局部波动模型中的短期亚洲期权

我们将证明速率函数为（147）I（K，S）=F（+）（h）G（+）（h），其中h=-f（1）>0由方程（148）KS的解给出- e-h=G（+）（h）F（+）（h），其中G（+）（h）=Zh∑(-y） pe公司-y- e-hdy，（149）F（+）（h）=Zh∑(-y）√e-y- e-hdy。（150）短期亚洲期权27Proof。证明遵循与前一种情况相同的方法，使用关系式（139）来消除f（t）。速率函数isI（K，S）=Zf（t）σ（Sef（t））dt（151）=Zff（t）f（t）σ（Sef（t））df=-rλZf∑（y）pey- efdy=rλZh∑(-y） pe公司-y- e-hdy公司≡rλG（+）（h）。以与（146）类似的方式推导第二个方程，并且reads1=Zdt=Zff（t）df=-√2λZf∑（y）√ey公司- efdy（152）=√2λZh∑(-y）√e-y- e-hdy公司≡√2λF（+）（h）。消除这些方程之间的λ，我们得到结果（147）。方程式（148）通过写入i（K，S）=λ从（137）推导而来堪萨斯州- e-h类=F（+）（h）G（+）（h），（153）并使用λ=（F（+）（h））。命题9的证明。（i） K>S。（26）中函数最小值的条件为（154）ddД（G(-)（Д））Д-KS=2G(-)（Д）F(-)（Д）Д-堪萨斯州- （G）(-)（Д））（Д）-KS）=0，其中我们引入了（155）ddДG(-)（Д）=F(-)（Д），带（156）F(-)（Д）=ZДZσ（Sz）√^1- zdz，^1≥ 1.方程（154）给出了函数具有极值（157）的值ν-KS=克(-)（Д）F(-)（^1）。这与等式（23）相同，标识为Д=ef，和G(-)（Д）=G(-)（f） ，f(-)（Д）=F(-)（f） 。28 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu将方程（157）代入（26），我们得到了速率函数（158）I（K，S）=G(-)（Д）F(-)（^1）。这与K的速率函数的结果（19）一致≥ S、 （ii）K<S。（28）中函数极值的条件为（159）KS- χ=G（+）（χ）F（+）（χ），其中我们定义了（160）ddχG（+）（χ）=-F（+）（χ），其中（161）F（+）（χ）=ZχZσ（Sz）√z- χdz，0<χ≤ 1.方程式（159）与方程式（20）相同，标识χ=e-h、 G（+）（χ）=G（+）（h），F（+）（χ）=F（+）（h）。

将该方程代入（28），我们得到的速率函数为（162）I（K，S）=G（+）（χ）F（+）（χ），这与（19）中K的结果一致≤ S命题11的证明。证明基于引理30和引理31。i） K>S。我们将使用表示（26）证明速率函数i（K，S）是K>S时K的单调递增函数。首先，我们证明函数（G(-)（Д））满足引理30中出现的f（x）所需的技术条件：为正值，且在Д>1时增加，并且在ДasД中具有超线性增长→ ∞. 正性条件来自定义，递增性来自积分F的正性(-)（^1）由（156）定义。我们接下来证明超线性增长条件为→ ∞. 在Black-Scholes模型中，函数G(-)（Д）可精确计算，由（163）G给出(-)BS（~n）=σZ~nZ√^1- zdz=σ√νarctanhr^1- 1^1-p^1- 1..对于^1→ ∞ 这有渐近表达式（164）G(-)BS（Д）=σ(√Дlog（4Д）- 2.√Д+O（1）），Д→ ∞.这里我们使用了大变元arctanh函数的渐近展开式（165）arctanh（1- x） =-对数（x/2）+O（1），x→ 0+。渐近展开式（164）表明（G(-)BS（Д））比线性增长快→ ∞.这确保了有限解x的存在*BS模型中的方程式（173）。这些结果也适用于具有局部波动函数σ（S）的一般局部波动模型≤ σ从上面有界，因为这意味着函数（G）的下界(-)（Д））具有与Д相同的生长特性→ ∞ 与上述BS模型中获得的结果相同。短期亚式期权29ii）K<S。使用利率函数的表示（28），我们从引理31中得出，I（K，S）是K的递减函数，0<K<S。

函数（G（+）（χ））满足引理31中f（x）的技术条件：正性来自其定义，0<χ<1的递减性来自（161）中定义的积分f（+）（χ）的正性。引理31的适用性还要求在下边界处未达到in（161）的上限。我们首先考虑Black-Scholes模型，其中函数G（+）（χ）可以精确计算，由（166）G（+）BS（χ）=σZχZ给出√z- χdz=σp1级- χ-√χarctanrχ- 1..函数F（+）BS（χ）由（167）F（+）BS（χ）=-2ddχG（+）BS（χ）=σ√χarctanrχ- 1.其渐近表达式为χ→ 0（168）F（+）BS（χ）=πσ√χ+O（1），χ→ 0。因此我们有（169）limχ→0ddχ（G（+）BS（χ））=-∞,我们使用limχ的地方→0G（+）BS（χ）=σ<∞.这意味着函数（G（+）BS（χ））满足引理31中f（x）所需的条件（182），这有助于确保在下二元a处不达到最大值。我们得出结论，引理31的陈述适用于BS模型。这些结果也适用于具有局部波动函数σ的一般局部波动模型≤ σ（S）≤ σ从下方和上方界定。σ（S）的上界表示F（+）（χ）的下界，σ（S）的下界表示G（+）（0）的上界。这些条件共同确保结果（169）也适用于一般波动率模型。引理30。设f（x）为正增函数f（x）>0，f（x）>0，定义（170）f（z）=infx>zf（x）x- z.此外，假设f（x）的增长速度比x快→ ∞. 那么F（z）是一个正的递增函数（171）F（z）>0，F（z）>0。证据F（z）定义中出现的函数极值条件为（172）F（x）x- z-f（x）（x）- z） =0。30 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu表示方程x的解*.

明确表示为（173）x*- z=f（x*)f（x*).该方程将有一个z<x的解*< ∞ 如果f（x）的增长速度快于线性asx→ ∞. 这确保了在x处不会达到in（170）的上限→ ∞.代入（170）我们得到（174）F（z）=F（x*) > 0，我们使用f（x*) > 为了证明F（z）>0的性质，我们计算了关于z（175）F（z）=F（x）的导数*)dx公司*dz=f（x*)（f（x*))f（x*)f（x*)> 0。第二个等式是通过对zdx取（173）的导数得到的*dz公司- 1=ddzf（x*)f（x*)=ddx公司f（x*)f（x*)dx公司*dz（176）=（f（x*))- f（x*)f（x*)（f（x*))dx公司*DZ给出（177）dx*dz=（f（x*))f（x*)f（x*).不等式（175）证明了F（z）是单调递增函数。注意，我们不需要f（x）上的凸性条件来获得单调性ofF（z）。如果f（x）>0，那么我们得到额外的dx*dz>0，但这不是F（z）的单调性所必需的。引理31。设f（x）：[a，b]→ R为正递减函数f（x）>0，f（x）<0，定义（178）f（z）=infx<zf（x）z- x个.假设在x=a的边界上未达到最大值，则F（z）为正函数，递减函数（179）F（z）>0，F（z）<0，a<z≤ b证据F（z）定义中出现函数极值的条件是（180）F（x）z- x+f（x）（z- x） =0。表示方程x的解*. 明确表示为（181）x*- z=f（x*)f（x*).短期亚洲期权31我们假设该方程有a<x的解*< z、 确保a未达到最大值的一种可能方法是要求（182）limx→af（x）<∞, 林克斯→af（x）=-∞.代入（178）我们得到（183）F（z）=-f（x*)让我们证明F（z）<0性质。

我们有（184）F（z）=-f（x*)dx公司*dz=-f（x*)（f（x*))f（x*)f（x*)< 0。第二个等式是通过取（181）对z的导数得到的，这与引理30（185）dx的证明中给出的结果相同*dz=（f（x*))f（x*)f（x*).不等式（184）证明了F（z）是单调递减函数。命题12的证明。命题8中的变分问题适用于与Black-Scholes模型相对应的常数局部波动率函数σ（S）=σ的情况。速率函数由（186）JBS（K/S）=σIBS（K，S）=Z[f（t）]dt给出，其中f（t）是欧拉-拉格朗日方程的解（常数a与命题8（187）f（t）=aef（t）的证明中出现的滞后乘数有关），边界条件（188）f（0）=0，f（1）=0。未知常数a由条件（189）Zdtef（t）=KS确定。可以精确地找到微分方程（187）的解。该方程的两个独立解aref（x）=βx- 2个日志eβx+γ1+γ,（190）f（x）=-2 log | cos（ξx+η）|+2 log | cosη|。（191）方程（187）的解f（x）在[33]中给出，其中相同的方程出现在Black-Scholes模型中连续时间亚式期权的最优重要性抽样问题中。这些函数中的参数由边界条件（188）和要求函数满足Euler-Lagrange方程（187）确定。通过将（190），（191）直接替换为（187），很容易验证这些函数是Euler-Lagrange方程的解。x=0时的边界条件自动满足32 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu。

匹配Euler-Lagrange方程中的常数因子，并要求满足x=1的边界条件，给出以下约束条件。对于f（x），我们有方程2γβ=-a（1+γ），（192）γ=eβ，（193），根据β确定a，γ。对于f（x），我们有2ξ=a cos |η|，（194）2ξtan |ξ+η|=0，（195），其中η=-ξ+kπ，带k∈ Z、 根据ξ确定a。η的多重解给出了与cos（ξ（x）相同的解f（x- 1） +kπ）=(-1） kcos（ξ（x- 1） ）。常数ξ、β可根据约束条件（189）确定。对于溶液（190），这是（196）Zef（x）dx=1+γeβ+γeβ- 1β=βsinhβ=KS，其繁殖（32）。这是一个只有K>S的解的β方程。对于解（191），我们得到（197）Zef（x）dx=Zcosξcos（ξ（x- 1） ）dx=ξcosξtanξ=KS，0≤ ξ<π。对于|ξ|≥π积分是发散的。这复制了（33），并给出了ξ的方程，该方程只有K<S的解。该解必须满足ξ∈ (-π、 π）。注意如果ξ*是（33）in（0，π）的解，那么-ξ*∈ (-π、 0）也是（33）的一个解，其中包含相同的J（K/S）值。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设ξ∈ （0，π），它对（33）有唯一的解。总之，带边界条件（188）和约束（189）的Euler-Lagrange方程（187）的解为（198）f（x）=βx- 2个日志eβx+eβ1+eβK≥ 苦干cosξcos（ξ（x-1） （）K≤ S、 式中，β和ξ分别是方程（32）和（33）的解。最后，通过将f（x）的解（198）代入方程（186）并进行积分，找到速率函数JBS（K/S）。这复制了结果（31），从而得出命题12的证明。命题13的证明。（1） K级≥ S、 对于K/S→ ∞, 方程（32）的解接近β→ ∞.

这建议将该方程写成（199）eβ=（2β）KS1- e-2β，或（200）β=x+对数（2β）- 日志（1- e-2β）=x+对数（2β）+O（e-2β），短期亚洲期权33，x=对数（K/S）。这意味着β=x+O（对数x）为x→ ∞, 我们可以通过（200）的迭代来改进这个估计，从一阶近似（201）β（0）=x+o（x）开始。通过代入（200），我们得到连续迭代β（1）=x+log（2x）+O（e-2x），（202）β（2）=x+log（2x）+log[2（x+log（2x））]+O（e-2x）（203）=x+对数（2x）+对数（2x）+对数1+对数（2x）x+ O（e-2x）=x+2对数（2x）+对数（2x）x+O（x-2） 。通过代入（31）并展开到所示的阶数，可以得到速率函数的渐近展开式。这给出了结果（36）。（2） K级≤ S、 通过求解方程（33）获得参数ξ。很明显，作为K/S→ 0，我们有ξ→ π/2。可以方便地引入定义为ξ=π的ζ-ζ与ζ→ K/S中的0→ 0限制。这由方程（204）sin（2ζ）=KS（π）的解给出- 2ζ）。该方程可通过从ζ（0）=0开始的迭代再次求解。前两次迭代为ζ（1）=πKS，（205）ζ（2）=πKS1.-堪萨斯州+ O（（K/S））。（206）最后，代入（31）我们得到（36）。命题14的证明。我们给出了案例K的证明≥ S、 案例K以类似的方式处理，并得出相同的最终结果（37）。对于给定的对数打击x=对数（K/S）≥ 0时，必须通过求解方程（23）找到fB，用该值代替finto（19）得到速率函数。我们注意到，作为x↓ 0，我们有f↓ 因此，在ATM点x=0附近寻找一种在x中进行FBY扩展的解决方案是合理的。可以方便地引入辅助变量zsuch，其中f=Y（z），Y（z）：=z-1（z）函数z（y）=Rydwσ（Sew）的逆函数。从定义可以看出，对于x小，zi也很小，并且它们都同时为零。

引入zis吸收F中σ（S）依赖性的理论(-)（f） ，G(-)（f） INTO积分变量的更改。证明的策略是：步骤1。将fas的方程式（23）表示为z的方程式，并在z中展开为给定值。步骤2。反转步骤1中获得的展开式，并将对数走向x的zin powers展开式导出到给定阶数。34 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUStep 3。表示K的速率函数I（K，S）的结果（19）≥ Sas a系列inz。此外，这里使用步骤2中得到的x的zin幂展开式。第1步。我们首先导出函数G的展开式(-)（f） 和f(-)（f） z=z（f）的幂。首先，我们将定义这些函数时对局部波动函数σ（S）的依赖性吸收到一个新的积分变量z中，如dz=dy/σ（Sey）。此givesG(-)（f） =Zfσ（Sey）pef- eydy=ZzpeY（z）- eY（z）dz，（207）F(-)（f） =Zfσ（Sey）√ef公司- eydy=ZzdzpeY（z）- eY（z），（208），其中Y（z）是函数z（Y）=Rydwσ（Sew），z=z（f）的逆函数。将Y（z）的泰勒级数代入（38），在z，zt上展开到一个给定的阶，然后计算积分，得到(-)（f） =pbz3/2+30b（b+2b）z（209）+1680b（81b+628bb- 284b+912bb）z+O（z）,F级(-)（f）=√b√z2.-6b（b+2b）z（210）+240b（41b- 12bb+516b- 528bb）z+O（z）.接下来，我们将方程（23）表示为对数走向的鳍项x=对数（K/S），作为z的展开式。这是（211）x=logef-G级(-)（f） f级(-)（f） ！，回顾f=Y（z）=bz+bz+····························································································································································································································································································-G级(-)（f） f级(-)（f） 哦！（212）=bz+（b+22b）z+2835b（b+150bb+48b+1026bb）z+O（z）。第2步。接下来，我们反转序列（212），得到zas在xz=2bx中的展开式+-40亿-33b20bx（213）+1400b（8b+87bb+4962b- 2565bb）x+O（x）。短期亚洲期权35步骤3。

最后，我们将此展开式插入速率函数（19）的表达式中，该表达式给出了速率函数的xI（K，S）=F的幂展开式(-)（f） G级(-)（f） =2倍-10b（b+12b）x（214）+1400b（109b+936B+14976b- 6480bb）x+O（x）。这再现了结果（37）。提案32。对于任何固定的K、S、T，Black-Scholes模型中的亚洲期权价格接近有限波动率极限值σ中的以下值→∞CBS（K，S，σ，T）=e-rTTZTSe（右-q） tdt。证据对于任何 > 0，CBS（K，S，σ，T）- e-rTE“坦桑尼亚先令Se（r-q） t+σWt-σtdt- K+#≤ e-rTE公司TZ公司Se（r-q） t+σWt-σtdt= e-rTTZ公司Se（r-q） tdt，其中最后一项与σ无关，它变为0 → 另一方面，对于几乎每个样本路径，布朗运动在t上是连续的，因此为0≤t型≤行波管<∞. 它遵循thatTZTSe（r-q） t+σWt-σtdt≤ eσsup0≤t型≤行波管-σ坦桑尼亚先令Se（r-q） tdt公司→ 0，a.s.为σ→ ∞. 根据有界收敛定理，limσ→∞E“K-坦桑尼亚先令Se（r-q） t+σWt-σtdt+#= K、 ？来自put调用奇偶校验（备注1），limσ→∞E“坦桑尼亚先令Se（r-q） t+σWt-σtdt- K+#=坦桑尼亚先令Se（r-q） tdt。最后，我们让 → 0以完成证明。命题17的证明。（i） 对于r=q=0的Black-Scholes模型，股票价格遵循几何布朗运动，即St=SeσWt-σt.Black-Scholes模型中亚洲看涨期权的价格isC（BS）A（S，K，σ，t）=E“SZeσWtT-σtTdt- K+#.？根据布朗标度性质，C（BS）A（S，K，σ，T）=E“SZeσ√T（WtT/√T）-（σT）tdt- K+#:=~C（BS）A（S，K，σT）36 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu可以视为σT的函数。此外，Carr等人[6]的结果表明▄C（BS）A（S，K，σT）随着σT的增加而增加。首先考虑本地波动率模型（1）中的货币外亚洲看涨期权K>，并表示其价格CA（S、K、T）。对于任何σT>0的情况，我们有▄C（BS）A（S，K，0）=0和▄C（BS）A（S，K，σT）>0。我们有CA（S，K，T）=C（BS）A（S，K，σimpliedT）→0作为T→ 0

因此，limT→0σ意味着（S，K，T）T=0。因此，根据定理2和命题12，limT→0（σ隐含（S，K，T）logC（BS）A（S，K，σ隐含（S，K，T）T）=-JBS（K/S），有限→0T对数CA（S、K、T）=-I（K，S）。这意味着限制→0σ隐含（S，K，T）=极限→0σ隐含（S，K，T）T logC（BS）A（S，K，σ隐含（S，K，T）T log CA（S，K，T）=JBS（K/S）I（K，S）。对于货币外的亚洲看跌期权K<S，也得到了相同的结果。争论以完全类似的方式进行。（ii）接下来，让我们考虑at货币亚洲看涨期权。根据定理6，我们得到了极限→0√TCA（K、S、T）=√6πσ（S）S。请注意，C（BS）A（K，S，σ隐含（K，S，T）T）=CA（K，S，T）和C（BS）A（K，S，σ，T）=C（BS）A（K，S，σT）可以视为σT的函数。因此，limT→0C（BS）A（K，S，σ隐含（K，S，T）T）√6π√Tσ隐含（K，S，T）=S。因此，limT→0σ隐含（K，S，T）=σ（S）。对于at货币亚洲看跌期权，也得到了相同的结果。命题18的证明。（i） 注意，当r=q=0，A（T）=Sand时，由于布朗标度性质，Black-Scholes模型中的欧式期权价格▄C（BS）E（K，S，σT）：=ESeσWT-σT- K+可以看作是σT的函数。这是这个参数的严格递增函数。我们通过定义等价对数正态波动率CA（S，K，T）=C（BS）E（S，K，∑LNT），其中CA（S，K，T）表示局部波动率模型（1）中亚洲看涨期权的价格。我们继续类似于命题17的证明。首先考虑一个货币外亚洲看涨期权K>S，我们有CA（S，K，T）=C（BS）E（S，K，∑LNT）→0作为T→ 因此，limT→0∑LN（S，K，T）T=0。