几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和

我们将使用该定理通过数值计算常数M来估计正交误差的上界。我们将通过迭代求解方程（156），从右侧的初始函数f（x；β，ρ）开始，并在下一步中使用结果f（x；β，ρ）作为被积函数。WeDISCRETE GBM、年金和亚洲期权总额2525 5075100 125 150175200-14-12-10-8-6-4-20-0.10ρ=nlog | | 10n25 5075100 125 150175200-8-6-4-20-0.10ρ=图1。左：日志绘图|n | vs n，用于方程（156）的迭代，参数ρ=-0.1和β=1（黑色）、0.5（蓝色）、0.1（红色）、0.01（绿色），初始条件由反伽马分布确定。右：对数u（n）的绘图-eρ1-eρvs n，其中u（n）为X的初始时刻估计值∞n次迭代后。与左图的参数相同。当收敛达到规定的精度时停止，如L∞连续迭代之间差异的标准（161）n=kfn（x）- fn公司-1（x）kL∞.作为迭代收敛速度的说明，我们在图1（左图）中显示了对数|n | vs n，用于方程（156）的迭代，ρ=-0.1和几个β=1、0.5、0.1、0.01的值，对于由具有适当β、ρ参数的反γ分布给出的初始条件。对于这些情况，误差接近10-8大约之后~ 100次迭代。我们还检查了密度函数f（x；β，ρ）的归一化在迭代过程中是否正确保持为1。使用REM 27（k=1）和常数M的数值计算来估计正交误差。对于β=1，ρ=0，这会得出Eh≤ β=0.1，ρ=-0.1我们有Eh≤ 0.058h。我们使用h=0.01，这样正交误差小于10-6在所有考虑的情况下。作为迭代的起始函数，我们使用了两种选择：i）f（x）=φ∞（x；ρ，β）。

这是反伽马分布，给出了τX的分布∞在小τ极限下。ii）f（x）=√2πβxe-2β（对数x+β-ρ） 乘数A的对数正态分布。我们检查了两个初始分布的迭代收敛到相同的分布。在图2中，我们显示了X的密度∞对于β=1和β=0.1，由F（u；β，ρ）给出，将积分方程（实心曲线）的解与命题15（虚线曲线）给出的连续时间近似值进行比较。正如（62）所预期的那样，密度函数接近反伽马分布F（u；β，ρ）→ φ∞（欧盟- 1.β、 ρ）为β，ρ→ 离散时间分布F（u；β，ρ）更集中在原点附近，右尾比连续时间限制的逆伽马分布更受抑制。这些图还显示了ρ参数对密度函数f（u；β，ρ）形状的影响。正如预期的那样，ρ的负值会在较小的X值下增加密度∞, 而正值会使其降低，并增加右尾的贡献。为了检验数值解的质量，我们计算了第一阶矩E[X∞]使用密度函数f（x；β，ρ）。如第5节所述，ρ<026的力矩是有限的，DAN PIRJOL和LINGJIONG Zuand由u=E[X]给出∞] =eρ1-eρ。对于ρ=-0.1，第一时刻与理论值的收敛性如图1（右）所示，该图显示了对数u（n）的曲线图-eρ1-eρ| vsn表示β的几个值，其中u（n）=R∞xfn（x；β，ρ）dx。β=1图中的峰值是由于差异u（n）符号的变化-eρ1-eρ。用于这些模拟的（β，ρ）参数的数值涵盖了与实际应用相对应的真实值范围。股票模型模拟中使用的典型值为u=0.06，σ=0.2【15】。

假设r=0.01-0.05表示确定性贴现率，给出m=-u- r取-0.07到-0.11之间的值。假设每月支付的年金τ=1/12，决定年金密度分布形状的参数为β=0.0033，-ρ=0.006- 0.009。对于年周期τ=1，参数为β=0.04，-ρ=0.07- 0.11。如图1所示，用于求解这些参数值的方程（156）的迭代过程的收敛性很好，迭代收敛次数适中，为n阶~ 100.7.2。具有几何死亡率的年金。这里我们考虑具有几何死亡率的年金的分布性质。在几何死亡率模型下，通过求解16号位置的积分方程，得到年金x的密度函数f（x；β，ρ，p）。在变量u=log（x+1）变化后，这给出了函数F（u；β，ρ，p）=F（eu）的积分方程- 1.β、 ρ，p）。F（u；β，ρ，p）=p√2πβ（eu- 1） e类-2β（对数（eu-1） +β-ρ） （162）+（1- p） eβ-ρZ∞数据仓库√2πβe-2β（w-w（u））F（w；β，ρ，p），w（u）=log（eu- 1） +β- ρ。我们通过迭代来求解这个积分方程，就像在永恒X的情况下一样∞.几何死亡率模型参数p的合理范围是什么？我们将通过匹配Makeham模型来约束该参数，Makeham模型是死亡率的常用模型之一[6]。在该模型下，年死亡率u（a）由函数形式[15]（163）u（a）=a+Beβx规定。模型参数为[6]（164）a=0.0007，B=5·10-5，β=0.0921。我们将几何死亡率模型参数p与该现实模型相匹配。我们考虑两种可能的方法。i） 与预期平均寿命相匹配，以a岁存活率为条件。

这就得到了方程（165）E【a | a】=Z∞atps（t）u（t）dt=a+p，其中条件生存概率ps（a | a）由（166）ps（a | a）=exp-Zaadsu（s）.对于a=65，该方法得出p=0.06443。GBM、年金和亚洲期权的离散总和270.51 1.52 2.5 30.10.20.30.4β=1.00uF（u）ρ=-0.1ρ=0.1ρ=012 3450.020.040.060.080.10.12β=0.10uF（u）ρ=-0.1ρ=0图2。F（u；β，ρ）曲线图（实心曲线），X的密度函数∞,对于（β，ρ）的几个值。虚线表示命题15给出的连续时间近似值。以上：β=1，ρ=-0.1（红色），ρ=0（黑色），ρ=0.1（蓝色）。以下：β=0.1，ρ=-0.1（红色），ρ=0（黑色）。ii）匹配a岁时的死亡率。这给出了关系（167）u（a）=p（1- p） a.对于a=65，该方法给出p=0.02132。如上所述确定的两个p值跨越一个实际值范围，i）位于p参数实际估计值的上方，而ii）位于该范围的下方。使用【21】中指出的结果，可以实现更精确的匹配，即任何正定义的离散分布都可以通过几何分布的适当线性组合来近似任意接近。连续时间[14]中也有类似的结果，并指出任何正定义的连续分布都可以通过指数分布的适当线性组合近似为任意环。为了研究几何死亡率对XN密度形状的影响，我们在图3中显示了p=0.01和p=0.1的结果（黑色曲线），与28 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU0.51 1.52 2.5 30.10.20.3p=0.01β=1.00uF（u）0.51 1.52 2.5 30.20.30.4p=0.1β=1.00uF（u）12 3450.010.020.030.04p=0.01β=0.10uF（u）012 3450.050.10.15p=0.1β=0.1uF（u）图3。F（u；β，ρ，p）的曲线图（黑色曲线），XN的密度，用于几个参数的选择。

上方：β=1，ρ=0，下方：β=0.1，ρ=0。左：p=0.01，右：p=0.1。虚线对应于p=0，蓝色曲线显示（102）给出的连续时间近似值。X密度的结果∞（p=0）（虚线）。其余参数为β=1（以上）、β=0.1（以下）和ρ=0。正如预期的那样，启用非零死亡率p的效果是增加低XN值下的密度，并减少较大XN值的贡献。如（102）所述，在较小的τ极限下，τXNis的分布预计将接近GBM的时间积分分布，直到指数分布的时间YTλ。渐近连续时间分布如图3中的蓝色曲线所示。如方程式（102）所预测的，β，p值越小，与连续时间结果的一致性越好。图3中的曲线图显示，在分布的左右尾部，连续时间限制的方法在性质上是不同的。虽然右尾的形状与连续时间分布的形状相似（蓝色曲线），但左尾在连续和离散时间中表现出非常不同的定性行为。我们注意到左尾行为的两个主要差异：i）XNvanishes的离散时间密度为XN→ 0，而YTλ的连续时间密度在原点φλ（0；β，ρ，p）=p处接近一个有限值，如命题30所示。ii）对于某些参数值，XnHa的离散时间密度呈双峰分布，在XN的小值附近有一个可见的峰值。这是由于年金首次发生的杀人事件对密度的贡献。

相反，YTλ的共相连续时间分布的密度具有单峰形状。GBM、年金和亚洲期权的离散和29年金的平均值可从第5（168）节E【XN】=Eρ1中准确得知- （1）- p） eρ。我们通过数值求积计算这一期望值来检验数值解的质量，并与理论结果吻合良好。对于p=0.1，ρ=0，n=200次迭代，我们得到E[XN]=9.9998，这接近理论结果（E[XN]=10）。在【15】之后，我们计算短缺概率（169）PqK=P（XN>（1+q）K），其中K=E【XN】，q=0，0.5。这衡量了分别为平均年金价值的100%和150%的初始投资不足以支付年金所需款项的可能性。表1给出了图3中相同参数（β，p）的结果。在最后一列中，我们展示了由pτ=0qK=(R)Φλ给出的短缺概率的连续时间结果σK（1+q）；α、 β,（170），其中（180）中给出了|Μλ。与离散时间结果的差异表明年金X的离散时间性质对其分布和尾部行为的影响。我们注意到，对于所考虑的参数，离散时间和连续时间短缺概率非常相似，两者之间的差异小于1%。正如命题20的渐近结果所预期的那样，该一致性改进了对于较小的β，p。我们得出结论，在年金分布的右尾，连续时间近似对于实际目的来说是相当好的，尽管左尾可能有非常不同的行为，即使β的值相对较小，p.7.3。亚洲期权定价应用程序。

在本节中，我们将说明第6节中讨论的方法在Black-Scholes模型中采用离散时间平均法对亚式期权进行定价的应用。我们还讨论了用有限和X近似GBM有限和分布的方法的适用条件∞原图Y∞, 如【31】所述。定理22给出了递归计算Xn概率密度函数的方法，即GBM的有限和。这可用于在BS模型中对具有离散时间采样的亚洲期权进行定价。为了更有效地计算积分，我们更改了（156）中的变量。使用这种方法，我们在Vecer的论文[37]中考虑的情景下，采用离散抽样对亚洲期权进行定价：σ=0.4，r=0.1，T=1，K=100，现货价格s=95，100，105，以及时间步数n=T/τ从10到1000的几种选择。表2显示了贴现看涨期权价格C（K，T）=e的计算结果-rTE[（不适用/不适用-K） +]。这些结果与Vecer（见[37]表B）使用[36]中提出的PDE方法、Curran[8]使用基于几何平均条件的方法以及Tavella Randall[34]使用Rogers和Shi[32]的PDE方法获得的结果非常一致。30 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUTable 1。对于多个模型参数的选择，具有离散时间支付的单一人寿年金的短缺概率pqk。

最后一列显示了方程式（170）给出的连续时间结果。βρp E[XN]q（1+q）K PqKPτ=0qK1 0.1 10 0 0 0 0.10852 0.106581 0.1 10 0.5 15 0.07122 0.068491 0 0.01 100 0.01781 0.017831 0 0 0.01 100 0.5 150 0.01187 0.011830.1 0.1 0.1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0.26821 0.270670.1 0 0 0.1 10 0.5 15 0.15846 0.158990.1 0 0.01 100 0 0.25 10625 0.106580.1 0 0.01 100 0.5 150 0.06853 0.068491.0-0.1 0.1 4.87398 0 4.87398 0.16415 0.170721.0-0.1 0.1 4.87398 0.5 7.31098 0.105090.106051.0-0.1 0.01 8.68275 0 8.68275 0.12334 0.130831.0-0.1 0.01 8.68275 0.5 13.02412 0.08018 0.083210.1-0.1 0.1 4.87398 0.87398 0.34969 0.375580.1-0.1 0.1 4.87398 0.5 7.31098 0.17592 0.190440.1-0.1 0.1 0.1 0.01 8.68275 0 8 8 8.68275 0.3282275 0 8 0.355770.1-0.1 0.01 8.68275 0.5 13.02412 0.15949 0.17039通过计算期望值[Xn]和检查来检查数值积分的质量它与（171）E【Xn】=SnXk=1ekrτ=Senrτ给出的精确理论结果一致- 11- e-rτ，最多四个小数点。我们还对看跌期权进行了定价，并检查看跌期权平价是否达到四个小数点。（172）C（K，T）- P（K，T）=e-rT公司SrT（erT- （1）- K.接下来，我们讨论了以下近似条件下的亚式期权定价：（1）用Y的分布近似τxnw的分布∞, GBM的有限时间积分。这是米列夫斯基（Milevsky）和波斯纳（Posner）[31]近似的理论基础，他们提出了一种矩匹配方法，用伽马逆分布来模拟xnw的分布。（2） 用X的分布近似xnw的分布∞, 离散时间采样的GBM的有限和。预计这些近似值在很大数量的采样次数n的限制内最为精确→ ∞.

我们注意到，这些近似只能在r<0时使用，这是Y的极限分布存在的条件∞（定理1）And对于X∞（提案4），以及预期的准确性∞] < ∞, E[X∞] < ∞.考虑到连续支付的股息收益率q，该条件为r- q<0。在股票期权的通常应用中，差异r- q是正的，尽管在低利率环境中它可能会变成负的。出现负漂移的一个自然情况是外汇汇率上的亚洲期权。表示Xta货币汇率，定义为GBM、年金和亚洲期权的具体金额31表2。在本文讨论的场景下，使用本文描述的方法，得到了Black-Scholes模型中具有离散抽样的亚式期权的数值结果。结果与Vecer（37）、Curran（8）和Tavella Randall（34）的结果进行了比较。n SC（K，T）Vecer Curran Tavella-Randall10 95 9.2239 9.2228 9.2197 9.214910 100 12.0424 12.042 12.0390 12.034810 105 15.2243 15.2234 15.2202 15.216825 95 8.7086 8.708 8 8 8.697425 100 11.4910 11.4906 11.4881 11.480325 105 14.6510 14.6483 14.641550 95 8.5371 8.5367 8.538350 100 11.3070 11.3068 11.3043 11.298250 105 14.4611 14.4601 14.4575 14.4519125 95 8.4347 8.4339 8.43148.4304125 100 11.1974 11.1967 11.1940 11.1929125 105 14.3459 14.3455 14.3430 14.3424250 95 8.4006 8.4001 8.3972 8.3972250 100 11.1607 11.1600 11.1572 11.1573250 105 14.3081 14.3073 14.3048 14.3054500 95 8.3831 8.3826 8.3801 8.3804500 100 11.1422 11.1416 11.1388 11.1392500 105 14.2887 14.2881 14.2887 14.2857 14.661000 95 18 8.3741 8.3715 8.37191000 100 11.1301 11.1322 11.1296 11.13001005 14.275414.2786 14.2762 14.2771本国货币单位对应一单位外币。

汇率动态的一个最简单的模型是假设Xt满足差异Xt/Xt=（rd- rf）国内货币风险中性措施中的dt+σXDWT。XT的漂移由国内和国外利率之间的差异给出，因此上述近似值的适用条件为rd- rf<0。近似值（1）、（2）适用的另一个条件是τXnand Y的期望值∞（X与X∞) 应该非常接近。对于（1），该条件读数为τenrτ-11-e-rτ~ -R需要额外的nτ 1和| rτ| 1、在实践中，这要求期权到期时间足够长，以便| rT | 1，并且时间步长非常小。另一方面，近似（2）的相应条件为isenrτ-11-e-rτ~e-rτ-1只需要n 1和nτ 1，但不会对时间步长τ的大小施加任何限制。致谢我们要感谢一位匿名裁判和编辑提供的有益建议和评论。Lingjiong Zhu感谢国家科学基金会通过NSF-DMS-1613164.32 DAN PIRJOL和Lingjiong Zhu奖项提供的支持附录A。GBM时间积分到指数分布时间的规律为了方便读者，我们在本附录中总结了一些关于GBM时间积分到指数分布的已知结果分布式随机时间。这些结果已在[39]中得出。有关相关结果的调查，请参见[13]。让我们定义（173）YTλ：=ZTλdteσWt+（m-σ） t.GBM的时间积分，直至指数分布时间tλ~ Exp（λ）。YTλ的概率密度函数由以下结果给出。提案28。