波动性和套利

因此，它提供了市场“内在波动性”的衡量标准图1使用芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）的月度股票数据库，绘制1926-2005年80年期间（3.8）的数量。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.51927 1932 1937 1942 1947 1952 1957 1962 1967 1972 1977 1982 1992 1997 2002年累积超额增长图1：美国市场的累积内在变化ΓH（·），1926-2005.2。二次Q（x）：=1-dXi=1xi，x∈ d、 （3.10）取[0，1]中的值- 也是一个凹正则函数。从数学上讲，使用Q非常方便，因此在构建第6节中的特定AccounterExample时，此函数将发挥重要作用。累积挥发性的相应聚合度量由非减量跟踪过程给出，Q（·）=dXi=1huii（·）；（3.11）我们还注意到，差值2ΓH（·）- ΓQ（·）是非减量的，其中ΓH（·）在（3.9）中给出。我们还将仔细研究凹面几何平均函数r（x）：=dYi=1xi1/d，x∈ d、 （3.12）4。最后，对于q≥ 在其中一个证明中，我们将使用powerF（x）：=xq，x∈ d、 （3.13）注意，对于q>1，F是凸函数，而不是凹函数，就像其他三个示例中的情况一样。尽管如此，它是正则的，所以它仍然可以用作生成函数。实际上，如果1/u（·）局部有界远离零，则存在（3.6）的乘法生成策略ψ（·）。更准确地说，ZF（·）现在给出了（3.5）的过程=u（·）qexp-QQ- 1.Z·u（t）-2dhui（t）, （3.14）（3.6）中的表达式可以写成ψF（·）=qu（·）+1- QZF（·）；ψFi（·）=1.- qZF（·），i=2，···，d.（3.15）4相对套利，以及一个老问题我们现在介绍了市场相对套利的重要概念。定义4.1（相对套利）。

给定一个实际常数T>0，我们说，如果Vθ（0）=1，Vθ（·），交易策略是在时间范围内相对于市场的相对套利≥ 0，andPVθ（T）≥ 1.= 1，PVθ（T）>1> 0如果事实上是PVθ（T）>1= 1持有，这种相对套利被称为强套利。备注4.2（等效鞅测度）。修正一个实数T>0。那么，对于相对权重为u的市场，在时间范围[0，T]内不可能存在相对套利(·∧T），···，ud(·∧T）是某些等价概率测度QT下的鞅~ 定义在F（T）上。假设在时间范围[0，T]内，相对于相对权重为u（·）的市场，不可能存在相对套利。如果存在u（·）的偏差，则等效概率测量QT~ 然后，P存在于F（T）上，在F（T）下，相对权重u（·）∧ T），···，ud（·∧ T）Are鞅；见Delbaen和Schachermayer（1994）或Karatzas和Kardaras（2007）。由于过程u（·）表示市场组合，定义4.1中的套利可以解释为相对于市场的相对套利。如定义4.1所述，给定市场组合是否可以“跑赢大盘”，这一问题在理论和实践上都具有重要意义，尤其是推动了指数型共同基金的激增，这些基金试图跟踪并可能跑赢特定基准市场组合（或“指数”）。也就是说，在什么条件下，特定市场投资组合存在相对套利？在哪个时间范围内？如果存在这种相对套利，这种套利会很强吗？由于（3.2）和（3.4）的表述，功能生成的交易策略是回答此类问题的理想选择，它们以一种路径方式描述了它们相对于市场的表现，没有随机积分。

以下结果摘自Karatzas和联阵（2016）；它的血统可以追溯到Fernholz（2002）和Fernholz和Karatzas（2005）。在我们目前的情况下，这是代表性的前瞻性结果（3.4）。定理4.3（足够长的时间范围内的强相对套利）。假设G：D→[0，∞) 是G（u（0））>0的李雅普诺夫函数。此外，假设有一个实数T*> 0具有属性ypΓG（T*) > G（u（0））= 1.（4.1）然后是交易策略*（·）=^1G*（·），···，ДG*d（·）, 由函数G以（3.3）的方式额外生成*:= G/G（u（0）），是在任何时间范围内[0，T]对市场的强相对套利≥ T*.以下是定理4.3的直接推论。推论4.4（坡度从下方界定）。假设G：D→ [0，∞) 是g（u（0））>0的正则函数，因此p映射[0，∞) 3吨7→ ΓG（t）- ηt为不递减= 1，对于某些η>0。（4.2）然后是交易策略*定理4.3的（·）是关于市场的强相对套利，在T>G（u（0））η的任何时间范围内[0，T]。（4.3）对于（3.7）的熵函数H，推论4.4的断言已经出现在Fernholz和Karatzas（2005）中。在这种情况下，（4.2）的条件假设累积相对变化ΓH（·）asin（3.9）不仅在增加，而且实际上支配着具有正斜率的直线。结合图1的曲线图可以很好地理解这一假设。根据它，推论4.4保证在持续时间T>H（u（0））/η的任何时间范围内[0，T]存在与市场相关的相对套利。备注4.5。以下问题在Fernholz和Karatzas（2005）中提出，并在againin Banner和Fernholz（2008）中提出。假设（4.2）在G=H时成立，如（3.7）所示。

那么，在任意长度T>0的每个时间范围[0，T]内，相对于市场的相对渗透率是否可能？在第5节中，我们将给出结果，在适当的附加条件下，保证对该问题的肯定回答。然后在第6节中，我们将构建市场模型，说明上述问题的答案通常是否定的。这解决了一个十多年来一直悬而未决的问题。5短期相对套利的存在给定李雅普诺夫函数G：D→ [0，∞) 当G（u（0））>0时，定理4.3提供了条件pΓG（T）>G（u（0））= 1在时间范围的长度T>0[0，T]上，充分考虑到在该时间范围内市场存在较强的相对套利。在本节中，我们研究了当任何实数T>0时，相对套利在时间范围[0，T]上存在的条件。第5.1小节讨论了保证存在强短期相对套利的条件。第5.2小节的条件仅保证短期相对套利的存在，不一定强。5.1强短期相对套利的存在以下结果大大扩展和简化了Fernholz et al.（2005）第8节和Fernholz and Karatzas（2009）第8节的结果。定理5.1（一项具有充分变化的资产）。在第2节所述的市场中，相对权重过程为u（·），··，ud（·），假设存在一个常数η>0，使得hui（t）≥ ηt保持在托氏间隔[[0，D*[[带D*:= inf公司T≥ 0：u（t）≤u（0）.然后，如果任何实数T>0，则存在一个仅长期交易策略Д（·），该策略在时间范围内相对于市场具有很强的相对关联性[0，T]。下面的命题5.13是定理5.1的直接结果；然而，它的证明需要引理5.12中的技术观察。

命题5.13表明，在d=2的情况下，对于每个给定的时间范围，条件in（4.2）会产生一个只做多的交易策略，该策略在该时间范围内对市场具有较强的相对套利性。定理5.1的证明。让我们确定一个实数T>0，并考虑权重ν（·）：=u（·）的市场∧ D*). 有必要证明存在一种只做多的交易策略ν（·），该策略在时间范围内对新市场具有很强的相对影响力，权重为ν（·）[0，T]。对于长期交易策略^1（·）∧ D*) 是相对于原始市场的强相对套利，在时间范围内权重为u（·）【0，T】。对于目前要确定的一些数q>1，我们回顾（3.13）的正则函数F。由于1/ν（·）是局部有界的，对于权重过程为ν（·）的市场，F以乘法方式生成（3.15）给出的策略ψF（·），其中u（·）替换为ν（·）。我们注意到ψFi（·）≤ 1表示i=1，···，d，VψF（·）=ZF（·），如（3.14）所示。我们现在介绍唯一多头交易策略Дi（·）=1+ν（0）Q- ψFi（·），i=1，··，d与相关财富过程vД（·）=1+ν(0)Q- ZF（·）。特别是，我们注意到VД（0）=1和VД（·）≥ 0。在事件{D*≤ T}我们有vν（T）≥ 1个+ν（0）Q-ν（T）q=1+ν（0）Q-ν（0）q> 1；鉴于，在事件{D*> T}我们有vД（·）≥ 1个+ν（0）Q- 经验值-q（q- 1） hνi（T）≥ 1个+ν（0）Q-经验值-η（q- 1） T型q> 1，前提是我们选择q=q（T）足够大，以便exp-ηQ- 1.T< ν（0）=u（0）。这显示PVД（T）>1= 1，如所述。备注5.2（Д（·）对时间范围长度的依赖性）。

定理5.1的交易策略Д（·）以非常明确和“无模型”的方式构建，但取决于其影响市场套利的时间范围长度。下面的两句话回顾了在任意时间范围内获得强相对搜索机会的两种替代方法。备注5.3（变动充分的最小资产）。根据定理5.1的精神，Banner和Fernholz（2008）还证明了在任意时间范围内存在强相对套利。然而，他们并不认为一项固定资产会导致整体市场波动，而是认为它始终是最小的股票，具有充分的变化。他们构建的策略同样是“无模型的”，但确实取决于时间范围的长度。备注5.4（完整性和套利意味着强套利）。如果基础市场模型允许出现偏差（召回定义2.1）并且是完整的（任何未定权益都可以复制），则存在套利机会意味着存在强大的机会；参见Ruf（2011）中的定理8。然而，这种强套利通常取决于模型和时间范围的长度。多样性和严格非退化定义5.5（多样性）。我们说，具有相对重量过程u（·），··，ud（·）的市场是多样化的ifP支持∈[0，∞)最大值1≤我≤nui（t）≤ 1.- δ= 1保持某个常数δ∈ （0，1）。（5.1）多样性假设没有一家公司能够接近支配整个市值。

这是大型、深度和流动性股票市场的典型特征。现在，让我们假设（2.3）中的连续半鞅（·），··，Sd（·），也就是市场中各种资产的资本化过程，对于合适的渐进可测过程Ai，j（·），具有形式Hsi，Sji（·）=Z·Si（t）Sj（t）Ai，j（t）dt，i，j=1，··，d（5.2）的协变量。推论5.6（多样性和严格非退化）。假设（2.3）中的市场是多样化的，而（5.2）中的市场是不变的，并且资产协变量矩阵的估值过程a（·）=（Ai，j（·））1≤i、 j≤满足严格的非退化条件ξA（t，ω）ξ≥ λ| |ξ| |，对于所有ξ∈ Rd，（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm （5.3）对于某些λ>0。然后，如果任何实数T>0，则存在一个仅长期交易策略Д（·），该策略在时间范围内对市场具有较强的相对套利性[0，T]。证据在Fernholz和Karatzas（2009）中（3.11）的帮助下，（5.1）和（5.3）中的条件，即多样性和严格非退化，导致了下限u（T∧ D*) ≥ λZT∧D*u（t）1.- 最大值1≤我≤nui（t）dt公司≥ ηT∧ D*, T≥ 0对于η：=λΔu（0）/2. 该主张现在是定理5.1.5.2短期相对套利存在的直接结果，不一定强。在本小节中，我们提供了三个标准，以保证在任意时间范围内市场存在相对套利。第一个标准是市场权重向量u（·）支持的时间均匀性条件。第二个标准使用多样性失效。第三个标准是u（·）协变量过程非退化的条件。5.2.1时间齐次支持让我们回顾一下（4.1）中的条件。

其中，当初始市场权重配置u（0）位于G达到或非常接近其最小值的位置时，阈值G（u（0））“处于最低水平”D这些是最有利的网站，可以从中推出相对套利。以下结果假设连续半鞅G（u（·））的本质界随时间保持不变。特别是，状态空间中靠近该上限的站点，因此“有利于”开展相对套利，可以“快速”（即在任何给定的时间范围内）以正概率访问。结果表明，相对于市场的相对套利可以在任意长度T＞0的任意时间范围内实现。定理5.7（支架上的时间均匀性条件）。假设对于给定的母函数G和适当的实常数η>0和h≥ 0，则满足（4.2）中的条件以及下限PG（u（t））≥ h、 t型≥ 0= 1（5.4）和“时间均匀支撑”属性Gu（t）∈h、 h+ε, 对于一些t∈ [0，T]> 0，对于所有T>0，ε>0。（5.5）那么，对于每一个T>0的实数，相对于市场的套利在时间范围[0，T]内存在。定理5.7证明中的基本论点很容易描述：给定一个时间范围[0，T]，（5.5）中的条件表明，相对市场权重的向量过程u（·）将在时间T/2之前，以正概率访问相对于市场“非常有利”套利的站点。在这种情况发生的那一刻，放弃市场而支持tradingstrategyД是有道理的？（·）由函数G生成？=c（G- h） 按照（3.3）的方式，对于一些适当的氯离子常数c>0。

接下来的挑战是，要证明这样一种策略不会低于市场表现，并且有绝对超过市场表现的正概率。定理5.7的证明。对于任意但固定的实数T>0，我们引入正则函数g？：=（G）- h） ηT，表示Γ？（·）：=ΓG？（·）=ηTΓG（·）。我们还引入了停止时间τ：=infT∈0，T: Gu（t）< h+ηT按照通常的惯例，空集的最大值等于最大值，请注意，（5.5）表示Pτ≤T> 0。（5.6）我们让？（·）：=ДG？（·）表示功能G生成的交易策略？按照（3.3）的方式，引入交易策略Д（·），该策略跟踪市场投资组合直到停止时间τ，然后在剩余时间范围[0，T]切换到交易策略Д？（·）；即：Дi（·）：=1+^1？i（·）- G（u（τ））- Γ？（τ）[[τ，∞[[，i=1，···，din，以（2.6）中的“自融资”方式。根据（5.6），这种转换以正概率发生。正如我们在备注2.3中所看到的，形成这种串联的值由vД（t）=1给出+G（u（t））+Γ？（t）- G（u（τ））- Γ？（τ）[[τ，∞[[（t）≥ 1[[0，τ[[（t）+ηtΓG（t）- ΓG（τ）[[τ，∞[[（t）≥ 1[[0，τ[[（t）+3（t- τ） T[[τ，∞[[（t），t≥ 这里我们使用了比较G？（u（·））≥ 0和G？（u（τ））≤ 第一个不等式为1，第二个不等式为（4.2）。现在，从最后一次显示中可以清楚地看到，VД（·）≥ 0保持不变，且VД（T）≥ 3/2事件{τ≤ T/2}；同样清楚的是，Vν（T）=1在{τ>T/2}={τ=∞}. 自{τ≤ 由于（5.6），T/2}具有正概率，因此，交易策略Д（·）在时间范围内是相对于市场的相对套利[0，T]。备注5.8（关于套利类型）。上述论点中没有任何证据表明（5.6）中的概率（被认为是正的）实际上等于1。

因此，定理5.7中构造的相对套利不必很强。还应注意的是，实施这种套利的交易策略取决于时间范围的长度T【0，T】——这与定理4.3的策略形成了鲜明的对比，定理4.3的策略没有，只要T≥ T*.5.2.2多样性的失败定理5.7有以下推论。综上所述，推论5.6和5.9说明，在每种情况下，在适当的额外条件下，多样性及其失败都可能导致在任意时间范围内进行套利。对于这个陈述，我们让e，···，eddenote表示侧面的极值点（单位向量）dof单元单工。推论5.9（多样性失败）。假设一个相对权重为u（·）的市场的多样性失败，在这个意义上，P支持∈[0，T）最大值1≤我≤dui（t）>1- δ> 每（T，δ）保持0∈ （0，∞) ×（0，1）。还假设，对于满足G（ei）=minx的生成函数G∈dG（x），对于每个i=1，···，d，（4.2）中的条件适用于某些实常数η>0。相对于市场的相对套利在时间范围[0，T]内存在，对于每一个大于0.5.2.3的实数，严格非退化定理5.7有一个重要的结果，即下面的定理5.10；这确立了在（4.2）的“充分内在波动性”条件和其他非退化条件下，市场存在相对套利。为了为这一结果奠定基础，让我们回顾一下（3.11）中的跟踪过程ΓQ（·）。来自提议II。Jacod和Shiryaev（2003）的2.9，我们有代表ui，uj（·）=Z·αi，j（t）dΓQ（t），1≤ i、 j≤ d（5.7）对于一些对称和非负定义的矩阵值过程α（·）=（αi，j（·））i，j=1，··，d，其入口是渐进可测的，且满足Pdj=1αi，j（·）≡ 每i=1，···，d为0。