几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和

YTλ的概率密度函数由（174）φλ（z；σ，m，λ）=σν给出σz；α、 β,式中（175）Д（y；α，β）=αβΓ（α）Γ（α+β+1）y-β-1F层β+1，α+β+1；-y,这是随机变量Y的密度：=B1，α/Gβ，其中B1，α和Gβ是独立的随机变量，分布为β和γ分布。其密度为ДB（B）=α（1- b） α-1，b∈ [0，1]，（176）ДG（G）=Γ（β）Gβ-1e级-g、 g级∈ [0，∞) .（177）常数α，β为α=2σ2米- σ+p（2m- σ） +8λσ,（178）β=2σ-2m+σ+p（2m- σ） +8λσ.（179）结果（175）与[13]中该密度的明确结果一致（第12页底部的第四个等式）。我们注意到，对于λ>0，常数α总是严格正的。这是B1，α存在的必要条件。命题29（右尾行为）。分布YTλ的右尾由以下公式给出：（180）P（YTλ>z）=z∞zdxφλ（x；σ，m，λ）=Z∞σzdyД（y；α，β）=Φλσz；α、 β,式中，(R)Φλ（y；α，β）是y的互补累积分布：=B1，α/Gβ，其中B1，α和Gβ是作为β和γ分布分布的独立随机变量，其右尾渐近为y→ ∞:（181）(R)Φλ（y；α，β）=Z∞ydwД（w；α，β）=αΓ（α）Γ（α+β+1）y-β（1+O（y-1） ）。GBM、年金和亚洲期权的离散和33我们注意到，指数与GBM离散时间的右尾渐近指数相同，几何死亡率在（73）中得出。这可以通过替换（73）中的p=λτ并近似于log（1）来看出- p）~ -p、 指数（182）u=2σ(-2m+σ+p（2m- σ） +8σλ），这与（179）中定义的β完全一致。命题30（左尾行为）。密度Д（y；α，β）的左尾行为为（183）limy→0Д（y；α，β）=αβ=σλ。概率密度Д（y；α，β）接近原点y附近的非消失常数→ 这种尾部行为不同于离散时间情况，在离散时间情况下，我们发现X射线的密度在零点附近消失。

这一行为意味着所有负动量se[YθTλ]与θ≤ -1不存在。另一方面，对于离散时间情况，XNare有限公司的所有负面情绪。极限情况λ=0。这对应于Tλ→ ∞, 由于指数分布下的Tλ期望值为（184）E[Tλ]=λ。我们区分了两种情况：i）m<σ。我们有（α，β）=（0，1-2mσ）；ii）m>σ。这给出了一个负的α，这是没有意义的，因为β（1，α）分布仅为α定义≥ 情况（i）中的反超几何函数可以用恒等式f（b，b，z）=ez以闭合形式表示，它适用于任何正整数b。我们有（185）Дy0，1-2mσ=Γ（1+2mσ）y-2+2mσe-1/y。利用（174），我们得到了GBMlimλ的有限时间积分的密度函数→0φλ（z；σ，m，0）=σΓ（1+2mσ）σz-2+2mσexp-σz（186）=（2/σ）1-2mσ（z）1-mσΓ（1+2mσ）exp-σz.这与φ一致∞方程（9）中的（z；σ，m）。命题28的证明。第1步。使用时间变化将YTλ与某个积分联系起来，我们从Yor的论文中知道该积分的分布【39】。这是（187）Y（u）tλ=Ztλe2us+2Wsds，其中tλ~ Exp（λ）。已知【39】该积分的分布为（188）2Y（u）tλ=B1，αGβ，α=u+pu+2λ，β=-u+pu+2λ。34 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu使用时间变化很容易看出，我们有（189）YTλ=σY（2mσ-1） σTλ。我们有σTλ~ Exp（σλ）。替换λ→σλ和u→2mσ- 1在^α，^β的表达式中，我们得到了参数α，β的结果（178）和（179）。第2步。使用结果[39]（190）YTλ=σB1，αGβ分布。表示y=b/g两个独立随机变量的比率，通过显式计算很容易显示其pdf由（175）给出。同时考虑到因子2/σ，我们得到了最终结果（174）。命题30的证明。我们在这里证明了左尾渐近。

这源于大负变元的反超几何函数的渐近展开：（191）Fβ+1，α+β+1，-y~Γ（α+β+1）Γ（α）yβ+1，作为y→ 这是从大正变元（192）F（a，b，z）的渐近性中获得的~Γ（b）Γ（a）ezza-b、 作为z→ ∞,与Kummer变换关系（193）F（a，b，z）=ezF（b- a、 b、，-z） 。附录B.定理13的证明。（i） 我们有τNXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.-中兴通讯σWt+（m-σ） tdt公司（194）≤NXi=1τeσWti-1+（m-σ） ti公司-1.-Ztiti公司-1eσWt+（m-σ） tdt公司≤ τNXi=1maxti-1.≤t型≤ti公司eσWt+（m-σ） t型- eσWti-1+（m-σ） ti公司-1..在每项中加减eσWt+（m-σ） ti公司-1并使用三角形不等式。总和中的每个项从上到下为（195）τmaxti-1.≤t型≤ti公司eσWt+（m-σ） t型- eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.≤ T（i）+T（i），其中我们表示dt（i）=τmaxti-1.≤t型≤ti公司eσWt- eσWti-1.e（米-σ） ti公司-1，（196）T（i）=τmaxti-1.≤t型≤拉杆σWte（米-σ） t型- e（米-σ） ti公司-1..（197）GBM、年金和亚洲期权的离散和35我们想证明以下总和收敛为零，即τ→ 0（198）limτ→0，τN=TNXi=1EhT（i）+T（i）i→ 我们依次绑定每个术语。EhT（i）i=τEeσWti-1+（m-σ） ti公司-1maxti-1.≤t型≤ti公司eσ（Wt-Wti公司-（1）- 1.（199）=τemti-1E级maxti公司-1.≤t型≤ti公司eσ（Wt-Wti公司-（1）- 1.≤ τemti-1E级最大值0≤t型≤τ| eσWt- 1个|≤ τemti-1E级eσmax0≤t型≤τWt- eσmin0≤t型≤τWt= τemti-1.Eheσ| Wτ| i- Ehe公司-σ| Wτ| i,我们使用了布朗运动的反射原理。求和i we haveNXi=1EhT（i）i≤ τemτN- 1emτ- 1.Eheσ| Wτ| i- Ehe公司-σ| Wτ| i（200）=τemT- 1emτ- 1eστ·2Φ（σ√τ）- Φ(-σ√τ）→ 0，作为τ→ 0，其中Φ（x）：=Rx-∞√2πe-y/2dy是标准正态随机变量的累积分布函数。第二项以类似的方式有界。EhT（i）i≤ τEmaxti公司-1<t<连接σ（Wt-Wti公司-1） eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.（201）·maxti-1<t<tie（米-σ） （t-ti公司-（1）- 1..期望中的这两个因素又是独立的，因此期望因素也成为了他们的期望。

最后一个因子的上确界取决于m的符号-σ。类型-σ> 0这是e（m-σ） τ- 1和m-σ<0这是1- e（米-σ） τ。这给了他（i）i≤ τEmaxti公司-1<t<连接σ（Wt-Wti公司-（1）emti公司-1sgn（m-σ）e（米-σ） τ- 1.（202）≤ 2Φ（σ√τ） τeστemti-1sgn（m-σ）e（米-σ） τ- 1..= 2Φ（σ√τ） τemti-1.emτ- eστ.如前所述，这在i=1，N上求和，结果是有限的，并以τ的形式变为零→ 0.（ii）在到期日不确定的情况下→ ∞ 进行类似处理，但为了确保sumsP的收敛，onerequires m<0除外∞i=1T（i）和P∞i=1T（i）。定理19的证明。第1步。我们首先证明极限（203）limτ→0τNXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.-ZNτeσWt+（m-σ） tdt公司= 036 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUin概率为τ→ 这里N是一个具有参数p的几何分布随机变量。考虑期望值τ： =E“τNXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.-ZNτeσWt+（m-σ） tdt公司#.（204）为了证明（203），有必要显示limτ→0τ=0。该期望写为τ=∞Xk=1p（1- p） k级-1E“τkXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.-ZkτeσWt+（m-σ） tdt公司#.（205）固定k的期望值∈ 如第13项的证明所示，N从上方有界。“我们有”τkXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.-ZkτeσWt+（m-σ） tdt公司#≤kXi=1E【T（i）+T（i）】（206）≤ （emkτ- 1） Rτ，式中（200）kXi=1E【T（i）】≤ τemkτ- 1emτ- 1eστ2[Φ（σ√τ）- Φ(-σ√τ） （207）和方程式（202）kXi=1E【T（i）】≤ τemkτ- 1emτ- 1.emτ- eστ2Φ（σ√τ） （208）通过引入grτ：=τemτ，我们在（206）的最后一行中结合了这两个不等式- 1eστ2[Φ（σ√τ）- Φ(-σ√τ） ]（209）+τemτ- 1.emτ- eστ2Φ（σ√τ） 。将（206）代入（205），我们有τ≤ Rτ∞Xk=1p（1- p） k级-1（ekmτ- （1）=pemτ1- emτ（1- p）- 1.Rτ。（210）k上的和收敛，前提是（1- p） emτ<1。

对于任何τ>0，保持这一点的有效条件是m<λ。Asτ→ 0，我们有limτ→0pemτ1- emτ（1- p）- 1.=mλ- m（211）和limτ→0Rτ=0（212）结合这些结果得出limτ→0τ=0，这完成了对所述结果的证明。GBM、年金和亚洲期权的离散总和37步骤2。在下一步中，我们证明（213）ZNτeσWt+（m-σ） tdt公司→ZTλeσWt+（m-σ） tdt，分布为τ→ 0。对于任何x>0，PZNτeσWt+（m-σ） tdt公司≤ x个（214）=∞Xk=1PZkτeσWt+（m-σ） tdt公司≤ x个（1）- λτ）k-1λτ，=1- λτ∞Xk=1PZkτeσWt+（m-σ） tdt公司≤ x个（1）- λτ）τkτλτ→Z∞PZueσWt+（m-σ） tdt公司≤ x个λe-λudu=PZTλeσWt+（m-σ） tdt公司≤ x个,asτ→ 因此，我们证明了期望的结果。参考文献[1]Alsmeyer，G.、A.Iksanov和U.R¨osler（2009）。论永续财产的分配性质。J、 理论。概率。22，666-682。[2] 美国精算师学会（2005年）。为可变年金和类似产品设定基于风险的监管资本要求的推荐方法。马萨诸塞州波士顿。[3] Asmussen，S.、J.L.Jensen和L.Rojas Nandayapa（2011年）。昆士兰大学预印本中对数正态和的文献综述。[4] Asmussen，S.，L.Rojas Nandayapa，对数正态随机变量和的渐近性与Gaussiancopula，Stat.Prob。利特。782709-2714（2008）。[5] Bertoin，J.和M.Yor（2005年）。L'evy过程的指数泛函。问题。调查2191-212。[6] Bowers，N.L.等人（2007年）。精算数学（第二版）精算师学会，伊利诺伊州绍姆堡。[7] Carr，P.，M.Schr¨oder（2003年）。贝塞尔过程、几何布朗运动积分和Asianoptions。概率论及其应用48400-425。[8] Curran，M.（1992年），《超越平均智力》，风险，1992年5月。[9] Davis，P.J.和P.Rabinowitz（2007年）。《数值积分方法》（第二版）多佛出版社，纽约，2007【10】De Schepper A.，M.Goovaerts，F.Delbaen（1992年）。

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