几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和

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英文标题：
《Discrete Sums of Geometric Brownian Motions, Annuities and Asian Options》
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作者：
Dan Pirjol, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The discrete sum of geometric Brownian motions plays an important role in modeling stochastic annuities in insurance. It also plays a pivotal role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper, we study the probability distributions of the infinite sum of geometric Brownian motions, the sum of geometric Brownian motions with geometric stopping time, and the finite sum of the geometric Brownian motions. These results are extended to the discrete sum of the exponential L\\\'evy process. We derive tail asymptotics and compute numerically the asymptotic distribution function. We compare the results against the known results for the continuous time integral of the geometric Brownian motion up to an exponentially distributed time. The results are illustrated with numerical examples for life annuities with discrete payments, and Asian options.
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中文摘要：
几何布朗运动的离散和在保险随机年金建模中起着重要作用。它在数学金融学中的亚洲期权定价中也起着关键作用。本文研究了几何布朗运动的无穷和、几何布朗运动的几何停止时间和几何布朗运动的有限和的概率分布。这些结果被推广到指数Levy过程的离散和。我们推导了尾部渐近，并数值计算了渐近分布函数。我们将这些结果与已知的几何布朗运动在指数分布时间内的连续时间积分的结果进行了比较。结果以离散支付的终身年金和亚洲期权的数值例子进行了说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Discrete_Sums_of_Geometric_Brownian_Motions,_Annuities_and_Asian_Options.pdf (656.55 KB)

2022-5-25 16:51:18 上传

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关键词：布朗运动 亚式期权 Applications Quantitative distribution

几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和Dan PIRJOL和LINGJIONG ZHUAbstract。几何布朗运动的离散和在保险随机年金建模中起着重要作用。它在数学金融中的亚洲期权定价中也起着关键作用。本文研究了几何布朗运动的有限和、几何布朗运动与几何停止时间之和以及几何布朗运动的有限和的概率分布。这些结果推广到指数L'evy过程的离散和。我们推导了尾渐近，并数值计算了渐近分布函数。我们将这些结果与已知的几何布朗运动在指数分布时间内的连续时间积分的结果进行了比较。结果以离散支付的终身年金和亚洲期权的数字样本进行了说明。简介年金的估值和风险管理是精算学的重要课题。合同年金支付种类繁多，从固定支付到可变年金，可能具有保证福利的特点。在精算文献中，在不同的股权价格、死亡率和利率模型选择下，考虑了此类合同的定价和估价【18、25、35、10、33】。文献中关于可变年金的大部分理论工作是在连续时间内进行的，尽管在实践中这些工具是在离散时间内定义和模拟的。我们注意到，精算文献中也考虑了离散时间模型[21]。

在本文中，我们将在离散时间环境下工作，并将我们的结果与连续时间近似进行比较。在本文中，我们将考虑股票收益的几何布朗运动模型下的固定支付年金的情况。利率将被假定为恒定的和确定性的，死亡率将被描述为几何分布。从理论角度来看，这种设置很有意义，同时也是构建更复杂和现实模型的简单起点。股票价格的几何布朗运动模型（Black-Scholes模型）是文献中最简单的模型。对数正态模型（独立对数正态ILN）也是美国精算师学会报告中推荐的模型之一，用于生成预先包装的经济情景（见【2】，附录2】。该模型可以通过添加随机波动率进行扩展，建模为差异或使用制度转换方法。在对数正态回报权益模型下，固定息票年金的现值可能与离散时间点上采样的几何布朗运动（GBM）之和有关。该数量在离散和连续时间环境中的分布特性已在数学金融和精算文献中得到广泛研究，日期：2016年5月20日。2000年数学学科分类。60G70,60K99。关键词和短语。几何布朗运动之和，随机递归方程，几何停止，年金，亚式期权，指数L'evy过程。2 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUsee【13，15】概述。例如，考虑一种随机年金，它在固定时间以时间步长τ支付常数C。

此外，假设付款来自包含价值过程为Ut的资产的投资组合，该资产是随机的，遵循几何布朗运动：（1）Ut=eσWt+（m-σ） t，其中wt是从0开始的标准布朗运动，时间为0，σ，m是实参数。Utrepresents表示在时间零点投资于资产（例如股票）的一个货币单位在时间t的价值，该资产具有正态分布的对数回报。假设在ti时支付n张息票，年金的现值为（2）Sn=nXi=1DtiCUti，其中d是贴现系数。该数量是一个随机变量，代表在时间零点所需的负债或货币金额，以便能够支付年金现金流。我们感兴趣的是Sn概率密度的形状，尤其是这个分布的尾部，它给出了年金支付所代表的负债极值的概率。

如果贴现率r为常数且具有确定性，则贴现因子为指数Dti=e-Rti和年金值Sni与在离散时间ti（3）~Sn=nXi=1e上采样的年龄计量布朗运动之和成比例-σWti+（σ-m） ti，其中我们重新定义了m+r→ m、 在假设St遵循几何布朗运动（5）St=SeσWt+（m-σ） 这里wt是标准布朗运动，σ，m是资产的波动性和漂移。如果平均时间均匀分布且时间步长非常小，则时间平均值（4）可近似为连续时间平均值（6）An=tnZtnStdt。这就把问题归结为几何布朗运动时间积分分布性质的研究，这在文献[12，13，40，41]中得到了广泛的研究。几何布朗运动的时间积分的分布性质在很大的时间限制内大大简化。定义（7）YT=ZTdteσWt+（m-σ） t.以下结果在【12】中得到证实，有关相关结果的调查，请参见【16】中的第3节。GBM、年金和亚洲期权的离散总和3理论1（[12，16]）。极限限制→∞YT=Y∞当且仅当ifm存在于分发中-σ<0，（8）σY∞= 伽马射线1.-2mσ，1.Y的极限概率密度∞由反伽马分布给出。

概率密度函数P（Y∞∈ （z，z+dz））=φ∞（z） dz，由（9）φ给出∞（z；σ，m）=σ1.-2mσz1.-mσΓ1.-2mσ经验值-σz.累计分布为（10）Φ∞（x；σ，m）=P（Y∞< x） =Γ1.-2mσΓ1.-2mσ；σx,式中，Γ（a，x）=R∞xta公司-1e级-tdt是不完全Gamma函数。本文研究了等距时间ti=iτ（11）Xn=nXi=1eσWti+（m-σ） ti。GBM（3）的逆和可通过替换σ从中获得→ -σ、 m级→-m+σ。我们将研究Xn和GBMX的有限和的分布特性∞= 画→∞Xn，和Xn，几何分布N的GBM之和。我们研究了N的存在性→ ∞ 极限，所有三种情况的尾部渐近性，相应随机变量的动量，以及离散和到连续时间积分的收敛性。研究结果将应用于年金和亚洲期权的研究。我们还用数值方法说明了我们的结果。GBM离散和分布的确定问题与对数正态和分布的研究密切相关，对数正态和分布的研究历史悠久，有关文献综述，请参见[3]。最简单的方法是用对数正态随机变量近似分布[27，16]。文献[4，19，24]研究了相关对数正态和的尾部渐近性。

Dufresne【16】研究了在小波动率极限σ下，通过引入权重函数而推广的和（11）的分布→ 0，并导出了该量的极限定理。米列夫斯基（Milevsky）和波斯纳（Posner）[31]研究了具有离散监控的亚式期权的定价。他们将GBM的有限时间积分的分布特性应用于离散和Xn，并建议使用逆Gamma分布作为有限和的近似值，作为亚洲期权定价的参数近似值。逆伽玛分布仅在连续时间内得到；在离散时间内，分布是不同的，我们在这里研究离散时间和连续时间积分近似的修正。本文作者[29]研究了n中和（11）的分布性质→ ∞在固定的β=στn下进行限制，并找到几乎确定的平均值An=nx的限制、波动和大偏差，然后获得货币外、货币内和货币内亚洲期权价格的渐近性。请注意，固定的β和n→ ∞ Limit对应于小型到期或小型波动性制度。对于亚洲期权，典型成熟度可以是1年或2年，波动率通常小于100%。因此，小型成熟度或小型波动率制度在业务应用程序中具有实际意义。固定σ、τ和n的4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUcase→ ∞ 给出几何布朗运动X的有限和∞.这种情况对应于大到期或大时间范围制度，这对随机年金具有实际意义，但与亚洲期权的定价关系不大。本文的组织结构如下。在第二节中，我们研究了几何布朗运动有限和分布的性质。

我们得到了一个随机递归方程，并用它导出了几何布朗运动X的有限和内概率密度函数的积分方程∞在具有时间步长τ的等距时间网格上采样。我们推导了X的右尾和左尾渐近性∞. 随着时间步长变为0τ→ 0，我们证明几何布朗运动的有限和以有限积分的形式收敛，已知该积分遵循逆伽马分布[12]，见定理1。在第3节中，我们重复分析在几何停止时间停止的几何布朗运动之和。在随机年金的背景下，这对应于几何分布的死亡时间。当时间步长为零时，我们证明该和在分布上收敛于终端时间呈指数分布的几何布朗运动的连续时间积分，其性质在文献中已得到充分理解。在第4节中，我们将几何布朗运动之和的结果推广到指数L'evy过程之和，在第5节中，我们导出了GBM有限和正力矩的表达式。在第6节中，我们将我们的结果应用于研究具有固定死亡率、随机死亡率的年金以及年金的风险度量，包括风险价值，以及离散时间亚洲期权的定价。我们以第7.2节中的结果的数值说明来结束本文。本节中GBMWe研究的无限和GBM X的无限和∞= 画→∞Xn，其中Xnis定义为（11）。该随机变量的密度满足以下结果给出的函数关系。提案2。GBM X的最终总和∞, 如果存在，满足关系（12）X∞= A（1+X∞),其中等式在分布中，我们表示（13）A：=eσ√τZ+（m-σ） τ，带Z~ N（0，1）独立于X∞.证据

GBM的有限和（如果存在）可以写成（13）（14）X形式的i.i.d.因子的乘积之和∞= A+AA+AAA+····=A（1+A+AA+·······）=A（1+X∞),最后一个等式在分配中。由于Aiare i.i.d.，Ais独立于（1+A+AA+·········），因此A独立于X∞在（12）中。备注3。更容易理解（12）的方法是将（12）写成X∞= A（1+^X∞) 不分配，其中X∞=^X∞在分布中，A独立于^X∞.我们现在研究函数关系（12）解的存在唯一性。这可能与GBM、年金和亚洲期权5的线性递归（15）xi+1=aixi+双离散和的极限分布的存在有关，其中（ai，bi）是一对i.i.d.随机变量，其值为[0，∞) ×R。通过采用ai=bi=A，这可简化为函数关系（12）。概率文献[26、38、17、28、30]广泛研究了形式（15）的线性随机递归。[1、12、17、23、22]中给出了特定情况下极限分布的显式解。递归（15）极限分布的存在和唯一性的条件是众所周知的【26，38】。以下是极限分布（16）E【log ai】<0，E【log（bi）+】<∞.这给了我们以下结果。提案4。函数关系（12）有一个解，该解是唯一的，前提是以下不等式保持（17）m<σ。证据第一个条件（16）给出（18）E[对数A]=m级-στ<0，满足m<σ。第二个条件（16）总是满足的。我们得出结论，如果不等式（17）成立，函数关系（12）有一个解是唯一的。我们还注意到，对于连续时间的情况，这个结果成立的条件与定理1中的条件相同。

关系式（12）给出了X的概率密度函数的积分方程∞,定义为P（X∞∈ （x，x+dx））=f（x；β，ρ）dx。我们将证明X的概率密度函数∞仅取决于参数（19）β：=στ，ρ：=mτ。提案5。函数f（x；β，ρ）满足积分方程（20）f（x；β，ρ）=xZ∞dy公司√2πβexp-2β日志x1+y+β- ρ!f（y；β，ρ）。证据对于任何x>0，（21）P（x∞≤ x） =P（A（1+x∞) ≤ x） =Z∞-∞P十、∞≤xeσ√τz+（m-σ） τ- 1.√2πe-zdz。微分w.r.t.x，我们得到（22）f（x；β，ρ）=Z∞-∞fxeσ√τz+（m-σ） τ- 1.β、 ρ√2πe-zdzeσ√τz+（m-σ） τ。更改变量，让w=eσ√τz+（m-σ） τ，we getf（x；β，ρ）=Zxdw√2πστwe-2στ（对数w-（m）-σ） τ）f（x/w- 1.β、 ρ）。最后，更改变量y=x/w- 1在最后一个积分中，使用定义β=στ和ρ=mτ，我们得到（20）。6 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUIn在下一节中，我们研究密度函数f（x；β，ρ）的渐近形式，在非常小和非常大的参数x的限制下。在第7节中，我们数值求解积分方程（20），并研究解f（x；β，ρ）对参数β，ρ的依赖性。2.1。X分布的渐近性∞. 我们在此研究GBM有限和内的尾部渐近性。2.1.1。P（x）的小x渐近性∞≤ x） 。极限密度函数f（x）的下降速度快于x的任何幂→ 我们首先证明所有的反矩E[X-n∞] withn公司∈ N存在且是有限的。提案6。X的反整数矩∞所有订单中，有一个是有限的，从上到下为（23）E[X-n∞] = eστn（n+1）-nmτE（1+X∞)-n≤ eστn（n+1）-nmτ，n∈ N证据然后取函数关系（12）的倒数，并取双方的期望值。最后一步是X的正性∞. 根据命题6，我们可以证明X∞≤  比任何功率都小nup为常量。