局部波动模型中的短期亚洲期权

T→ 0这些选项的渐近性。对于Black-Scholes模型，Henderson和Wojakowski【35】表明，具有连续时间平均的浮动罢工亚式期权可以与固定罢工期限亚式期权15年期相关-rTE[（κST- AT）+]=e-qTE公司*[（κS- AT）+]，（64）e-rTE[（在- κST）+]=e-qTE公司*[（位于- κS）+]。右侧的期望值是针对不同的度量值Q得出的*,其中，资产价格STI由过程（65）dSt=（q）给出- r） Stdt+σStdW*t、 带W*Q中的ta标准布朗运动*测量然而，在我们的局部波动率模型的一般设置中，等价关系（64）并不成立，因此，浮动行使亚洲期权的渐近性必须独立于固定行使亚洲期权的渐近性。但不难观察到，相同的技术，即大偏差、变分法、高斯逼近法，用于获得已执行的风险亚洲期权的短期成熟度渐近，只需对浮动走向期权稍加修改即可应用。为了简单起见，我们只在附录中提供一个证明的草图。提案21。（i） 在与定理2相同的假设下，当κ<1时，Cf（T）=e-TIf（κ，S）+o（T），（66）Pf（T）=（1- κ） S-S（r+q）T+κSqT+O（T），（67）作为T→ 0，其中（68）If（κ，S）=infrag（t）dt=κeg（1）g（0）=log S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。（ii）在与定理2中相同的假设下，当κ>1时，Pf（T）=e-TIf（κ，S）+o（T），（69）Cf（T）=（κ- 1） S+S（r+q）T- κSqT+O（T），（70）作为T→ 0，其中（68）中定义了IFI。（iii）在与定理6相同的假设下，当κ=1，（71）limT→0√TCf（T）=极限→0√TPf（T）=√6πσ（S）S。对于一般的局部波动函数σ（S），速率函数If（κ，S）由以下结果给出：命题22。

如果（κ，S）=λ（κ），则浮式亚式期权的短到期渐近命题21中变分问题的解由（72）给出- 1） ef+λκe2fσ（Sef），其中f=f（1），f（t）由微分方程（73）ddt的解给出f（t）σ（Sef（t））= λef（t）σ（Sef（t）），16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUwith（74）λ=21- ef（1）是[f]{是[f]- 2κefσ（Sef）}，Is[f]=Zdsef（s）σ（Sef（s）），边界条件（75）f（0）=0，f（1）=λκefσ（Sef）。我们在下文简要概述了一种可能的数值方法，用于解决该计算问题，并确定给定局部波动函数σ（S）的利率函数If（κ，S）。这可以简化为求解变量λ的非线性方程。对于给定的λ值，可以用边界条件（75）数值求解Euler-Lagrange方程（73），并找到（非最优）函数f（t）。使用此函数，我们可以计算积分为[f]，并计算（74）中λ的表达式。要求（74）中λ的结果与输入值相同，确定该变量的值，从而确定最佳函数f（t）。λ的这个方程可以通过扫描λ来求解。对于Black-Scholes模型σ（S）=σ的极限情况，可以精确地找到速率函数If（κ，S），并且与命题12中给出的Black-Scholes速率函数JBS（K/S）有关。提案23。在Black-Scholes模型中，如果（κ）=infeh（t）dt=κh（0）=0，h，则浮动走向亚洲期权的利率函数由（76）给出∈AC[0,1]2σZ（h（t））dt=σJBS（κ），其中JBS（κ）是（31）中Black-Scholes模型中固定行使亚洲期权的利率函数。备注24。注意，对于Black-Scholes模型，If（κ，S）独立于Sand，因此我们在（76）中使用If（κ）表示法。备注25。关系（76）与等价关系（64）一致。

如前所述，亚式期权的短期到期渐近性与利率r和股息收益率q无关，因此在该极限下，关系（64）中的预期采用相同的度量。这意味着在短期到期期限内，固定和浮动行使亚洲期权彼此相等，直至替代K/S7→ κ。将Black-Scholes模型中的这一显式解与命题22的结果进行比较是有益的。对于常数波动率函数σ（S）=σ的情况，关系式（74）简化为（77）λBS（κ）=σκe-2f（1）（ef（1）- 1） =σκe2h（1）（e）-h（1）- 1） 。式中，h（t）=f（1- t）- f（1）是（76）中等价变分问题的解。这与（235）中给出的辅助变量问题（76）的拉格朗日乘子λ的解一致。λBS（κ）（σ=σ（S））值可作为扫描一般局部波动模型变量问题数值解中λ值的起点。短期亚洲期权176。附录6.1。大偏差原则和收缩原则。我们首先给出大偏差原则的正式定义。我们参考Dembo和Zeitouni【12】或Varadhan【48】，了解大偏差的一般背景和应用。定义26（大偏差原则）。A序列（P)∈拓扑空间X上概率测度的R+满足率函数I:X的大偏差原理→ Rif I是非负的，下半连续的，对于任何可测集A，我们有（78）- infx公司∈AoI（x）≤ lim inf→0 日志P（A）≤ lim sup公司→0 日志P（A）≤ - infx公司∈AI（x）。这里，AO是A的内部，A是它的闭包。收缩原理在我们的证明中起着关键作用。为方便读者，我们将结果陈述如下：定理27（收缩原理，例如定理4.2.1[12]）。

如果P用速率函数I（X）和F:X满足X上的大偏差原理→ Y是连续映射，则概率度量Q:= PF-1用速率函数（79）J（Y）=infx:F（x）=yI（x）满足Y的大偏差原则。6.2。第2节中结果的证明。定理2的证明。（i） 我们首先证明关系极限→0T对数C（T）=极限→0T日志PTZTStdt≥ K.（80）通过H¨older不等式，对于任意p+p=1，p，p>1，C（T）≤ e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K（81）≤ e-rTE“TZTStdt- Kp#！聚丙烯TZTStdt≥ Kp、 （82）假设p≥ 2、注意，对于p≥ 2，x 7→ xp是x的凸函数≥ 0和Jensen不等式，（x+y）p≤xp+yp对于任何x，y≥ 0、因此“TZTStdt- Kp#≤ E“TZTStdt+Kp#（83）≤ 2p级-1“E”TZTStdtp#+KP#。再看Jensen不等式，（84）E“TZTStdtp#≤ ETZTSptdt=TZTE【Spt】dt。18 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUBy It^o公式，（85）d（Spt）=pSp-1t[（r- q） Stdt+σ（St）dWt]+p（p- 1） Sp公司-2tσ（St）Stdt。取方程（85）两侧的期望值，（86）dE【Spt】=p（r- q） E【Spt】dt+p（p- 1） E[标贯σ（St）]dt。自σ起≤ σ（·）≤ σ、 我们得出结论，E【Spt】≤ m（t），其中m（t）是ODE的解：（87）dm（t）=p（r- q） m（t）dt+p（p- 1） σm（t）dt，m（0）=Sp，其解m（t）=Spe（p（r-q） +p（p-1） σ）t.因此，（88）TZTE【Spt】dt≤ 最大值0≤t型≤Tm（t）≤ Spe | p（r-q） +p（p-1） σ| T。因此，根据方程式（83）、（84）、（88），我们有（89）lim supT→0T日志C（T）≤ lim支持→0pT日志PTZTStdt≥ K.因为它适用于任何2>p>1，所以我们有上限。对于任何 > 0，C（T）≥ e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K级+（90）≥ e-rT公司PTZTStdt≥ K+,这意味着（91）lim infT→0T日志C（T）≥ lim信息→0T日志PTZTStdt≥ K+.因为它适用于任何 > 0，我们得到下限。所以问题归结为计算极限（92）limT→0T日志PTZTStdt≥ K= 限制→0T日志PZStTdt≥ K.设Xt：=对数St。

这相当于计算极限（93）limT→0T日志PZeXtTdt公司≥ K,其中，由它^o引理，（94）dXt=r- q-σ（外部）dt+σ（eXt）dWt，X=log S。根据小时间差的大偏差理论，Varadhan[47]首次证明，在假设（2）、（3）下，P（X·T∈ ·) 满足L上的样本路径大偏差原理∞[0，1]，速率函数（95）I（g）=Zg（t）σ（eg（t））dt。短期亚洲期权19，g（0）=对数砂g∈ AC[0，1]，绝对连续函数空间andI（g）=+∞ 否则注意地图g 7→Reg（x）dx来自L∞[0，1]到R+是一个连续映射。因此，根据收缩原理（定理27），P（ReXtTdt∈ ·) 满足率函数（96）I（x，S）的大偏差原则：=infReg（t）dt=xg（0）=log S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。因此，对于现金买入期权，即S<K，（97）limT→0T日志PTZTStdt≥ K= - infx公司≥KI（x，S）=-I（K，S），其中最后一步是由于K>S时I（K，S）在K中增加，参见位置11。（ii）我们通过证明亚洲看跌期权与（80）的类似关系得出结论，即对于货币外看跌期权，S>K，我们将证明（98）limT→0T日志PK≥TZTStdt= -I（K，S）。根据H¨older不等式，对于任意p+p=1，p，p>1，p（T）=e-rTE“K-TZTStdt+K≥TRTStdt#（99）≤ e-rTE“K-TZTStdt+!p#！聚丙烯K≥TZTStdtp≤ e-rTKPK≥TZTStdtp、 因此，lim支持→0T日志P（T）≤ -pI（K，S）。由于它适用于任何p>1，我们证明了上界。对于下限，对于任何足够小的 > 0，P（T）≥ e-rTE公司K-TZTStdtK≥TRTStdt公司+（100）≥ e-rT公司PK≥TZTStdt+,这意味着lim infT→0T日志P（T）≥ -I（K- , S） 。通过出租 ↓ 0，并且速率函数I（K，S）在K中是连续的，参见命题9和备注10，我们证明了下界。20 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu推论5的证明。

（i） 来自put调用奇偶校验，C（T）- P（T）=e-rTE公司TZTStdt- K（101）=e-rT公司TZTe（右-q） tSdt- K=（e）-rT[秒- K] 如果r=qe-rThT（r-q） [e（r-q） T型- 1] S- Kiif r 6=q=（[S- K] （1）- r=qS时，rT）+O（T）- K-（r+q）ST+KrT+O（T），如果r 6=q，则为T→ 因此，对于货币看涨期权，即S>K，从定理2，我们得到C（T）=S- K-（r+q）ST+KrT+O（T）作为T→ 0.（ii）对于货币认沽期权，即S<K，根据（i）和定理2，我们得到P（T）=K- S+（r+q）ST- KrT+O（T）作为T→ 0定理6的证明。（i） 对于货币买入期权，（102）C（T）=e-rTE“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+#,其中Xt：=Ste（r-q） 这是一个鞅，满足SDE：（103）dXt=σ（Xte（r-q） t）XtdWt，X=S。权利要求1。作为T→ 0，（104）E“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+#- E“TZTXtdt- S+#= O（T）。让我们证明（104）。E“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+#- E“TZTXtdt- S+#（105）≤ E“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+-TZTXtdt- S+#≤ E坦桑尼亚先令e（r-q） t型- 1.Xtdt公司= STZT | e（r-q） t型- 1 | dt=STZT（e（r-q） t型- 1） dt公司= Se（r-q） T型- 1（右- q） T型- 1..短期亚洲期权21因此，我们证明了（104）。接下来，让我们定义满足SDE的^Xt：（106）d^Xt=σ（S）SdWt，^X=S。权利要求2。（107）E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|= O（T），作为T→ 让我们证明（107）。注意（108）Xt-^Xt=Zthσ（Xse（r-q） s）Xs- σ（S）SidWs。根据It^o等距和统一Lipschitz假设，E[（Xt-^Xt）]（109）=中兴通讯σ（Xse（r-q） s）Xs- σ（S）Sds公司≤ 2ZtEh（σ（Xs）Xs）- σ（S）S）ids+2ZtEσ（Xse（r-q） s）Xs- σ（Xs）Xsds公司≤ 2α中兴通讯[（Xs- S） ]ds+2βZt（e（r-q） s- 1） E[Xs]ds≤ 4α中兴通讯[（Xs-^Xs）]ds+4α中兴通讯[（^Xs]- S） ]ds+2βZt（e（r-q） s- 1） E[Xs]ds。请注意，^Xs=S+σ（S），因此E[（^Xs- S） ]=σ（S）Ss。（110）|σ（x）x |=|σ（x）x- 0σ（0）|≤ α| x |因此σ（x）≤ α。自Xt起-Xis是从0开始的鞅，根据Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到[（Xt- 十） ]≤ CE[（hXit）]，对于某些常数C>0，其中hXit=Rtσ（Xse（r-q） s）Xsds是Xt的二次变量。

利用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到[（Xt- 十） ]≤ CE“Ztσ（Xse（r-q） s）XSD#≤ CE公司Ztσ（Xse（r-q） s）DSZTXSD.自σ（·）≤ α和E【Xt】≤ 8X+8E[（Xt-十） [（自（X+y）起）≤x+y对于任意x，y≥ 0）X=S，我们得到，对于任何足够小的t，比如t≤ 1，E[文本]≤ 8S+8CαZtE[Xs]ds，Gronwall不等式表明，如果β（·）是非负的，并且对于任何t≥ 0，u（t）≤ α（t）+Rtβ（s）u（s）ds，然后（111）u（t）≤ α（t）+Ztα（s）β（s）eRtsβ（r）drds。22 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu因此，根据Gronwall不等式，我们可以得到任何非常小的t，E[Xt]≤ 因此，存在一个常数γ>0，因此（112）2βZt（e（r-q） s- 1） E[Xs]ds≤ 16βSe8CαtZt（e（r-q） s- 1） ds公司≤ γt，对于任何非常小的t>0。插入（109），我们得到（113）E[（Xt-^Xt）]≤ 4α中兴通讯[（Xs-通过Gronwall不等式，我们得到了[（Xt-^Xt）]≤ [2ασ（S）S+γ]t+4αZt[2ασ（S）S+γ]se4α（t-s） ds（114）≤ [2ασ（S）S+γ]t+αte4αt.因此，我们得出结论，存在一些普适常数M>0，因此对于任何非常小的T>0，（115）E[（XT-^XT）]≤ MT.最后注意到Xt-^Xtis是一个鞅，因为Xtand^Xtare都是鞅。根据Doob鞅不等式，对于非常小的T>0，（116）E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|≤ 2.E[（XT-^XT）]≤ 2.√因此，我们证明了（107）。权利要求3。对于T→ 0，（117）E“TZTXtdt- S+#- E“TZT^Xtdt- S+#= O（T）。让我们证明一下（117）。E“TZTXtdt- S+#- E“TZT^Xtdt- S+#（118）≤ ETZTXtdt-TZT^Xtdt≤ E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|.因此，（117）来自（107）。权利要求4。（119）E“TZT^Xtdt- S+#= σ（S）S√T√E[Z1Z>0]，短期亚洲期权23，其中Z~ N（0，1）。让我们证明一下（119）。注意，^Xt=S+σ（S）SWt。因此，（120）TZT^Xtdt- S=σ（S）STZTWtdt~ N0，σ（S）ST.因此，我们证明了（119）。实际上，我们可以计算出（121）E[Z1Z>0]=√2πZ∞xe公司-xdx公司=√2π。最后，将（104）、（107）、（117）、（119）和（121）放在一起，我们证明了desiredresult。（ii）对于货币认沽期权，证明类似于（i）且省略。6.3。

第3节中结果的证明。命题8的证明。这里我们给出变分问题（122）命题8中变分问题解的证明。通过引入定义为g（t）=log S+f（t）的函数f（t），可以简化该变分问题。用该函数表示，变分问题表示为：（122）I（K，S）=inffZf（t）σ（Sef（t））dt，其中f（t）∈ AC[0，1]满足f（0）=0和（123）Zef（t）dt=KS。通过引入拉格朗日乘子λ并考虑泛函（124）∧【f】=Z的变分问题，可以考虑约束（123）f（t）σ（Sef（t））dt+λZef（t）dt-堪萨斯州.边界条件f（0）=0。首先，我们回顾了变分法中一个众所周知的结果，见第。四、 [10]中的5，以代表本文所遇到的变分问题的形式陈述。引理28。考虑寻找泛函（125）∧[x]=ZT的极值的变分问题x（t）∑（x（t））dt公司-ZTV（x（t））dt- f（x（T）），其中∑（x），V（x）是满足约束条件（126）x（0）=x的函数集x（T）上的c函数。最优函数x（T）满足Euler-Lagrange方程（127）ddtx（t）∑（x（t））= -V（x（t））∑（x（t）），边界条件（126）在t=0，横截性条件（128）x（t）=f（x（t））∑（x（t））在t=t。24 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUProof。定义x（t） 作为最优函数x（t）（129）x的扰动（t） =x（t）+η（t），其中η（t）∈ Cis是一个在t=0时消失，但在t=t（130）η（0）=0时不受约束的函数。∧[x]在x（t）上有极值的一个必要条件是我们有dd∧[x]|=0=ZTx（t）∑（x（t））η（t）dt（131）-ZT公司[x（t）]∑（x（t））∑（x（t））+V（x（t））η（t）dt- f（x（T））η（T）=ZTη（T）-滴滴涕x（t）∑（x（t））-[x（t）]∑（x（t））∑（x（t））∑（x（t））∑（x（t））- V（x（t））dt+η（T）x（T）∑（x（T））- f（x（T））= 0对于满足约束（130）的任何η（t）。

在第二次平等中，我们在第一个任期内按党派进行了整合。最优性下的泛函导数∧[x] 对于满足约束η（0）=0的任何η（t），必须为零。这要求对于任何η（t），这两项分别消失。第一项的消失给出了Euler-Lagrange方程（127），第二项的消失给出了横截性条件（128）。将该结果应用于变分问题（124），得出最优函数满足Euler-Lagrange方程（132）ddtf（t）σ（Sef（t））= λef（t）σ（Sef（t）），横截性条件（133）f（1）=0。众所周知，人们可以放宽条件∑（x），V（x）∈ Cto允许分段连续的函数。这是通过以引理29给出的另一种形式编写Euler-Lagrangeequation（132）来明确的。请注意，导数∑（x）不再出现在此结果中。这意味着σ（·）上的条件（2）、（3）对于我们的目的是足够的。引理29。Euler-Lagrange方程（132）也可以写成（134）f（t）σ（Sef（t））- λef（t）=c为常数的c。证据然后将（132）的两侧乘以f（t）/σ（Sef（t））（135）ddtf（t）σ（Sef（t））= λef（t）f（t）=λddtef（t），这复制了（134）。短期亚洲期权25？来自（134）和横向条件f（1）=0，我们有（136）f（t）σ（Sef（t））- λef（t）=-λef（1）。t上的积分：（0，1）这给出（137）I（K，S）=Zf（t）σ（Sef（t））dt=-λef（1）+λZef（t）dt=λ（K/S- ef（1））。这个关系用最优函数f（1）的终值和拉格朗日乘子λ表示速率函数I（K，S）。最优函数f（t）是变分问题（132）的解，具有以下定性行为：1。当λ<0时，f（t）增加f（t）>0。这种情况对应于K>S。对于这种情况，f（1）>0.2。当λ>0时，f（t）减小f（t）<0。

这种情况对应于K<S。对于这种情况，f（1）<0。这些特性源自Euler-Lagrange方程（132）。在t：（t，1）上积分该方程，并使用横截性条件f（1）=0，得到（138）f（t）=-λ∑（f（t））Ztef（s）∑（f（s））dt。乘以λ的因子为负，因此该表达式的符号与λ的符号相反。在情况1中，约束（123）中的被积函数满足不等式ef（t）>ef（0）=1。在情况2中，ef（t）<ef（0）=1。这两种情况分别对应于K>SandK<S。我们可以用（134）来消除f（t），因为f（t）等于（139）f（t）=(√-2λ∑（f（t））pef（1）- ef（t），K>S，λ<0-√2λ∑（f（t））pef（t）- ef（1），K<S，λ>0。我们将分别处理这两个病例。案例1。K>S。我们将证明速率函数是（140）I（K，S）=F(-)（f） G级(-)（f） ，其中f>0是方程（141）ef的解- K/S=G(-)（f） f级(-)（f） ，带G(-)（f） =Zf∑（y）pef- 埃迪，（142）F(-)（f） =Zf∑（y）√ef公司- 艾迪。（143）证明。首先，我们注意到速率函数可以用两种等价的方式写成（144）I（K，S）=λ（K/S- ef）=r-λZf∑（y）pef- 艾迪。26 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu第一个等式就是方程（137），其中f=f（1）。第二个等式是将速率函数定义中的积分变量从t更改为f（t）I（K，S）=Zf（t）σ（Sef（t））dt（145）=Zff（t）f（t）σ（Sef（t））df=r-λZf∑（y）pef- 艾迪≡r-λG(-)（f） ，在第二行中，我们使用关系式（139）来消除数字和分母中的f（t）。为了能够消除λ，我们需要（λ，f）的第二个方程。这是通过写入1=Zdt=Zff（t）df（146）获得的=√-2λZf∑（y）√ef公司- 艾迪≡√-2λF(-)（f） 。消除这些方程之间的λ，我们得到结果（140）。案例2。K<S。