxxXi=1十一+一- xi-1.=R（x）Xi=1xi-=r（x）R（x）, 十、∈ +;倒数第二个等式来自（6.8），最后一个等式来自（6.8）。7总结在本文中，我们将自己置于连续半鞅u（·）的环境中，取D维单纯形中的值d、 u（·）的每个组成部分被解释为公司在股票市场中相对于整个市场资本的相对资本。然后，我们研究了u（·）波动率结构的条件，这些条件保证了市场存在相对套利机会。更准确地说，我们考虑了限制u（·）的各个组分的挥发性的累积聚集的条件。这里，根据所谓的生成函数G进行聚合：D→ R、 假设足够平滑。