几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和

让我们考虑sumXN=PNi=1eZti+mti，其中m<0，ti=iτ，Ztiis是一个L'evy过程，因此对于任何θ∈ R、 E[EθZt]=Eκ（θ）t，N遵循参数p的几何分布，与l'evy过程Zt无关，即，（105）p（N=k）=（1- p） k级-1p，k=1，2，3。因此，不难看出（106）XN=AQ+A（1- Q） （1+XN），在分布中，其中XN、A和Q是独立的，其中A：=eZτ+mτ，P（Q=1）=P=1- P（Q=0）。当p=0时，我们有N=∞, 和XN→ 十、∞.设α为方程（107）Д（α）：=E[（A（1））的唯一正解- Q） ）α]=E[Aα]E[（1- Q） α]=eκ（α）τ+mατ（1- p） =1。然后，作为x→ +∞,（108）P（XN>x）~ c+x-α、 对于某些常数c+>0。设Yτ：=τx，p=λτ。通过修改定理19的证明，我们期望在一些温和的条件下，和Yτ收敛于积分。具体（109）Yτ→ZTλeZt+mtdt，分布为τ→ 0，其中Tλ随参数λ>0呈指数分布，且与L'evy过程Zt无关。文献中研究了指数L'evy过程的时间积分，见。g、 Bertoin和Yor【5】以及其中的参考文献。离散近似可以给出指数L'evyprocess连续时间积分性质的一种替代推导。注意，由于Yτ=τXN，我们有（110）Yτ=A（τ+（1- Q） Yτ）在分布中，其中Yτ独立于A，Q。对数Yτ的m.g.f由（对于0<θ<1）（111）E[Yθτ]=E[Aθ]E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]，0<θ<1，其中我们使用Yτ和A的独立性。

注意，由于A=eZτ+mτ，我们有（112）E[Aθ]=Eθ（τ）τ+θmτ=1+κ（θ）τ+θmτ+O（τ），遵循与几何布朗运动相同的参数，我们得到（113）E[Yθτ]=1+κ（θ）τ+θmτ+O（τ）E[Yθτ]+（θE[Yθ-1τ]- λE[Yθτ]）τ+O（τ1+θ）.Letτ→ 0时，O（τ）项的系数必须为零，因此极限Y必须满足恒等式（114）（κ（θ）+θm- λ） E[Yθ]+θE[Yθ-1] =0，请注意与前几节相比，A的定义发生了变化。多纳蒂·马丁（DonatiMartin）等人[11]提出的GBM、年金和亚式期权17的离散总和（2.4）。5、正矩在具有几何死亡率的指数L'evy模型的一般设置中，对于任意漂移m，XnM的平均矩和高阶矩可能不存在。对于确实存在的XnT的许多正矩，存在计算这些正矩的简单递归关系。同样值得注意的是，Xnalway性别歧视的消极时刻似乎不会产生封闭式的表达。回想一下，A=eZτ+mτ，其中Zt是一个L'evy过程。因此，我们有E[Ak]=Eκ（k）τ+mkτ<1if且仅当κ（k）+mk<0时。在几何布朗运动的特殊情况下，E[Ak]=Eστ（k-k） +mkτ<1当且仅当k<-2mσ+1。回想一下，（115）XN=AQ+A（1- Q） （1+XN）在分布中，XN、A、Q是独立的。因此，对于任何k∈ N使得κ（k）+mk<0，（116）E[XkN]=（1- p） E[Ak]E[（1+XN）k]+pE[Ak]，由此得出递推关系：（117）E[XkN]=E[Ak]1- （1）- p） E[Ak]（1）- p） k级-1Xj=0千焦E【XjN】+p, k∈ N、 κ（k）+mk<0。作为第一步，让我们考虑特殊情况p=0，然后N=∞ a、 s。

复发率降低到（118）E[Xk∞] =E[Ak]1- E[Ak]k-1Xj=0千焦E[Xj∞], k∈ N、 κ（k）+mk<0。根据这个递推关系，我们可以计算出e[X∞] =E[A]1- E[答],E[X∞] =E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答],E[X∞] =E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答]E[答]1- E[答],更一般地说，（119）E[Xk∞] =Xk=im>im-1> ···>i>i=0,1≤m级≤kmYj=1ijij公司-1.E【Aij】1- E【Aij】。18 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUNow，让我们回到原始的递归关系（117）。注意，我们可以将（117）重写为（120）E[XkN]=（1- p） E[Ak]1- （1）- p） E[Ak]k-1Xj=0千焦E【XjN】+p1- p, k∈ N、 κ（k）+mk<0。？从（119）中，不难看出-1> ···>i>i=0,1≤m级≤kmYj=2ijij公司-1.（1）- p） E【Aij】1- （1）- p） E【Aij】（121）·（1）- p） E【Ai】1- （1）- p） E[人工智能]二+p1级- p=1.- pXk=im>im-1> ···>i>i=0,1≤m级≤kmYj=1（1- p） E【Aij】1- （1）- p） E【Aij】mYj=2ijij公司-1..年金和亚洲期权的应用在本节中，我们考虑我们的结果对年金和亚洲期权的应用。作为说明，我们只讨论几何布朗运动和的情况，因此亚式期权的模型是标准的Black-Scholes模型。值得注意的是，第6节中的所有讨论也适用于指数L'evy过程之和。6.1。死亡率有限的年金。我们已经分析了具有几何分布死亡率的年金。现在，让我们来看看死亡率为n的年金，我们有兴趣计算Xn=Pni=1eσWti+（m-σ） ti，即，对于任何x>0的情况：P（Xn）的值≤ x） 。对于任何0<z<1，我们可以计算thatG（z）=∞Xn=1P（Xn≤ x） zn=z1- zP（XNp≤ x） ，其中NP具有p=1的几何分布- z

然后，P（Xn≤ x） =n！dndznG（z）z=0（122）=n！nXk=0nk公司z1级- z（n）-k）z=0dkdzkP（XNp≤ x）z=0=n-1Xk=0k！dkdzkP（XNp≤ x）z=0=n-1Xk=0k！(-1） kZx公司kpkf（y；β，ρ，p）dyp=1，我们记得f（x；β，ρ，p）是xnw的概率密度函数，其中β=στ，ρ=mτ。接下来，我们给出了分布函数f（x；β，ρ，p）及其在p=1时对p的导数在该展开式中表示的系数的递归表示。GBM、年金和亚式期权的离散和19定理22。有限和Xn=Pni=1eσWti+（m-σ） tihas概率密度函数（123）fn（x；β，ρ）=n-1Xk=0k！(-1） k级kpkf（x；β，ρ，1），其中f（x；β，ρ，1）=√2πβxe-2β（对数x-ρ+β），（124）pf（x；β，ρ，1）=√2πβxe-2β（对数x-ρ+β）-xZ公司∞e-2βhlogx1+y+β-ρie-2β（对数y-ρ+β）2πβydy，（125）和任何k≥ 2.kpkf（x；β，ρ，1）=-kxZ公司∞dy公司√2πβexp-2βlogx1+y+β- ρ!k-1.主键-1f（y；β，ρ，1）。（126）证据。回想命题16，XNsatis的密度函数是积分方程（70）。在这个方程中，让p=1，我们得到方程（124）。将方程（70）与p进行微分，设置p=1，我们得到pf（x；β，ρ，p）p=1（127）=√2πβxe-2β（对数x-ρ+β）-xZ公司∞dy公司√2πβexp-2βlogx1+y+β- ρ!f（y；β，ρ，1）。复制（125）。此外，对于任何k∈ N和k≥ 2，将方程（70）k乘以p，设置p=1，我们得到方程（126）。这给了kpkf（x；β，ρ，1），对于每k=0，1，2。。代入（122）并对x取一个导数，得到Xn密度的表示（123）。这就是这种关系的证明。有限和Xn表示递归（128）Xn=A（1+Xn-1） ，其中A在（13）中定义。

这给出了xn密度的递归关系，其可以用符号形式表示为（129）fn（x；β，ρ）=^Tβ，ρfn-1（x；β，ρ），其中^Tβ，ρ表示（20）中的积分变换，初始条件f（x；β，ρ）=f（x；β，ρ，1）。这可以用（130）fn（x；β，ρ）=^Tn形式求解-1β，ρf（x；β，ρ）。20 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHURemark 23。定理22给出了递归的显式加法解（129）。为了了解这一点，我们注意到（123）中出现的术语可以替换为（131）kpkf（x；β，ρ，1）=(-1） k级-1k！^Tk-1β，ρ（1-^Tβ，ρ）f（x；β，ρ）。通过代入（123）很容易看出，总结果与（130）一致。我们还可以研究几何布朗运动有限和的左尾和右尾：命题24。对于任意n∈ N、 我们有（132）个lim→0log P（Xn≤ )（日志)= -2στ。证据注意，对于任何n∈ N、 X个≤ Xn公司≤ 十、∞. 由于Xis对数正态分布，很明显lim→0log P（X≤)（日志)= -2στ。然后，结果来自命题8。我们对右尾渐近有如下估计：命题25。对于任意n∈ N我们有（133）limx→∞对数P（Xn≥ x） （对数x）=-2στn.证明。我们证明了匹配的上界和下界。我们首先推导一个上界，然后写xn≤nXk=1eσmax1≤我≤nWti+| m-σ| tn=neσmax1≤我≤nWti+| m-σ| tn.（134）根据反射原理，max1≤k≤nWtk=| Wtn |分布。此给定SP（Xn>x）≤ Peσ| Wtn |>xne-|m级-σ| tn（135）=2PZ>σ√田纳西州日志（x/n）- |m级-σ| tn= 2Φ-σ√田纳西州日志（x/n）- |m级-σ| tn≤ 2σ√田纳西州√2πLe-2σtnL，其中表示L=对数（x/n）-|m级-σ| tn和Φ（x）：=√2πRx-∞e-ydy是N（0，1）的累积分布函数。

这里Z=N（0，1），我们在最后一行中使用了不等式（136）√2πxe-x个1.-x个≤ Φ(-x）≤√2πxe-x、 x>0。取两边的圆木，除以logx，取x→ ∞ 限制给出（137）lim supx→∞对数P（Xn>x）logx≤ -2στn。这证明了（133）的上界。GBM、年金和亚式期权的离散和21接下来，我们证明了一个匹配的下界。这是从不等式（138）Xn>eσWtn+（m-σ） tn，表示P（Xn>x）>PeσWtn>xe-（m）-σ） 田纳西州（139）=PZ>σ√tnlog公司xe公司-（m）-σ） 田纳西州≥σ√田纳西州√2πLe-2σtnL1.-σtnL,其中，我们表示L=对数x- （m）-σ） tnand再次使用了不等式（136）。取两边的对数，除以logx，取x→ ∞ 限制给出（140）lim infx→∞对数P（Xn>x）logx≥ -2στn。这证明了下限。这就完成了（133）的证明。备注26。GBM（133）离散和的右尾渐近类似于[42]中研究的GBM时间积分的右尾渐近，与Black Scholes模型中缺钱亚洲看涨期权的大罢工渐近有关。摘自【42】中的命题1（i）一结束语（141）limx→∞P（RTdteσWt+（r-σ） t>x）logx=-2σT.GBM时间积分的左尾渐近性也得到了类似的结果（文献42中的命题1（ii））。然而，从命题24可以看出，GCM和的左尾的相应渐近性是不同的。相关对数正态随机变量之和的尾部渐近性已在文献[4、19、24]中得到广泛研究，有关文献和应用的回顾，请参见文献[3]。相关对数正态随机变量之和的右尾渐近性在[4]中得到了完整的刻画。我们的结果（133）与[4]的结果一致，专门化为GBM之和。对于任意数量的对数正态变量，以及对于[19]中的n=2，最近在[24]中也研究了左尾的渐近性。

然而，【24】的结果是在某个假设（在【24】中表示为假设a）下获得的，该假设对GBM之和没有影响，因此其结果不能应用于我们的问题。6.2。随机死亡率年金。现在假设死亡时间N具有一般分布：（142）P（N=N）=pn，N=1，2，3，N与几何布朗运动无关。我们讨论了XN的分布，其中N服从几何分布。利用这一结果，我们还导出了给定n的某一特定元素的x分布。当n服从一般分布时，我们将相应的GBM之和表示为XR。对于任何x>0，由（143）P（XR）给出的XRis的累积分布函数≤ x）=∞Xn=1pnP（Xn≤ x） ，22 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUand fR（x），XR的概率密度函数由（144）fR（x）给出=∞Xn=1pnfn（x），其中fn（x）是Xn的概率密度函数。总之，对于一般随机死亡率年金，我们可以使用几何死亡率来推导最终死亡率的分布，然后使用几何死亡率来最终获得一般随机死亡率的分布。[21]中提出了一种替代方法，其中表明，任何正的细骨料分布都可以通过几何分布的适当线性组合进行任意匹配。这是连续时间结果的离散时间对应物【14】，该结果表明，任何正有限连续分布都可以通过指数分布的适当线性组合近似为任意环。6.3。年金的风险度量。在实际应用中，人们感兴趣的是年金超过某个值K的可能性，给出了支付现金流的可用金额。

这定义了短缺概率P（Sn>K）。在本节中，我们将计算具有几何分布停止时间XN的几何布朗运动和的短缺概率。利用方程（74）中导出的右尾渐近式，给出了K→ ∞ 通过互补累积分布函数（145）P（XN>K）=Z∞Kdxf（x；β，ρ，p）~ c+K-u，其中u由（73）给出，c+>0是由（75）确定的正常数。另一种风险度量是风险值，定义为X下一步概率K取已知值的金额K，例如5%或1%。因此，我们定义（146）p-VaR=inf{K≥ 0:P（XN>K）≥ p} 。再次使用XNwe的右尾渐近式有（147）p-VaR=-ulog（p/c+），对于非常小的p，u由（73）给出，c+>0由（75）给出。在实际应用中，离散时间年金的分布特性可能会使用蒙特卡罗模拟等数值方法进行研究。已知此类方法对于尾部概率的采样不可靠，因为它们需要很长的模拟时间[3]。利用本文获得的精确尾部行为，可以为离散时间年金的短缺概率获得可靠的风险度量，并构建有效的模拟方法。另一种可能的方法是使用连续时间近似法研究指数死亡率年金的分布，详细的理论结果可用，请参见【15】。在第7节中，我们将研究连续时间近似对离散时间年金分布特性的影响。6.4。亚洲期权的应用。

我们研究了（148）XN=NXi=1eσWti+（m）的分布-σ） ti，GBM、年金和亚式期权的离散和23，其中N服从几何分布，与布朗运动Wt无关，即，（149）P（N=k）=（1- p） k级-1p，k=1，2，3。设m=r- q、 其中r是无风险利率，q是股息收益率。然后，对于Black-Scholes模型，执行价格K>0且初始股价S>0的亚洲看涨期权价格由（150）C=e给出-rτnE“nnXi=1SeσWti+（m-σ） ti公司- K！+#。因此，要计算看涨期权价格，必须计算：（151）Pn：=E“nXi=1eσWti+（m-σ） ti公司- κ！+#，对于任何正数κ>0。假设对于任何0<z<1，我们可以计算Pn的母函数，即，（152）F（z）：=Xn=1Pnzn。那么，很明显，Pn可以计算为F（z）w.r.t.z在z=0时的n阶导数，即，（153）Pn=n！dndznF（z）z=0。另一方面，很容易看出f（z）=∞Xn=1E“nXi=1EσWti+（m-σ） ti公司- κ+#zn（154）=z1- z∞Xn=1E“nXi=1EσWti+（m-σ） ti公司- κ+#（1）- （1）- z） ）n-1（1- z） =z1- zE公司（XN- κ）+,p=1时-z在XN的定义中，其中N是用参数p几何分布的，我们已经在前面的章节中讨论了XN分布的性质。因此，Pn=n！nXk=0nk公司z1级- z（n）-k）z=0dkdzkE（XN- κ）+z=0（155）=n！nXk=0nk公司（n）- k） 哦！dkdzkE公司（XN- κ）+z=0=n-1Xk=0k！dkdzkE公司（XN- κ）+z=0=n-1Xk=0k！(-1） kZ公司∞κkpk（x- κ） f（x；β，ρ，p）p=1.24 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu类似地，我们可以计算亚洲看跌期权和任何亚洲类型期权的价格，Payoff是Xn的函数。最后，我们注意到，在连续时间设置中，可以使用指数分布的到期亚洲期权，然后使用拉普拉斯逆变换获得具有有限到期日的亚洲期权价格，如Geman，Yor【20】和Carr，Schr¨oder【7】所示。查看[13]。

我们对离散时间亚式期权使用几何分布成熟度的方法，是文献中常见的连续时间方法的离散时间模拟。数值研究7.1。GBM的有限总和。我们将计算x的密度函数f（x；β，ρ）∞通过求解积分方程（20）。通过引入新变量u=log（x+1），以u（0，∞), 新的未知函数F（u；β，ρ）=F（eu-1.β、 ρ）。随着变量的变化，方程（20）变为（156）F（u；β，ρ）=eβ-ρZ∞数据仓库√2πβe-2β（w-w（u））F（w；β，ρ），w（u）=log（eu- 1） +β- ρ。这消除了（20）中的1/x因子，该因子会对较小的x值引入数值噪声。我们使用steph=0.01的梯形求积。梯形求积的收敛性为h→ 0受以下定理控制（[9]，第208页）。定理27。设a和k固定，f（x）∈ 所有b的C2k+1[a，b]≥ a、 假设进一步∞adxf（x）存在，即（157）M=Z∞a | f（2k+1）（x）| dx≤ ∞,和thatf（a）=f（3）（a）=····=f（2k-1） （a）=0，（158）limx→∞f（x）=limx→∞f（3）（x）=···=limx→∞f（2k-1） （x）=0。（159）则阶跃h>0的梯形求积的求积误差从上至下为界=Z∞af（x）dx- h类f（a）+f（a+h）+f（a+2h）+···（160）≤ h2k+1Mζ（2k+1）2kπ2k+1，式中ζ（p）=p∞j=1j-pis是Riemann zeta函数。该定理的条件由（156）中的被积函数满足，对于任何k≥ 函数F（u；β，ρ）及其所有导数在u=0时消失，如方程（24）所示。右尾渐近证明了所有导数在x处都消失→ ∞ 也