波动性和套利

则ΓG（·）由（3.2）给出，即ΓG（·）=-dXi=1dXj=1Z·Di，jGu（t）Dui，uj（t） ，以及累积总市场波动率的条件（4.2）：P映射[0，∞) 3吨7→ ΓG（t）- ηt为不递减= 1，对于某些η>0。第4节回顾了交易策略ДG（·），这是在时间范围[0，T]上对所有T>G（u（0））/η的强相对套利，前提是（4.2）成立。需要注意的是，该策略ДG（·）是“无模型的”：它不依赖于特定模型的规格，适用于满足（4.2）的任何连续半鞅模型。第5节提供了几个充分的条件来保证短期相对税收的存在。首先，第5.1小节研究了强短期相对套利问题。如果一个特定的股票对整个市场的波动性有贡献，那么定理5.1得出了这样一个强大的套利机会的存在。相应的交易策略与模型规格无关，但取决于时间范围的选择。Banner和Fernholz（2008）的基本思想也是类似的结构。在那里，没有特定的股票，但在资本化方面总是最小的股票，对整体市场波动有贡献；另见备注5.3。第5.2小节为短期相对套利的存在提供了充分的条件，但不一定很强。第一个充分条件涉及u（·）的支持，并假设它在某种弱意义上是时间齐次的（定理5.7）。第二个充分条件是u（·）协方差过程的严格非退化性（定理5.10）。与（4.2）不一致的两个条件中的任何一个都会产生在时间范围[0，T]内，对于任何T>0的情况，存在相对套利机会。

然而，相应的交易策略通常取决于模型规格（包括漂移规格）和时间范围T。此外，这些充分的条件通常不会产生较强的相对套利。然而，如果市场是完整的，可以选择强相对套利策略；见备注5.4。第6节否定地回答了一个长期存在的问题，（4.2）中的条件是否意味着对于任何给定的实数T>0，市场存在相对套利机会。构建了具体的反例。在本节中，我们假设d=3，即我们所在的市场只有三支股票。这样做是为了便于标记，因为低维市场总是可以嵌入到高维市场中。对d的较小选择是不可能的，因为命题5.13得出的结论是，在d=两支股票中的2支的情况下，（4.2）的条件总是意味着在任何时间范围内都存在相对套利机会。第6节与前面的不同。在第5节中，我们考虑了固定市场模型u（·），并制定了市场模型的条件，以在短时间范围内产生（可能很强）相对套利机会。这些交易策略可能取决于u（·）的具体特征，也可能不取决于u（·）的具体特征。现在，在第6节中，我们确定生成函数G，然后构建市场模型u（·），对于某些T>0的市场，在时间范围[0，T]内不存在相对套利机会，但（4.2）成立。准确地说，我们构建的模型并不完全满足（4.2），而只满足本地（intime）版本（6.1）。如备注6.1所述，这样做只是为了便于标记。

第6节对母函数G作了一些附加的技术假设，最重要的是G是严格凹函数，其二阶导数是局部Lipschitz连续的。所构建的市场模型u（·））不仅防止了相对套利并满足（6.1），而且还证明了G（u（·））是时间的确定函数。也就是说，u（·）沿theLyapunov函数G的水平集波动。此外，命题6.11产生了一个市场模型，该模型满足定理5.10的非退化条件，但不严格，并且不允许相对套利。这表明定理5.10中关于u（·）的条件是紧的；另见备注6.12。虽然本文回答了一些旧的开放性问题，但也提出了一些新的问题。我们认为，最重要的三点是：1。在η=1的（4.2）下，对于所有T>G（u（0）），在[0，T]上存在较强的相对套利机会。在第6节中，构建的市场模型u（·）满足（4.2），但不允许[0，T]上的相对套利机会*], 对于一些实数T*= T*（u（0））∈0，克（u（0））. 时间范围[0，T]与T的关系∈ （T*, G（u（0）]？关于这一点，另请参见备注6.6、6.9和6.17.2。以下问题源于第6节中用于构建反例的方法。假设扩散存在于Rd的子流形上，这与鞅结构不相容（例如，在球体上）。如果我们现在想将扩散转化为鞅，那么子流形将如何通过Rd演化（例如，它可能会变成一个扩展的球体）？关于这一点，另见备注6.15.3。第6节包含扩散的示例，可以将其转换为市场模型，其中短期相对套利是不可能的，但长期相对套利是可能的。

实现这一点不需要任何额外的摩擦（例如，交易成本等）。是否有任何有趣的经济影响？如果有，是什么影响？例如，在一个代理人对不同的时间范围有偏好的经济体中，这样的模型能从均衡理论中产生吗？参考Bally，V.，Caramellino，L.，和Pigato，P.（2016）。局部强H¨ormard条件下的扩散。第二部分：管道估算。预印本，arXiv:1607.04544。Banner，A.和Fernholz，D.（2008年）。波动稳定市场中的短期相对套利。《金融年鉴》，4（4）：445–454。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1994年）。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen，300（3）：463–520。Fernholz，E.R.（2002年）。随机投资组合理论，《数学应用》（纽约）第48卷。Springer Verlag，纽约。随机建模和应用概率。Fernholz，R.（1999年）。投资组合生成函数。《金融市场定量分析》编辑Avellaneda，M。世界科学基金会Fernholz，R.和Karatzas，I.（2005）。波动稳定市场中的相对套利。《金融年鉴》，1（2）：149–177。Fernholz，R.和Karatzas，I.（2009）。随机投资组合理论：概述。Bensoussan，A.，主编，《金融中的数值分析、体积数学建模和数值方法手册》。爱思唯尔。Fernholz，R.，Karatzas，I.，和Kardaras，C.（2005）。股票市场的多样性和相对套利。《金融与随机》，9（1）：1-27。Jacod，J.和Shiryaev，A.N.（2003）。随机过程的极限定理。施普林格，柏林，第二届。Karatzas，I.和Kardaras，C.（2007年）。半鞅金融模型中的num'eraire投资组合。《金融与随机》，11（4）：447–493。Karatzas，I.和Ruf，J.（2016）。由Lyapunov函数生成的交易策略。

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