局部波动模型中的短期亚洲期权

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英文标题：
《Short Maturity Asian Options in Local Volatility Models》
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作者：
Dan Pirjol, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We present a rigorous study of the short maturity asymptotics for Asian options with continuous-time averaging, under the assumption that the underlying asset follows a local volatility model. The asymptotics for out-of-the-money, in-the-money, and at-the-money cases are derived, considering both fixed strike and floating strike Asian options. The asymptotics for the out-of-the-money case involves a non-trivial variational problem which is solved completely. We present an analytical approximation for Asian options prices, and demonstrate good numerical agreement of the asymptotic results with the results of Monte Carlo simulations and benchmark test cases in the Black-Scholes model for option parameters relevant in practical applications.
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中文摘要：
在标的资产遵循局部波动模型的假设下，我们对具有连续时间平均的亚式期权的短期到期渐近性进行了严格的研究。在考虑固定行使和浮动行使亚式期权的情况下，推导出了货币外、货币内和货币内情况下的渐近解。缺钱情况的渐近性涉及一个完全解决的非平凡变分问题。我们给出了亚式期权价格的一种解析近似，并在实际应用中证明了渐近结果与Black-Scholes模型中期权参数的蒙特卡罗模拟和基准测试结果的良好数值一致性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Short_Maturity_Asian_Options_in_Local_Volatility_Models.pdf (650.51 KB)

2022-5-25 16:58:36 上传

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关键词：波动模型 Applications Quantitative asymptotics derivatives

本地波动性中的短期亚洲期权Modelsdan PIRJOL和LINGJIONG ZHUAbstract。在假设基础资产遵循局部波动模型的情况下，我们对具有连续时间平均的亚式期权的短期到期渐近性进行了严格的研究。在考虑固定罢工和浮动罢工两种亚洲期权的情况下，推导出了货币外、货币内和货币情况下的渐近解。缺钱情况的渐近性涉及一个完全解决的非平凡变量问题。我们给出了亚洲期权价格的一种解析近似，并在实际应用中证明了渐近结果与Black-Scholesmodel中期权参数的蒙特卡罗模拟和基准测试案例的结果具有良好的数值一致性。1、简介短期欧洲期权的期权价格和隐含波动率的渐近性已在文献中得到广泛研究，例如，局部波动率模型见[4、29、30、19、8]，指数L'evy模型见[22、46、3、18、43]，随机波动率模型见[5、36、25、20、21、23、1]，无模型方法见[28、40]。据我们所知，短期亚洲期权的研究较少。与欧式期权不同，即使在Black-Scholes模型中，亚式期权也没有简单的闭式公式。这就是为什么在金融行业，亚洲期权是按价格而非隐含波动率报价的。本文在标的资产价格服从局部波动模型的假设下，研究了亚式期权价格的短期到期渐近性。我们在局部波动率模型中得到了亚式期权短期到期渐近的分析结果，在Black-Scholes模型中得到了更明确的结果。

我们定义并研究了短期到期限制下亚洲期权的隐含效用。假设股票价格遵循局部波动模型：（1）dSt=（r-q） Stdt+σ（St）StdWt，S>0，其中wt是标准布朗运动，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是连续股息收益率，σ（·）是局部波动率，对数股价过程Xt=对数满足度dxt=r- q-σ（外部）dt+σ（eXt）dWt。日期：2016年9月19日。2010年数学学科分类。91G20,91G80,60F10。关键词和短语。亚式期权、短期到期、局部波动、大偏差、变量问题。DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUWe假设局部波动函数σ（·）满足0<σ≤ σ（·）≤ σ<∞,（2） |σ（ex）- σ（ey）|≤ M | x- y |α，（3）对于某些固定的M，对于任何x，y，α>0，并且0<σ<σ<∞ 是一些固定常数。到期日为T且行使价为K的亚洲看涨期权和看跌期权的价格由C（T）：=e给出-rTE“TZTStdt- K+#,（4） P（T）：=e-rTE“K-TZTStdt+#,（5） 其中，C（T）和P（T）强调对成熟度T的依赖性。当S<K时，看涨期权不存在，C（T）→ 0作为T→ 0，当>K时，看跌期权不在货币范围内，P（T）→ 0作为T→ 当S=K，即按货币计算时，C（T）和P（T）都趋向于0→ 我们有兴趣研究看涨期权的一阶近似值，并将价格作为T→ 结果表明，缺钱情况下的渐近性受罕见事件（大偏差）的影响，而在缺钱情况下的渐近性受典型事件（高斯波动）的影响。数学金融文献中有许多研究亚式期权定价的著作。[31，7，14，39]研究了Black-Scholes模型下的定价，使用了几何布朗运动时间积分的分布性质与贝塞尔过程之间的关系。

参见【16】了解概述，参见【27】了解与其他模拟方法（包括蒙特卡罗方法）的比较。一种流行的方法，其优点是对其他模型具有更广泛的适用性，这就是DE方法[37、42、49、50]。所得的偏微分方程可以用数值方法求解[49，50]，也可以用渐近展开法推导解析近似公式。在[26]的局部波动率模型和[11]的CEV模型中都得到了这样的结果。本文[26]使用了热核展开方法，并发展了用初等函数表示的亚洲式路径相关期权的密度、价格和希腊式近似公式。文[45，32]中还使用Malliavin演算得到了导致亚式期权具有误差界的解析近似的渐近展开式。Black-Scholes模型中关于亚式期权的大多数文献，即σ（·）≡ σ、 [31,7,39]利用了众所周知的结果[16,13]，即几何布朗运动（r-q-σ） t+σWtdt与Xt具有相同的分布，其中（6）dXt=（r）- q） +文本Xtdt+σXtdBt，X=0，其中bt是标准布朗运动。亚洲看涨期权和看跌期权的价格计算为（7）C（T）=e-rTTE[（SXT- T K）+]，P（T）=e-rTTE[（T K- SXT）+]。对于熟悉小时间离散过程的大偏差的读者来说，人们可能会天真地认为XTas的小时间渐近性→ 0是短期亚洲期权3，与无漂移项的SDE相比，即dXt=σXtdBt，因此Black-Scholes模型的短期亚洲期权的渐近性与欧洲同行相同。我们将在本文中表明，事实并非如此。直观地说，当▄XT在时间0开始于0时，则▄XT在任何时间t保持为0。

即使XT也在时间零点从零开始，但它在时间零点后立即变为正值。在这方面，这两个过程彼此之间并不是绝对连续的。因此，不能使用Girsanov定理来消除漂移项，并声称Xtprocess与几何布朗运动具有相同的小时间渐近性。此外，公式（6）、（7）仅对Black-Scholes模型有效，这种方法对更一般的局部波动率情况没有太多洞察。在本文中，我们将使用大偏差理论来研究小时间扩散过程。关键的观察结果是，我们可以应用收缩原理来获得离散过程的小时间算术平均值的相应大偏差，进而严格获得货币外亚洲看涨期权和看跌期权的渐近行为。大偏差原理本身是一个复杂而不太明显的变分问题，其渐近指数是以速率函数形式给出的。我们将设法完全解决这个变分问题，并最终给出一个半解析解。货币情况下的渐近性很容易遵循看跌期权平价。我们还将获得货币短期亚洲期权的渐近解。与货币外情况不同，货币短期到期的渐近曲线具有高斯函数。大多数现有的亚式期权定价方法在期限短、波动性小的情况下，在数值上效率较低。对于Black-Scholes模型下的亚洲期权，Geman-Yor方法【31，7】中已经指出了这一点，其中拉普拉斯变换的反演需要特别注意小到期日【44，27，14】。光谱法中也出现了类似的问题【39】。

这个问题在基于渐近展开的方法中并不存在，这些方法在小期限和波动性条件下表现良好。本文中提出的小时间扩展具有实际意义，因为它补充了在数字性能较差的地区的一些替代方法。本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出了短期局部波动模型中货币外（OTM）、货币内（ITM）和货币内（ATM）亚式期权的渐近解。OTM亚式期权的渐近性涉及一个非常平凡的变分问题，其解将在第3节中给出，该问题在Black-Scholes模型中有更明确的表达式。隐含波动率和数值测试将在第4节中讨论。第5节将提供短期到期FLOAtingStrike亚洲期权的渐近性。最后，第6.2节将给出证明。短期亚洲期权的渐近性让我们回顾一下，股票价格遵循一个局部波动模型：（8）dSt=（r- q） Stdt+σ（St）StdWt，S>0，其中wt是标准布朗运动，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是连续股息收益率，σ（·）是满足（2）和（3）的局部波动率。我们对短期到期限制感兴趣，即T→ 0.4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU2.1。货币外和货币内亚洲期权。我们将风险中性度量中的平均资产价格预期表示为（9）A（T）：=TZTE[St]dt=S（r- q） T（e（r-q） T型- 1） ，对于r- q 6=0和A（T）：=稳定部队- q=0，当K>A（T）时，亚式看涨期权不含货币和C（T）→ 0作为T→ 当A（T）>K时，看跌期权不含货币和P（T）→ 0作为T→ 0、备注1。

看涨期权和看跌亚式期权的价格与看跌期权平价asC（K，T）相关- P（K，T）=e-rT（A（T）- K） 。（10） 注意，作为T→ 0，A（T）=S+O（T）。因此，对于小到期制度，当且仅当K>Setc时，亚式看涨期权就不存在了。对于本文的其余部分，如果K>S（分别K<S），则称看涨亚式期权为货币外期权（分别货币内期权），如果K<S（分别K>S），则称看跌亚式期权为货币外期权（分别货币内期权），最后称其为货币内期权（分别K=S.2）。短期无本金亚洲期权。我们将使用大偏差理论计算T→ 0表示货币外亚洲期权的价格。定理2。假设（2）和（3）都成立。（i） 对于无本金亚洲看涨期权，即K>S，（11）C（T）=e-TI（K，S）+o（T），as T→ 0.（ii）对于货币外看跌亚洲期权，即K<S，（12）P（T）=e-TI（K，S）+o（T），as T→ 0.其中，对于任何S，K>0，（13）I（K，S）：=信息（t）dt=Kg（0）=对数S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt，其中AC[0，1]是[0，1]上绝对连续函数的空间。命题8将完全解决（13）中的变分问题。备注3。定理2和利率函数i（K，S）给出的小到期渐近与利率r和股息收益率q无关。这些数量仅对T→ 0扩展。这类似于当地波动率模型[4]中小到期欧洲期权的众所周知的BBF结果，该结果也独立于r，q。备注4。对于货币情况，即K=S，通过g（t）≡ 在（13）中，我们看到i（K，S）=0。

事实上，定理6将给出货币短期亚洲期权更精确的渐近解。货币亚洲看涨期权和看跌期权短期到期的渐近性可以通过简单应用看跌期权平价，作为定理2中货币外情况结果的推论。短期亚洲期权5 Corrollary 5。假设（2）和（3）都成立。（i） 对于货币内看涨期权，即K<S，（14）C（T）=S- K-（r+q）ST+KrT+O（T），作为T→ 0.（ii）对于货币内看跌期权，即K>S，（15）P（T）=K- S+（r+q）ST- KrT+O（T），作为T→ 0.2.3。在货币亚洲期权。当K=S时，亚洲看涨期权和看跌期权就是货币。我们得到以下结果：定理6。假设函数σ（s）s和σ（s）一致为Lipschitz，即存在α，β>0，因此对于任何x，y≥ 0，（16）|σ（x）x- σ（y）y |≤ α| x- y |，|σ（x）- σ（y）|≤ β| x- y |。（i） 当K=S时，作为T→ 0，（17）C（T）=σ（S）S√T√6π+O（T）。（ii）当K=S时，作为T→ 0，（18）P（T）=σ（S）S√T√6π+O（T）。备注7。将定理6与定理2进行比较，我们发现货币外短期亚洲期权的渐近性受罕见事件（大偏差）的影响，而货币内短期亚洲期权的渐近性受典型事件（高斯波动）的影响。3、亚式期权的短时渐近变分问题我们在这一节中给出了定理2给出的缺钱亚式期权的短时渐近变分问题的解。下面的结果给出了解决方案。提案8。定理2中出现的速率函数I（K，S）由（19）I（K，S）=（F（+）（h）G（+）（h）K给出≤ S、 F级(-)（f） G级(-)（f） K级≥ S、 这两种情况如下：（i）K≤ S

h类≥ 0是方程（20）KS的解- e-h=G（+）（h）F（+）（h），其中G（+）（h）=Zhσ（Se-y） pe公司-y- e-hdy，（21）F（+）（h）=Zhσ（Se-y）√e-y- e-hdy。（22）6 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU（ii）K≥ S、 f级≥ 0由方程（23）ef的解给出-KS=克(-)（f） f级(-)（f） ，带G(-)（f） =Zfσ（Sey）pef- 艾迪，（24）F(-)（f） =Zfσ（Sey）√ef公司- 艾迪。（25）我们想进一步研究速率函数I（K，S）的性质。特别是，我们将表明，对于一般的局部波动率模型，速率函数I（K，S）在K中是连续的，当K>时，它在K中增加，当K<S时，它在K中减少。这是基于速率函数的另一种表示形式。提案9。（i） 对于K>S，速率函数i（K，S）由（26）i（K，S）=infИ>K/S（G）给出(-)（Д））Д-KS，其中表示（27）G(-)（Д）=ZД√^1- zzσ（Sz）dz，Д≥ 1.（ii）对于K<S，速率函数I（K，S）由（28）I（K，S）=inf0<χ<K/S（G（+）（χ））KS给出- χ、 其中，我们表示（29）G（+）（χ）=Zχ√z- χzσ（Sz）dz，0<χ≤ 1.备注10。在命题9的公式中，我们可以看到（26）和（28）中给出的速率函数在参数K中确实是连续的。利用命题9的结果，我们还可以证明：命题11。速率函数I（K，S）是K>K的单调递增函数，K<S的单调递减函数。布莱克-斯科尔斯模型。在Black-Scholes模型中，波动率为常数σ（S）=σ。速率函数I（K，S）的表达式很简单，由以下结果给出。提案12。Black-Scholes模型中亚式期权小到期渐近的比率函数为（30）IBS（K，S）=σJBS（K/S），短到期亚式期权70.2 0.4 0.6 0.810.050.10.150.20.250χ1.21.41.6 1.8 20.050.10.150.21.0Д图1。

对于K/S=0.7、0.8、0.9（左）和K/S=1.1、1.2、1.3（右），Black-Scholes模型（26）、（28）中σ=1的函数图。函数的上限给出了BS模型中的速率函数。式中，JBS（K/S）仅取决于K/Sand的比率，由（31）JBS（K/S）=（β）给出- βtanhβK≥ S2ξ（tanξ- ξ） K级≤ S、 对于K≥ S、 β是方程（32）的解βsinhβ=KS，对于K≤ S、 ξ是方程（33）2ξsin（2ξ）=KS的区间[0，π]内的解。我们注意到，这两个方程（32）和（33）可以用一种共同的形式来表示，即z=2ξ=iβ。使用此表示法，速率函数为jbs（K/S）=z tan（z）-z、 我们对函数JBS（K/S）进行了数值计算，该函数的图如图2所示。我们想找到Black-Scholes速率函数JBS（K/S）在ATM点K/S=1附近的级数展开式。β，ξ方程的解可以通过对k：=KS中的级数求逆得到-（32）和（33）为1。代入（31），我们得到了速率函数（34）JBS的展开式堪萨斯州=k-k+k-k+O（k）。类似的展开式可以从log strike x的幂中导出：=log（K/S）（35）JBS堪萨斯州=x个-x+x-x+O（x）。图2（右图）显示了通过保留级数展开式（35）中的前几项得到的速率函数JBS（K/S）的近似值。保持展开式（35）中的前四项与速率函数的精确结果相匹配，精度优于x=log（K/S）的1.2%∈ (-1.6、1.5）。8 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU12 3450.511.522.53J（K/S）0BS0 K/S 0-2-101212345J（K/S）x=对数（K/S）BS00图2。Black-Scholes模型中亚式期权的利率函数JBS（K/S）。这与（30）中的IBS（K，S）有关。左：JBS（K/S）与K/S。右：功能JBS（K/S）与。