几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和

利用切比雪夫不等式，我们发现（24）P（X∞≤ ) ≤ nE【X】-n∞] ≤ neστn（n+1）-nmτ，n∈ N备注7。这些性质类似于GBM的有限时间积分。反伽马分布（9）具有所有阶数的有限负矩。这源于e-1/x的速度比x的任何幂都快→ 结果（24）仅给出X左尾的上界∞. 我们确实可以精确地确定X的左尾的前导阶渐近∞, 由以下结果得出：命题8。（25）lim→0log P（X∞≤ )（日志)= -2στ。证据回想一下X∞= A（1+X∞) 在分布和X中∞与A无关：=eσ√τZ+（m-σ） τ，其中Z~ N（0，1）。对于任何 > 0，自X起∞≥ 0 a.s.，（26）P（X∞≤ ) = P（A）（1+X∞) ≤ ) ≤ P（A≤ ).另一方面，对于任何δ>0，P（X∞≤ ) = P（A）（1+X∞) ≤ )（27）≥ P（A）（1+X∞) ≤ |0≤ 十、∞≤ δ） P（X∞≤ δ）≥ PA.≤1+δ0≤ 十、∞≤ δP（X∞≤ δ） =PA.≤1+δP（X∞≤ δ） ，其中上面的最后一步使用了X的独立性∞和A.GBM、年金和亚洲期权的离散总和7因此，对于任何, δ>0，（28）log PA.≤1+δ+ 对数P（X∞≤ δ）≤ 对数P（X∞≤ ) ≤ 日志P（A≤ ).由于A是对数正态分布，我们有（29）P（A≤ ) = Pσ√τZ≤ 日志 -m级-στ= Φσ√τ日志 -m级-στ,式中Φ（x）=Rx-∞dt公司√2πe-这是众所周知的正态累积分布函数。Φ（x）与x的渐近展开→ -∞ 我们得到（30）个lim→0日志P（A≤ )（日志)= -2στ。拿 → 0在（28）中的固定δ处，使用（30），我们得出结论（31）lim→0log P（X∞≤ )（日志)= -2στ。备注9。在连续时间的情况下，Y∞逆伽马分布和（32）lim→0 对数P（Y∞≤ ) = -σ。我们看到X的左尾渐近∞不同于（逆伽马分布）Y∞. 离散时间和X的密度∞在x附近受抑制较少→ 比连续时间积分Y的密度低0点∞.2.1.2。P（x）的大x渐近性∞≥ x） 。

文献中已经很好地研究了递归（15）极限分布的尾部行为。我们在这里总结了主要结果，有关应用程序的最新审查，请参见[28]。定义函数（33）Д（κ）=E[（a）κ]，κ∈ R如果存在一个正α，使得Д（α）=1，E[（a）αlog a]，E[| b |α]都是有限的，则对数定律是非算术的，并且对于每个x，P（ax+b=x）<1，则存在一个常数>0和（34）P（x∞> x）~ cx公司-α。对于我们的情况，我们有（35）Д（κ）=E[（A）κ]=Eheκσ√τz+κ（m-σ） τi=eβκ（κ-1） +κρ。方程Д（α）=1具有解α=0和（36）α=1-2mσ=1-2ρβ。在满足其余技术条件的情况下，我们发现X的极限分布∞具有以下尾部行为：算术分布定义为仅支持某个实数的整数倍的分布。8 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu10号提案。X的右尾渐近性质∞由以下关系式（37）P（X）给出∞> x）~ cx公司-1+2ρβ。备注11。不等式（17）给出α>0，因此x的累积分布∞保证在x时降至零→ ∞. 这确保了X的分布∞isnormalizable为1。备注12。对于T，尾部渐近（37）与GBM连续时间积分的尾部渐近相同→ ∞ 从定理1中得到，从X的密度的显式结果可以看出∞在（9）中给出。也可以估计（37）中的常数c。对于具有i.i.d.（ai，bi）的一般线性递归xi+1=aixi+bi，我们得到以下结果。如果a、b≥ 0，常数c由[23]（38）c=E[（ax+b）α]给出- E[（ax）α]αE[aαlog a]，其中xis根据xn的平稳定律分布，且与（a，b）无关。对于我们的情况，我们有a=b=a=eσ√τZ+（m-σ） τ。

系数变为（39）c=E[Aα[（1+X∞)α- Xα∞]]αE[αlog A]。使用α=1-2mσwe haveE[αlog A]=Eσ√τZ+m级-στeασ√τZ+α（m-σ） τ（40）=στ- mτ>0。在m<σ的约束条件下，这始终是正的。（39）中的分子通过A，X的独立性将两个期望值分解为两个因子∞. X上的期望∞在一般情况下不容易计算。它可以表示为X密度上的积分∞（41）E[（1+X∞)α- Xα∞] =Z∞dxf（x；β，ρ）[（1+x）α- 通常必须使用通过求解积分方程获得的f（x；β，ρ）的解进行数值计算。正整数α的情形∈ N更简单，因为期望值（41）是第一个α的线性组合-1 X的正整数矩∞. 第5节表明，这些动量可以以闭合形式进行评估（无论何时存在）。m=0的情况特别简单，因为我们有α=1。对于这种情况，期望值（41）为1，我们得到（42）c=στ。X密度的右尾渐近性∞对于m=0，为（43）f（x；σ，0）~ -ddx（c/x）=cx=στx。τx的相应尾部渐近∞is（44）g（x；σ，0）=τp（x/τ；σ，0）=σx。GBM、年金和亚洲期权的离散和9这与GBM的精确连续时间积分的尾部行为相同，后者由伽马密度函数φ的逆给出∞（x；σ，0）定义于（9）。然而，这一简单结果并不成立，例如，通过取α=2并使用第5.2.2节的结果可以看出。τ的极限分布→ 很自然会问，黎曼和τX∞收敛到Y∞分布为τ→ 0。我们得到以下结果。定理13。（i） 对于任何m，σ实数，我们有（45）τNXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.→中兴通讯σWt+（m-σ） tdt，单位为τ→ Nτ=T固定时为0。（ii）此外，如果m<0，我们还有（46）τ∞Xi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.→Z∞eσWt+（m-σ） tdt，单位为τ→ 0.证明。

附录B中给出了证明。这个结果意味着τX∞可近似为∞eσWt+（m-σ） tdt表示τ的所有值，我们从文献中了解到∞eσWt+（m-σ） tdt遵循逆伽玛分布。实际上，我们的离散近似方法提供了另一种证明，即极限连续积分确实遵循逆伽马分布。提案14。假设m-σ<0我们有以下分布极限：（47）limτ→0τX∞（στ，mτ）=γ1.-2mσ，σ.证据设Yτ：=τX∞. 注意，由于Yτ=τX∞, 分布中有Yτ=A（τ+Yτ），其中Yτ独立于A。对数Yτ的拉普拉斯变换由（48）E[Y]给出-θτ]=E[A-θ] E[（τ+Yτ）-θ] ，θ>0，其中我们使用了Yτ和A的独立性。注意，由于A=eσ√τZ+（m-σ） τislog正态分布，我们有（49）E[A-θ] =eθ+θστ-θmτ=1+θ+θστ- θmτ+O（τ），此外，（50）E[（τ+Yτ）-θ]- E【Y】-θτ]=-θτE[（Yτ）-θ-1] +O（τ）。将（49）和（50）代入（48），我们得到（51）E[Y-θτ]=1+θ+θστ- θmτ+O（τ）E【Y】-θτ]- θτE[（Yτ）-θ-1] +O（τ）.Letτ→ 0，定义Y=limτ→0Yτ。在这个极限下，O（τ）项的系数必须消失，因此我们得到了恒等式（52）E[Y-θ-1]=θ+1σ- m级E【Y】-θ] 。10 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu注意到上述τ→ 0极限不仅对θ>0有效，而且对θ<0和θ非常小的情况也有效。因此，我们证明了-对数Yτ，即E[Y]的收敛-θτ]表示θ在0的邻域内，这意味着YτtoYin分布的收敛性。让我们验证反伽马分布确实满足这一身份。使用（9）中的密度函数，我们可以以闭合形式计算（52）中出现的期望值-θ] =Z∞y-θσ1.-2mσy1.-mσΓ（1-2mσ）e-σydy（53）=Γ（θ+β）Γ（β）σθ=θ+1σ- 我【Y】-θ-1] 。β=1时-2mσ。这确实再现了这种关系（52）。接下来，我们证明（52）确实意味着Yis逆伽马分布。

表示wτ=Yτ。我们将证明W=limτ→0Wτ分布为伽马分布（54）W=伽马1.-2mσ，σ.确定力矩母函数Was（55）M（t）=E【etW】。在（52）中表示θ=j，将方程的两边乘以tjj！，和j上的和∈ N、 Sums可以用Was的m.g.f.表示∞Xj=0tjj！E【Wj】=M（t），（56）∞Xj=0jtjj！E【Wj】=tddtM（t）。（57）关系式（52）成为函数M（t）（58）M（t）的微分方程=σ- m级M（t）+σtM（t），M（0）=1。这是一个一阶线性常微分方程，可得出解（59）M（t）=1.-σt-1+2mσ，t<σ。这与伽马分布随机变量的m.g.f.形式完全相同，参数如（54）所示。这证明W=1/Yi作为Gammarandom变量分布，因此Y遵循逆Gamma分布。这一结果表明，X的累积分布函数∞, 定义为（60）F（x；β，ρ）=P（x∞< x） =Zxf（y；β，ρ）Dy具有以下极限行为。GBM、年金和亚洲期权的离散总和11提案15。我们有（61）limτ→0F（x/τ；στ，mτ）=Φ∞（x；σ，m），带Φ∞（x；σ，m）在（10）中给出。这也可以表示为累积分布函数F（x；β，ρ）作为参数β，ρ的极限结果→ 固定比率ρ/β时为0。我们有（62）limβ，ρ→0，ρ/β=fixedf（x；β，ρ）=Zxdyyβy1.-2ρβΓ（1-2ρβ）e-βy=Γ（1-2ρβ）Γ1.-2ρβ；βx.3、几何致命性在上一节中，我们研究了几何布朗运动的有限和∞=P∞i=1eσWti+（m-σ） ti，其中ti=iτ。更现实的随机年金模型考虑到年金支付的总时间是随机的。

在离散时间设置中，最简单的假设之一是，一个人将生存的周期数遵循几何分布，也就是说，假设该人目前仍然活着，那么他/她在下一时间步仍然活着的概率是1- p、 0＜p＜1。换句话说，我们对（63）XN=NXi=1eσWti+（m）的分布感兴趣-σ） ti，其中N遵循几何分布，与布朗运动Wt无关，即，（64）P（N=k）=（1- p） k级-1p，k=1，2，3。因此，不难看出（65）XN=AQ+A（1- Q） （1+XN），在分布中，其中XN、A和Q是独立的，A：=eσ√τZ+（m-σ） τ，其中z~ N（0，1）和Q={0，1}是一个伯努利随机变量，取值为0，1，概率（66）P（Q=1）=P=1- P（Q=0）。3.1。XN的概率密度函数和尾部渐近性。我们首先导出XN的概率密度函数f（x；β，ρ，p）的积分方程。对于任何x>0，P（XN≤ x） =P（AQ+A（1- Q） （1+XN）≤ x） （67）=pP（A≤ x） +（1）- p） p（A（1+XN）≤ x） =pPZ≤日志x- mτ+στσ√τ！+（1）- p） Z∞-∞PXN公司≤xeσ√τz+（m-σ） τ- 1.√2πe-zdz。12 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUDi微分w.r.t.x，我们得到f（x；β，ρ，p）=p√2πxe-2στ（对数x-mτ+στ）（68）+（1- p） Z∞-∞fxeσ√τz+（m-σ） τ- 1.β、 ρ，p√2πe-zdzeσ√τz+（m-σ） τ，我们记得β=στ，ρ=mτ。更改变量，让w=eσ√τz+（m-σ） τ，we getf（x；β，ρ，p）=p√2πxe-2στ（对数x-mτ+στ）（69）+（1- p） Zxdw公司√2πστwe-2στ（对数w-（m）-σ） τ）f（x/w- 1.β、 ρ，p）。最后，更改变量y=x/w- 1在最后一个积分中，使用定义β=στ和ρ=mτ，我们得到：命题16。

XN的密度函数，其中N遵循参数p的几何分布，满足积分方程f（x；β，ρ，p）=p√2πβxe-2β（对数x-ρ+β）（70）+（1- p） xZ公司∞dy公司√2πβexp-2βlogx1+y+β- ρ!f（y；β，ρ，p），其中β=στ，ρ=mτ。接下来，让我们推导XN的右尾和左尾。定义函数（71）Д（κ）=E[（A（1- Q） ）κ]=E[Aκ]E[（1- Q） κ]。我们可以计算出（72）Д（κ）=eβκ（κ-1） +κρ（1- p） 。方程Д（u）=1具有正解（73）u=-ρ+β+q（ρ-β）- 2β对数（1- p） β，因此，作为x→ +∞,（74）P（XN>x）~ c+x-u，对于某些常数c+>0。该常数由（38）[23]给出，可表示为（75）c+=E[Au]u（1- p） E[Aulog A]{p+（1- p） [E[（XN+1）u]- E[（XN）u]]}。GBM、年金和亚洲期权的离散总和13第一个因素可在[Au]u（1）下进一步评估- p） E[Aulog A]=u（1- p） E[Aulog A]（76）=u（1- p） （ρ-β+uβ）=u（1- p） q（ρ-β）- 2β对数（1- p） 。备注17。满足技术条件（16），E[对数{A（1-Q） }]=-∞. 我们注意到，这放松了漂移m<σ的条件，该条件存在于p=0时。对于p 6=0，对于所有m，uin（73）的溶液始终为正∈ R、 对于ρ<β，我们有更强的下限u>1-2ρβ。让我们也推导XN的左尾渐近。请注意，XNis为非负。因此，对于任何 > 0，（77）P（XN≤ ) = P（AQ+A（1- Q） （1+XN）≤ ) ≤ P（A≤ ).另一方面，对于任何δ>0，P（XN≤ ) ≥ P（AQ+A（1- Q） （1+XN）≤ |Q=0，0≤ XN公司≤ δ） P（Q=0，XN≤ δ） （78）≥ （1）- p） p（XN≤ δ） PA.≤1+δ.关于X的左尾渐近性的证明∞, 我们得出结论，（79）lim→0log P（XN≤ )（日志)= -2στ。备注18。作为p→ 0，人将永生，随机性的时间范围变得有限。因此，作为p→ 0，我们预计XN→ 十、∞在分发中。3.2。极限τ→ 0，并与连续时间进行比较。设Yτ：=τXNandp=λτ。

Asτ→ 0，我们期望Yτ收敛于λeσWt-σt+mtdt在分布中，其中tλ是指数分布，参数λ>0，与布朗运动Wt无关。事实上，我们将证明以下结果。定理19。设Tλ为参数λ>0的指数分布随机变量，N为参数p=λτ的几何分布随机变量，均假设与布朗运动Wt无关。然后，假设m<λ，我们得到（80）τNXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.→ZTλeσWt+（m-σ） tdt，分布为τ→ 0.证明。见附录B。GBM的时间积分在指数分布时间内的分布以闭合形式已知【39】，结果汇总见附录A。我们将简要说明这些众所周知的结果如何与τ→ 0限制。注意，由于Yτ=τXN，关系式（65）给出（81）Yτ=A（τ+（1- Q） Yτ）14 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUin分布，其中Yτ独立于A，Q。对数Yτ的m.g.f由（对于0<θ<1）（82）E[Yθτ]=E[Aθ]E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]，0<θ<1，其中我们使用Yτ和A的独立性。

因为A=eσ√τZ+（m-σ） τ是对数正态分布，我们有（83）E[Aθ]=Eθ-θστ+θmτ=1+θ- θστ+θmτ+O（τ），此外，E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]=τθp+E[（τ+Yτ）θ]（1- p） （84）=τθλτ+E[（τ+Yτ）θ]（1- λτ）和（85）E[（τ+Yτ）θ]- E[（Yτ）θ]=θE[（Yτ）θ-1] τ+O（τ）。因此，（84）和（85）意味着（86）E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]=E[Yθτ]+（θE[Yθ-1τ]- λE[Yθτ]）τ+O（τ1+θ）。将（83）和（86）代入（82），得到（87）E[Yθτ]=1+θ- θστ+θmτ+O（τ）E[Yθτ]+（θE[Yθ-1τ]- λE[Yθτ]）τ+O（τ1+θ）.Letτ→ 0时，O（τ）项的系数必须为零，因此极限Y必须满足恒等式（88）θ- θσ+θm- λE[Yθ]+θE[Yθ-1] =0。设（89）A（u）t：=Zte2us+2Wsds，t≥ 0，u∈ R众所周知，GBM的时间积分定律为指数分布的随机时间Tλ~ Exp（λ）由分布中的[39]（90）2A（u）Tλ=B1，αGβ给出，其中B1，α~ β（1，α）和Gβ~ Γ（β，1）是独立的随机变量，参数（91）α=u+p2λ+u，β=-u+p2λ+u。取（88）中的σ=2和m=2u+2，此关系变为（92）2θ+2θu- λE[Yθ]+θE[Yθ-1] =0。接下来，我们将证明该力矩关系确实满足Y=B1，α2Gβ，如（90）所示。

利用（176）、（177）中这些随机变量的密度，我们可以计算出（93）E[Yθ-1] =αθ-1Zxθ-1（1- x） α-1dxZ∞z-β-1Γ（β）zθ-1e级-zdz。GBM、年金和亚式期权的离散和15这两个积分计算为（94）Zxθ-1（1- x） α-1dx=B（θ，α）和（95）Z∞z-β-1Γ（β）zθ-1e级-zdz=Γ（β- θ+1）Γ（β）。因此，（96）E[Yθ-1] =αθ-1B（θ，α）Γ（β- θ+1）Γ（β），因此（97）E[Yθ]=αθB（θ+1，α）Γ（β- θ） Γ（β）。要检查（92），我们需要显示（98）2θ+2θu- λB（θ+1，α）Γ（β- θ） +2θB（θ，α）Γ（β- θ+1）=0。由于B（γ，δ）=Γ（γ）Γ（δ）Γ（γ+δ），因此等价于表明（99）2θ+2θu- λΓ（θ+1）Γ（θ+1+α）Γ（β- θ） +2θΓ（θ）Γ（θ+α）Γ（β- θ+1）=0，等于（100）θ+θu-λθ+θ（β- θ） （θ+α）=0，由α和β的定义确定。我们得出结论，力矩关系（92）由随机变量Y=B1，αGβ表示。根据定理19，我们得到以下结果。提案20。xNapproach的累积分布函数的极限分布为τ→ 0（101）limτ→0Z∞xdzτfzτ；στ，mτ，λτ=Z∞xdzφλ（z；σ，m，λ），其中φλ（x；σ，m，λ）在（174）中给出。备注21。分布的收敛性仅意味着累积分布函数的收敛性，而不是概率密度函数的收敛性。然而，在实践中，如图3所示，离散时间情况下的概率密度函数可以通过以下方式用连续时间情况近似：（102）f（x；β，ρ，p）~βДβx；a、 b类, asβ，ρ，p→ 0，其中（175）中给出了Д（x；a，b），anda=2β2ρ- β+p（2ρ- β） +8pβ,（103）b=2β-2ρ+β+p（2ρ- β） +8pβ.（104）16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU4。指数L'evy模型我们可以用指数L'evy模型来代替几何布朗运动，而上一节的大多数结果和结论仍然成立。