波动性和套利

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英文标题：
《Volatility and Arbitrage》
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作者：
E. Robert Fernholz, Ioannis Karatzas, Johannes Ruf
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The capitalization-weighted total relative variation $\\sum_{i=1}^d \\int_0^\\cdot \\mu_i (t) \\mathrm{d} \\langle \\log \\mu_i \\rangle (t)$ in an equity market consisting of a fixed number $d$ of assets with capitalization weights $\\mu_i (\\cdot)$ is an observable and nondecreasing function of time. If this observable of the market is not just nondecreasing, but actually grows at a rate which is bounded away from zero, then strong arbitrage can be constructed relative to the market over sufficiently long time horizons. It has been an open issue for more than ten years, whether such strong outperformance of the market is possible also over arbitrary time horizons under the stated condition. We show that this is not possible in general, thus settling this long-open question. We also show that, under appropriate additional conditions, outperformance over any time horizon indeed becomes possible, and exhibit investment strategies that effect it.
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中文摘要：
资本化加权总相对变化$\\sum\\ui=1}^d\\int\\u 0 ^\\cdot\\mu\\u i（t）\\mathrm{d}\\langle\\log\\mu\\u i\\rangle（t）$在由固定数量的资产组成的股票市场中，资本化权重$\\mu\\u i（\\cdot）$是一个可观察且不减损的时间函数。如果市场的这种可观察性不仅是非减损的，而且实际上是以远离零的速度增长的，那么就可以在足够长的时间范围内构建相对于市场的强套利。十多年来一直是一个悬而未决的问题，在规定的条件下，在任意的时间范围内，市场是否也可能表现出如此强劲的表现。我们表明，这在一般情况下是不可能的，从而解决了这个长期悬而未决的问题。我们还表明，在适当的附加条件下，在任何时间范围内都有可能实现跑赢大市，并展示了影响跑赢大市的投资策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：波动性 Quantitative Mathematical Optimization Differential

波动性和套利*E、 ROBERT FERNHOLZ+IOANNIS KARATZASJOHANNES RUF§2016年8月23日摘要资本化加权总相对变量Pdi=1R··ui（t）dhloguii（t）在由固定数量的资本化权重为ui（·）的资产组成的股票市场中，是一个可观察且不减损的时间函数。如果市场的这种可观察性不仅是非减损的，而且实际上是以远离零的速度波动的，那么就可以在足够长的时间范围内构建相对于市场的强套利。十多年来一直是一个悬而未决的问题，在规定的条件下，在任意的时间范围内，市场是否也可能表现出如此强劲的表现。我们表明，这在一般情况下是不可能的，从而解决了这个长期悬而未决的问题。我们还表明，在适当的附加条件下，在任何时间范围内都有可能实现跑赢大市，并展示了影响跑赢大市的投资策略。关键词和短语：交易策略、函数生成、相对套利、短期套利、扩散支持、流形扩散、非退化。AMS 2000科目分类：60G44、60H05、60H30、91G10。1简介和总结至少自Fernholz（2002）以来，人们就知道股票市场的波动性可以产生套利，或者至少是特定投资组合和市场投资组合之间的相对套利。然而，究竟需要多大程度的波动，以及这种套利需要多长时间才能实现，这些问题从未得到充分回答。

在这里，我们希望对这些问题有所了解，并了解什么可能代表足够的波动性，以及在什么时间框架内可能实现相对收益率。关于市场波动性的一个常见条件，有时称为严格非退化，是要求市场协变量矩阵的特征值远离零。Fernholz（2002）表明，严格的非退化性，加上市场多样性，即最大相对市场权重远离1的条件，将在足够长的时间范围内产生相对于市场的相对套利。后来，Fernholz et al.（2005）表明*我们感谢阿德里安·班纳、大卫·霍布森、布兰卡·霍夫阿斯、安托万·贾奎尔、瓦西里奥斯·帕帕塔纳科斯、约瑟夫·泰奇曼、明汉·扬和亚历山大·韦尔武特的有益评论。一、 K.感谢国家科学基金会在NSF-DMS-14-05210资助下提供的支持。J、 R.感谢牛津大学牛津曼定量金融研究所的慷慨支持。+新泽西州普林斯顿市帕默广场一号441室INTECH投资管理公司，邮编：08542（电子邮件：bob@bobfernholz.com).哥伦比亚大学数学系（电子邮件：ik1@columbia.edu)；以及新泽西州普林斯顿市帕默广场一号441室INTECH Investment Management，邮编：08542（电子邮件：ikaratzas@intechjanus.com).§英国伦敦大学学院数学系，伦敦高尔街WC1E 6BT（电子邮件：j。ruf@ucl.ac.uk)。条件导致在任意短的时间范围内进行相对套利。市场多样性实际上是一种相当温和的条件，在任何一个表面上有反垄断监管的市场中都会得到满足。然而，严格的非退化性是一个更强的条件，在任何现实的市场环境中，可能都无法进行统计验证。

虽然可以合理地假设市场协变量矩阵是非奇异的，但考虑到随机d×d矩阵的最小特征值随时间的变化，做出强有力的假设似乎是相当大胆的，其中d∈ N通常是一个大整数，代表股票市场中的股票数量。因此，最好避免使用严格的非退化性作为非退化性的表征，而是考虑基于聚合相对变化的度量。最重要的度量是所谓的累积超额增长ΓH（·）。该度量基于对数市场权重方差的加权平均值。所使用的重量正是市场重量；更准确地说，我们有ΓH（·）：=dXi=1Z·ui（t）d对数ui（t） 。（1.1）该数量将在下文详细讨论。这里，ui（t）表示时间t时第i种股票的市场权重≥ 0，对于每个i=1，···，d.Fernholz和Karatzas（2005）表明，如果ΓH（·）的斜率有界远离零，那么相对于市场的相对套利将在足够长的时间内存在。我们将在第6节中看到，这一条件并不一定意味着在任意短的时间内相对税收。然而，并非所有都丢失了：在第5节中，我们将看到，在其他假设下，例如只有两支股票（d=2）或当市场权重满足适当的时间同质性属性时，在任意的时间范围内确实存在相对套利。还提供了其他充分条件。我们还注意到，Pal（2016）最近得出了大型市场产生渐近短期套利的充分条件。预览：论文结构如下：第2、3和4节介绍了基本定义，包括生成函数的概念。

由Fernholz（1999年、2002年）引入，并发展了inFernholz和Karatzas（2009年）以及Karatzas和Ruf（2016年），这些功能在创建产生相对于市场的套利的交易策略方面很有用。第5节确定了相关套利在任意时间范围内存在的条件。第6节构建了具有足够波动性但没有套利的市场的例子——实际上，这个例子中的价格过程都是鞅。第7节总结了本文的结果，并讨论了一些悬而未决的问题。在我们开始之前有一个最后的注意事项，这将经典套利与相对套利进行比较。经典套利是相对于现金进行衡量的，在我们的背景下，这可以被视为一个持续的积极过程。我们在这里介绍的相对套利通常与市场投资组合相对，这意味着市场投资组合取代现金作为衡量相对套利的基准。所有类型的套利都有一个有界限制，以防止“加倍”策略。对于经典套利，创造套利的交易策略的价值必须从低于相对值到现金。在相对套利中，这个界限是相对于市场的。一般来说，市场价值没有边界，因此一个边界不会产生另一个边界，反之亦然。因此，这两种类型的障碍可能是不兼容的。2市场模型和交易策略定义了一个概率空间(Ohm, F，P），赋予连续过滤权F=（F（t））t≥对于隐式，我们取F（0）={, Ohm}, 摩登派青年P、 所有遇到的流程都将适应此过滤。

在这个过滤概率空间上，对于一些∈ N{1}，我们考虑一个连续的d维半鞅u（·）=（u（·），··，ud（·））取单位单纯形侧面的值d：=x、 ···，xd∈ [0，1]d:dXi=1xi=1 Hd，其中Hd表示超平面Hd：=x、 ···，xd∈ Rd：dXi=1xi=1. （2.1）我们假设u（0）∈ d+，我们设置的位置d+：=D∩ （0，1）d.（2.2）我们将ui（t）解释为公司i=1，····，d在时间t的相对权重，以市场资本化为条件≥ 0、允许单个公司的重量为零，但我们坚持PDI=1ui（t）=1必须适用于所有t≥ 0.本着这种精神，将通用市场权重过程ui（·）视为比率ui（·）：=Si（·）∑（·），i=1，··，d是有用的；∑（·）：=S（·）+··+Sd（·）>0。（2.3）这里Si（·）是一个连续的非负半鞅，对于每个i=1，···，d，表示第i家公司的资本化（股价，乘以流通股数量）；而过程∑（·）假设为严格正，代表整个市场的总资本。为了以后参考，让我们介绍一下停止时间D：=D∧ ··· ∧ Dd，Di：=infT≥ 0：ui（t）=0. （2.4）为了避免下面的符号不便，我们假设ui（Di+t）=0适用于所有i=1、····、d和t≥ 0；换句话说，零是任何市场权重的吸收状态。我们的结果之一，下面的定理5.10，需要以下概念。定义2.1（定义）。

如果乘积Z（·）ui（·）是每i=1、···、d的局部鞅，则相对市场权重的向量半鞅u（·）的严格正过程Z（·）称为deflicator。除非另有明确说明，否则以下结果将独立于市场模型是否允许deflicator。我们现在考虑一个可预测的过程θ（·）=θ（·），···，θd（·）用Rd中的值表示，并将θi（t）解释为t时持有的股份数量≥ i=1、···、d公司股票中的0。然后，该投资的总价值或“财富”，以总市值isVθ（·）：=dXi=1θi（·）ui（·）衡量。定义2.2（交易策略）。假设Rd值可预测过程θ（·）可积于连续半鞅u（·）。如果满足所谓的“自我融资”条件Vθ（T）=Vθ（0）+ZTdXi=1θi（T）dui（T），我们可以说θ（·）是一种交易策略≥ 0.（2.5）如果交易策略从不卖空任何股票，我们仅将其称为做多策略：即ifθi（·）≥ 0适用于alli=1，···，d。（2.5）中的向量随机积分给出了在[0，T]上实现的贸易收益。（2.5）中的自筹资金要求假设，这些“收益”解释了区间开始t=0和结束t=t之间交易策略产生的价值的全部变化【0，t】。定理5.7的证明需要以下观察结果，这是一个简单计算的结果。备注2.3（交易策略的串联）。假设我们得到一个实数b∈ R、 停止时间τ和交易策略Д（·）。然后我们形成一个新的过程ψ（·）=ψ（·），··，ψd（·）, 相对于u（·）和组分ψi（·）：=b的againintegrable+^1i（·）- VД（τ）[[τ，∞[[（·），i=1，··，d。

（2.6）那么过程ψ（·）本身就是一种交易策略，其相关财富过程Vψ（·）由Vψ（·）=b给出+V^1（·）- VД（τ）[[τ，∞[[（·）.3交易策略的函数生成这是一类特殊的交易策略，对于这类策略，（2.5）的表示形式非常简单和明确；特别是，其中随机积分从（2.5）的右侧完全消失.为了展示这类交易策略，我们从一个常规函数开始：a连续映射G：D→ R满足广义It^o规则。这样，我们的意思是过程G（u（·））可以写为sumG（u（·））=G（u（0））+Z·dXi=1DiG（u（t））dui（t）- 关于另一个可测函数DG的u（·）（3.1）的随机积分的常数初始条件G（u（0））：D→ Rdeevaluated atu（·），and of a process-ΓG（·），其在紧凑的时间间隔内具有有限的变化。Karatzas和Ruf（2016）中给出了准确的定义。我们在此强调，正则函数的概念是相对于给定的市场权重过程u（·）；一个函数G可能是正则的，所以某些这样的过程是正则的，但对于另一个过程则不是正则的。在本文中，我们只考虑在集合的邻域中可推广为两次连续可微函数的正则函数Gd+英寸（2.2）。从现在起，我们遇到的每个正则函数都应该具有这种光滑性。那么我们可以假设DG（x）是G在x处的梯度，至少对于所有x∈ d+。此外，在随机区间[[0，D[[和在（2.4）的概念中，]G（·）=-dXi=1dXj=1Z·Di，jGu（t）Dui，uj（t） 。（3.2）常规函数G可以通过两种方式生成交易策略。1.

加法生成：向量过程ДG（·）=ДG（·），··，ДGd（·）带组件ДGi（·）：=挖掘u（·）+ ΓG（·）+Gu（·）-dXj=1uj（·）DjGu（·）, i=1，···，d，（3.3）是一种交易策略，据说是由G额外生成的。与此交易策略相关的财富过程VДG（·）具有极其简单的形式VДG（·）=G（u（·））+ΓG（·）。（3.4）也就是说，VΓG（·）可以表示为完全观察到的和“受控”的术语（u（·）），加上“累积收益”术语ΓG（·）。需要注意的是，这个表达式完全没有随机积分。2、乘法生成：生成交易策略的第二种方法要求进程1/G（u（·））是局部有界的。该假设允许我们定义过程zg（·）：=Gu（·）expZ·dΓG（t）Gu（t）!> 0。（3.5）然后向量过程ψG（·）=ψG（·），··，ψGd（·）分量ψGi（·）：=ZG（·）1+克u（·）挖掘u（·）-dXj=1DjGu（·）uj（·）, i=1，···，d（3.6）是一种交易策略，被称为由G乘法生成。该策略生成的值VψG（·）由（3.5）的过程给出，即：VψG（·）=ZG（·）。如果正则函数G是凹函数，那么可以检查策略ДG（·）和ψG（·）是否都是长函数。此外，在这种情况下，（3.1）中的过程ΓG（·）实际上是非减量的。更一般地，我们引入以下概念。定义3.1（李亚普诺夫函数）。

如果（3.1）中的过程ΓG（·）是非减量的，则正则函数G称为Lyapunov函数。对于李雅普诺夫函数G，过程ΓG（·）具有市场累积波动性的聚合度量的重要性；Hessian矩阵值过程-DG（u（·）），影响聚合，然后作为半鞅u（·）协变量矩阵上的一种“局部曲率”，为我们提供波动性的累积度量。Fernholz（1999，2002）提出了函数生成的理论和应用；另见Karatzas和联阵（2016）。本节中提出的所有主张都在这些参考文献中得到了证明，并讨论了功能生成交易策略的几个示例。我们现在介绍四个在这里很重要的正则函数。1、统计力学和信息论的熵函数H：=-dXi=1xilog xi，x∈ d（3.7），约定0×log∞ = 0是一个特别重要的正则函数。注意，H是一个concave函数，因此也是一个Lyapunov函数，并且取[0，log d]中的值。它会产生额外的仅长熵加权交易策略ДHi（·）=日志ui（·）+ ΓH（·）{ui（·）>0}，i=1，··，d.（3.8）此处ΓH（·）=dXi=1Z·dui（t） ui（t）=dXi=1Z·ui（t）d对数ui（t） 在[[0，D[[（3.9）表示策略ДH（·）的累积收益，以及H-按照（3.1）的方式对市场累积波动性进行综合衡量。在（1.1）中已经遇到了这种不减损的、类似痕迹的过程ΓH（·）；在随机投资组合理论中，它被称为市场的累积超额增长，并在其中发挥着重要作用。该过程ΓH（·）测量市场的累积总相对变化——逐只股票，然后根据每只股票的权重取平均值。