局部波动模型中的短期亚洲期权

x=对数（K/S）（黑色）和泰勒级数，通过在（35）中将项保持在O（x）（红色虚线）和O（x）（蓝色虚线）以下获得。接下来，我们考虑速率函数JBS（K/S）的大/小罢工渐近性。这是由以下结果得出的。提案13。我们有JBS堪萨斯州=x+x对数（2x）- x+3对数（2x）- 2对数（2x）+O（x-1） ，K→ ∞2e类-x个- 2.-π+O（ex），K→ 0（36），x=对数（K/S）对数走向。3.2。一般局部波动模型。命题8给出了一般局部波动率函数σ（S）的速率函数I（K，S）。接下来，我们给出了I（K，S）级数展开式中前三项的明确结果，即对数走向x=对数（K/S）的幂。提案14。由命题8给出的速率函数I（K，S）级数展开式的前三项，对数走向的幂x=对数（K/S）areI（K，S）=bx个+--bb型x（37）++bb+bb-bb型x+O（x）.系数取决于局部波动率函数σ（S），由（38）Y（z）=z给出-1（z）=∞Xi=1bizi，这是函数（39）Z（y）=Zydwσ（Sew）的幂级数的反演=∞Xi=1aiyi，其中我们假设局部波动率函数σ（S）是充分正则的，因此所有必需的衍生工具都存在且是有限的。尤其是，展开式（37）要求σ（S）是可二次微分的。短期亚洲期权9备注15。对于Black-Scholes模型，我们有σ（S）=σ，它给出Z（y）=σy，而y（Z）=σZ。当j>1时，这给出b=σ，bj=0。这恢复了方程（35）中给出的Black-Scholes模型中速率函数的展开式。推论16。假设σ（·）是二次可微的。

局部波动率函数σ（S）的局部波动率模型（1）中亚洲期权的利率函数I（K，S）的展开式（37）以更明确的形式asI（K，S）=σ（S）给出x个+--Sσ（S）σ（S）x（40）+-Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）-Sσ（S）σ（S）！x+O（x））。这是通过注意系数Ai可以通过在y=0时取（39）y的导数来获得的。我们得到a=σ（S），（41）a=-Sσ（S）σ（S），（42）a=-Sσ（S）σ（S）+S[σ（S）]σ（S）-Sσ（S）σ（S）。（43）反转泰勒级数（39）我们发现系数bi:b=a=σ（S），（44）b=-aa=Sσ（S）σ（S），（45）b=2aa-aa=S[σ（S）]σ（S）+Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）。（46）代入（37），我们得到了LV模型中亚洲期权的利率函数的结果（40）为O（x），仅用ATM局部波动率及其衍生物表示。4、数学金融文献广泛研究了欧式期权的隐含波动率和数值测试简单波动率。由于缺乏一个简单的封闭式公式，如Black-Scholesmodel中的欧式期权，亚洲期权的隐含波动率研究较少。我们对本地波动率模型的亚式期权价格的短期期限渐近性的研究可以为亚式期权的短期期限隐含波动率提供一些线索。4.1。隐含波动率。隐含波动率σ被定义为恒定波动率，必须在Black-Scholes模型中用于亚洲期权，以使其价格与本地波动率模型中的亚洲期权价格相匹配。

也就是说，我们必须有（47）CBS（K，S，σ隐含，T）=C（K，S，T），10 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中C（K，S，T）=e-rTE[（TRTStdt- K） +]，其中用局部波动率σ（·）和CBS（K，S，σ隐含，T）=e来满足动力学（1）-rtE[（TRTStdt- K） +]，其中用σ（·）表示动力学（1）≡ σ隐含。亚式期权的隐含波动率定义得很好，这不是一个微不足道的事实。这源于这样一个事实，即Black-Scholesmodel中的亚洲期权的织女星总是正的，这在Carr等人[6]中得到了证明，因此，如果将其价格视为波动率的函数，则存在该函数的逆函数。当波动率参数σ从零增加到整数时，货币外亚洲期权的价格从CBS（K，S，0，T）=e-rT公司TRTSe（右-q） tdt公司- K+总有机碳（K、S、，∞, T）=e-rTTRTSe（右-q） tdt。因此，隐含波动率σ含义明确。注意，看到CBS（K，S，0，T）=e并不重要-rT公司TRTSe（右-q） tdt公司- K+但是CBS（K，S，∞, T）=e-rTTRTSe（右-q） tdt不那么琐碎，我们将在附录中的命题32中对此陈述给出严格的证明。根据定理2，对于货币外亚洲期权，我们可以得到隐含波动率σ隐含的短期期限限制。为了简单起见，我们只给出了caser=q=0的一个证明。我们预计，对于一般的r，q命题17，也会有同样的结果。假设r=q=0且（2）和（3）保持不变。（i） T→ 0本地波动率模型（1）中货币外亚洲期权的隐含波动率限值由（48）limT给出→0σ隐含（K，S，T）=JBS（K/S）I（K，S），其中I（K，S）在命题8中给出，JBS（K/S）在命题12中给出。（ii）在与定理6相同的σ（·）假设下，T→ 0本地波动率模型（1）中货币亚洲期权的隐含波动率限值由（49）limT给出→0σ隐含（K，S，T）=σ（S）。4.2。

亚洲期权的等价Black-Scholes和Bachelier波动率。我们可以定义亚洲期权的等价Black-Scholes波动率，即具有到期时间T和基础价值A（T）的欧洲（香草）期权的Black-Scholes价格复制具有相同到期时间T的亚洲期权价格的波动率值。我们将该波动率表示为∑LN（K，S，T）。我们有thusC（K，S，T）=e-rT[A（T）Φ（d）- KΦ（d）]（50）P（K，S，T）=e-rT[KΦ(-d）- A（T）Φ(-d） ]其中A（T）在（9）中给出，d1,2=∑LN√T（对数（A（T）/K）±∑LNT）。我们注意到，这是一个自然的定义，因为a（T）是亚洲期权E（TRTStdt）基础的远期价格。使用（50）确保亚洲期权（10）的看跌期权平价成立；例如，如果使用sin代替A（T），这将不成立。该关系式（50）还可以正确地得出零敲打K=0的亚洲看涨期权的价格：C（0，S，T）=e-rTE【TRTStdt】=e-rTA（T）。根据Bachelier期权定价公式，可以定义anAsian期权的类似等价正态波动率∑N（K，S，T）。短期亚洲期权11任何亚洲看涨期权价格C（K，S，T）满足边界（A（T））的情况下，存在（50）中定义的等效对数正态波动率∑ln- K）+≤ erTC（K、S、T）≤ A（T）[43]。在局部波动模型（1）下，亚洲期权的这些界限确实是满足的。下限由Payoff（x）的凸性满足- K） +，上界从（x）开始- K）+≤ x、 虽然亚式期权在实践中是按价格报价的，而非隐含波动率，但这种等价波动率是亚式期权价格短期到期渐近性的一种方便表示。此外，他们还给出了命题8中亚式期权的小到期渐近性的自然公式，这相当于这些波动性的小到期限制。

根据隐含波动率的BBF公式，这一结果在某种程度上类似于局部波动率模型中欧洲期权的小到期渐近表示。定理2中给出的货币外亚式期权的短期渐近性为局部波动率模型（1）中亚式期权的等效波动率提供了以下短期渐近性。为了简单起见，我们只证明了r=q=0的情况。我们预计，对于一般的r，q命题18，也会有同样的结果。假设r=q=0且（2）和（3）保持不变。（i） 短时限T→ 货币外亚洲期权的Black-Scholes等价波动率的0由（51）limT给出→0∑LN（K，S，T）=对数堪萨斯州I（K，S），Bachelier等效波动率的相应结果为（52）limT→0∑N（K，S，T）=堪萨斯州- 1.I（K，S），其中I（K，S）在命题8中给出。（ii）在定理6关于σ（·）的假设下，短时限T→ 货币价值亚洲期权的BlackScholes等价波动率的0由（53）limT给出→0∑LN（K，S，T）=√σ（S），Bachelier等效波动率的相应结果为（54）limT→0∑N（K，S，T）=√σ（S）S。在Black-Scholes模型中，我们可以使用命题12中导出的速率函数JBS（K/S）的结果，得到等效波动率的明确结果。表示相应的等效挥发度∑（BS）LN和∑（BS）N。它们关于对数走向x=对数（K/S）幂的ATMpoint展开式为（55）∑（BS）LN（K/S）=√σ1+x-x+x+O（x）,k=k/S的幂- 1，分别为（56）∑（BS）N（K/S）=√σS1+k-k+k+O（k）.12 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu使用方程（40），我们可以得出更一般的局部波动函数σ（S）的类似结果。

从对数打击幂的比率函数泰勒展开式的前三项中，我们可以得到ATM等效波动率、ATM点的倾斜和微笑凸性的明确结果。我们用∑LN（N）（K，S）表示limt→0∑LN（N）（K，S，T）。提案19。假设σ（·）是二次微分。小额到期限额T→ 在局部波动率模型（1）中，亚洲期权的对数正态等效波动率的0在ATM点∑LN（K，S）附近具有x=对数（K/S）的扩展=√σ（S）1个++Sσ（S）σ（S）x（57）+-+Sσ（S）σ（S）-Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）！x+O（x））。亚式期权的正常等价波动率的相应展开式具有k=KS的展开式- ATM点周围1∑N（K，S）=√Sσ（S）1个++Sσ（S）σ（S）k（58）+-+Sσ（S）σ（S）-Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）！k+O（k））。命题19的结果类似于vanillaEuropean期权隐含波动率的不相关局部随机波动率模型[24]中隐含波动率的扩展，参见[24]中的定理4.1，给出了小时间隐含波动率的水平、斜率和凸性。事实上，这一结果允许直接从可观察到的欧洲波动率偏斜中定价亚洲期权，假设局部波动率动态，但不假设特定形式的局部波动率函数！结合命题19的结果和当地波动率模型中欧洲期权ATM倾斜的著名结果，参见例[24]，我们得到：备注20。短期到期限额中，ATM亚洲卷=√· ATM欧洲卷，（59）ATM亚洲斜斜率=√·· ATM European vol+·ATM European skew,（60）坡度与原木货币有关。4.3。数值试验。

在这一节中，我们对本文中得到的亚式期权的短期到期渐近结果进行了一些数值检验。对于ATM亚式期权，我们有定理6的结果，它可以直接用于获得价格。对于货币外的亚式期权，我们得到了定理2的渐近结果。在实践中，我们发现使用该结果可以方便地获得亚洲期权的短期到期等价对数正态波动率∑LN（K，S）（或正态波动率∑N（K，S）），如命题18所示。短期亚洲期权13表1。通过BS模型中的MCsimulation（括号内为1个stdev）获得的到期日为T=0.5、1、2年的亚洲看涨期权（上限）和看跌期权（下限）的数值结果和参数（61），并与（50）给出的综合结果Cas（K）、Pas（K）进行比较。

最后一列给出了亚式期权∑（BS）LN的渐近等价对数正态波动率。T=0.5 T=1 T=2K MC（n=800）Cas（K）MC（n=800）Cas（K）MC（n=800）Cas（K）MC（n=800）Cas（K）∑（BS）LN100 4.8871（0.0078）4.8830 6.9037（0.0115）6.9013 9.7417（0.0155）9.7477 17.32%105 2.9205（0.0062）2.9188 4.8848（0.0098）4.8847 7.7268（0.0155）7.7382 17.41%110 1.6372（0.0046）1.6388 3.3689（0.0083）3.3715 6.0737（0.0139）6.0826 17.48%115 0.8650（0.0033）0.8671 2.2698（0.0068）2.2745 4.7370（0.0124）4.7505 17.56%120 0.4336（0.0023）0.4351 1.4980（0.0055）1.5033 3.6692（0.0110）3.6835 17.63%125 0.2075（0.0016）0.2081 0.9715（0.0045）0.9758 2.8254（0.0098）2.8414 17.70%130 0.0949（0.0011）0.0953 0.6201（0.0036）0.6234 2.1657（0.0086）2.1790 17.76%K MC（n=800）Pas（K）MC（0 n=800）Pas（K）MC（n=800）Pas（K）∑（BS）LN70 0.0034（0.0001）0.0035 0.0810（0.0007）0.0809 0.5580（0.0024）0.5596 16.68%75 0.0264（0.0004）0.0263 0.2579（0.0014）0.2580 1.1220（0.0036）1.1250 16.81%80 0.1296（0.0009）0.1295 0.6608（0.0025）0.6609 2.0100（0.0050）2.0167 16.92%85 0.4548（0.0018）0.4543 1.4221（0.0038）1.4237 3.2880（0.0067）3.2984 17.03%90 1.2187（0.0031）1.2190 2.6671（0.0054）2.6711 4.9963（0.0085）5.0095 17.14%95 2.6475（0.0048）2.6494 4.4820（0.0072）4.4877 7.1464（0.0103）7.1628 17.23%100 4.8789（0.0066）4.8830 6.8928（0.0090）6.9013 9.7280（0.0121）9.7477 17.32%命题18给出的等效对数正态波动率∑ln可用于（50）中的Black-Scholes定价公式中，以计算亚洲期权价格。虽然这种方法在期权价格中引入了不受定理2渐近结果约束的次级条款，但我们将证明它给出的预测与亚式期权价格的数值模拟非常一致。接下来，我们以Black-Scholes模型中的亚式期权为例，考虑渐近定价公式的一些数值检验。

第一个测试假设模型参数（61）r=q=0，S=100，σ=30%。在表1中，我们显示了期限为T=0.5、1、2年的无本金看涨期权和看跌期权的价格，并将蒙特卡罗计算结果与（50）中给出的综合结果Cas和Pas进行了比较。蒙特卡罗模拟在N=10条路径下进行，时间线离散化为N=800个时间步。短期成熟度渐近结果和Monte Carlo计算结果非常吻合。对于T=0.5，1，渐近结果始终在MC结果的一个标准偏差（68%CL）内，对于T=2，渐近结果始终在两个标准偏差（95%CL）内。我们还将其与[27]中提出的基准情景进行了比较，这些情景在亚洲期权定价的文献中普遍使用[11、14、39、26、50]。我们在14中展示了DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUTable 2。[27，39]中考虑的基准情景下Black Scholes模型中亚洲看涨期权的数值结果。最后4列显示：a）本文渐近展开（50）的结果（PZ），b）Foschi等人[26]（FPP3）提出的三阶近似，c）Levy近似[38]，d）使用[39]中的光谱展开进行精确评估。r T SKσPZ FPP3 Levy Linetsky0.02 1 2 2 0.1 0.055923 0.055986 0.056054 0.0559860.18 1 2 0.3 0.217054 0.218387 0.219829 0.2183870.0125 2 2 0.25 0.1721636 0.172267 0.173490.1722690.05 1 1 1.9 2 0.5 0.192895 0.193164 0.195379 0.1931740.05 1 2 0.5 2 0.5 0.246406 0.249791 0.2464160.05 1 2.1 2 0.5 0.305927 0.306210 0.310646 0.3062200.05 2 2 0.5 0.349314 0.350040 0.359204 0.350095表2对于[27]中提出的情形，从（50）中获得的亚式期权渐近近似的数值结果。

将其与使用光谱展开得到的[39]的非常精确的结果以及简单的Levyapproximation[38]进行比较。渐近结果在所有情况下都优于Levyapproximation，并且在所有情况下与[39]结果的一致性都优于0.7%。数值试验表明，本文的短期限渐近结果可以很好地逼近具有实际应用相关期限的亚式期权价格。5.浮动行使亚式期权的渐近性在金融文献中，标准亚式期权有许多变体，其中最常用的是所谓的浮动行使亚式期权。FloatingStrike亚洲看涨期权/看跌期权的价格由cf（T）：=e给出-rTE“κST-TZTStdt+#,（62）Pf（T）：=e-rTE“TZTStdt- κST+#,（63）其中κ>0是走向，参见例如[38、41、2、9、42、35]。与固定履约情况相比，浮动履约亚洲期权的定价更加困难，因为需要标准的联合法则，以及在数量变化后浮动履约亚洲价格满足的一维偏微分方程，因为Dirac delta函数似乎是一个系数，所以很难进行数值解算，参见[42，2]。当k<1时，看涨期权为OTM，看跌期权为ITM；当κ>1时，看涨期权为ITM，看跌期权为OTM；当k=1时，买入/卖出期权为ATM。我们对短期到期感兴趣，即。