局部波动模型中的短期亚洲期权

因此，limT→0（∑LN（S，K，T）logC（BS）E（S，K，∑LN（S，K，T）T）=-对数（K/S），极限→0T对数CA（S、K、T）=-I（K，S）。短期亚洲期权37这意味着→0∑LN（S，K，T）=limT→0∑LN（S，K，T）T logC（BS）E（S，K，∑LN（S，K，T）T log CA（S，K，T）=log（K/S）2I（K，S）。对于货币外亚洲看跌期权K<S，也得到了相同的结果。亚洲期权的等效正常波动率的相应结果来自Black-Scholes和Bachelier隐含波动率之间的短期到期关系，参见参考文献[34]中的推论2。（ii）我们再次使用Black-Scholes模型中的欧式期权价格仅取决于σ的事实√T，并如前所述表示▄C（BS）E（K，S，σT）。因为在moneycase S=K时，我们有极限→0C（BS）E（K，S，σT）σ√2π√T=S。因此，我们有（215）limT→0∑LN（K，S，T）=limT→0CA（K、S、T）√TC（BS）E（K，S，∑LN（K，S，T）T）∑LN（K，S，T）√T型=√6πσ（S）S√2πS=√σ（S）。对于K=S，E[（S+σWT）的Bachelier模型- K） +]仅取决于σ√T、andlimT→0σ√TE[（S+σWT- K） +]=√2π。因此，（216）极限→0∑N（K，S，T）=极限→0CA（K、S、T）√TE[（S+∑N（K，S，T）WT-K） +]∑N（K，S，T）√T型=√6πσ（S）S√2π=√σ（S）S。我们注意到，这些结果也可以从[43]的定理5.1中提取出来。6.4。第5节中结果的证明。命题21的证明。（i） 通过一个类似于定理2证明中使用的论点，（217）limT→0T对数Cf（T）=极限→0T日志PκST≥ZStTdt.然后，从样本路径P（St）的大偏差得出结果·∈ ·) 在L上∞[0，1]和收缩原理。P（T）的渐近结果来自put调用奇偶性。（ii）类似于（i）。（iii）遵循定理6证明中的相同论点，我们可以证明，对于κ=1，我们有权利要求1。作为T→ 0，E“e（r-q） TXT文件-TZTe（右-q） tXtdt公司+#- E“XT公司-TZTXtdt+#= O（T）。权利要求2。作为T→ 0，E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|= O（T）。38 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu声称3。

作为T→ 0，E“XT公司-TZTXtdt+#- E“^XT-TZT^Xtdt+#= O（T）。权利要求1、权利要求2和权利要求3暗示，对于κ=1，（218）Cf（T）- E“κ^XT-TZT^Xtdt+#= O（T），作为T→ 0，其中我们回忆起^Xt=S+σ（S）SWt。由于κ=1，κ^XT-TRT^Xtdt是一个平均值为零且方差为e”的阿高斯随机变量^XT-TZT^Xtdt#（219）=σ（S）SE“WT公司-TZTWtdt#= σ（S）S“E【WT】+TE”ZTWtdt公司#-TZTE[WTWt]dt#=σ（S）ST+T-TT= σ（S）ST。因此，我们证明了Cf（T）的预期结果。Pf（T）的结果类似。命题22的证明。定义一个新的优化函数g（t）=f（t）+log S，满足边界条件f（0）=0和约束条件trdtef（t）=κef（1）。以类似于命题8证明的方式进行，通过引入拉格朗日乘子λ并考虑与辅助泛函（220）∧【f】=Z相关的变分问题来考虑约束f（t）σ（Sef（t））dt+λZef（t）dt- κef（1）.通过引理28，该变分问题的解在t=1时满足Euler-Lagrange方程（73）和横截性条件（75）。为了证明（72），我们注意到引理29中有（221）f（t）σ（Sef（t））- λef（t）=λκe2f（1）σ（Sef（1））- λef（1）。我们在右侧替换了横向条件（75）。将此关系与t（0，1）积分得到结果（72）。最后，我们可以借助关系式（74）消除λ。这是通过比较f（0）的两个可选表达式获得的。首先，通过对t：（0，1）上的欧拉-拉格朗日方程（73）积分，得到（222）f（0）σ（S）=λnκef（1）σ（Sef（1））- 通过在（221）中取t=0，可以得到替代关系。消除这两个方程中的f（0），得到（74）。短期亚洲期权39提案23的证明。

Black-Scholes模型中浮动罢工期权的短期到期渐近的比率函数由变分问题（223）给出，如果（κ）=inff2σZ[f（t）]dt，其中f（0）=0，f∈ AC[0，1]，受约束（224）Zef（t）dt=κef（1）。这可以通过引入拉格朗日乘子λ并考虑辅助变量问题（225）∧[f]=2σZ[f（t）]dt+λ来解决Zef（t）dt- κef（1）,对于满足f（0）=0的所有函数。变分问题（225）的解满足Euler-Lagrange方程（226）f（t）=λσef（t），必须用边界条件（BC1）：f（0）=0，（BC2）：f（1）=λσκef（1），（BC3）：f（0）=0来求解。边界条件（BC2）是一个横截性条件。条件（BC3）是新的，它源自∧[f]的变分问题与等价变分问题的关系，通过将新函数h定义为（227）f（t）=h（1- t） +f（1）。用h表示，速率函数If（κ）由（228）If（κ）=infh2σZ[h（t）]dt给出，其中h（0）=0，h∈ AC[0，1]，它受约束（229）Zeh（t）dt=κ。这与固定罢工期权（122）的利率函数I（κS，S）的变分问题相同，在常数波动率σ（S）=σ的限制下。命题12给出了该变分问题的解，并用BlackScholes速率函数JBS（κ）表示，如（76）所示。为了完备性，我们给出了变分问题（228）的完整解，并证明了附加边界条件（BC3）。再次引入拉格朗日乘子η，变分问题（228）可以转化为泛函（230）Ξ[h]=2σZ[h（t）]dt+η的无约束优化Zeh（t）dt- κ,40 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUover所有满足h（0）=0的函数。

该变分问题的解满足Euler-Lagrange方程（231）h（t）=ησeh（t），边界条件（232）h（0）=0，h（1）=0。第二个边界条件是横截性条件。然而，f和h是相关的，因此h的Euler-Lagrange方程和边界条件也必须暗示f上的等效条件。比较f和h的Euler-Lagrange方程得出（233）η=λef（1）=λe-h（1）。使用f（t）=-h（1- t） ，横截性条件h（1）=0给出（234）f（0）=-h（1）=0。这证明了上述f（0）上的边界条件（BC3）。使用附加边界条件（BC3），可以给出拉格朗日乘子λ（235）λ=σκef（1）的简单表达式- 1e2f（1）。这是由量（236）2σ[f（t）]的守恒定律得出的- λσef（t）。由此得出（237）- λσ=λσκe2f（1）- λσef（1），其中我们使用f（0）和t=1时的边界条件（BC2）。这就是关系（235）的证明。可以明确地找到h（1）的解，如命题12的证明所示。这在方程（198）中给出，从中我们发现（238）eh（1）=（cosh（β）κ>1，cosλκ<1，β，λ分别为方程（32）和（33）的解（替换为sk/S7→ κ） 。致谢作者感谢编辑、一位副编辑和两位匿名推荐人的有益建议，这些建议大大提高了论文的质量。作者要感谢王大和（Tai Ho Wang）进行了有益的讨论，并让我们注意到在相关主题上正在进行的工作【51】。Lingjiong Zhu部分受NSFGrant DMS-1613164支持。短期亚洲期权41参考文献[1]Al\'os，E.，L\'eon，J.和J.Vives。（2007年）。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。金融与随机。11571-589。[2] Alziary，B.，Decamps，J.P.和P.F。

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